Une preuve élémentaire du théorème de convergence dominée

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Une preuve élémentaire du théorème de convergence dominée"

Transcription

1 Une preuve élémentire du théorème de convergence dominée Le but de ce texte, influencé pr l lecture de l rticle [2], est de proposer une preuve élémentire du théorème de convergence dominée, dns le cdre des fonctions continues pr morceux sur un segment. L djectif élémentire signifie qu on s interdit de recourir à l théorie de l mesure de Lebesgue, lquelle fournit pourtnt une preuve en quelques lignes de notre théorème (voir [1]), preuve dont nous essierons de donner un perçu en cours de route. Dns notre contexte, élémentire ne veut certinement ps dire fcile! En effet, l «niche écologique» du théorème de convergence bornée étnt l théorie de Lebesgue, toute tenttive de rendre l rgument élémentire pporte inévitblement son lot de complictions... Toutefois, l preuve ici présentée le mérite de suivre d ssez près l preuve historique et très nturelle de Lebesgue, et de l dpter u cdre qui est le nôtre. Commençons pr rppeler l énoncé du théorème. Théorème 1. Soit (f n ) n 0 une suite de fonctions continues pr morceux d un intervlle de R vers C, telle que, pour chque x, l on it f n (x) f(x), où f : C est une fonction continue pr morceux. On suppose de plus qu il existe ϕ : R + continue pr morceux et intégrble vérifint f n (x) ϕ(x) pour n 0 et x. Alors, f n (x)dx f(x)dx. 1 Le lemme de convergence bornée Commençons pr montrer que le théorème 1 est une conséquence immédite du résultt suivnt, que nous nommerons dns l suite «lemme de convergence bornée». 1

2 Théorème 2. Soit (f n ) n 0 une suite de fonctions de [, b] vers C continues pr morceux, telle que, pour chque x [, b], l on it f n (x) f(x), où f : [, b] C est une fonction continue pr morceux. On suppose qu il existe une constnte réelle M telle que f n (x) M pour n 0 et x [, b]. Alors, f n (x)dx f(x)dx. Supposons un instnt le théorème 2 cquis, et revenons ux nottions du théorème 1. Fixons ε > 0. Comme l fonction ϕ est intégrble, il existe certinement (pr définition même de l intégrle) un segment J = [, b] tel que 1 On lors, pour n 0 : f n (x)dx f(x)dx \J J J J ϕ(x)dx ε. f n (x) f(x) dx + \J f n (x) f(x) dx + 2 f n (x) f(x) dx + 2ε. Or, d près le lemme de convergence bornée, on f n (x) f(x) dx 0. En effet, d une prt et d utre prt J \J f n (x) f(x) 0 pour chque x J, ( f n (x)dx + f(x) dx ϕ(x)dx f n (x) f(x) f n (x) + f(x) 2ϕ(x) 2 ϕ,j pour n 0 et x J. l existe donc un entier N tel que f n (x)dx f(x)dx 3ε pour n N, 1. L intégrle R ϕ(x)dx désigne en rélité l somme d u plus deux intégrles. \J 2

3 ce qui termine l preuve du théorème 1. Revenons à notre lemme de convergence bornée. Une première remrque s impose : on peut supposer sns perte de générlité les f n à vleurs réelles positives, et f nulle. En effet, si l on sit montrer le théorème dns ce cs prticulier, on obtient le cs générl en posnt g n = f f n pour n 0. Dès lors : chque g n est continue pr morceux et positive, pour chque x [, b], g n (x) 0, pour n 0 et x [, b], g n (x) 2M. Le cs prticulier donne lors d où fortiori puisque f n (x)dx g n (x)dx 0, f n (x)dx f(x)dx f(x)dx g n (x)dx. Dns l suite, on considèrer donc une suite (f n ) n 0 de fonctions continues pr morceux de [, b] vers R, telles que et l s git de montrer que f n (x) 0 pour chque x [, b] 0 f n (x) M pour n 0 et x [, b]. f n (x)dx 0. 2 Les idées de l preuve de Lebesgue Avertissement : ce prgrphe ne prétend ps à l même rigueur que les utres. l pour seul objectif de donner une idée de l preuve historique du théorème qui nous occupe, en occultnt les détils techniques. L théorie de l mesure de Lebesgue montre l possibilité d ttribuer à chque élément X d une clsse très lrge de prties de [, b], dites mesurbles 2, un nombre réel compris entre 0 et b, ppelé l mesure de X, noté m(x), et possédnt les propriétés suivntes, ssez nturelles à l exception, peut-être, de l dernière : 2. qu il serit hors de propos de définir ici. Pour un exposé à l fois très clir, complet et prticulièrement motivnt de l théorie de l mesure, on renvoie à l excellent [3]. 3

