Outils Mathématiques 4

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1 Université de Rennes1 Année 5/6 1 Courbes prmétrées Outils Mthémtiques 4 Intégrtion résumé éfinition 1.1 Une courbe plne est un ensemble de couples (f(t), g(t)) où f et g sont des fonctions continues sur un intervlle I. Si I = [, b] est un intervlle fermé, le point M() = (f(), g()) est l origine et M(b) = (f(b), g(b)) est l extrémité de l courbe. éfinition On dit que l courbe est de clsse C 1, si f (t) et g (t) sont continues.. On dit que l courbe est de clsse C 1 pr morceux si on peut l écrire comme réunion finie de courbes C 1,...,C k telles que l origine de C i+1 est l extrémité de C i. 3. On dit que l courbe est fermée si ses extrémités sont confondues i.e. (f(), g()) = (f(b), g(b)). 4. On dit que l courbe est simple si elle n ps de points doubles i.e. pour tout t 1 ], b[ et t ], b[, t 1 t on (f(t 1 ), g(t 1 )) (f(t ), g(t )). courbe C 1 pr morceux courbe fermée et simple courbe non fermée et non simple éfinition 1.3 Soit une courbe constituée de tous les couples de points (f(t), g(t)) où f et g sont des fonctions continues sur un intervlle I. Les équtions { x = f(t) y = g(t) pour t I sont des équtions prmétriques de. On dit que ces formules constituent une représenttion prmétrique de courbe. éfinition 1.4 L orienttion de l courbe prmétrée, est l direction correspondnt à l croissnce du prmètre. ns l espce, une courbe peut être définie pr l donnée de trois fonctions d un même prmètre x = f(t), y = g(t), t I z = h(t), On dit dns ce cs que est une courbe guche ou non plne. 1.1 Longueur d un rc de courbe Soit une courbe de représenttion prmétrique { x = f(t) y = g(t) pour t [, b]. On suppose que f et g sont de clsse C 1. Soient M(t 1 ) et M(t ) deux points de l courbes correspondnt ux vleurs t 1 et t du prmètre ( t 1 < t b).

2 éfinition 1.5 L longueur de l rc d extrémités M(t 1 ) et M(t ) est le réel positif t ( ) ( ) t + dt = (f(t) ) t t + (g(t) ) dt t 1 t 1 L longueur de l courbe est le réel positif L défini pr ( ) ( ) b L = + dt = (f(t) ) t t + (g(t) ) dt ns le cs d une courbe guche de représenttion prmétrique x = f(t), y = g(t), t [, b] z = h(t), l longueur de l courbe est le réel positif L défini pr ( ) ( ) ( ) z L = + + dt = t t t Intégrles curvilignes.1 Intégrles curvilignes d une forme différentielle (f(t) ) + (g(t) ) + (h(t) ) dt éfinition.1 l intégrle { curviligne d une forme différentielle ω = P(x, y)dx + Q(x, y)dy le long de l courbe de représenttion prmétrique t [, b], est : x = x(t) y = y(t) ω = (P(x(t), y(t))x (t) + Q(x(t), y(t))y (t))dt Proposition. L intégrle curviligne d une forme différentielle le long d une courbe ne dépend que de l orienttion, ps du choix de l prmétristion. Proposition.3 L intégrle curviligne d une forme différentielle excte ( ou totle) ω = df ne dépend que des extrémités A = (x(), y()) et B = (x(b), y(b)) de l courbe : ω = df = En prticulier, si est une courbe fermée lors, éfinition.4 (Propriétés des intégrles curvilignes). ( f (x(t), y(t))x (t) + f ) (x(t), y(t))y (t) dt = f(b) f(a) ω = df =. 1. Si on note pr l courbe prcourue dns le sens inverse, lors : ω = ω. Soient ω 1 et ω deux formes différentielles, lors ω 1 + ω = ω 1 + ω 3. Soit P un point de l courbe, à prtir de P on décompose en deux courbes d extrémités P, notons les 1 et, lors : = 1 et ω = 1 ω = 1 ω + ω. A = 1 B 1 P

