Mon voyage au pays des isométries

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1 Mon voyage a pays des sométres La taverne de l'irlandas vos présente De tos les pays réels, vrtels o magnares où j'a vagabondé, n en partcler n'avat jamas ÉtÉ l'objet de mon ntérêt et de ma crosté : cel des sométres Et portant cela fat des années qe je ss amené À parler de symétres, de rotatons o de translatons Et malgré cela, je n'avas jamas songé À aller a-delà de ces tros notons Je n'avas jamas pensé q'l exstat n pays por les sométres L'annÉe q s'achève ara ÉtÉ À ben des Égards, celle des Épreves et des changements Elle ara démontré la nécessté de domner son destn Elle m'ara en tot cas convanc q'en ben des domanes, l me fallat aller a bot des chemns qe j'avas commencés À emprnter Qe vos soyez en termnale S o allers, je vos conve À me svre dans mon voyage a pays des sométres Mon voyage a pays des sométres Une aventre racomptée par JÉrÔme ONILLON, prof (dés)agrégé de Maths, expert en commmatqe sommare : propos des sométres2 La translaton3 ComposÉe de dex translatons 3 La translaton sos n angle complexe 4 La rotaton5 La rotaton sos n angle complexe 5 Un exemple de rotaton 7 ComposÉe de dex rotatons 8 La réflexon9 ComposÉe de dex symétres axales 9 Le théorème de décomposton10 La réflexon sos n angle complexe11 Par delà des composées : À la recherche de l'sométre perde14 La composée d'ne rotaton et d'ne translaton 14 La composée d'ne translaton et d'ne réflexon 14 La composée d'ne rotaton et d'ne réflexon18 Une atre sométre a-delà de la symétre glssée?19 La symétre glssée21 La symétre glssée sos n angle complexe22 la recherche de l'sométre perde : par ses ponts fxes24 Edton d samed 26 jllet 2003 Les apparences mportent pe, Ma loyaté est mon honner Une aventre racomptée par JÉrÔme ONILLON et mse en lgne par la taverne de l'irlandas (wwwtanopahcom) Page 1 sr 26

2 propos des sométres Mon voyage a pays des sométres IsomÉtre : volà n mot qe vos avez sans dote déjà entend prononcé par l'énergmène q vos servat de prof de maths, sans por atant ben cerner de qo l s'agssat Par défnton, ne sométre est ne transformaton d plan q conserve les longers et les dstances C'est por cela qe les symétres centrales et axales, les rotatons et les translatons en sont La qeston qe beacop se poseront sûrement certans, est de savor ce q'est ne transformaton d plan Une transformaton d plan est ne applcaton bjectve d plan dans l-même, c'est-à-dre procédé q a n pont d plan M assoce n nqe pont M' Cette noton d'applcaton n'est pas ne noveaté Nos en connassons déjà des spécmens en les personnes des fonctons nmérqes n nombre réel x, ne foncton f assoce n atre réel y = f (x) De pls, certanes de ces fonctons nmérqes sont bjectves Une transformaton d plan est ne applcaton bjectve Cela sgnfe par ce genre d'applcaton, tot pont M' a n et n sel antécédent M l'nstar des fonctons nmérqes bjectves, tote transformaton f f -1 admet ne transformaton récproqe q est notée f Les sométres dont nos allons parler sont des transformatons d M plan : elles sont donc bjectves g= f De manère assez Évdente, la récproqe d'ne sométre est ne atre sométre Car qand vos conservez les longers dans n sens, vos les conservez ass dans l'atre Composer dex applcatons, c'est les effecter l'ne après l'atre Par exemple, on pet fare ne translaton sve d'ne rotaton On défnt alors ne novelle transformaton Le symbole opératore de la composton est Lorsqe l'on compose dex sométres, on obtent ne novelle sométre D débt À la fn, les longers sont conservées L'applcaton dentqe o dentté d plan est l'applcaton par laqelle tot pont M est sa propre mage Cette ne transformaton q ne transforme ren, est notée Id! C'est d'allers por cela qe c'est ne sométre! La composée d'ne transformaton f et de sa récproqe f est l'dentté Bref : f f = Id La composée d'ne transformaton f avec l'dentté est la f Bref : fid = Id f = f RÉcaptlons L'ensemble des sométres mn de l'opératon de composton présente les proprétés svantes : La composée de dex sométres en est ne atre Cet ensemble possède en l'dentté n ÉlÉment netre por la lo de composton Por tote sométre f, nos avons l'égalté : fid = Id f = f Por cette lo de composton, tote sométre f admet n sométre nverse g Por tote sométre f, l exste ne sométre g tel qe f g= Id l'nstar de l'ensemble des enters relatfs por l'addton, l'ensemble des sométres est n grope por la l'opératon de composton Por Être pls précs, c'est ne sos-grope de l'ensemble des transformatons d plan Nos allons commencer notre voyage a pays des sométres par celles qe nos connassons Une aventre racomptée par JÉrÔme ONILLON et mse en lgne par la taverne de l'irlandas (wwwtanopahcom) Page 2 sr M'

3 La translaton Mon voyage a pays des sométres Ce n'est pas la premère sométre qe l'on rencontre lors de sa scolarté et portant c'est par elle qe nos commencerons La translaton est le fat de déplacer n objet en lgne drote sans en changer n la forme, n l'orentaton On assoce sovent la noton de translaton À celle de vecter En fat, cette noton de translaton se défnt À partr d parallélogramme Voyons cela dans le détal! DÉfnton d'ne translaton Dre qe le pont M' est l'mage d M par la translaton q amène de en B sgnfe qe le qadrlatère BM'M est n parallélogramme On parle alors de translaton de vecter B Ps c'est À partr de la translaton qe certans défnssent la noton de vecter Car l'dée générale d vecter est celle d'n déplacement selon ne certane drecton, dans n certan sens et d'ne certane dstance D'allers l est Éqvalent de dre qe le pont M' est l'mage de M par la translaton vecter B et de dre qe les vecters B et MM' sont Égax De par sa natre, la translaton conserve les formes, les angles mas srtot les longers et dstances : c'est cela q en fat ne sométre La translaton de vecter est sovent notée t L'denttÉ pet Être ve comme la translaton de vecter nl Enfn, la récproqe de la translaton de vecter est celle de vecter En résmé : t t = t t = Id ComposÉe de dex translatons Composer dex translatons, c'est les fare l'ne après l'atre! Par exemple, ntéressons-nos ax translatons f et g de vecters et v S M est n pont d plan alors nos appelons M' son mage par f Ps, nos notons M'' l'mage de M' par la translaton g La staton est donc la svante : M' v M B M' M +v M" La qeston q se pose est : q'est la transformaton f g? Por tot pont M d plan, l est clar qe : M M'' = + v fg(m) C'est la relaton de Chasles q s'applqe! f g est la translaton de vecter + v Conclson : La composée de dex translatons est ne atre translaton Une aventre racomptée par JÉrÔme ONILLON et mse en lgne par la taverne de l'irlandas (wwwtanopahcom) Page 3 sr 26