4 Si X est un intervlle contenu dns [, b], de toute nture, et d extrémités c et d, lors m(x) = d c. L mesure de Lebesgue est donc une générlistion de l notion de longueur des intervlles. Si X et Y sont deux prties disjointes et mesurbles de [, b], lors X Y est mesurble et m(x Y ) = m(x) + m(y ). Si X [, b] est mesurble, son complémentire ussi, et m([, b] \ X) = b m(x). Si X et Y sont deux prties mesurbles de [, b] telles que X Y, lors m(x) m(y ). Si (X n ) n 0 est une suite décroissnte u sens de l inclusion de prties mesurbles de [, b] telle que n N X n =, lors m(x n ) 0. Voici lors l «preuve» de Lebesgue de son théorème de convergence bornée. Fixons ε > 0 et posons A n = {x [, b]/f i (x) ε pour u moins un i n} et A n = [, b] \ A n pour n 0. Admettnt que A n (et donc A n) sont des prties mesurbles de [, b], on : f n (x)dx = f n (x)dx + f n (x)dx (genre de reltion de Chsles) A n A n M dx + ε dx A n A n Mm(A n ) + εm(a n) Mm(A n ) + (b )ε. Or, (A n ) n 0 est une suite décroissnte u sens de l inclusion de prties de [, b], d intersection vide. Pr suite, m(a n ) 0. Pour n ssez grnd, on ur donc ce qui termine l «preuve». 0 f n (x)dx (M + b )ε, 3 Théorie élémentire de l mesure Pour dpter l preuve de Lebesgue, nous llons développer, rigoureusement cette fois, une théorie élémentire de l mesure, qui bien que rudimentire ser suffisnte pour nous mener u but. 4

5 Quelles sont les prties X de [, b] uxquelles nous pourrions risonnblement ttribuer une mesure m(x)? l y bien sûr les intervlles, mis c est un peu restreint... Un peu plus plus générlement, décidons d ppeler prtie élémentire de [, b] toute union finie d intervlles (de toute nture) contenus dns [, b]. Ainsi, une prtie élémentire X s écrit X = 1... p, où k est un intervlle contenu dns [, b]. Bien sûr, une telle écriture n rien d unique, et les k ne sont ps supposés deux à deux disjoints, ce qui nous empêche de poser m(x) = m( 1 ) m( p ). Pour contourner cette difficulté, consttons le fit simple mis crucil suivnt : X [, b] est élémentire si et seulement si 1 X est en esclier sur [, b], 1 X désignnt l fonction indictrice de X. Dns ce cs, on peut poser m(x) = u sens de l intégrle des fonctions en esclier. 1 X (x)dx Quelles sont les propriétés de l «mesure 3» que nous venons de créer? Une réunion finie de prties élémentires est une prtie élémentire (évident). Le complémentire d une prtie élémentire est une prtie élémentire, puisque si X [, b] est élémentire, 1 [,b]\x = 1 1 X. On déduit des deux points précédents qu une intersection finie de prties élémentires est une prtie élémentire. Si X est un intervlle d extrémités c et d contenu dns [, b], lors X est élémentire et m(x) = d c. Si X et Y sont deux prties élémentires de [, b] telles que X Y, on 1 X 1 Y d où m(x) m(y ) en intégrnt sur [, b]. Si X et Y sont deux prties élémentires de [, b], disjointes, on 1 X Y = 1 X +1 Y, d où, pr simple linérité de l intégrle : m(x Y ) = m(x) + m(y ). (1) Que dire si les prties élémentires envisgées ne sont ps disjointes? On écrit lors X Y = X (Y \ X), ce qui donne, puisque X et Y \ X sont élémentires et disjointes : m(x Y ) = m(x) + m(y \ X) et donc C est l sous-dditivité de l mesure. 3. certes bien plus rudimentire que celle de Lebesgue. m(x Y ) m(x) + m(y ). (2) 5