3 Théorème.5 Soit un disque du pln. Les conditions suivntes sont équivlentes : 1. l forme différentielle ω = P(x, y)dx + Q(x, y)dy est excte.. ω = df = pour toute courbe fermée 3. L forme différentielle ω = P(x, y)dx + Q(x, y)dy est fermée i.e. P = Q.. Circultion (ou trvil) d un chmp de vecteurs { x = x(t) éfinition.6 Soit une courbe représenttion prmétrique t [, b]. y = y(t) On note pr r(t) = x(t) i + y(t) j le vecteur position M(t) du point M(t) = (x(t), y(t)). On ppelle vecteur vitesse le vecteur r (t) = x (t) i + y (t) j. éfinition.7 Soit F(x, y) = P(x, y) i + Q(x, y) j un chmp de vecteurs continu. L circultion (ou trvil) de F(x, y) le long de l courbe est égle à : ici. est le produit sclire usuel. F(x(t), y(t)).r (t)dt A chque chmp de vecteurs F(x, y) = P(x, y) i + Q(x, y) j correspond une forme différentielle (de degré 1) ω = P(x, y)dx + Q(x, y)dy, de sorte que l intégrle curviligne de ω correspond à l circultion de F et différentielle excte à grdient. Corollire.8 L circultion d un chmp de vecteurs le long d une courbe ne dépend que de l orienttion ps du prmétrge. Corollire.9 L circultion d un chmp de grdients F = f ne dépend que des extrémités A = (x(), y()) et B = (x(b), y(b)) de l courbe : l circultion de F le long de = f(b) f(a) En prticulier, si est une courbe fermée, l circultion de F = f le long de est nulle. Remrque.1 Autrement dit, l circultion d un chmp qui dérive d un potentiel (i.e. un chmp grdient) ne dépend que de l étt initil et de l étt finl et ps du chemin choisi. Lorsqu un point mtériel se déplce dns un potentiel, le trvil fourni pr l force est égl à l vrition de l énergie potentiel entre l étt finl et l étt initil. Théorème.11 Soit un disque du pln. Les conditions suivntes sont équivlentes : 1. le chmp de vecteurs F(x, y) = P(x, y) i + Q(x, y) j est un chmp de grdient.. L circultion de F = f le long de toute courbe fermée, est nulle. 3. rotf = P i.e. = Q 3 Intégrles doubles éfinition 3.1 Un compct élémentire est un domine du pln de l une des formes suivntes : 1. x = (x, y) R x b ; où ϕ 1 et ϕ sont des fonctions continues. ϕ 1 (x) y ϕ (x). y = (x, y) R c y d ; où ψ 1 et ψ sont des fonctions continues. ψ 1 (y) x ψ (y) 3. P = [, b] [c, d], dns ce cs on dit ussi que c est un pvé de R Propriétés des intégrles doubles : 1. cf(x, y)dxdy = c f(x, y)dxdy pour tout réel c.. [f(x, y) + g(x, y)] dxdy = f(x, y)dxdy + g(x, y)dxdy 3. Si = 1 et l ire de 1 est nulle, lors f(x, y)dxdy = 1 f(x, y)dxdy + f(x, y)dxdy 4. Si f(x, y) pour tout (x, y) lors f(x, y)dxdy.

4 3.1 Clcul d intégrles doubles à l ide d intégrles simples Théorème 3. (Théorème de FUBINI) Soit un compct élémentire du pln et f(x, y) une fonction continue sur. 1. si est du type x lors f(x, y)dxdy = ϕ 1(x) ( ) ϕ(x) f(x, y)dy dx. si est du type y lors f(x, y)dxdy = d c ψ 1(y) ( ) ψ(y) f(x, y)dx dy 3. si = [, b] [c, d] lors f(x, y)dxdy = ( ) d f(x, y)dy dx = Remrque 3.3 Clcul d ire L ire de est l intégrle double sur de l fonction constnte 1 : c d c ( ) b f(x, y)dx dy Aire de = dxdy (1) 3. Clcul d intégrles doubles à l ide d un chngement de vribles Supposons que x, et y soient des fonctions des deux vribles u et v telles que les formules : x = x(u, v) y = y(u, v) définissent un chngement de vribles c est à dire une trnsformtion qui à un point m de coordonnées u et v ssocie le point M de coordonnées x et y. Nous ppellerons Jcobien du chngement de vribles le déterminnt : (x, y) (u, v) = = Alors, si le domine est trnsformé pr ce chngement de vribles en on obtient l formule suivnte : f(x, y)dxdy = f(x(u, v), y(u, v)) (x, y) (u, v) dudv 3.3 Applictions : 1. Msse d une plque L msse d une plque homogène, de msse surfcique ρ et d ire A est M = Aρ. ns le cs non homogène, ρ est une fonction de x et y définie sur le domine qui correspond à l plque. lors l msse est : M = ρ(x, y)dxdy. Centre de grvité d une plque le centre de grvité G de l plque à le point de coordonnées x G = 1 M xρ(x, y)dxdy et y G = 1 M yρ(x, y)dxdy 3. Le moment d inertie d une plque pr rpport à un point le moment d inertie I de l plque pr rpport à l origine est l intégrle : I = (x + y )ρ(x, y)dxdy 4 Formule de Green-Riemnn On vu que si ω est une forme différentielle excte lors, pour toute courbe fermée, ω =. En générl, l intégrle d une forme différentielle le long d une courbe fermée qui borde un domine s écrit comme une intégrle double sur le domine. éfinition 4.1 Si est un domine du pln, dont le bord est formé d un nombre k de courbes fermées C 1,...,C k, on oriente son bord suivnt l convention de l mtière à guche : lorsque l on prcourt n importe qu elle courbe C i du bord on doit voir le domine sur s guche. On dit que le bord est orienté dns le sens direct.

