Fiche GAP001 Les coniques. Coordonnées homogènes

Transcription

1 Fiche GAP00 Les coniques. Coordonnées homogènes Nous reprenons ici l méthode des coordonnées homogènes. Cette méthode n est mlheureusement plus enseignée u secondire. Pourtnt, c est une méthode simple mlgré des formules qui semlent u premier ord un peu terrifinte. Elle ussi l vntge d être générle. L présence du terme en est tritée fcilement, lors que les méthodes «trditionnelles» engendrent des clculs ssez fstidieu. Cette méthode se montre puissnte dns les cs suivnts : Détermintion des tngentes et des points de tngences. Détermintion du centre. Détermintion des smptotes Détermintion des cordes et des dimètres Détermintion des normles Chque cs est illustré pr un ou plusieurs eemples. Des eercices complets seront repris à l fin. Notons qu il eiste d utres sstèmes de coordonnées, pr eemple les coordonnées rcentriques qui permettent elles ussi d otenir des équtions homogènes, et qui se montrent ussi très efficces. Ceci n est qu un résumé rpide. Pour les coordonnées homogènes, voir pr eemple : Coordonnées homogènes Les coordonnées homogènes sont définies à un fcteur près selon les formules : X Y, vec Z 0 Z Z Eemple : Le point P de coordonnées crtésiennes, pour coordonnées homogènes,, ou encore 4,6,, ou 6, 9, etc... reussir@proimus.e FIGAP00 Pge de 8

2 - Point à l infini k 0 Soit les équtions prmétriques de l droite :, et étnt les k 0 coefficients directeurs de l droite. k 0 X h k 0 Soit M (, ) = M ( X, Y, Z ) un point de cette droite, vec Y Plus Z h Z h ser petit, et plus le point s éloigne (cr et deviennent grnd). Donc si Z 0, le point M devient un point à l infini dont les coordonnées sont : 0 0 lim M,, M,,0 M, m,0 h h h h Où m est le coefficient ngulire de l droite. Le point M (, m, 0 ) est le point à l infini de l droite Eemple : Soit l droite : 0. Son point à l'infini est,,0 Eqution générle des coniques. L éqution générle des coniques qui, en coordonnées crtésiennes, est f, A B C D E F 0 devient en coordonnées crtésiennes f X Y Z AX BXY CY DXZ EYZ FZ,, 0 Autrement dit on «complète» pr des fcteurs en Z. Eemple Eemple 4 f f X Y Z X Y Z, 0,, 0 f, f X Y Z X XY Y XZ YZ Z,, reussir@proimus.e FIGAP00 Pge de 8

3 4 Equtions u dérivées prtielles L trnsformtion vers les coordonnées homogènes permet de définir dérivées prtielles f ' AX BY DZ f ' BX CY EZ f ' DX EY FZ z f étnt otenu en dérivée pr rpport à X et en considérnt les utres vriles Y, Z comme constnts Eemple 5 Soit l conique : On peut mintennt définir f X Y Z X XY Y XZ YZ Z,, 0 f ' 4X Y Z X f ' X 6Y Z Y f ' X Y 6Z Z f ' A B Dc f ' B C Ec f ' D E Fc c Otenu en remplçnt X,Y, Z pr les coordonnées (,, c) d un point prticulier. On vérifie l reltion : Xf ' Yf ' Zf ' f ' f ' cf ' c X Y Z reussir@proimus.e FIGAP00 Pge de 8

4 Eemple 6 Soit l conique de l'eemple précédent : f X Y Z X XY Y XZ YZ Z,, 0 f ' 4X Y Z X f ' X 6Y Z Y f ' X Y 6Z Z Soit le point,, f ' 4 8 f ' 6 f ' 6 8 c Et on vérifie : f ' f ' cf ' 4X Y Z X 6Y Z X Y 6Z X Y Z 8X Y 8 Z Xf ' Yf ' Zf ' 5 Reltion de Tlor c Dns f (,,z ) remplçons pr +, pr + et z pr z + c, on otient près développement, l reltion de Tlor dont nous nous servirons plus trd :,,,, ' ' ',, f X Y Z c f X Y Z f f cf f c X Y Z Eemple 7 Reprenons encore l même conique : f X, Y, Z X XY Y XZ YZ Z 8X Y 8Z Eqution d une droite En coordonnées homogènes, l éqution d une droite est : Les équtions prmétriques deviennent : X Y cz 0 reussir@proimus.e FIGAP00 Pge 4 de 8

