Chapitre 9: Dynamique d un solide indéformable

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1 Chapite 9: Dynamique d un solide indéfomable Intoduction Dans ce chapite, nous allons nous intéesse à la dynamique d un solide indéfomable (pas un fluide donc). Ceci nous pemetta d étudie la otation d un solide autou d un axe fixe puis la condition de oulement d un solide su une suface sans glisse (pa exemple, une oue de voitue) 1

2 Chapite 9: Dynamique d un solide indéfomable I Eléments cinétiques d un solide. II Solide en otation autou d un axe fixe. III Dynamique d un solide. I Axe instantané de otation, oulement sans glissement. Foces de fottements solides I Résumé

3 Chapite 9: Dynamique d un solide indéfomable I ELEMENTS CINETIQUES D UN SOLIDE 1) Solide (indéfomable) cente de masse Un solide (S) est indéfomable si la distance ente deux points quelconques qui le compose est indépendante du temps quelque soit le mouvement de ces points. (S) d M ρ()d Cente de masse : dm O est la masse du solide, avec ρ() la masse volumique OM dm dm O est un point quelconque 3

4 Chapite 9: Dynamique d un solide indéfomable I ELEMENTS CINETIQUES D UN SOLIDE ) Eléments cinétiques d un solide Tout comme pou le système à N paticules, on peut défini les éléments cinétiques du solide pa : ) sa quantité de mouvement : ) son moment cinétique pa appot à O : 1 ) son énegie cinétique : Ec v dm p v dm L O M v OA v dm M ρ()d dm Théoèmes de Koenig : ) pemie théoème : LO O M v + L 1 * ) deuxième théoème : Ec M v + Ec * Les * indiquent que les quantités sont calculées dans le éféentiel du cente de masse 4

5 Chapite 9: Dynamique d un solide indéfomable II SOLIDE EN ROTATION AUTOUR D UN AXE FIXE 1) Définitions Notations Un solide est animé d un mouvement de tanslation si à chaque instant, tous le spoints ont le même vecteu vitesse. Cette tanslation est ectiligne si le vecteu vitesse gade toujous la même diection. Dans la suite, on ne palea plus que de otations! On considèe un axe () fixepa appot à un éféentiel R et un solide animé d un mouvement de otation autou de cet axe (). ω Soit ω la vitesse angulaie de otation du solide autou de (). Soit u, un vecteu unitaie selon (). On définit le vecteu otation pa ω ω u On choisit un point O, fixe su (). O (S) 5

6 Chapite 9: Dynamique d un solide indéfomable II SOLIDE EN ROTATION AUTOUR D UN AXE FIXE ) Moment d inetie Quel est le moment cinétique du solide pa appot à O : L O OA v dm le moment cinétique pa appot à l axe (): L L.u u. OA v dm? ( ) ainsi que Pou tout point A du solide, le vecteu OA est de nome constante donc, la vitesse de Aest v ω OA ω u OA.Deplus, ( ) ( OA )v u. OA v u..onadonc ω L ω u OA dm ω I ( ) O I ( ) u OA dm dm est le moment d inetie du solide pa appot à l axe (). O A (S) 6

7 Chapite 9: Dynamique d un solide indéfomable II SOLIDE EN ROTATION AUTOUR D UN AXE FIXE ) Moment d inetie Quelques exemples de valeu de moment d inetie : () () () () I 5 MR Sphèe pleine homogène de ayon R I 1 MR Cylinde plein homogène de ayon R I 1 1 Ml Tige mince homogène de longueu l I MR Anneau filifome de ayon R Rem : tous les axes passent pa le cente de masse des difféents «objets» 7

8 Chapite 9: Dynamique d un solide indéfomable II SOLIDE EN ROTATION AUTOUR D UN AXE FIXE 3) Théoème d Huygens Que vaut le moment d inetie si () ne passe pas pa le cente de masse? ( ) () O A a O I I + () ma I dm ( + O) a. A ca a.o 0 a. a. dm + a dm a. A dm Conséquence : le moment d inetie est le plus faible losque () passe pa. 1 I MR + MR 3 MR 8

