Chute libre dans un champ de pesanteur uniforme Mouvement avec vitesse initiale quelconque (Correction)

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1 Terminale S PHYSIQUE TP n 10 Chute libre dans un champ de pesanteur unifrme Muvement avec vitesse initiale quelcnque (Crrectin) 1 Etude préliminaire 1. Définir le système étudié, ainsi que le référentiel chisi (repère (O,Oz)). Dans ce repère, la psitin initiale de la bille est G ( ;z ). Système : bille d acier résumée à sn centre d inertie G, de masse m = 19,9 g. Référentiel chisi : référentiel terrestre dnt le repère d espace est attaché à la psitin initiale de la bille G ( ;z ) ; les aes (O) et (Oz) snt chisis respectivement hrizntal vers la drite et vertical vers le haut.. Décrire le muvement du système (trajectire et vitesse) dans le référentiel chisi. Le centre d inertie G de la bille décrit un muvement parablique varié (ie. nn unifrme). 3. Faire le bilan des frces etérieures appliquées au système (n négligera les frttements). La bille n est sumise qu à sn pids P, vertical et vers le sl, d intensité P = m g = 0,0199 9,8 = 0,0 N. L actin initiale eercée par le lanceur n est pas maintenue lrs du muvement étudié (il s agit d une actin de cntact). On néglige les frttements dus à l air. 4. Le référentiel chisi peut-il être cnsidéré cmme galiléen? Le référentiel terrestre peut être cnsidéré cmme galiléen si la durée du muvement étudié est négligeable devant le jur terrestre ; c est ici le cas, la durée de la chute ne dépassant pas la secnde. Si c est le cas, a. appliquer le principe d inertie au système : que permet-il de dire? La bille n est sumise qu à une frce nn nulle, sn pids ; d après le principe d inertie, sn muvement ne peut dnc pas être rectiligne et unifrme. C est effectivement ce que l n bserve. b. appliquer la ème li de Newtn au système. Fet P m ag m g m a G ag g L accélératin du centre d inertie de la bille est celle du champ de pesanteur du lieu d étude. 5. En déduire les équatins différentielles à laquelle béissent les cmpsantes de la vitesse. a G t a ( t) 0 az ( t) g équivaut à dv 0 dt dvz g dt 6. Dnner les cnditins initiales sur la psitin et la vitesse (n ntera v le vecteur vitesse initiale et α l angle que fait ce vecteur avec l hrizntale). z v z = v sin α k v i α v = v cs α ( t) OM z( t) z 7. Par intégratin, dnner les caractéristiques du vecteur vitesse v en fnctin du temps. et v( t) v v cs v( t) v vz ( t) vz v sin

2 dv 0 v ( t) C1 dt dnne par intégratin dv ( ) z vz t g t C g dt On détermine les valeurs des cnstantes à l aide des cnditins initiales, v ( t) C1 v cs v vz ( t ) C v sin Les crdnnées du vecteur vitesse snt dnc, à chaque instant, v( t) v cs v( t) vz ( t) g t v sin 8. Par intégratin, dnner les caractéristiques du vecteur psitin du centre d inertie G, OG, en fnctin du temps. Les crdnnées du vecteur psitin s btiennent par intégratin de celles du vecteur vitesse, v ( t) v cs ( t) v cs t C3 v( t) dnne, après intégratin, OG( t) vz ( t) g t v sin 1 z( t) g t v sin t C4 On détermine les valeurs des cnstantes à l aide des cnditins initiales : le vecteur psitin étant initialement ( ;z ), les cnstantes s identifient à ces crdnnées. Ainsi, le vecteur psitin instantané s écrit ( t) v cs t OG( t) 1 z( t) g t v sin t z 9. En déduire l équatin de la trajectire. Cmme le muvement est situé dans le plan Oz, l équatin cartésienne de la trajectire prend la frme z() : pur l btenir, nus partns des équatins hraires (t) et z(t), et nus allns éliminer la date t. ( t) v cs t (1) 1 z t g t v t z ( ) sin () A l aide de l équatin (1), nus puvns eprimer t en fnctin de : t v cs et insérer cette epressin dans l équatin () : 1 z( t) z( ) g v sin z v cs v cs