5 Soient deu points M X, Y, Z et M X, Y, Z Alors : X X kx Y Y ky Z Z kz Z On retrouver les équtions prmétriques «normles», en posnt k. On Z rrive à. Or ( ) et ( ) sont les composntes du u vecteur directeur de l droite, donc on otient ien v Eemple 8 M Soient M,, et 4,5,6. Les équtions prmétriques de l droite pssnt pr ces deu points est X 4k Y 5k Z 6k 7 - Eqution des tngentes 7 Tngente issue d un point P (,,c). Soit M ( X, Y, Z), un point ritrire fie d une droite issue de P. Un point quelconque de cette droite pour coordonnées kx, ky, c KZ. Si ce point pprtient ussi à l conique d éqution f ( Y, Y, Z ) = 0. Donc : f kx, ky, c kz k f X, Y, Z k f ' f ' zf ' f,, c 0 c Pour que ce point quelconque soit un point de tngence, il fut et il suffit que l rélisnt de cette éqution du second degré soit nul : Xf Yf Zf f c f X Y Z ' ' ' 4,,,, 0 () c C est une éqution du second degré qui représente deu droites. Ce sont les tngentes à l conique issues du point P. reussir@proimus.e FIGAP00 Pge 5 de 8

6 Selon que le rélisnt est positif nul ou négtif, et en fonction de l position du point P, ces tngentes seront distinctes, confondues ou imginires. Mlheureusement, l éqution ci-dessus est rrement fctorisle fcilement. Pr conséquent, en prtique, on utiliser plutôt l éqution u coefficients ngulires. En effet, si le point fie est à l infini, ces coordonnées deviennent (, m, 0). D où, Xf Yf Zf f c f X Y Z c f ' mf ' 4 f,, c f, m,0 0 ' ' ' 4,,,, 0 f mf f c A Bm Cm ' ' 4,, 0 Ou encore f Cf c m f f Bf c m f Af c ' 4,, ' ',, ' 4,, 0 B Dns le cs où B 0 ps de terme en XY Cf c m f f m f Af c f ' 4,, ' ' ' 4,, 0 B Les rcines de ces équtions sont les coefficients ngulires des tngentes issues de P Ces formules semlent ssez complees, les eemples qui suivent vont montrer que leur utilistion est simple et rpide. Eemple 9 Trouvez les tngentes à l conique d'éqution : 0 issues du point P, L conique en coordonnées homogènes s'écrit: f z z z z (,, ) 0 on A ; B 0; C et f (;;) f ' 4 z ' 6 f f ' z ' 7 f f ' z f ' z c Les coefficients ngulires des tngentes sont donnés pr : ( f ' 4 C f ( c)) m f ' f ' m f ' 4 A f ( c) 0 (7 4..5) m.6.7 m m D'où m et m m 84 0 Les équtions des tngentes sont : t et t reussir@proimus.e FIGAP00 Pge 6 de 8

7 Eemple 0 Conique : 0 point P 0. f 0,, 4 f ' z ' 4 f f ' z f ' f ' z f ' z c 4m 8 4 m 6 0 m 8m 4 0 m T m T Tngentes issues d un point de l conique. Dns ce cs f ( X, Y, Z ) = 0 et l éqution () devient simplement : Xf ' Yf ' Zf ' 0 c Le coefficient ngulire de l tngente est donc : m T f f ' ' L éqution de l tngente en coordonnées non homogènes est lors : f ' f ' Eemple Conique : 0 point P, f ' z f ' t f ' z f ' reussir@proimus.e FIGAP00 Pge 7 de 8

