Lycée Viette TSI Dipôles linéaires Un dipôle est linéaire si u(t) et i(t) sont liés par une équation différentielle linéaire à coefficients

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1 Lycée Vette TSI I. Défnton d'n cct lnéae Ccts lnéaes. Dpôles lnéaes Un dpôle est lnéae s (t) et (t) sont lés pa ne éqaton dfféentelle lnéae à coeffcents constants. k n p m d ((t)) d ((t)) a n + n bm = f (t) m n= 0 m= 0 s f(t) = 0 l'éqaton dfféentelle est e homogène ( sans second membe ) La caactéstqe statqe des dpôles lnéaes est ne dote. d( t) x : ésstance (t) R.(t) = 0 bobne ( t) L = 0 d ( t) condensate ( t) C = 0. Défnton d n ésea lnéae Le ésea est qalfé de lnéae s l est constté de dpôles lnéaes. II. xemples de dpôles lnéaes passfs. Réssto R Dpôle passf symétqe lnéae (t) (t) = = G. t lo d'ohm G = ( condctance en S ( semens )) R R lo expmée en conventon écepte P = R. = G. > 0 ( pssance dsspée pa effet Jole ) les caactéstqes statqes o dynamqes sont dentqes (t) = R.(t) ( ). Bobne déale Le phénomène d ato-ndcton cée ax bones de la bobne ne tenson (t) tel qe : d = L ( en conventon écepte ) L est l ndctance ( H heny ) (t) (t) Rabex Mchel Page

2 Lycée Vette TSI La pssance eçe pa la bobne est : d(t) d L. (t) P = (t).(t) = (t).l = S P > 0, la bobne emmagasne de l'énege, s P < 0, la bobne estte l'énege. L'énege emmagasnée pa ne bobne a po expesson : L = L. Il n y a jamas dscontnté de l ntensté dans ne banche compotant ne bobne ( la pssance eçe étant tojos fne ). La caactéstqe statqe est ne dote d éqaton : U = 0. U La caactéstqe dynamqe est ne ellpse dans le cas d n égme snsoïdal pemanent ( l excentcté de l ellpse dépend de la féqence ). I f = 00 Hz f =00 Hz S la bobne n est pas déale ( mas ésstve ), l éqaton dfféentelle s éct : t L d ( ( ) t ) = +.(t) n égme contn ne bobne déale se compote comme n ntepte femé ( o comme ne ésstance dans le cas non déal ). n tès hate féqence, ne bobne se compote comme n ntepte ovet. 3. Condensate pafat Indctance.fg Po n condensate, (t) et q(t) sont lés pa la elaton svante : q(t) = C.(t) cette elaton est lée ax oentatons c-dessos (t) q(t) -q(t) o dq(t) (t) = d'où (t) d(t) (t) = C ( en conventon écepte ) C est la capacté d condensate ( F faad ) Rabex Mchel Page

3 Lycée Vette TSI La pssance eçe pa n condensate est : d(t) d C. (t) P = (t).(t) = (t).c = S P > 0, le condensate emmagasne de l'énege, s P < 0, le condensate estte l'énege. L énege emmagasnée pa n condensate a po expesson : C = C. La tenson (t) ax bones d n condensate ( ans qe sa chage ) ne pésente pas de dscontnté ( la pssance eçe étant tojos fne ). La caactéstqe statqe est ne dote d éqaton I = 0. I U La caactéstqe dynamqe est ne ellpse dans le cas d n égme snsoïdal pemanent ( l excentcté de l ellpse dépend de la féqence ). f = 00 Hz f = 00 Hz n égme contn, n condensate se compote comme n ntepte ovet. n tès hate féqence, n condensate pafat se compote comme n ntepte femé Un condensate non déal pet ête modélsé pa n condensate déal assocé en dévaton avec ne ésstance ( ésstance de fte ). Condensate0.fg III. Assocaton de dex dpôles passfs. Assocaton en sée D D = + ( même ) Dans le cas de dex ésstos on obtent R = R + R Dans le cas de dex bobnes : L = L + L et = + Dans le cas de dex condensates : = + C C C Rabex Mchel Page 3

4 Lycée Vette TSI Dvse de tenson R = ( R + R ). et = R. = R + R R acne dévaton ne dot ête banchée s R R Dvse de tenson.fg Potentomete.fg Un dvse de tenson pet ass ête éalsé à l'ade de dex bobnes o dex condensates, L C C on obtent alos : = o = = L + L + C + C C C. Assocaton en paallèle D D = + ( même ) Dans le cas de ésstos G = G + G Dans le cas de dex bobnes déales : = + L L L Dans le cas de condensates : C = C + C Dvse de coant R R = G. et = ( G + G ). G = G + G Un dvse de coant pet ass ête éalsé à l'ade de dex bobnes o dex condensates, C L L on obtent alos : = o = = C + C + L + L L L Rabex Mchel Page 4