3 c est-à-dire et plus prprement g v sin z( ) z cs v v cs g z( ) tan z cs v 3 - Numérisatin du muvement 3 Traitement des dnnées 1. Renmmer les crdnnées «Muvement X» en «abs» et «Muvement Y» en «rdz». t (s) abs (m) rdz (m) 0 0,0745 0,590 0,04 0,1600 0,3499 0,08 0,419 0,4317 0,1 0,39 0,4971 0,16 0,418 0,5443 0, 0,4947 0,585 0,4 0,580 0,6007 0,8 0,6638 0,6043 0,3 0,7493 0,5916 0,36 0,8348 0,5643 0,4 0,9185 0,507 0,44 1,001 0,4644 0,48 1,0876 0,3880 0,5 1,1731 0,990 0,56 1,586 0,1990. Créer une variable de temps «t» et y cpier les valeurs crrespndantes. Purqui les mesures de psitin snt-elles séparées de 0,040 s? La webcam enregistre 5 images en 1 secnde ; chaque image est prise tus les 1/5 secnde, sit tutes les 0,040 s. 3. Dans la fenêtre graphique n 1, tracer les variatins de l abscisse «abs = f(t)» et de l rdnnée «rdz = f(t)». Mdéliser ces curbes, relever les paramètres dnnés par le lgiciel. Cnclure en se reprtant à l étude préliminaire.

4 On rappelle que nus avins déterminé ( t) v cs t (1) 1 z( t) g t v sin t z () 4 z z = 6 cm O = 7,4 cm On peut dnc en tirer les infrmatins suivantes, = 7,4 cm z = 6 cm v cs α =,11 m/s v sin α =,58 m/s et n retruve bien ½ g ~ 4, Dans la fenêtre graphique n, tracer la trajectire «rdz = f(abs)». Utiliser l util tangente (et sn équatin) pur déterminer l angle α que fait le vecteur vitesse initiale v avec l hrizntale (O).

5 Le cefficient directeur (u pente) de la tangente à l rigine se définit cmme la tangente de l angle α cherché. En effet, mathématiquement, 5 y α Δ = B A drite à étudier Δy = y B y A l équatin de la drite se met sus la frme y = a + b ; le cefficient directeur a s btient en faisant y yb ya a B A ce qui revient à calculer la tangente de l angle α! O On cnstate ici que tan 1, dnc Arctan1, 50,6. 5. Définir les variables de vitesse «v», «vz» et «v» qui désignent les crdnnées et la nrme du vecteur vitesse de la bille. En utilisant une frmule du type «v = ( [n+1] [n 1] ) / Δt», remplir les clnnes v et vz, en dnnant les limites de cette méthde! Dans une Feuille de calcul, n rentre les frmules suivantes : «tau = 0,040» «v = ( abs[n+1] abs[n 1] ) / (*tau)» «vz = ( rdz[n+1] rdz[n 1] ) / (*tau)» «v = sqrt( v^ + vz^ )» Cette technique d intégratin «apprchée» ne permet pas de calculer la vitesse à l instant initial et à l instant final. 6. Tracer les variatins «v = f(t)», «vz = f(t)» et «v = f(t)» en fenêtre graphique n 3. Les mdéliser, en ntant les paramètres. Cnclure en se reprtant à l étude préliminaire.

6 v( t) v cs v( t) vz ( t) g t v sin 6 Par identificatin avec les résultats epérimentau, v cs α =,11 m/s v sin α =,58 m/s 7. Etrapler la mdélisatin «v = f(t)» afin de déterminer la valeur de v. L epressin de v(t) v(t) = 17,3 t² 9,30 t + 3,39 suggère que v(t = 0) = v = 3,39 m/s. On vérifie alrs que v cs α = 3,39 cs (50,6 ) =,15 m/s v sin α = 3,39 sin (50,6 ) =,6 m/s ce qui crrespnd assez bien au résultats précédents. 8. Définir les variables d accélératin «a», «az» et «a» en suivant la même méthde que pur les vitesses. Gare au limites de cette méthde! 9. Tracer les variatins «a = f(t)», «az = f(t)» et «a = f(t)» en fenêtre graphique n 4. Les mdéliser, en ntant les paramètres. Se reprter à l étude préliminaire pur cnclure. On vérifie bien que a ~ 0 et que az ~ g. a G t a ( t) 0 az ( t) g