8 Eemple Conique : 0 point P 0.7,.5 f '.09 f ' t Tngentes prllèles à une direction donnée. Xf Yf Zf f c f X Y Z c,,,,0 Dns l'éqution : ' ' ' 4,,,, 0 f c f m f mf A Bm Cm f X Y Z ' ' 4,, 0 Cette éqution étnt ssez complee, il est préférle de psser pr l corde de contct. On donner un eemple plus loin. 8 Corde de contct 8 Corde de contct des tngentes issues d un point P (,,c). Soit T : (,, z ) et T : (,, z ), les deu points de tngences. t l tngente en T et t l tngente en T : T t f ' f ' zf ' 0 z T t f ' f ' zf ' 0 z P t f ' f ' cf ' 0 z P t f ' f ' cf ' 0 z En comprnt et, on en déduit que les coordonnées des points de contct vérifient l'éqution : f ' f ' cf ' 0 z reussir@proimus.e FIGAP00 Pge 8 de 8

9 Eemple : Conique : 0 point P 0. f ' z ' 4 f f ' z ' f f ' z f ' z c Corde de contct des tngentes issues de P : 4 0 Eemple 4 : Conique : 0 Tngentes issues du point P, f ' 4 z ' 6 f f ' z f ' 7 Corde de contct : c f ' z f ' z c 8 Corde de contct des tngentes prllèles à une direction donnée m. Ces tngentes étnt issues du point à l infini (, m, 0 ), l formule précédente devient : f ' mf ' 0 Eemple 5 Conique : 0 Direction : f ' 4 f ' c 4 0 c Clcul des points de tngences Dns le cs des tngentes issues d un point, le clcul des points de tngence est simplifié pr si on connît l corde de contct. En effet, le clcul se rmène à un sstème de deu équtions du premier degré, ce qui est plus fcile que de constituer un sstème entre l conique et chcune des tngentes. reussir@proimus.e FIGAP00 Pge 9 de 8

10 Dns le cs des tngentes prllèles à une direction donnée, il fut constituer un sstème entre l corde et l conique. On insi une éqution du second degré qui donner les points de tngence, et donc d étlir les équtions des tngentes. Eemple 6 Conique : 0 Tngentes issues du point P, On vu que pour cette conique, les équtions des tngentes sont : t et t Et que l'éqution de l corde de contct est : c T t c : : 6 T.47, t c : : 6 T 0., Eemple 7 Conique : 0 Direction : m f ' z ' 4 f f ' z ' f f ' z f ' z c Corde de contct des tngentes de direction : 0 0 c T : ,0.694 t T :.847,.609 t reussir@proimus.e FIGAP00 Pge 0 de 8

11 9 Normles On ppelle normle en un point d une conique l perpendiculire à l tngent n ce point de l coure et trcée pr le point de contct ppelé ussi pied de l normle. 9 Normle en un point d une conique : P (,,c). C est immédit : f ' f ' Eemple 8 Conique : 0 point P 0.7,.5 f '.09 f ' n Normles issues d un point donné : P (,,c). Il n ps de «formule mgique» qui donne imméditement l réponse. Soit N (, ), le pied de l normle qui pprtient en même temps à l conique et à l normle que psse pr le point P, d où le sstème : f (, ) 0 f ' f ' Note : L deuième éqution est une hperole équiltère. Il en générl 4 normles issues d un même point à une conique. Les pieds de ces qutre normles se trouvent sur cette hperole, qui psse pr le centre de l conique, pr le point donné, et des smptotes prllèles u es de smétrie de l conique. C est l hperole équiltère d Apollonius. Eemple 9 Voir eercices récpitultifs à l fin. reussir@proimus.e FIGAP00 Pge de 8

12 9 Normles prllèles à une direction donnée m. L éqution est : mf ' f ' 0 Cette droite est l droite des pieds des normles. Il en générle deu normles prllèles à une direction donnée. Eemple 0 Conique : 0 Direction : m f ' z f ' z Corde des pieds des normles : n 0 p 0 N : 0.805,0.694 n C : 5 0 p N :.847,.609 n n.47 0 Centres On ppelle centre d une coure un point qui divise en deu prties égles tout segment pssnt pr ce point et limité à l coure. Soit le centre O,. Trnsportons le repère à ce centre pr trnsltion des es, en fisnt le chngement de vrile L'éqution de l conique devient : A B C f ' f ' f, 0 Or si l coure est centrée sur O, les termes du premier degré sont nuls. Donc et sont solutions du sstème : f ' 0 f ' 0 Cette formule est prticulièrement intéressnte pour l réduction des coniques. reussir@proimus.e FIGAP00 Pge de 8