9 Chapite 9: Dynamique d un solide indéfomable II SOLIDE EN ROTATION AUTOUR D UN AXE FIXE 4) Enegie cinétique Le solide est en otation autou de () à la vitesse angulaie ω. ToutpointAàla distancedel axeadonclavitessevω. L énegie cinétique du solide est E et vaut donc : E c 1 I ω c 1 v dm 9

10 Chapite 9: Dynamique d un solide indéfomable II SOLIDE EN ROTATION AUTOUR D UN AXE FIXE 5) Rotation autou d un axe de diection fixe Ici, on suppose que la diection est fixe mais que l axe peut se déplace (exemple : voitue et axe des oues).les théoèmes de Koenig pemettent de détemine le moment cinétique dans le éféentiel R galiléen en fonction des gandeus dans R*. Le mouvement dans R peut ête décomposé en un mouvement de otation autou de ( )etunmouvementdetanslationde. Si on se place dans le éféentiel du cente de masse, R*, il n y a qu un mouvement de otation : * ω L I On en déduit alos que : E * c L E 1 I c I 1 ω I ω + ( ) O M v. u 1 ω + M v ( ) () O a A O 10

11 Chapite 9: Dynamique d un solide indéfomable II SOLIDE EN ROTATION AUTOUR D UN AXE FIXE 5) Utilisation des théoèmes de Koenig Remaque : si le solide était en tanslation, quels seaient les ésultats? Mêmes fomules avec ω0 et l intoduction de L * 0 E * c 0 u n a plus de sens. L O M O v E c 1 M v 11

12 Chapite 9: Dynamique d un solide indéfomable III DYNAMIQUE D UN SOLIDE 1) Effots mécaniques D un point de vue de la dynamique, on peut défini : ) la ésultante des foces : F Fi ou F M O ) le moment (ésultant) en un point O : M F OA F ou M i On peut véifie que si O O: O i df(a) ( i ) i i O M O ( df(a) ) i M O ' M O + O' O F OA df(a) On pale alos de toseu des effots (ou des actions mécaniques). Il faut pécise que ces foces et moments peuvent avoi des oigines intéieues ou extéieues au système. 1

13 Chapite 9: Dynamique d un solide indéfomable III DYNAMIQUE D UN SOLIDE 1) Effots mécaniques Un couple est un ensemble de foces dont la ésultante F est nulle. Dans ce cas, le moment ne dépend pas de la position : M O ' M O et on confond le couple avec son - F moment. 0 F 0 Un glisseu est un ensemble de foces dont le moment en un point O est nul. Dans ce cas, pou tout point A : M AO F F A On peut alos défini le moment du glisseu pa appot à un axe () ( unitaie selon l axe) pa : M M.u AO F.u A ( ) u vecteu 13

14 Chapite 9: Dynamique d un solide indéfomable III DYNAMIQUE D UN SOLIDE ) Théoème du cente de masse Ce théoème s énonce de la même manièe que pou un système avec un nombe fini de paticules : dans un éféentiel galiléen, le mouvement du cente d inetie d un système est celui d un point qui auait pou masse, la masse totale du système auquel seait appliqué la ésultante des foces extéieues au système. dm dv dt M dv dt dp dt F ext 14

15 Chapite 9: Dynamique d un solide indéfomable III DYNAMIQUE D UN SOLIDE ) Théoème du moment cinétique Ce théoème s énonce de la même manièe que pou un système avec un nombe fini de paticules. La déivée pa appot au temps du moment cinétique en un point O fixe dans un éféentiel galiléen est égale au moment des foces extéieues appliquées au système : dl O M O,ext dt On peut aussi applique ce théoème du moment cinétique au cas d un axe () :la déivée pa appot au temps du moment cinétique pa appot à un axe () fixe dans un éféentiel galiléen est égale au moment, pa appot à l axe (), des foces extéieues appliquées au système (O est un point fixe de l axe ()) : dl dt M,ext M O,ext. u 15