6 Nturellement, (1) et (2) se générlisent imméditement, pr récurrence, à un nombre fini quelconque de prties élémentires, supposées deux à deux disjointes dns le cs de (1). 4 Preuve du théorème de convergence bornée Dns ce prgrphe, nous llons modifier l rgument de Lebesgue en pprochnt les prties mesurbles pr des prties plus «régulières» : les prties élémentires. Fixons donc ε > 0 et posons, «à l Lebesgue», A n = {x [, b]/f i (x) ε pour u moins un i n}. Observons les fits suivnts : (A n ) n 0 est une suite décroissnte u sens de l inclusion de prties de [, b], n 0 A n = : en effet, si x [, b] pprtient à tous les A n, cel signifie exctement que l inéglité f n (x) ε lieu pour une infinité d indices n, ce qui est impossible puisque f n (x) 0. Fixons lors n 0, ϕ n une fonction en esclier telle que ϕ n f n, et posons E n = {x [, b]/ϕ n (x) ε} et E n = [, b] \ E n. Comme ϕ n est en esclier, E n et E n sont des prties élémentires 4 de [, b]. De plus, E n A n, et ϕ n (x)dx = ϕ n (x)1 En (x)dx + M1 En (x)dx + Mm(E n ) + (b )ε Mα(A n ) + (b )ε, ε dx ϕ n (x)1 E n (x)dx en notnt α(a n ) l borne supérieure de l ensemble des mesures des prties élémentires de [, b] contenues dns A n. Ensuite, comme cette inéglité est vrie pour toute fonction en esclier telle que ϕ n f n, un pssge à l borne supérieure sur ϕ n (toujours à n fixé) donne Si nous prvenons à montrer que 4. lors que A n n ucune rison de l être. f n (x)dx Mα(A n ) + (b )ε. α(a n ) 0, 6

7 nous pourrons conclure que d où 0 f n (x) (M + b )ε pour n ssez grnd, f n (x)dx 0, et l preuve ser terminée. Ce point fit l objet d un lemme-clé, que nous expliquons dns le prgrphe suivnt. 5 Le lemme-clé Lemme 1. Soit (A n ) n 0 une suite décroissnte u sens de l inclusion de prties de [, b], telle que A n =. Alors, n 0 α(a n ) 0, en notnt α(a n ) l borne supérieure de l ensemble des mesures des prties élémentires de [, b] contenues dns A n. Démonstrtion. Supposons le contrire. Comme l suite (α(a n )) n 0 est visiblement décroissnte, il existe δ > 0 tel que α(a n ) > δ pour tout n 0. D utre prt, pour chque n 0, nous pouvons fixer, pr définition de l borne supérieure, une prtie élémentire E n de A n telle que m(e n ) α(a n ) δ2 n 1. De plus, quitte à jouter à E n un certin nombre d extrémités des intervlles le constitunt (ce qui ne chnge ps s mesure), on peut supposer E n fermé. l n y bien sûr ucune rison pour que l suite (E n ) n 0 soit décroissnte, mis il est fcile de récupérer l monotonie en posnt n F n = E i pour n 0. i=0 L suite (F n ) n 0 est lors une suite décroissnte de fermés de [, b]. Si nous rrivons à montrer que chque F n est non vide, l intersection des F n le ser églement 5, ce qui fournir l contrdiction convoitée puisque A n =. n 0 F n n 0 5. C est une conséquence fcile du théorème de Bolzno-Weierstrss. 7