13 Eemple f ' 4 0 f ' 0 Conique : 0 O :, Réduisons l conique: C'est une ellipse Dimètres, es et sommets Un dimètre est une corde qui psse pr le centre. L éqution générle d un dimètre ser donc : f ' f ' 0 où est un réel Les dimètres les plus intéressnts sont les es de smétries. Si ces es sont pris comme repère l conique s eprime sous forme réduite : les termes en, en et en uront dispru. Les pentes des es de smétrie sont données pr l éqution : Bm A C m B 0 Cette formule ser epliquée plus loin. Les pentes étnt connues, il est fcile d otenir l éqution des es, et les coordonnées des sommets qui sont les intersections des es vec l conique. Asmptotes Les smptotes pssent pr le centre et leurs coefficients ngulires sont donnés pr : Cm Bm A 0 L hperole deu smptotes réelles. L ellipse deu smptotes imginires. L prole à proprement prler n ps d smptote, mis en coordonnées homogène, elle s écrit Z = 0, c est l droite de l infini : L prole est tngente à l droite de l infini. reussir@proimus.e FIGAP00 Pge de 8

14 Cette éqution fournit un moen simple de trouver le genre de l conique. Ellipse B 4AC 0 Deu smptotes imginires Hperole B 4AC 0 Deu smptotes réelles Prole B 4AC 0 Ps d'smptote Eemple Conique : 8 0 Son centre est : O, Puisque B 4AC 8 0, C'est une hperole. Les coefficients ngulires des smptotes sont : m 0 m Réduction des coniques L méthode ci-dessous en très ien dptée lorsque l on trville dns le pln. Si on se trouve dns l espce à trois dimensions, l méthode des vleurs propres et des vecteurs propres est plus efficce, d utnt plus que les logiciels comme Mthl, Scil, Mple, etc permettent d effectuer fcilement ces clculs. Elimintion des termes du premier degré. L élimintion des termes du premier degré (en et ) s otient en fisnt une trnsltion des es u centre de l conique reussir@proimus.e FIGAP00 Pge 4 de 8

15 Eemple Soit l conique : C 0 f ' 4 0 Les coordonnées du centre sont : O :, f ' 0 On fit le chngement de vrile : On remplce dns l'éqution de l conique: Les termes du premier degré ont dispru Elimintion du terme en. L élimintion du terme en s otient en fisnt une rottion des es. Si le sstème des es coordonnés tourne d un ngle, on peut eprimer les coordonnées dns le nouveu sstème grâce u formules de trnsformtion suivntes : 'cos 'sin 'sin 'cos Ces formules sont fciles à étlir. (Voir n importe quel cours de géométrie) Remplçons dns l'éqution de l conique centrée en O : A B C F 0 C sin Bsin cos Acos ' C A sin cos B cos sin ' ' C cos Bsin cos Asin ' F 0 Si le terme en ' 'est nul : C Asin cos B cos sin C A sin B cos 0 tn B A C On urit pu ussi diviser pr cos B A C B Bm A C m B tn tn 0 0 Ce qui démontre l formule donnée plus tôt. Cel montre ussi que l rottion effectuée doit mener les es de coordonnées à coïncider vec les es de smétrie de l conique. reussir@proimus.e FIGAP00 Pge 5 de 8

16 Eemple 4 Soit l conique : C L'éqution des pentes des es de smétrie est : Bm A C m B m m m m 0 5 m m On constte que ces directions sont ien perpendiculires. Clculons ussi : tn B A C Fisons mintennt une rottion pour réduire l conique.78 cos 0.85 et sin 0.56 cos ' sin ' 0.85 ' 0.56 ' Chngement de vrile : sin ' cos ' 0.56 ' 0.85 ' On remplce, et près clcul on otient : C'est une ellipse. Eemple 5 L conique de l'eemple précédent est l conique : 0, si on trnslte le sstème de coordonnées u centre de l conique. Vérifions que les es ont ien les mêmes pentes, si on ne fit ps de trnsltion. B tn AC m.68 Les pentes des es sont donc : Voir eemple précédent m 0.68 Les es ont donc comme éqution (dns le sstème originl) : Le centre O :, reussir@proimus.e FIGAP00 Pge 6 de 8