4 Mon voyage a pays des sométres Le plan est sovent assmlé a corps des complexes Une fos n repère orthonormé chos, chaqe pont d plan est assmlable À n nombre complexe Tote transformaton d plan devent alors ne foncton complexe (de dans ) bjectve dont l est envsageable de détermner l'expresson La translaton sos n angle complexe yant mn le plan d'n repère orthonormé, chacn de ses ponts M est parfatement défn par n cople de réels : ses coordonnées On dentfe alors le plan À Cette correspondance pet ass Être fate vs-à-vs d corps des complexes Chaqe pont M d plan est alors repéré par n nombre complexe z q est son affxe La parte réelle de cet affxe est l'abscsse d pont alors qe la parte magnare en est l'ordonnée Porsvant sr notre lancée, tote transformaton d plan f pet Être ve comme ne applcaton de dans l-même près les fonctons réelles, voc lers consoers complexes Nos spposons donc qe le plan est mn d'n repère orthonormé ( O;, j) S dans ce repère, le pont M a por coordonnées ( x M;y M) alors son affxe z est donné par : z= x M + y x ;y M IntÉressons-nos À la translaton f de vecter ( ) complexe et srtot À son apparence x S M' est l'mage de M par la translaton f alors MM' = et l vent qe M' = xm + x y = y + y S z' désgne l'affxe d pont M' et cel d vecter alors nos avons : z' = f z = z+ ( ) M' M Ve sos n angle complexe, ne translaton f est ne applcaton de la forme f(z) = z + Et récproqement, Tote applcaton de cette forme est ne translaton de vecter parte réelle de ; parte magnare de ( ) Conclson : Tote applcaton complexe f : C ջ C est géométrqement ne z ջ z+ translaton de vecter dont est l'affxe Et récproqement! Une aventre racomptée par JÉrÔme ONILLON et mse en lgne par la taverne de l'irlandas (wwwtanopahcom) Page 4 sr 26

5 La rotaton Mon voyage a pays des sométres La rotaton est abordée en trosème et Éventellement complétée en seconde L'dÉe générale est celle d déplacement le long d'n cercle d'n certan nombre de degré dans n certan sens En qelqe sorte, on orbte La défnton qe l'on en donne s'nspre de ces dées DÉfnton d'ne rotaton Dre qe le pont M' est l'mage d M par la rotaton de centre et d'angle sgnfe qe : Le pont M' appartent a cercle de centre passant par M L'angle orenté ( M,M' ) mesre radans La rotaton de centre et d'angle est sovent notée r, Sr la fgre c-contre, le trangle MNP a por mage le trangle M'N'P' par la rotaton de centre et d'angle Cela sgnfe qe l'on dot fare pvoter o torner le trangle MNP de 66 dans le sens trgonométrqe ator d pont Les tros angles orentés ( M,M' ) ( P,P' ), ( N,N' ) mesrent tos les tros radans et N' M P' M' N P Nos nformons notre lecter qe de pls amples précsons sr les rotatons et les angles orentés attendent notre lecter sr le ste la taverne de l'irlandas ConcrÈtement, la rotaton ne déforme pas les objets l'nstar de la translaton, elle conserve les formes l'algnement, les angles, le parallélsme et l'orthogonalté Elle préserve ass dstances et longers C'est donc ne sométre L'denttÉ d plan pet Être ve comme ne rotaton dont l'angle est sot 0, sot n mltple de 2 (c'est-à-dre n certan nombre de tors) Enfn, la récproqe de la rotaton d'angle est ne rotaton de même centre mas d'angle - La rotaton sos n angle complexe l'nstar des translatons, ne rotaton f de centre C et d'angle pet Être ve comme ne applcaton complexe Comme por les translatons, nos allons détermner l'expresson de f La staton est donc la svante : r r = r r = Id,,,, Nos spposons le plan mn d'n repère orthonormé ( O;, j) Dans cel-c, le pont M' d'affxe z' est l'mage d pont M d'affxe z par la rotaton f On appelle c l'affxe d centre C de la rotaton Une aventre racomptée par JÉrÔme ONILLON et mse en lgne par la taverne de l'irlandas (wwwtanopahcom) Page 5 sr 26

6 N' j O N M'(z') C (c) Mon voyage a pays des sométres M(z) ON = OM = OM' = ON' En termes complexes, cette dernère ÉgaltÉ ass se tradre par : z c = z' c ON ON' ppelons l'argment d nombre complexe z c est ass la mesre de l'angle (,ON) L'argment d nombre complexe z' c, c'est-à-dre la mesre de l'angle orenté (,ON' ) donc Égale À + Utlsant totes ces mportantes décovertes, nos povons donc Écrre qe : ( +) z' c= z' c e = z c e e = e ( z c) Ecrtre trgonométrqe z c d'n nombre complexe Par ste, nos en arrvons À la conclson svante : Conclson : S f est la rotaton de centre C d'affxe c et d'angle alors por tot pont M d'affxe z : ( z) = e ( z ) + e z+ ( 1 e ) f c c= c o z' On appelle N et N' les mages respectves des ponts M et M' par la translaton de vecter CO q a por affxe -c Les ponts N et N' ont donc por affxes respectves z c et z' c Comme la translaton conserve les angles orentés alors : ON,ON' = CM,CM' = ( ) ( ) De même, comme les dstances CM et CM' sont Égales et qe la translaton est ne sométre, nos povons Écrre : est Bref, la rotaton f a ne expresson complexe de la forme e z+ b où est n nombre réel non mltple de 2 RÉcproqement, l est légtme de se demander s ne applcaton complexe d type g(z) = e z+ b ne cacherat pas ne rotaton? Une précson : ben sûr, nos spposons qe n'est pas n mltple de 2 k 2 En effet, dans le cas contrare, e = e est Égal À 1 et donc g se lmte À g(z) = z+ b trement dt, g est alors ne sperbe translaton! Comme n'est pas n mltple de 2 alors e est dfférent de 1 Il est donc possble de dvser par 1 e b En posant c = 1 e, g(z) devent : Une aventre racomptée par JÉrÔme ONILLON et mse en lgne par la taverne de l'irlandas (wwwtanopahcom) Page 6 sr 26 ( z) = e z+ e z+ ( 1 e ) g b= c trement dt, g est la rotaton de centre C d'affxe c et d'angle

7 Mon voyage a pays des sométres Conclson : S f est ne applcaton complexe d type f(z) = az+ b où a est n complexe de modle 1 alors dex statons sont possbles : S a = 1 alors f est ne translaton de vecter d'affxe b S a 1 alors f est ne rotaton d'angle Égal À l'argment de a et de centre C d'affxe 1 ba Un exemple de rotaton vant de nos lancer dans qelqes réflexons, nos allons détermner l'expresson complexe d'ne rotaton Nos spposons donc le plan mn d'n repère orthonormé ( O;, j) IntÉressons-nos À la rotaton f de centre ( 2; 1) et d'angle S M' d'affxe z' est l'mage d pont M d'affxe z par la rotaton f alors nos povons Écrre : ( ) z' z = e z z - - z' = e 3 z+ 1 e 3 z 1 3 z' = e z + + ( 2 ) 2 2 Effectant ce derner prodt, nos en arrvons fnalement À : f(z) = e z z' Bref, c'est ne expresson très smple! PrÉcsons qe dans notre chevachée pe héroïqe, nos avons tlsé le fat qe : e = cos sn 3 + = vec cette même ÉgaltÉ, nos povons aller encore n pe pls lon, dépasser nos complexes por débocher sr des coordonnées Il vent alors : x' + y' = ( x + y) z' o f(z) z x y 1 x' + y' = + y x Or dex nombres complexes Égax ont des partes réelles et magnares Égales Par ste : x 3 3 x' = + y y 1 y' = x j O M(z) M'(z') Une aventre racomptée par JÉrÔme ONILLON et mse en lgne par la taverne de l'irlandas (wwwtanopahcom) Page 7 sr 26