8 Or, pour montrer que F n, il suffit de montrer que α(a n \F n ) δ (puisque α(a n ) > δ pr définition), utrement dit que A n \ F n est «ssez petite». C est ce que nous fisons dns l suite. Fixons n 0. Comme E n est «proche» de A n, les prties élémentires de A n \E n sont «petites». De fçon précise, soit E une prtie élémentire de A n \ E n. On lors m(e) = m(e E n ) m(e n ) puisque E et E n sont disjointes et élémentires α(a n ) m(e n ) puisque E E n est élémentire et contenue dns A n δ2 n 1 pr définition de E n. Bien sûr, comme F n E n, les prties élémentires de A n \ F n risquent d être plus grosses que celles de A n \ E n. Essyons qund même de contrôler leur mesure : si E est une prtie élémentire de A n \ F n, on E = (E \ E 0 ) (E \ E 1 ) (E \ E n ). Or, pour chque i [0, n], E \ E i est une prtie élémentire de A n \ E i A i \ E i à cuse de l décroissnce des A n. On déduit lors du point précédent et de l sous-dditivité de l mesure que m(e) δ( n 1 ) δ 2 i = δ. Mis lors, pr définition de l borne supérieure, on α(a n \ F n ) δ, ce qui termine l preuve du lemme-clé et donc celle du théorème de convergence bornée. i=1 Références [1] H. Lebesgue, Leçons sur l intégrtion et l recherche des fonctions primitives, troisième édition, 1928, publiées pr l Americn Mthemticl Society, Chelse, 1973 [2] J. W. Lewin, «A truly elementry pproch to the bounded convergence theorem», Americn Mthemticl Monthly 93, 5 (1986), p [3] E. M. Stein, R. Shkrchi, Rel nlysis, Princeton university press,

Chapitre 5. Intégration. 5.1 Intégration des fonctions en escaliers

Chapitre 5. Intégration. 5.1 Intégration des fonctions en escaliers Chpitre 5 Intégrtion Nous llons construire l intégrle pr un procédé de pssge à l limite. D bord on définit l intégrle des fonctions en escliers, ensuite on psse à l limite pour intégrer des fonctions plus

Plus en détail

EB - INTEGRALES DEPENDANT D UN PARAMETRE

EB - INTEGRALES DEPENDANT D UN PARAMETRE EB - INTEGRALES DEPENDANT D UN PARAMETRE Définition 1 Soit (f x ) x A une fmille de fonctions continues à vleurs dns C, définies sur un intervlle [, b[ de R. On considère l intégrle impropre g(x) = que

Plus en détail

LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE. Unité d enseignement LCMA 4U11 ANALYSE 3. Françoise GEANDIER

LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE. Unité d enseignement LCMA 4U11 ANALYSE 3. Françoise GEANDIER LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE Unité d enseignement LCMA 4U ANALYSE 3 Frnçoise GEANDIER Université Henri Poincré Nncy I Déprtement de Mthémtiques . Tble des mtières I Séries numériques. Séries

Plus en détail

Intégrabilité d une fonction à valeurs réelles ou complexes

Intégrabilité d une fonction à valeurs réelles ou complexes Cours de Mthémtiques ntégrtion sur un intervlle quelconque Prtie : Fonctions intégrbles à vleurs complexes Fonctions intégrbles à vleurs complexes Dns ce prgrphe, est un intervlle de R, et K désigne R

Plus en détail

Intégration des fonctions continues par morceaux

Intégration des fonctions continues par morceaux Chpitre 4 Intégrtion des fonctions continues pr morceu 4.1 Introduction Dns cette section, on fie < deu réels, on note I = [, ] et on considère f : I R une ppliction continue. On suppose en outre que f