17 Clculons les coordonnées des sommets. C On élimine, et on résoud On refit le même vec l'utre e : C On élimine, et on résoud Puisque que l'on connît mintennt les coordonnées des sommets, clculons 0 les vleurs des demi-es : Ce sont ien les vleurs que nous vons trouvées en réduisnt l'éqution à l'eemple reussir@proimus.e FIGAP00 Pge 7 de 8

18 4 - Eercices récpitultifs 4 Soit l conique : C Déterminer les normles issues du point I :(,) insi que les tngentes à l conique u pieds des normles Note : Pour ce genre de prolème, il est souvent préférle de trviller vec une conique sous forme réduite, sous peine de devoir mnipuler des clculs ssez fstidieu. Une fois les normles déterminées, il est fcile de revenir u repère de se. C C 6 4 L conique est une ellipse centrée, de demi-es : et. f ' 8 On : L'éqution de l'hperole d'appolonius qui détermine f ' 8 les pieds des normles issue de I, est f ' 4 H H A A f ' 9 C'est ien une hperole équiltère qui psse pr le centre de C et le point I. f ' Ces es sont prllèles u répère et son centre est f ' O H A :.8, De l'éqution de H, on tire :. On remplce dns l'éqution de C et A on otient : Avec une mchine électronique, on clcule fcilement les rcines : Il donc 4 normles reussir@proimus.e FIGAP00 Pge 8 de 8

19 A ce stde, il est conseillé de vérifier que les coordonnées des points otenus pprtiennent ien à l conique C et à l'hperole H A Considérons le pied de l première normle : N 5.99, f ' L pente de l normle n en N est : m 0. n f ' Puisque n psse pr N et I, on peut clculer m d'une utr fçon: 0.64 m n 0. Ce qui est ien l même vleur f ' L pente de l tngente t en N est : m 4.94 t f ' On vérifie que : m t m n n. L normle et l tngente sont ien perpendiculires Il ne reste plus qu'à écrire les équtions de l normle et de l tngente: n 0. n t t On recommence pour les utres points et on otient : Pied Pente Pente Eqution de Eqution de de l de l de l l normle l tngente normle normle tngente reussir@proimus.e FIGAP00 Pge 9 de 8

20 t t n Fig 4- t C 6 4 I (,) n 0, Hperole d'appolonius H A n t n reussir@proimus.e FIGAP00 Pge 0 de 8

21 4 Soit l conique : C Sns réduire l conique, déterminer le genre de l conique, le centre, les es, les smptotes (s il en ), les coordonnées des foers, les tngentes issues du point ( 5, - ), l corde de contct des tngentes et les points de tngence. ) Genre de l conique B 4AC 0. C'est donc une hperole. f ' 0 ) Centre de l conique O':, f ' 4 0 ) Les es Les pentes des es sont donnés pr : Bm A C m B 0 m m m 0 Les équtions des es : m 4) Sommets Ils sont donnés pr l'intersection d'un e et de l conique. Prenons et remplçons dns l'éqution de l conique. 4.7 Après simplifiction : Ce qui donne les deu sommets : S : 4.7; et S :.68; 5) Foers Utilisons deu méthodes différentes Méthode : On clcule l distnce O' S : ce qui correspond u " " dns l'éqution réduite de l conique. Ensuite, on clcule l'intersection P de l'smptote s vec l tngente en S qui est prllèle à l'e. L distnce O' P donne le " " ce qui permet de clculer l distnce entre O' et les foers : c S S S : P: ; t t P t 0 9 s 0 9 OP c 4.09 reussir@proimus.e FIGAP00 Pge de 8