8 Mon voyage a pays des sométres vec cette formle, l est possble de calcler les coordonnées d'n pont M'(x' ; y') q serat l'mage d'n pont M(x ; y) par la rotaton de centre (2 ;-1) et d'angle 3 Il reste jste À trover n nconscent por mener À la man ne telle tâche À terme! ComposÉe de dex rotatons Q'obtent-on lorsqe l'on fat ne rotaton, ps ne atre rotaton? Por savor ce q'est la composée de dex rotatons, nos allons nos servr de lers expressons complexes Plantons le décor et dstrbons les rôles f est la rotaton de centre C et d'angle et, g celle de centre D et d'angle ' Por nos dex rotatons f et g, l exste dex constantes complexes b et b' telles qe : ' f(z) = e z+ b et g(z) = e z+ b' Composons ces dex transformatons! La staton est la svante : f ( ) ( ( )) g ( ) g ( ) =g f ( ) M ջ M' = f M ջ M'' = M' M f z ջ z' = f(z) ջ z'' = g(z') = g f z gof Por tot nombre complexe z, on pet Écrre qe : ' ' ( ' ) ' o (z) ( ( z) ) e (z) e + e z g f = g f = f + b' = + b + b' = e z+ e b+ b' partr de là, l nos est possble de conclre : Conclson : f et g sont dex rotatons respectvement d'angles et ' S la somme + ' est n mltple de 2 alors go f(z) = z+ c ce moment-là, gof est ne translaton S la somme + ' n'est pas n mltple de 2 alors ( +' go f(z) = e ) z+ c Dans ce cas, gof est ne rotaton d'angle + ' La composée de dex rotatons est donc sot ne atre rotaton, sot ne translaton g c Une aventre racomptée par JÉrÔme ONILLON et mse en lgne par la taverne de l'irlandas (wwwtanopahcom) Page 8 sr 26

9 La réflexon Mon voyage a pays des sométres La réflexon est la premère des sométres (mal)tratées a collège Beacop l'abordent sos l'angle d plage En fat, la réflexon o symétre axale repose sr la noton de médatrce En tot cas, c'est par ce bas qe nos allons la défnr! DÉfnton d'ne réflexon Dre qe le pont M' est l'mage d M par la réflexon d'axe sgnfe qe : S M appartent À l'axe alors M' est confond avec M S M ne fat pas parte de l'axe alors est la médatrce d segment [MM'] La réflexon d'axe est sovent notée s Un "s" comme symétre axale l'nstar de la translaton et de la rotaton, la réflexon conserve l'algnement, les longers et dstances, le parallélsme et l'orthogonalté Bref, elle ne déforme pas les fgres C B B' Mas À la dfférence des dex précédentes transformatons, la symétre axale ne conserve pas sont les angles orentés Sr notre fgre, l'angle orenté ( B,BC) et son mage ( B',B'C' ) opposés en sens et donc en mesre S la translaton et la rotaton sont qalfées de déplacements, la réflexon est n antdéplacement Une réflexon d'axe est sa propre récproqe On dt qe c'est ne nvolton! Et ans : M M' I J M" C' s s = Id ComposÉe de dex symétres axales Dex statons pevent se présenter svant qe les axes soent parallèles o non Nos consdérons donc dex symétres axales s et s ' IntÉressons-nos À s' s ns qe nos l'annoncons, dex cas pevent se présenter : Les dex axes et ' sont parallèles IJ La staton est la svante : ' S M est n pont d plan alors on appelle M' son symétrqe par rapport À M" est l'mage de M' par ' avons-nos : s ns Il est clar qe les ponts M, M' et M" sont algnés Le pont I, ntersecton de l'axe avec la drote (MM'), est ass le mle d segment [MM'] Donc MM' = 2IM' De même, s on appelle J le pont d'ntersecton de l'axe ' avec la drote (MM') alors ce Une aventre racomptée par JÉrÔme ONILLON et mse en lgne par la taverne de l'irlandas (wwwtanopahcom) Page 9 sr 26 ( ) s' s M = M"

10 Mon voyage a pays des sométres pont est Également le mle d segment [M'M"] Donc M'M" = 2M' J Utlsant ces dex ÉgaltÉs, nos povons Écrre qe : ( ) MM" = MM' + M'M" = 2IM' + 2M'J= 2 IM' + M'J = 2IJ Le vecter IJ ne dépend pas d pont M mas des sels axes et ' L'somÉtre s ' s est donc la translaton de vecter 2IJ Conclson : La composée de dex réflexons d'axes parallèles est ne translaton Les dex axes sont sécants en n pont O M" ' Comme M' est le symétrqe de M par rapport À la drote alors cette dernère est la médatrce d segment [MM'] Pls partclèrement, le trangle OMM' est socèle en O Cec mplqe qe les côtés OM et OM' sont Égax et ass qe les angles orentés OM= OM' ( OM,) ont des mesres Égales En résmé : ( OM,) = (,OM' ) = De la même manère, M" Étant le symétrqe de M' par rapport À la drote ', le trangle OM' = OM" OM'M" est socèle en O Cela nos condt À ( v,om" ) = ( OM',v) = Nos venons de mettre en Évdence dex choses : D'abord, v qe OM= OM' = OM", M" est sr le cercle de centre O passant par M Enste d'n pont de ve anglare, nos povons Écrre : OM,OM" = OM, +,OM' + OM', v + v,om" = = 2 et (,OM' ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Le réel ne dépend qe de la poston des dex axes et ' Il ne dépend pas de M Nos povons conclre qe le pont M" est l'mage d pont M par la rotaton de centre O et d'angle 2 L'somÉtre s ' s est donc la rotaton de centre O et d'angle 2 O v M' M Plantons le décor de nos Ébats! Les axes et ' se copent en O Por tot pont M d plan, on appelle M' son mage par s M" est l'mage de M' par s ' et v sont dex vecters drecters des axes et ' est la valer de l'angle orenté (,v) est celle de l'angle orenté ( OM,) Tot est en place por la manoevre! Conclson : La composée de dex réflexons d'axes sécants est ne rotaton Le théorème de décomposton Les résltats axqels nos sommes parvens, vont ben a-delà d'ne smple composée car ls permettent de dre q'ne translaton o ne rotaton pevent Être ves comme les composées de dex réflexons Voyons cela dans le détal! Une aventre racomptée par JÉrÔme ONILLON et mse en lgne par la taverne de l'irlandas (wwwtanopahcom) Page 10 sr 26