5 Lycée Vette TSI IV. Dpôles lnéaes actfs La caactéstqe statqe modélsée d'n dpôle actf lnéae est la svante conventon généate I cc = -. o = I cc - po = 0 = ( conventon généate ) po = 0 = ( f.e.m. ) = I cc = I 0 = η = c.e.m (ntensté de cot-cct o coant électomote) : ésstance ntene d généate. Soce de tenson déale On appelle soce de tenson déale ne soce de tenson telle qe = C te = conventon généate P fone =. ( en conventon généate ) On pet pas mette en dévaton dex soces déales de tenson ( avec des dfféents ).. Soce de coant déale Une soce déale de coant est telle qe = C te = I 0 I 0 : coant électomote I 0 I o P fone = I 0. ( en conventon généate ) On pet pas mette en sée dex soces déales de coant ( avec des I 0 dfféents ). Rabex Mchel Page 5

6 Lycée Vette TSI 3. Soces éelles a. Modèle de Thévenn = -. ( conventon généate ) b. Modèle de Noton I 0 = I0 Les dex epésentatons sont éqvalentes : = TH = N et I 0 = c. xtncton d'ne soce tende ne soce c'est annle sa gande caactéstqe ( o I 0 ) étende ne soce de tenson déale event à la cot-ccte étende ne soce de coant déale event à éalse n cope-cct I 0 d. Noton de soce ndépendante et de soce lée Une soce est ndépendante s elle possède ne gande caactéstqe ntnsèqe ( o I 0 ) ( gande q ne dépend pas des ates gandes électqes d ésea ). Dans le contae la soce est lée ( généate commandé ) ( ex : R.I.T., tanssto, A.O. ) Rabex Mchel Page 6

7 Lycée Vette TSI 4. Almentaton stablsée La caactéstqe déalsée d'ne almentaton stablsée de laboatoe possède l'alle svante ( en conventon généate ). e 0 pente - pente -/g c o S < c le dpôle se compote comme n généate de tenson caactésé pa et e 0 S > c le dpôle se compote comme n généate de coant caactésé pa g et 0 5. Assocaton de dex dpôles actfs Assocaton en sée Dans le cas de dex généates de Thévenn =. - =. - n n k k= k= = + = ( + ). - ( + ) = k = Assocaton en dévaton Dans le cas de dex généates de Noton = I 0 + = I 0 + = + = ( I 0 + I 0 ) +.( + ) n I = I g = g 0 0k k k= k= n V. Assocaton d'n dpôle actf et d'n dpôle passf. Cas généal géné D P conventon conventon généate écepte L'ntesecton des dex caactéstqes pemet de détemne le pont de fonctonnement P Rabex Mchel Page 7

8 Lycée Vette TSI. Cas de dpôles modélsables généate écepte s > ' cas généal ' = + ' = R ( lo de Pollet ) po n cct ne compotant q ne malle 3. Popété d'n ésea lnéae Dans le cas d'n ésea lnéae, les gandes électqes ( ntenstés o tensons ) sont pésentes dans des éqatons dfféentelles lnéaes à coeffcents constants dont les seconds membes sont des fonctons lnéaes des f.é.m et des ntenstés de cot-cct des soces lbes. V. Qelqes théoèmes Lneae.fg Les théoèmes c-dessos ne concenent qe les dpôles o éseax lnéaes.. Théoème de Thévenn Tot dpôle lnéae actf est éqvalent à n généate de tenson de f.e.m. e TH égale à la tenson ax bones d dpôle en cct ovet et de ésstance TH (o d mpédance ) obtene en étegnant totes les soces ndépendantes.. Théoème de Noton Tot dpôle lnéae actf est éqvalent à n généate de coant de c.e.m. N égal a coant de cot-cct d dpôle et de ésstance N (o d mpédance ) obtene en étegnant totes les soces ndépendantes. 3. Théoème de speposton ( o théoème de Helmholtz ) n égme pemanent, l'ntensté q ccle dans n dpôle d'n ésea lnéae et la tenson à ces bones, sont la somme algébqe de ces gandes poes pa les dfféentes soces lbes agssant sépaément, totes les ates soces étant étentes. Rabex Mchel Page 8

9 Lycée Vette TSI 4. Los des nœds en temes de potentels o théoème de Mllman Ce théoème est a pogamme de la dexème pate de l'année. Il est tès patqe mas l est à tlse avec pécaton. A A A 3 G 4 G 3 e v v A 4 v 3 n A la lo des nœds s éct : 4 + G.(v + e v A ) + G 3.(v 3 v A ) = 0 ε. + G (v + ε.e v ) = 0 ( lo des nœds en temes de potentels ) j j j k k k k A k v A = j ( ) ε. + G. v + ε.e j j k k k k k k G k ( théoème de Mllman ) Dans le cas où l n'y a pas de généates de tensons et de coants, le potentel à n nœd est le baycente des potentels des nœds vosns affectés des condctances coespondantes. Rabex Mchel Page 9

10 Lycée Vette TSI L essentel et l ndspensable en qelqes mots et fomles elaton ntensté tenson ( lo d Ohm ) po ne ésstance elaton ntensté tenson po ne bobne déale elaton ntensté tenson po ne bobne ésstve énege emmagasnée pa ne bobne elaton ntensté tenson po n condensate = R. d = L d =. + L L = L. d = C énege emmagasnée pa n condensate C = C. R fomle d dvse de tenson = R + R G fomle d dvse de coant = G + G modèle de Thévenn d n dpôle lnéae ( conventon généate ) = TH TH. modèle de Noton d n dpôle lnéae ( conventon généate ) = I N N. elatons ente les dex modèles TH = N et TH =.I N Rabex Mchel Page 0