22 L distnce des foers à O' vut c. Soient ; les coordonnées d'un des foers. 4 F F F 4 F 5 F Le foer pprtient ussi à F F Ce qui donne les coordonnées des foers : F 5; et F ; F F Méthode : Il n'est ps nécessire de clculer le point P pour otenir " " En effet, si est l'ngle entre l'e et l'smptote s, lors tn. s Or tn m m m. m s Le reste est identique à l méthode. 6) Les tngentes L conique s'écrit en coordonnées homogènes : C z z z Et le point I : 5,, Donc : f,, c 8 6,856 f ' z f ',7 f ' 4 f ' 5,856 f ' 4 z z f ',57 c Les pentes des tngentes sont données pr : f Cf cm f f Bf c m f Af c ' 4,, ' ',, ' 4,, 0 mt 0,0588 mt 0, m 6,855m 0 t 0,0588,706 Les tngentes pssent pr I t 0, 774,6 reussir@proimus.e FIGAP00 Pge de 8

23 7) Corde de contct L'éqution est : f ' X f ' Y f ' Z 0 c 4 0 cc 0,09, 4 8) Points de tngence Ils sont donnés pr l'intersection des tngentes vec l corde de contct. cc 0,09, 4 T : 7,655;, 56 t 0,0588,706 cc 0,09, 4 T : 0,5;, 475 t 0, 774,6 On vérifie fcilement que T et T pprtiennent ien à l conique C. reussir@proimus.e FIGAP00 Pge de 8

24 C t O t T F S T O':, cc s F S I : 4, s Fig 4- reussir@proimus.e FIGAP00 Pge 4 de 8

25 4 Soit l conique : C Déterminer le genre de l conique, le centre, les es, les smptotes (s il en ), les coordonnées des foers. Déterminer, les tngentes et les normles prllèles à l direction : m. ) Genre : B 4AC Ellipse Donc ps d'smptotes réelles f ' ) Centre : O', f ' ) Aes : L'éqution des es est : Bm A C m B 0 0 m m 0 Les es pssent pr le centre : 0 m m 4) Réduction de l conique Les es, et le centre O' définissent un nouveu sstème d'es ' O' '. 4.) Trnsltion u centre : on remplce dns C, pr et pr Après simpliction : ) Rottion d'un ngle vec tn 0 cos,sin ' ' 'cos 'sin 'sin 'cos ' ' On remplce dns 6 ' 6 ' 576 C ' ' ' 6 4 reussir@proimus.e FIGAP00 Pge 5 de 8

26 5) Sommets, foers Dns le sstème ' O' ', les sommets sont : 6,0 ; 0, 4 ; 6,0 ; 0, 4 Et comme : c 5, les foers : 5,0 ; 5,0 Pour eprimer ces points dns le sstème O, on fit l rottion inverse ' suivit de l tnsltion inverse : ' ' O' ' Rottion Trnsltion O 0,4,, 6,0,, 0, 4, 5, 5,0 5, 5 5, 5 Sommets 6,0,,5 Foers 5,0 5, 5 5, 5 Note : Pour les rottions, on peut utiliser ussi l nottion mtricielle. 6 Pr eemple : 4 6) Tngentes L'éqution de l corde de contct des tngentes prllèles à une direction donnée est : f ' mf ' cc 0,979 0,97 t Les coordonnées des points de tngence sont données pr l'intersection de C On remplce donc dns :,755 0,59 7,06 0,,044 T,;,044 7, 6,044 T 7,;6,044 Il reste plus qu' écrire les équtions des tngentes : t,044, t 0,577,697 t 0,577 0,6 t 6,044 7, C et cc reussir@proimus.e FIGAP00 Pge 6 de 8

27 7) Normles L corde des pieds des normles est : mf ' f ' 0 cc 0,, 4 n Les pieds des normles sont les intersections de et de cc. C On remplce donc dns et on otient :,857 4,56,,9,655,9;,655 N 7,94,46 N 7,94;,46 Il ne reste plus qu' écrire les équtions des normles. n,655,9 n,46 7,94 n C 0,577,55 n 0,577 5,95 n 55 0 reussir@proimus.e FIGAP00 Pge 7 de 8

28 n 0,577 5,95 C Y Y t 0,577 0,6 X n 0,577,55 F cc 0,, 4 n O cc 0,979 0,97 t F O t 0,577,697 Fig 4 - X reussir@proimus.e FIGAP00 Pge 8 de 8