11 Mon voyage a pays des sométres vec la translaton de vecter On appelle ne drote dont n vecter normal est La drote ' est son mage par la translaton de vecter 2 ' De part ce q a ÉtÉ fat précédemment, nos povons dre qe la composée s' s est la translaton de vecter 2 2 = vec la rotaton de centre et d'angle ppelons ne drote passant par le pont ' est son mage par la rotaton de centre et d'angle 2 /2 En tlsant ce q a ÉtÉ fat, nos povons dre qe s' s est ass la rotaton r, /2 ' Conclson : Tote translaton et tote rotaton est la composée de dex réflexons Par la ste, nos rétlserons ce "théorème de décomposton" La réflexon sos n angle complexe Nos allons détermner la forme complexe d'ne réflexon s Por y parvenr, nos procéderons en dex Étapes 1 L'axe de symétre passe par l'orgne j O M' Comme M' est le symétrqe de M par rapport À la drote alors cette dernère est la médatrce d segment [MM'] et le trangle OMM' est socèle en O Cec mplqe qe OM OM' OM,,OM' sont Égax = et ass qe les angles ( ) et ( ) D'n pont de ve anglare, nos avons : (,OM ) = (,OM' ) = ( OM, ) =,OM' =,OM + OM, +,OM' = + + = 2 Donc ( ) ( ) ( ) ( ) M Une aventre racomptée par JÉrÔme ONILLON et mse en lgne par la taverne de l'irlandas (wwwtanopahcom) Page 11 sr 26 La drote passe par l'orgne est l'n de ses vecters drecters On appelle ne mesre de l'angle orenté q'elle fat avec l'axe des abscsses ( O, ) On note l'argment d pont M Enfn, M' est l'mage de M par la réflexon s

12 Mon voyage a pays des sométres S on appelle z et z' les affxes respectfs des ponts M et M', nos savons : Ils ont des modles Égax car OM = OM' L'argment de z' est Égal À 2 Par ste, nos povons Écrre : ( 2 ) z' = z' e = z e e = e z e = e z ConjgÉ de z Conclson : La réflexon s a por expresson complexe s 2 (z) e z = 2 L'axe de symétre ne passe pas par l'orgne l'nstar de totes ses consoers, la réflexon s ' est ne nvolton Comprenez par là q'elle est sa propre récproqe Pls mathématqement s ' s ' = Id MÊme s cela n'apporte ren, nos povons donc Écrre : s = s s s ' ' IdenttÉ Comme lers dex axes sont parallèles, la composée des réflexons s et s ' est la translaton de vecter OO' L'ÉgaltÉ précédente devent donc : s = t s OO' ' ' O'(b) ss' s est ne réflexon dont l'axe passe par l'orgne Son expresson complexe est : s 2 (z) e z = De pls, la translaton t a por expresson complexe : OO' t OO' Une aventre racomptée par JÉrÔme ONILLON et mse en lgne par la taverne de l'irlandas (wwwtanopahcom) Page 12 sr 26 ( ) z = z+ b où b est l'affxe d pont O' q est le symétrqe de l'orgne par rapport À l'axe Por tor nombre complexe z, nos povons donc Écrre : OO' ( ' ) ( ) 2 2 s (z) = t s (z) = e z + b= e z+ b O j Nos avons trové ce qe nos cherchons : l'expresson complexe d'ne réflexon Conclson : La drote a por de vecter drecter est ne mesre de l'angle Le pont O' q est l'mage de l'orgne par la réflexon s ', a por affxe b orenté (,) Por tot nombre complexe z, ' Plantons le décor de nos explots À venr! L'axe de symétre ne passant pas par l'orgne, on appelle ' sa parallèle passant par O Le pont O' est le symétrqe de l'orgne O par rapport À l'axe S n vecter drecter de alors l l'est ass por ' Enfn, est ne valer de l'angle orenté (,) 2 s (z) = e z+ b

13 Mon voyage a pays des sométres Essayons d'amélorer cette expresson complexe En partcler, nos allons chercher À explcter cette constante b La constante complexe b est l'affxe d pont O' symétrqe de l'orgne par rapport À l'axe Cela mplqe qe la drote (OO') est perpendclare À l'axe O'(b) /2 -/2 O j Cette décoverte nos amène À ne novelle et fnale conclson Donc n argment d nombre complexe b est Par ste : 2 b= b e 2 2 ( ) = b e e = b e Cette constante b est donc de la forme : b= e k où k est n nombre réel qelconqe Conclson : S l'angle orenté de l'axe avec l'axe des abscsses a por mesre alors : 2 Por tot nombre complexe z, s (z) = e z+ e k = e ( e z + k ) où k est ne constante réelle Dans cette dernère expresson complexe, les pls perspcaces d'entre nos verront la composée d'ne réflexon d'axe cel des abscsses, d'ne rotaton de centre O et d'angle, ps d'ne translaton vertcale de vecter k jet enfn d'ne novelle rotaton de centre O et d'angle Cela, car ls aront remarqé l'enchaînement : s (O) O, t r kj ro, ( k) z ջ z ջ e z ջ e z + k ջ e e z + RÉcproqement, l est asé de prover q'ne applcaton complexe f de la forme 2 f(z) = e z+ b où b est n nombre complexe ayant por argment réflexon, est géométrqement ne 2 Une aventre racomptée par JÉrÔme ONILLON et mse en lgne par la taverne de l'irlandas (wwwtanopahcom) Page 13 sr 26

14 Mon voyage a pays des sométres Par delà des composées : À la recherche de l'sométre perde près avor ÉvoqÉ les sométres qe nos connassons À la fos sos n angle géométrqe et sos n angle complexe, la qeston q se pose est de savor s'l en exste d'atres espèces La composée de dex sométres en est ne atre En composant entre elles translatons, rotatons et réflexons, pet-être obtendrons-nos de noveax spécmens d'sométres La composée d'ne rotaton et d'ne translaton Nos consdérons ne translaton t et la rotaton r, Notre bt est de savor qel type d'sométre sont les composées r, t et t r, Por ce fare, nos allons nos appyer sr les expressons complexes de ces dex transformatons S on appelle l'affxe d vecter alors por tot complexe z, nos avons : t (z) = z+ S on note a l'affxe d centre alors por tot nombre complexe, nos savons : ( ) r, (z) = e z+ a 1 e Ben sûr, nos spposons qe l'angle n'est pas n mltple de 2 S tel n'état pas le cas, l'expresson précédente serat celle d'ne translaton v qe e serat Égal À 1! Sachant tot cela, nos povons Écrre qe : 1 La composée d'ne rotaton et d'ne translaton Por tot nombre complexe z : r t(z) = r t(z),, ( ) ( ) ( ) ( ) = e z+ + a 1 e = e z+ a 1 e + e = e z+ b Donc la composée r, t est ne rotaton d'angle et de centre n certan pont C b dont l'affxe est 1 e 2 La composée d'ne translaton et d'ne rotaton Por tot nombre complexe z : tr (z) = t r (z),, ( ) r, (z) ( ) ( ) = e a+ a 1 e + = e z+ a 1 e + = e z+ b Donc la composée t r, est ne splendde rotaton d'angle et de centre n atre b pont C dont l'affxe est 1 e Conclson : la composée d'ne translaton et d'ne rotaton est ne rotaton b b Ce premer cople n'ayant pas enfanté ne novelle espèce d'sométre, passons À n atre! La composée d'ne translaton et d'ne réflexon Les dex acters de notre aventre sont la réflexon s et la translaton t où 0 Une aventre racomptée par JÉrÔme ONILLON et mse en lgne par la taverne de l'irlandas (wwwtanopahcom) Page 14 sr 26