16 Chapite 9: Dynamique d un solide indéfomable III DYNAMIQUE D UN SOLIDE 3) Solide en otation autou d un axe fixe Pendule pesant On considèe un solide en otation autou d un axe fixe () passant pa un point fixe O dans un éféentiel galiléen. Le vecteu otation instantanée est ω ω u. Le théoème du moment cinétique appliqué à une otation autou de () pemet d écie : dω d θ I I dt dt,ext On peut aussi utilise le théoème du cente de masse qui indique que : M M a F ext Un exemple d application est le pendule pesant qui généalise le poblème bien connu du pendule oscillant au bout d un fil igide. 16

17 ω Chapite 9: Dynamique d un solide indéfomable y O () θ III DYNAMIQUE D UN SOLIDE 3) Solide en otation autou d un axe fixe Pendule pesant M g (S) x Le pendule pesant oscille autou de l axe () selon Oz. Le vecteu otation instantanée est : ω ω u z La seule foce agissant su le solide est le poids : P -Mg u y Le moment du poids (seule foce extéieu) pa appot à O est donc : M P O P - Mglsinθ u O ( ) z Le moment du poids pa appot à () est donc( l O ) : M M P.u z - Mglsin O ( ) θ dω I I & θ Le théoème du moment cinétique s écit : M, ext Mglsinθ dt Et donc, l équation difféentielle du mouvement s écit : && Mgl θ + sinθ 0 I ω Dans la limite des petits angles, on etouve un mouvement oscillant de pulsation On etouve la fomule du pendule simple losque la masse est uniquement en : I Mgl I Ml 17

18 Chapite 9: Dynamique d un solide indéfomable III DYNAMIQUE D UN SOLIDE 4) Solide en otation autou d un axe de diection fixe Roue Théoème du moment cinétique : dω I M,ext dt Théoème du cente de masse : m a F ext ω T y θ ( ) I N M g x La oue de voitue de ayon R toune autou de son axe qui gade une diection fixe () passant à chaque instant palecentedemassedelaoue.levecteuotation 1 instantanée est : ω ω u z et I MR Les foces agissant su la oue sont le poids, la éaction nomale du suppot ainsi que les fottements : M ( P) P 0 M ( N) I N 0 M T I T RT u ( ) z Le Théoème du moment cinétique s écit : 1 1 T M R && θ M & x ca x R θ Le théoème du cente de masse pemet d écie : M & x T + Mg sin α 0 Mg cos α + N La suite en TD! 1 I && θ MR & θ RT 18

19 Chapite 9: Dynamique d un solide indéfomable III DYNAMIQUE D UN SOLIDE 5) Pendule de tosion z On considèe un solide suspendu au bout d un fil vetical () x qui peut ête animé d un mouvement de otation autou decetaxe: M C θ oùcestappeléeconstante de tosion du fil. Le théoème du moment cinétique pemet d obteni facilement l équation du mouvement : θ (S) ω I && θ + C θ 0 Ici, il n y a pas besoin d appoximations des petits angles pou obteni la solution de cette équation difféentielle. On en déduit que le mouvement est oscillatoie de péiode : T π I C 19

20 Chapite 9: Dynamique d un solide indéfomable III DYNAMIQUE D UN SOLIDE 6) Analogie ente tanslation et otation unidimensionnelles Les ésultats pécédents pemettent de faie une analogie ente tanslation d un objetdemassemselonl axeoxetotationd unsolidedemomentd inetie appot à un axe fixe (). I pa Paamète Tanslation Rotation Position x θ itesse v x& ω θ Inetie Masse d inetie : m Moment d inetie : andeu Quantité de mouvement : Moment cinétique : cinétique p m x& L I θ & Enegie cinétique 1 E m x& 1 c E I θ& c Loi du mouvement m && x F x,ext I && θ M,ext I 0