Plus en détail

Chapitre 1 Suites de fonctions

Chapitre 1 Suites de fonctions Université de Bourgogne Déprtement de Mthémtiques Licence de Mthémtiques Résumé du cours Compléments d Anlyse Chpitre Suites de fonctions. Suites de nombres, suites de fonctions Dns tout ce chpitre, l

Plus en détail

DM n o 17 : Intégration

DM n o 17 : Intégration Lycée Louis-Le-Grnd, Pris Pour le 14/05/2015 MPSI 4 Mthémtiques A. Troesch DM n o 17 : Intégrtion Correction du problème 1 Intégrle de Lebesgue Prtie I Intégrtion pr rpport à une mesure 1. Soit f = α k

Plus en détail

Convergence dominée et conséquences.

Convergence dominée et conséquences. Chpitre 3 Convergence dominée et conséquences.. nterversion ite-intégrle............................................................2 / Le cs d une CU sur un segment..................................................

Plus en détail

Calcul intégral. Mathématique. Sylvie Jancart. Octobre 2015

Calcul intégral. Mathématique. Sylvie Jancart. Octobre 2015 Mthémtique Sylvie Jncrt sylvie.jncrt@ulg.c.be Octobre 2015 Introduction L notion d intégrle répond à deux problèmes de nture différente: l une lgébrique, l utre géométrique. Une fonction étnt donnée, existe-t-il

Plus en détail

Intégrale de Riemann et Intégrale de Lebesgue INTEGRALE DE RIEMANN

Intégrale de Riemann et Intégrale de Lebesgue INTEGRALE DE RIEMANN Intégrle de Riemnn et Intégrle de Lebesgue Jen Gounon http://dm.ens.fr/culturemth Définitions INTEGRALE DE RIEMANN Dns tout le chpître, b et f est une fonction réelle bornée sur [,b] = I Définition. Un

Plus en détail

Intégrales et primitives

Intégrales et primitives Chpitre 3 Intégrles et primitives 3.1 Définitions Soit f(x une fonction continue définie sur l intervlle [, ]. L intégrle de f sur l intervlle [, ] est un nomre réel noté qui est défini de l fçon suivnte

Plus en détail

Nous admettrons et utiliserons souvent le théorème suivant:

Nous admettrons et utiliserons souvent le théorème suivant: < 20 Intégrtion: fonction réelle d une vrile réelle. Définition 2.5. (Intégrilité u sens de Riemnn) Une fonction réelle f: [, ] R est dite intégrle sur [,], si ǫ > 0, f 1, f 2 : [, ] R fonctions en escliers

Plus en détail

LEÇON N 67 : Formules de Taylor. Applications.

LEÇON N 67 : Formules de Taylor. Applications. LEÇON N 67 : Formules de Tylor. Applictions. Pré-requis : Théorème de Rolle, théorème des Accroissements Finis ; Intégrtion pr prties ; Nottions de Lndu. 67. Résultts globux 67.. Formule de Tylor-Lgrnge

Plus en détail

Etude de suites récurrentes

Etude de suites récurrentes [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 5 mi 06 Enoncés Etude de suites récurrentes Exercice [ 0304 ] [Correction] u 0 = R et n N, + = u n ) Justifier que l suite ( ) est bien définie et n N, [ ; ] b)

Plus en détail

Cours de remise à niveau Maths 2ème année. Intégrales simples

Cours de remise à niveau Maths 2ème année. Intégrales simples Cours de remise à niveu Mths 2ème nnée Intégrles simples C. Mugis-Rbusseu GMM Bureu 116 cthy.mugis@ins-toulouse.fr C. Mugis-Rbusseu (INSA) 1 / 47 Pln 1 Définitions 2 Propriétés des fonctions intégrbles

Plus en détail

Primitives et Calcul d une intégrale

Primitives et Calcul d une intégrale Primitives et Clcul d une intégrle I) Primitive ) Définition : Soit f une fonction définie sur un intervlle I. On ppelle primitive de f sur I, toute fonction F dérivle sur I dont l dérivée F est égle à