15 Mon voyage a pays des sométres Nos allons nos pencher sr les composées t s et s t En fat, nos parlerons d'abord por la premère composée, ps nos en dédrons des choses por la seconde Nos devons envsager plsers cas svant ce q'est le vecter de translaton par rapport À l'axe de symétre 1 Le vecter est n vecter normal de Tratons d'abord le cas de la composée t s ' Etre n normal À ne drote sgnfe avor ne drecter perpendclare ppelons ' l'mage de la drote par la translaton de /2 vecter 2 La translaton t pet Être ve comme Étant la composée s' s Par ste : t s = s' ss = s ' car la réflexon est ne nvolton Qoq'l en sot, la composée d'ne translaton par ne symétre axale est ne atre symétre axale Voyons ce q'l en est avec l'atre composée s t " La translaton t est ass la composée de symétres axales s s" Il vent alors : st = sss" = s " Donc s t est ne réflexon /2 = Id = Id La staton est À pe près smlare saf qe nos appellerons " l'mage de la drote par la translaton de vecter 2 Conclson : Lorsqe le vecter de translaton est normal À l'axe de symétre alors la composée d'ne translaton et d'ne réflexon (o le contrare) est ne atre réflexon dont l'axe est parallèle a premer Bref, nos n'avons pas décovert de noveax montres! Envsageons n atre cas 2 Le vecter est n vecter drecter de CommenÇons par la composée s t La staton est alors la svante : C B ' " C' B' B" On appelle ', B' et C' les mages respectves des ponts, B et C par la translaton t Ps, ces tros ponts ont por symétrqes ", B" et C' par rapport À l'axe Ce q fat qe les ponts ", B" et C' sont les mages respectves de, B et C par la composée s t Une aventre racomptée par JÉrÔme ONILLON et mse en lgne par la taverne de l'irlandas (wwwtanopahcom) Page 15 sr 26

16 Mon voyage a pays des sométres Le pe d'expérence qe nos avons des sométres, nos condt À dre qe s t ne ressemble À ren de ce qe nos connassons Il n'y a q'à vor les orentatons des trangles sccessfs Cela dt, méfons-nos de nos préjgés Car pet-être tot cela cache-t-l ne symétre axale o ne rotaton qe nos n'arons pas ve? Por savor ce sr qo nos sommes tombés, nos allons regarder s la composée s t admet des ponts fxes, c'est-à-dre des ponts q sont lers propres mages Spposons qe s t admette (a mons) n pont fxe F Nos appelons F' son mage par la translaton t Donc : FF' = Comme le vecter est non nl alors les ponts F et F' sont dstncts Enste, F Étant n pont fxe de s t alors le symétrqe de F' par rapport À est F Comme F est le symétrqe de F' par rapport À l'axe alors cette dernère drote est la médatrce [FF'] Une précson : l est clar qe F' ne fat pas parte de l'axe car snon l serat sa propre mage Or F' et F sont dstncts Parler d segment [FF'] a donc n sens Reprenons : Étant n vecter drecter de alors les vecters non nls FF' et sont donc orthogonax! Or nos avons v q'ls Étaent ass Égax! Et Être Égax, non nls et orthogonax, c'est très dr! Tellement qe Ça n'exste pas dans notre espace q'est le plan! Dans tot ce qe nos avons fat, l est clar qe nos avons spposé vrae ne chose q ne l'état pas Nos avons spposé À tort qe la composée s t admettat n pont fxe Cette absrdté nos prove q'elle ne pet pas en avor! Donc s t n'est donc n ne rotaton (n pont fxe q est le centre), n ne symétre axale (les ponts fxes sont cex de l'axe de symétre)! Cela dt des sométres sans pont fxe, Ça exste! s t est pet-être ne translaton Por trancher cette nqétante qeston, plaçons-nos dans la staton svante : B Le pont ' n'appartenant pas À l'axe de symétre, l est donc dstnct de son mage " En tos cas, les ponts et B ont por mages respectves " et B' par s t Or, nos povons Écrre qe : " = ' + '" = + '" = BB' + '" BB' La composée t F s ջ F' ջ F ' " s t B' Vecter non nl s t ne pet donc Être ne translaton Por cela, l arat fall qe l'on passât de en " et de B en B' selon n même vecter! Une aventre racomptée par JÉrÔme ONILLON et mse en lgne par la taverne de l'irlandas (wwwtanopahcom) Page 16 sr 26 et B sont dex ponts d plan, le second fasant parte de l'axe, le premer non On appelle ' et B' lers mages respectves par la translaton de vecter B' fasant parte de l'axe, l est sa propre mage par la réflexon s

17 Mon voyage a pays des sométres DÉsormas, nos povons l'affrmer : Conclson : s t n'est n ne translaton, n ne rotaton, n ne réflexon s t est ne sométre d'n novea type qe l'on appelle symétre glssée sggérant par là q'elle conjge symétre axale et déplacement Nos revendrons ltérerement sr les proprétés de cette novelle espèce d'sométre Dans l'mmédat, nos allons nos ntéresser À l'atre composée t s La composton est rarement commtatve Portant, c elle l'est! Nos devons ts = s t prover qe por tot pont, ( ) ( ) Lorsqe le pont appartent À l'axe, les choses sont relatvement clares ' ppelons ' l'mage de par t Étant n vecter drecter de, le pont ' appartent À l'axe comme Enste, nos povons Écrre dex choses : s t = s ' = ' car ' appartent À l'axe D'abord : ( ) ( ) Enste : t s ( ) = t ( ) = ' car appartent ass À l'axe Bref, por tot pont de l'axe, nos avons l'égalté : ts ( ) = s t ( ) Voyons mantenant ce q'l en est lorsqe le pont n'appartent pas l'axe! Plantons le décor de nos Ébats! ' est n pont d plan n'appartenant pas À l'axe Nos appellerons ' son mage par t I J S " est le symétrqe de ' par rapport À l'axe de alors s t ( ) = " Enfn, nos baptsons B le symétrqe de??? par rapport À B " Nos devons prover qe " est l'mage de B par la translaton de vecter Comme est n vecter drecter de alors les drotes (') et (IJ) sont parallèles De pls, les drotes (I) et ('J) Étant perpendclares À l'axe alors elles sont parallèles entre elles yant ses côtés opposés parallèles dex À dex, le qadrlatère non crosé 'JI est n parallélogramme D'oÙ les ÉgaltÉs ' = = IJ et I= 'J Comme I et J sont les mlex respectfs des segments [B] et ["] alors : IB= I= 'J= J" L'ÉgaltÉ IB= J" nos ndqe qe IJ"B est n parallélogramme De là, l vent : B" = IJ= Donc " est l'mage de B par la translaton de vecter Par conséqent, l est ass l'mage de par la composée t s ts = " = s t Nos avons prové qe por tot pont : ( ) ( ) Conclson : l'nstar de la composée Une aventre racomptée par JÉrÔme ONILLON et mse en lgne par la taverne de l'irlandas (wwwtanopahcom) Page 17 sr 26, s t t s est ass symétre glssée