21 Chapite 9: Dynamique d un solide indéfomable I AXE INSTANTANE DE ROTATION, ROULEMENT SANS LISSEMENT 1) Axe instantané de otation Jusqu à pésent, l axe de otation était fixe ou de diection fixe. Nous allons maintenant défini l axe instantané de otation. On considèe donc un éféentiel absolu R muni d un epèe OXYZ avec les vecteus de base. On considèe alos un solide (S) et le éféentiel S muni d un epèe O xyz lié au solide avec les vecteus de base vecteu ω i tel que : d i ω i i dt d j ω i j dt dk ω i k dt ( i, j,k) ( I,J,K).Ces vecteus de base étant unitaies, on peut défini un Le vecteu ω s appelle vecteu vitesse instantanée de i otation du solide (S) pa appot au éféentiel R. Remaque : ce vecteu dépend du temps à pioi. 1

22 Chapite 9: Dynamique d un solide indéfomable I AXE INSTANTANE DE ROTATION, ROULEMENT SANS LISSEMENT ) Distibution des vitesses dans un solide Soient points A et B d un solide (S) indéfomable. Dans le epèe SO xyz associé au solide, les coodonnées des deux points sont constants et donc le vecteu écivant OB OA + AB fonction de celle de A dans R : v(b) C est la loi de distibution des vitesses dans le solide.. En, on en déduit l expession de la vitesse de B dans R en v(a) AB Exemple: pou un solide en otation autou d un axe fixe. Soit O un point de cet axe qui est aussi un point du solide, v(o) 0 et donc pou tout point M du solide: v Dans le cas généal, le lieu des points M où la vitesse dans R est colinéaie à ω axeinstantanédeotationdusolide( i ) pa appot au éféentiel R. + ω i AB (M) ω OM i est dit i

23 Chapite 9: Dynamique d un solide indéfomable I AXE INSTANTANE DE ROTATION, ROULEMENT SANS LISSEMENT ) Distibution des vitesses dans un solide Soient points A et B d un solide (S) indéfomable : L axe instantané de otation du solide ( i ) pa appot au éféentiel R est le lieu des points M où la vitesse dans R est colinéaie à ω. Cette doite est paallèle à ω. Soit I, un point de cet axe instantané de otation. Pou tout point M de ( i ), On appelle vitesse de glissement, du solide, on a donc : v(m) v(i) + ω v i g i v(b) v(a) ω AB, la vitesse des points de ( i ). Pou tout point M IM v g + ω i IM + v(m) i v(i) lissement (tanslation) selon ( i ) Roulement (otation) autou de ( i ) à la vitesse angulaie ω i. Attention : l axe ( i ) et le vecteu otation ω i dépendent du temps. 3

24 Chapite 9: Dynamique d un solide indéfomable I AXE INSTANTANE DE ROTATION, ROULEMENT SANS LISSEMENT 3) Roulement sans glissement Nous venons de voi que la vitesse d un point d un solide est la combinaison d un mouvement de glissement selon ( i ) et d un mouvement de oulement autou de cet axe. On considèe ici un solide (S) en contact avec une suface (Σ) fixe dans le éféentiel R. On dit que le solide (S) oule su (Σ) sans glisse si la vitesse du point de contact I, considéé comme point du solide est nulle dans le éféentiel R. v(i (S)/( Σ)) 0 4