7 7 4 Etude énergétique de la situatin Enregistrer le travail précédent sus le nm «mvt_para.ltp», puis sus le nm «mvt_para_energie.ltp» sur lequel nus allns travailler maintenant, après avir enlevé les curbes des fenêtres graphiques. 1. Définir clairement les grandeurs énergétiques suivantes : énergie cinétique, énergie ptentielle de pesanteur pur la bille d acier. Faut-il préciser le référentiel d étude? L énergie cinétique de la bille se définit par 1 Ec ( t) m v t L énergie ptentielle de pesanteur de la bille se définit par E ( t) m g z( t) E pp ù Epp, est l énergie ptentielle de référence. Ces deu grandeurs dépendent eplicitement du référentiel d étude, car vitesse et psitin en dépendent!. Créer les variables crrespndantes «Ec» et «Epp». Dnner leurs dépendances en fnctin des variables déjà créées puis calculer leurs valeurs dans le tableur. Dans une Feuille de calcul, n définit «m = 19.9E 3» «g = 9,8» «Ec = 0.5*m*v^» «Epp = m*g*rdz» 3. Créer la variable énergie mécanique «Em» et la calculer. Dans une Feuille de calcul, n définit «Em = Ec + Epp» 4. Tracer les variatins des énergies en fnctin du temps en fenêtre graphique n 1. pp, E m E c E pp 5. Cmmenter les curbes btenues, les unes par rapprt au autres. L énergie mécanique du système se cnserve-t-elle? Purqui l énergie cinétique n est-elle pas nulle au smmet du muvement?

8 8 L évlutin des énergies cinétique et ptentielle de pesanteur est crisée : l énergie ptentielle de pesanteur augmente (la bille mnte) puis diminue (la bille redescend) ; l énergie cinétique, inversement, diminue puis augmente. Glbalement, n cnstate que l énergie mécanique est une cnstante du muvement : elle se cnserve. Au smmet de la trajectire, la cmpsante hrizntale vz de la vitesse s annule, mais la cmpsante v est nn nulle : il n y a dnc aucune raisn pur laquelle l énergie cinétique serait nulle. En revanche, elle est minimale. 6. A l aide de l étude thérique préliminaire, retruver la cnservatin de l énergie mécanique. 1 Em Ec Epp m v m g z 1 1 Em m v cs gt v sin m g g t v sin t z dem 1 m g t gv sin t m g g t v sin dt dem mg t mgv sin t m g t mgv sin t dt de m 0 dt 7. Eiste-t-il des cas ù l énergie mécanique d un système ne se cnserve pas? Si l énergie du système se cnserve ici, c est que les frces qui agissent sur lui snt prises en cmpte dans le bilan de l énergie mécanique. Le système n est sumis qu à sn pids, lié à l énergie ptentielle de pesanteur. Si des frttements eistaient, l énergie mécanique ne se cnserverait plus et serait une fnctin décrissante du temps, cmme n l bserve dans le cas de chutes dans un fluide. La «perte» d énergie est égale au travail des frces de frttements ; il arrive également d utiliser une grandeur appelée énergie interne U définie de srte que E m + U sit une grandeur cnservative. 8. Rappeler l énncé du thérème de l énergie cinétique. Quelles snt les limites de la validité de ce thérème? Le vérifier ici sur la partie mntante de la trajectire. Le lng d un trajet, la variatin d énergie cinétique d un système se déplaçant d un pint A à un pint B est égale à la smme des travau des frces eercées sur le système sur le trajet. Ec Ec( B) Ec( A) W F AB Ce thérème n est valable que dans les référentiels galiléens. Puisqu il tient cmpte de tutes les frces appliquées au système, il dit puvir être plus cmplet que le thérème de cnservatin de l énergie mécanique. Cnsidérns la partie mntante de la trajectire, disns par eemple entre les pints (v;z) A : z = 0,35 m ; v = 3,00 m/s B : z = 0,60 m ; v =,13 m/s 1 3 Ec Ec( B) Ec( A) mvb va J 3 W Fet P AB mg ABsin P, AB mg z J AB L écart entre les deu valeurs btenues est évidemment à placer sur le cmpte des erreurs systématiques dues au pintage vidé (lrs du pintage lui-même, mais également de par la définitin de la webcam). AB et