18 Mon voyage a pays des sométres 3 Le vecter n'est pas n vecter drecter de et n'y est pas normal Por trater ce cas, nos allons tlser les dex précédents v w S nos parlons de géométre analytqe, nos porrons dre qe nos décomposons le vecter dans n repère orthonormé dont est l'axe des abscsses Qoq'l en sot, nos avons la doble ÉgaltÉ : = v+ w = w+ v D'n pont de ve "translaton", elle se tradt par : t = tt = t t v w w v partr de là, nos povons nos prononcer sr les composées q nos ntéressent : D'abord : st = st w t v = st t w v = s' t v w est normal À v est parallèle À ' C'est ne réflexon d'axe ' C'est ne symétre glssée parallèle À = w = = w w est normal À v est parallèle À ' C'est ne réflexon d'axe ' C'est ne symétre glssée parallèle À Enste : t s tv t s tv s t tv s ' Le vecter pet Être v comme Étant la somme d'n vecter drecter v de et de l'n de ses vecters normax w Conclson : Les dex composée s t et t s sont des symétre glssées La composée d'ne translaton et d'ne réflexon nos a donc amené À décovrr ne novelle sométre près totes ces aventres, ne belle conclson s'mpose! Conclson : La composée d'ne réflexon et d'ne translaton est : Une atre réflexon d'axe parallèle lorsqe le vecter de translaton est normal À l'axe de symétre Une symétre glssée snon Dans le prochan paragraphe, nos Étderons en détal cette novelle sométre q'est la symétre glssée Dans l'mmédat, nos allons nos ntéresser À la composée d'ne rotaton et d'ne réflexon Q sat? Pet-Être, abotrons-nos À n novea type d'sométre? La composée d'ne rotaton et d'ne réflexon Nos allons travaller avec la rotaton r, et la symétre axale s Nos spposerons qe l'angle de la rotaton n'est pas n mltple de 2 por qe la rotaton ne sot pas l'dentté CommenÇons par trater le cas de la composée r, s Le théorème de décomposton nos permet de dre qe la rotaton r, pet Être ve comme D' Étant ne composée de dex réflexons s D et s D' dont les dex axes sont sécants en et dont l'angle /2 D orenté (D; D') mesre 2 Nos décdons qe la drote D est parallèle À l'axe Une aventre racomptée par JÉrÔme ONILLON et mse en lgne par la taverne de l'irlandas (wwwtanopahcom) Page 18 sr 26

19 Mon voyage a pays des sométres Nos povons Écrre qe : r, s = sd' sds = sd' sds = sd' t xes parallèles C'est ne translaton dont le vecter est normal À ces dex axes IntÉressons-nos À présent À l'atre composée s r,! /2 n'est pas normal À D' C'est ne symétre glssée yant planté le décor de nos Ébats, nos povons entamer la manoevre : sr, = ssd' sd = ssd' sd = t s D ns povons-nos conclre qe : D' D LÀ encore, la rotaton r, pet Être ve comme Étant la composée sd sd' Sele dfférence avec le cas précèdent : nos chosssons la drote D' parallèle À l'axe xes parallèles C'est ne translaton dont le vecter est normal À ces dex axes n'est pas normal À D C'est ne symétre glssée Conclson : La composée d'ne rotaton et d'ne réflexon (o le contrare) est ne symétre glssée Une atre sométre a-delà de la symétre glssée? yant décovert ne novelle sométre À partr de tros qe nos connassons, l se pet qe d'atres espèces Émergent de composées mplqant des symétres glssées Nos nos remettons en rote, À la recherche d'ne sométre nconne MÊme s nos revendrons desss en détal, l n'est pas ntle de rappeler ce qe nos entendons par symétre glssée De notre pont de ve, ne symétre glssée est la composée d'n réflexon s et d'ne translaton t dont le vecter est parallèle À l'axe de symétre Nos savons qe dans n tel cas, les dex sométres commtent : la composée s t est ass t s yant rappelé ces résltats, nos povons démarrer 1 La composée d'ne translaton et d'ne symétre glssée Nos allons travaller avec la translaton tv et la symétre glssée g= st = t s Utlsant ce q a ÉtÉ fat tant por les translatons qe jste avant, nos avons : D'abord gt v = s t t v = s t + v ComposÉe de translatons RÉflexon o symtre glssée = = + ComposÉe de translatons RÉflexon o symtre glssée Enste tv g tv t s tv s Conclson : la composée d'ne translaton et d'ne symétre glssée est ne réflexon o ne symétre glssée 2 La composée d'ne rotaton et d'ne symétre glssée Les protagonstes de notre affare sont la rotaton r, et la symétre glssée Une aventre racomptée par JÉrÔme ONILLON et mse en lgne par la taverne de l'irlandas (wwwtanopahcom) Page 19 sr 26

20 Mon voyage a pays des sométres g= st = t s où le vecter est n vecter drecter de l'axe de symétre S vos ce q'est ne composée d'ne rotaton avec ne translaton o avec ne réflexon, alors vos allez comprendre ce q st : D'abord gr, = s t r, = srb, C'est ne rotaton C'est ne symtre glssée Enste r, g= r, t s = rb, s C'est encore ne rotaton C'est encore ne symtre glssée Conclson : la composée d'ne rotaton et d'ne symétre glssée est ne atre symétre glssée 3 La composée d'ne réflexon et d'ne symétre glssée Les acters de notre hstore nos la sympathqe réflexon s D et la sémllante symétre glssée g= st = t s où le vecter est encore colnéare À Por notre affare, l sfft jste de se rappeler ce qe donnent les composée de dex réflexons ans qe d'ne rotaton et d'ne translaton l'attaqe! D'abord gsd = t ssd = Rotaton o translaton Enste C'est ne rotaton o ne translaton s g= s s t = Rotaton o translaton D D C'est ne rotaton o ne translaton Conclson : la composée d'ne symétre axale et d'ne symétre glssée est ne rotaton o ne translaton 4 La composée de dex symétres glssées Nos consdérons dex symétres glssées g= st = t s et h= s' tv = tv s' Ben sûr, por chaqe symétre glssée, le vecter de translaton est répté drecter de l'axe de symétre de la réflexon correspondante Por cette affare, seles dex choses sont À savor D'abord, ne composée de dex réflexons est sot ne rotaton, sot ne translaton Enste, ne composée de rotatons et translatons est sot ne rotaton, sot ne translaton gh= t s s t = Rotaton o translaton D Rotaton o translaton Conclson : la composée de dex symétres glssées est ne rotaton o ne translaton Por certans, la décepton est mmense mas nos n'avons pas décovert de novelle sométre Pet-Être n'en exste-t-l pas d'atres qe les qatre qe nos connassons? Pls tard, nos essayerons de répondre À cette bolversfante qeston avec les ponts fxes Dans l'mmédat, nos allons revenr sr cette novelle sométre q'est la symétre glssée v Une aventre racomptée par JÉrÔme ONILLON et mse en lgne par la taverne de l'irlandas (wwwtanopahcom) Page 20 sr 26