25 Chapite 9: Dynamique d un solide indéfomable I AXE INSTANTANE DE ROTATION, ROULEMENT SANS LISSEMENT 3) Roulement sans glissement Exemple : Roue de voitue su une oute La suface de la oute est le plan Oxy et on note le ayon de la oue. On note C le cente de la oue et I le point de contact de la oue avec le sol (attention : I est un point du solide la oue et non pas le point de coodonnées (xθ,0,0)) dans le éféentiel ROxyz. La vitesse du cente de la oue dans R est : v(c) ω i (en supposant aucun mouvement selon Oy qui est paallèle à l axe de otation de la oue). En utilisant la loi de composition des vitesses dans un solide, ω z ω C I v(i) v(c) + ω CI v(c) + v(i) ω i ω i 0 x ω j ( k ) En conséquence, si C n a aucun mouvement selon Oy, la oue oule sans glisse. L axe Iy est l axe instantané de otation du solide et ω. ω i 5

26 Chapite 9: Dynamique d un solide indéfomable FORCES DE FROTTEMENTS SOLIDES Pou temine ce chapite, nous allons nous intéesse au poblème du contact ente deux solides et les foces de fottements solides. Ceci pemet de compende des phénomènes comme l aqua planning ou la pete d adhéence à gande vitesse Nous allons considée un solide en contact avec un aute solide. Même si le contact est à pioi ponctuel, il existe une petite zone de défomation autou de ce point de telle sote que dans la éalité, le contact s effectue au niveau d une suface de taille finie. On peut aussi schématise le contact en emplaçant la suface du solide poteu pa son plan tangent au point de contact. Dans ce cas, on peut schématise le contact pa le dessin ci dessous : 6

27 Chapite 9: Dynamique d un solide indéfomable FORCES DE FROTTEMENTS SOLIDES On considèe donc un solide de masse m posé su un sol hoizontal et on souhaite faie glisse ce cops en lui exeçant une foce hoizontale. L expéience monte que si la foce est d intensité top faible, la masse ne se déplacea pas et que cela dépend de la natue du sol (et de l objet à déplace). On peut décompose la éaction du suppot en sa composante nomale et sa composante tangentielle à l inteface. R N F F mg Le système este à l équilibe tant que la somme des foces est nulle : T T + F 0 N + mg 0 7

28 Chapite 9: Dynamique d un solide indéfomable R FORCES DE FROTTEMENTS SOLIDES T N mg F Equilibe pou : T + F 0 N + mg 0 C est la composante tangentielle qui s oppose au mouvement L expéience monte que les lois empiiques d Amontons Coulomb suivantes sont valables : 1) Il n y a pas de glissement si où f est le coefficient de fottement statique. ) Si il y a glissement,, f est le coefficient de fottement de glissement. On a f f. Dans ce cas, T f T T f ' N est un vecteu diigé dans la diection opposé au vecteu vitesse et est souvent appelé focedefottementsolidepa distinction avec les foces de fottements fluides dans l ai ou un liquide N 8

29 Chapite 9: Dynamique d un solide indéfomable I RESUME Moment d inetie d un solide pa appot à un axe (): Théoème d Huyghens : Moment cinétique d un solide pa appot à (): I I + ma Enegie cinétique d un solide en otation autou d un axe fixe : L I I ( ) u OA dm ω E c 1 I ω dm dv dp Théoème du cente de masse : M F ext dt dt Théoème du moment cinétique : dl O dl M O,ext M,ext MO,ext. u dt dt Pou un solide en otation autou d un axe fixe, dω d θ I I M dt dt,ext 9

30 Chapite 9: Dynamique d un solide indéfomable I RESUME Dans le cas généal, on définit le vecteu vitesse instantanée de otation du solide (S) pa appot au éféentiel R : ω. La loi de distibution des vitesses dans un solide : La vitesse d un point M du solide s écit : Avec v g, la vitesse de glissement et I un point de l axe instantané de otation ( i ). La condition de oulement sans glissement d un solide (S) su une suface (Σ)est: En pésence de fottements solides, les lois empiiques d Amontons Coulomb indiquent qu il n y a pas de glissement tant que : T f N et que losqu il y a glissement, T f ' N avec f f. i v(m) v(i (S)/( Σ)) v(b) v(a) + ω v + ω IM g 0 i i AB 30