5 Théorème 4. Soit ω = P(x, y)dx + Q(x, y)dy une forme différentielle de clsse C 1 définie sur un domine fermé. Soit C une courbe fermée simple qui entoure le domine. On suppose que C est orientée dns le sens direct. Alors ( Q ω = P ) dxdy (Formule de Green-Riemnn) C Appliction u clcul d ires : On peut ppliquer l formule de Green-Riemnn dns le cs où ω = ydx + xdy on obtient lors C ydx + xdy = dxdy d où Aire() = 1 ydx + xdy () Exemple 4.3 L ellipse d éqution x + y b = 1 pour éqution prmétrique x = cos(t), y = b sin(t) vec t [, π] Alors, l ire A de l ellipse est égle à : A = 1 5 Intégrles triples C ydx + xdy = 1 π C ( b cos (t) + b sin (t) ) dt = b π dt = bπ. éfinition 5.1 Un compct élémentire est un sous ensemble de l espce de l une des formes suivntes : 1. (x,y) = (x, y, z) R 3 ; (x, y) ϕ 1 (x, y) z ϕ (x, y) où ψ 1 et ψ sont des fonctions continues.. z = (x, y, z) R 3 ; (x, y) (z) z b où (z ) est l intersection de vec le pln {z = z. 3. P = [, b] [c, d] [e, f], dns ce cs on dit ussi que c est un pvé de R Clcul d intégrles triples à l ide d intégrles doubles et simples Théorème 5. (Théorème de FUBINI) Soit un compct élémentire de l espce et f(x, y, z) une fonction continue sur. 1. si est du type (x,y) lors (est ppelé intégrtion pr piles ). si est du type z lors (est ppelé intégrtion pr trnches ) f(x, y, z)dxdydz = f(x, y, z)dxdydz = ( ) ϕ(x,y) f(x, y, z)dz dydx ϕ 1(x,y) ( ) f(x, y, z)dydx dz (z)

6 3. si = [, b] [c, d] [e, f] lors f(x, y, z)dxdy = ( b ( d ) f c e )dy f(x, y, z)dz = ( f ( b ) d e c )dx f(x, y, z)dy dz =... dx = d c Remrque 5.3 Clcul de volume Le volume de est l intégrle triple sur de l fonction constnte 1 : ( ( b ) f e )dx f(x, y, z)dz dy Volume de = dxdydz (3) 5. Clcul d intégrles triples à l ide d un chngement de vribles Supposons que x, y et z soient des fonctions des vribles u v et w telles que les formules : x = x(u, v, w) y = y(u, v, w) z = z(u, v, w) définissent un chngement de vribles c est à dire une trnsformtion qui à un point m de coordonnées u v et w ssocie le point M de coordonnées x y et z. Nous ppellerons Jcobien du chngement de vribles le déterminnt : (u, v, w) = Alors, si le domine est trnsformé pr ce chngement de vribles en on obtient l formule suivnte : f(x, y, z)dxdydz = f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) (u, v, w) dudvdw Coordonnées cylindriques z z w w z w x = r cos(θ) y = r sin(θ) z = z vec r = x + y, θ π. Alors, (r, θ, z) = cos(θ) r sin(θ) sin(θ) r cos(θ) 1 = r Exemple 5.4 : Le volume V de l prtie du cylindre d éqution x + y x, ( > ) comprise entre le pln xy et le pln d éqution z = 1, s obtient grâce à l formule de chngement de vribles : est trnsformée pr les coordonnées cylindriques en = {(r, θ, z); θ π; r cosθ, z 1, lors V = dxdydz = r dθdrdz = π Coordonnées sphériques cos θ r drdθ 1 dz = π (cos θ) dθ = x = r cos(θ)cos(ϕ) y = r sin(θ)cos(ϕ) z = r sin(ϕ) vec r = x + y + z, θ π et π ϕ π. Alors, (r, θ, ϕ) = cos(θ) cos(ϕ) r sin(θ) cos(ϕ) r cos(θ) sin(ϕ) sin(θ) cos(ϕ) r cos(θ) cos(ϕ) r sin(θ) sin(ϕ) sin(ϕ) r cos(ϕ) = r cos(ϕ) π 1+cos(θ) dθ = π. Exemple 5.5 Le volume V de l boule B de centre (,, ) et de ryon R s obtient grâce à l formule de chngement de vribles : V = B dxdydz = π π R π r cos(ϕ) dθdϕdr = π π R π r cos(ϕ)dθdϕdr = π dθ π dϕ R π r dr = 4πR3 3.