21 La symétre glssée Mon voyage a pays des sométres Lorsqe nos l'avons rencontrée, nos avons défn la symétre glssée comme Étant la composée d'ne réflexon et d'ne translaton de vecter colnéare À l'axe de symétre En fat, nos arons Être beacop générax et générex en déclarant : DÉfnton d'ne symétre glssée On appelle symétre glssée tote composée d'ne réflexon et d'ne translaton dont le vecter n'est pas normal À l'axe de symétre Cette défnton appelle plsers remarqes : La symétre glssée est n ant-déplacement car elle change les angles orentés en ler opposé Elle hérte cette proprété de la réflexon Le vecter de translaton ne pet Être normal À l'axe de symétre car la composée est alors ne réflexon Por cette même rason, le vecter de translaton ne pet Être nl Cependant, certans consdèrent qe les symétres axales sont des symétres glssées partclères Enste, nos parlons d'ne composée réflexon/translaton mas notre défnton vat ass por l'atre sens de composton translaton/réflexon Nos avons v qe tote symétre glssée D v s t povat Être ramenée À ne atre de la forme s t où le vecter v est n vecter drecter de l'axe de symétre D Cependant, s les dex dernères sométres s D et tv commtent entre elles (c'est-à-dre sdt v = t v sd), l ne va pas nécessarement de même por les dex premères s et t La symétre glssée s t n'est pas nécessarement la symétre glssée t s C'est notamment le cas sr l'exemple q st C B B' E' E G' F' F Sr l'exemple ccontre, le trangle BC n'a pas la même mage par la symétre glssé s t (vert) qe par t s (volet) Ces dex composées sont dex sométres dfférentes ' " C" B" Dans le présent cas, la réflexon s et la translaton t ne commtent pas/ Une aventre racomptée par JÉrÔme ONILLON et mse en lgne par la taverne de l'irlandas (wwwtanopahcom) Page 21 sr 26

22 Mon voyage a pays des sométres La symétre glssée sos n angle complexe Tote symétre glssée g est la composée d'ne réflexon s et d'ne translaton t où est n vecter drecter de l'axe Dans ne telle staton, nos savons qe ces dex applcatons commtent IndffÉremment, nos povons Écrre : g= st = t s La staton est celle c-contre Une expresson complexe de la translaton t est : t = z+ où est l'affxe d vecter Comme a même drecton qe l'axe alors = k e où k est n nombre réel postf o négatf Par contre, k ne pet Être nl car 0 Enfn, ne expresson complexe de s est : 2 s (z) = e z+ e k' où k' est n nombre réel qelconqe yant dt tot cela, les choses vont aller très vte Por tot nombre complexe z, nos avons : g(z) = ts (z) = t s ( (z)) O j ( e z e ) e z e e e z e ( ) = t + k' = + k'+k = + k+ k' Nos avons trové ne expresson complexe por ne symétre glssée Conclson : Tote symétre glssée g a ne expresson complexe de la forme g(z) = az+ b où a est n nombre complexe de modle 1 et b n atre nombre complexe Pet-Être cette conclson est-elle trop générale? présent, se pose la qeston récproqe Pet-on dre q'ne applcaton complexe f(z) = az+ b où a est n nombre complexe de modle 1, est géométrqement ne symétre glssée? Nos avons déjà répond À ne telle qeston mas avec les fonctons f(z) = az+ b Nos avons alors concl qe f État géométrqement sot ne translaton, sot ne rotaton la lmère des ÉvÉnements qe nos venons de vvre, voyons ce q'l en est c D'abord comme a est n nombre complexe de modle 1 et por pe qe l'on appelle n nombre réel dont le doble est n argment d complexe a, nos povons Écrre : 2 = e a Enste le complexe e Étant non nl (car de modle 1), l est possble de dvser b par sa personne On appelle c ler qotent Por f(z), l advent alors : f(z) = az+ b 2 = e z+ e c ( ) 2 2 = e z+ e Re( c) + Im( c) = e z+ e Im( c) + e Re( c) SymÉtre axale Eventelle translaton s Re( c) est non nl Une aventre racomptée par JÉrÔme ONILLON et mse en lgne par la taverne de l'irlandas (wwwtanopahcom) Page 22 sr 26

23 Mon voyage a pays des sométres Cette modfcaton d'écrtre nos permet de conclre Conclson : Une applcaton complexe f de la forme f(z) = az+ b où a est n nombre complexe de modle 1, est géométrqement ne symétre glssée o ne réflexon Tote cette théore est ben belle mas ren ne remplace dex bons exemples IntÉressons-nos À l'applcaton complexe f(z) = z+ 1 + Le coeffcent a ayant por modle 1, nos savons qe f est sot ne réflexon, sot ne symétre glssée Por nos prononcer, nos devons modfer l'écrtre de f(z) et tenter de fare apparaître le réel 2 Une aventre racomptée par JÉrÔme ONILLON et mse en lgne par la taverne de l'irlandas (wwwtanopahcom) Page 23 sr 26 a f(z) = e z+ 1+ = e z+ 2 e Dans le présent exemple, l est clar qe est Égal À b Forme trgonométrqe de 1 + De là, nos porsvons : f(z) = e z+ 2 e e = e z+ e 2 car - /4 + /2 = /4 En nos appyant sr ce q vent d'être fat, nos povons conclre qe géométrqement, l'applcaton complexe f(z) = z+ 1+ est ne smple symétre axale d'axe partr des rensegnements qe nos avons, nos povons détermner ne Éqaton de D'abord ne mesre de l'angle orenté entre l'axe des abscsses et la drote Étant =, 4 nos en dédsons qe le coeffcent drecter de est m = tan = 1 4 Donc l'éqaton rédte de est de la forme y = x+p où p est ne constante À calcler Enste s on appelle O' l'mage de l'orgne O alors O' a por affxe e 2 = 1+ 1;1 Comme est la médatrce de [OO'] alors le mle Les coordonnées de O' sont donc ( ) I( 0,5;0,5 ) fat parte de cette drote De là, on trove p et l'éqaton rédte de Conclson : L'applcaton f(z) = z+ 1+ est la réflexon d'axe d'éqaton y = x+ 1 Prenons n atre exemple en la personne de l'applcaton complexe g(z) = z+ 3+ Son coeffcent de z Étant de modle 1, g est o ben ne symétre axale, o ben ne glssée LÀ encore, por le savor, l fat modfer l'expresson de g afn de fare apparaître l'angle g(z) = e z+ 3+ = e z+ 3+ Clarement = 0 Qelle applcaton sympa cette foncton g! Contnons! g(z) = e z+ 3+ = e z+ e 3+ e = e z+ e + e 3 Conclson : L'applcaton g(z) = z+ 3+ SymÉtre axale Translaton est ne symétre glssée q pet Être ve comme Étant la composée de la réflexon d'axe : y = -0,5 et de la translaton de vecter ( 3;0) On remarqera qe dans le présent cas, est n vecter drecter de l'axe

24 Mon voyage a pays des sométres la recherche de l'sométre perde : par ses ponts fxes Nos récentes aventres nos ont perms de décovrr ne novelle sométre en pls des tros qe nos connassons déjà : la symétre glssée Cependant, pet-être en exste-t-l d'atres? yant déjà exploté l'otl de la composton, nos allons À présent tlser les ponts fxes DÉfnton d'n pont fxe Dre q'n pont est fxe por ne sométre sgnfe q'l est sa propre mage par celle-c Des ponts fxes, ne sométre pet en avor atant q'elle vet! Cela ne regarde q'elle! Portant ce nombre ndt des choses sr sa natre Passons les dfférentes possbltés en reve Dans ce q st, f est ne sométre qelconqe 1 L'somÉtre f admet a mons tros fxes non algnés ppelons, B et C tros de ces ponts fxes N nos avons donc : f() = f(b) = B f(c) = C Nos tros ponts sont réptés sont non algnés Sot M n pont qelconqe d plan Nos appelons M' son mage par f ProcÉdons par l'absrde : spposons qe ces dex ponts M et M' soent dstncts Comme ls sont dstncts alors l est légtme de parler d segment [MM'] et srtot de sa médatrce D Comme f est ne sométre et f (M) = M' alors les dstances M et M' sont Égales Donc le pont appartent À la médatrce D d segment [MM'] Et ce q est valable por, l'est ass por les ponts B et C ns en spposant qe M et M' sont dstncts, arrvons-nos À l'absrdté qe les tros ponts non algnés, B et C appartennent À ne même drote : D! Notre spposton État donc fasse : les ponts M et M' ne pevent pas Être dstncts Ils sont confonds ns por tot pont M d plan, avons-nos : f(m) = M Une sele sométre remple cette condton : c'est l'dentté Conclson : Une sométre q a a mons tros fxes non algnés est l'dentté 2 L'somÉtre f admet a mons dex ponts fxes dstncts L'somÉtre f admet a mons dex ponts fxes dstncts et B D'entrÉe, Écartons le cas où l exsterat n trosème pont fxe q serat non algné avec et B Nos retombons alors sr le premer cas Donc s'l exste n trosème pont fxe, l fat nécessarement parte de la drote (B) Comme précédemment, nos consdérons n pont qelconqe d plan qe nos appelons M On appelle M' son mage par f LÀ dex cas sont À envsager : ջ S les ponts M et M' sont confonds alors M est n pont fxe de l'sométre f et donc, fat parte de la drote (B) Par conséqent, nos povons dre qe M' est le symétrqe de M par rapport À (B) ջ S les ponts M et M' sont dstncts alors on pet parler de la médatrce D d segment [MM'] LÀ encore, comme f est ne sométre alors les dstances M et M' sont Égales Il en va de même por les dstances BM et BM' Une aventre racomptée par JÉrÔme ONILLON et mse en lgne par la taverne de l'irlandas (wwwtanopahcom) Page 24 sr 26

25 Mon voyage a pays des sométres Donc les ponts et B appartennent À la médatrce D d segment [MM'] Dans ce cas-là ass, M' est le symétrqe de M par rapport À l'axe (B) RÉsmons-nos : tot pont d plan M, l'sométre f fat correspondre son symétrqe par rapport À la drote (B) Conclson : Une sométre q a a mons dex ponts fxes dstncts et q n'est pas l'dentté, est ne réflexon 3 L'somÉtre f a n sel pont fxe Nos appelons l'nqe pont fxe de l'sométre f Sot B n atre pont d plan et B' son mage par l'sométre f Comme est le sel pont fxe de f alors les ponts B et B' sont nécessarement dstncts On pet donc parler d segment [BB'] et de sa médatrce D et B' Étant les mages respectves des ponts et B par l'sométre f, nos avons qe : B' = f(b) = B Donc le pont appartent À la médatrce D d segment [BB'] IntÉressons-nos À la symétre axale s D et srtot À la composée s D f En tant qe composée de dex sométres, s D f en est ne atre s f() = s f() = s = De pls : D D( ) D( ) De même : s f s ( f ) s ( ) (B) = (B) = B' = B car D est la médatrce de [BB'] D D D Donc l'sométre s D f a a mons dex ponts fxes dstncts Il y a déjà et B La conclson d cas précédent va nos ader Car dex statons sont possbles ջ D s f pet Être l'applcaton dentqe (Tros ponts fxes non algnés) trement Écrt : s f = Id D Cela fat de f l'applcaton récproqe de la symétre axale s D Donc : f = s D f est alors ne réflexon Ce q n'est pas possble car f n'a q'n sel pont fxe! Donc cette premère possblté n'est pas possble! s f pet Être ne réflexon ջ D La symétre axale s D Étant sa propre récproqe, nos avons qe sd sd = Id Utlsons cette trovalle : f = Idf = s D s D f RÉflexon L'somÉtre f pet donc Être ve comme la composée des dex réflexons s D et s D f Par conséqent, f est sot ne translaton, sot ne rotaton Une translaton n'ayant pas de pont fxe, f ne pet Être q'ne rotaton Conclson : Une sométre ayant n sel pont fxe est ne rotaton 4 L'somÉtre f n'a acn pont fxe Sot n pont qelconqe d plan Il est dstnct de son mage ' par l'sométre f Le vecter ' est non nl La translaton t n'est donc pas l'applcaton dentqe ' IntÉressons-nos À la composée t f ' Une aventre racomptée par JÉrÔme ONILLON et mse en lgne par la taverne de l'irlandas (wwwtanopahcom) Page 25 sr 26

26 Mon voyage a pays des sométres En tant qe composée de dex sométres, t f est en ne atre ' De pls : t f() = t ' '( f() ) = t '( ' ) = Donc est n pont fxe de l'sométre t f Celle-c admet a mons n pont fxe ' LÀ plsers statons sont possbles svant le nombre de ponts fxes : ջ L'somÉtre t f pet Être l'dentté (Tros ponts fxes non algnés) yant l'égalté t ' ' Donc f est la translaton f = Id, l'sométre f est la récproqe de la translaton t ' t ' ջ L'somÉtre t f pet Être ne réflexon s ( mons dex ponts fxes) ' Composant par les dex membres de l'égalté par t, l nos arrve : ' = ' = ' ' ' = ' Id t f s t t f t s f t s LÀ, dex optons exstent : sot f est ne réflexon, sot f est ne symétre glssée N'ayant acn pont fxe, f ne pet pas Être la premère mas pet Être la seconde Donc f est ne symétre glssée ջ L'somÉtre t f pet Être ne rotaton r ' C, (Un sel pont fxe) LÀ encore, nos allons composer les dex membres de l'égalté par t Il vent : ' = ' C, = ' ' ' C, = ' C, Id t f r t t f t r f t r En tant qe composée d'ne translaton et d'ne rotaton, f est donc ne rotaton Cependant f n'a acn pont fxe Ce ne pet donc Être ne rotaton Donc bg! Conclson : Une sométre sans pont fxe est sot ne translaton, sot ne symétre glssée yant passé en reve tos les cas possbles qant a nombre de ponts fxes qe pet avor ne sométre, nos savons désormas q'l n'exste pas d'atres sométres qe celles qe nos connassons Notre voyage toche À sa terme Le pays des sométres est conqs Les dfférentes ethnes d pays d'sométres S f est ne sométre alors : S f n'a acn pont fxe alors f est sot ne translaton, sot ne symétre glssée S f a n nqe pont fxe alors f est ne rotaton S f a a mons dex ponts fxes et qe tos sont algnés alors f est ne réflexon S f a a mons tros fxes non algnés alors f est l'applcaton dentqe Horms ces cnq espèces, l n'exste pas d'atre type d'sométre ns est ce famex pays des sométres Mon voyage a pays des sométres a ÉtÉ Écrt par JÉrÔme ONILLON de la fn ma a débt jllet 2003 Il est forn tel qe, sans acne garante Il est exclsvement en lgne par le ste la taverne de l'irlandas Sel son sage non commercal est lbre Tote dstrbton non restrente o sr le Web est strctement nterdte L'ater ne renonce À acn de ses drots Le docment PDF a ÉtÉ généré avec Ghostword La plpart des fgres ont ÉtÉ réalsées avec DÉclc En totes crconstances et qelqe sot l'adversté, ma loyaté demere mon honner Une aventre racomptée par JÉrÔme ONILLON et mse en lgne par la taverne de l'irlandas (wwwtanopahcom) Page 26 sr 26