Plus en détail

5. Intégration complexe

5. Intégration complexe 49 5. Intégrtion complexe 1. Intégrles définies d une fonction complexe d une vrible réelle Les intégrles sont extrêmement importntes dns l étude des fonctions d une vrible complexe. Nous étblirons l équivlence

Plus en détail

MAT 1720 A : Calcul différentiel et intégral I

MAT 1720 A : Calcul différentiel et intégral I MAT 1720 A : et intégrl I Pul-Eugène Prent Déprtement de mthémtiques et de sttistique Université d Ottw le 14 octobre 2015 Au menu ujourd hui 1 2 3 4 Le théorème de Stokes Voici le contenu d un peu plus

Plus en détail

Intégrale de Lebesgue

Intégrale de Lebesgue 29 Chpitre 2 Intégrle de Lebesgue 2.1 Rppels sur l intégrle de Riemnn Soit f bornée sur un intervlle [,b] fini de IR, et soit x 1,...,x n un ensemble fini de points de [,b] tels que = x 0 < x 1

Plus en détail

CHAPITRE III. CONSTRUCTION DE L INTÉGRALE DE RIEMANN

CHAPITRE III. CONSTRUCTION DE L INTÉGRALE DE RIEMANN CHAPITRE III. CONSTRUCTION DE L INTÉGRALE DE RIEMANN 1. Fonctions en esclier. Le but de l construction de l intégrle d une fonction f : [, b] R étit, initilement, de définir rigoureusement l ire de l figure

Plus en détail

1. Intégrale de Riemann des fonctions réglées.

1. Intégrale de Riemann des fonctions réglées. Agrégtion de Mthémtiques 2012-2013 CMI Université d Aix-Mrseille Résumé du cours d Intégrtion 1. Intégrle de Riemnn des fonctions réglées. Fonctions réglées. f : [, b] C est dite réglée si et seulement

Plus en détail

Intégration Primitives

Intégration Primitives Intégrtion Primitives Christophe ROSSIGNOL Année scolire 2015/2016 Tble des mtières 1 Rppels et compléments 3 1.1 Rppels de dérivtion.......................................... 3 1.1.1 Dérivtion en un point......................................

Plus en détail

Chapitre 6. Primitive et Intégrale. 6.1 Primitive Rappels

Chapitre 6. Primitive et Intégrale. 6.1 Primitive Rappels Chpitre 6 Primitive et Intégrle 6. Primitive 6.. Rppels Définition 6... Si f est une fonction définie sur un intervlle I, une primitive de f sur I est une fonction F telle que pour tout x dns I, F (x)

Plus en détail

1. Notion d intégrale Interprétation graphique

1. Notion d intégrale Interprétation graphique Clcul intégrl TS 1. Notion d intégrle Interpréttion grphique Le pln étnt muni du repère orthogonl ( O,I, J ) l unité d ire ( u. ) est l ire du rectngle âti à prtir des points O, I, J. on ppelle domine

Plus en détail

E(ϕ(Z, Y )) = ϕ(r(x + f(y)), y)dxdm(y). ϕ(ξ)dξ.

E(ϕ(Z, Y )) = ϕ(r(x + f(y)), y)dxdm(y). ϕ(ξ)dξ. Corrigé 191 (Les pièges de l indépendnce) Soit (Ω,, P ) un espce probbilisé et X, Y deux v..r. indépendntes. n suppose que X pour loi l loi uniforme sur [, 1]. Pour x, on pose e(x) = mx{n Z, n x} et r(x)

Plus en détail

1 Fonction en escalier (ou étagée)

1 Fonction en escalier (ou étagée) : Fontion en eslier (ou étgée) 1 Dns tout e hpitre, I = [, b] désigner un segment fermé borné de R ve < b. 1 Fontion en eslier (ou étgée) 1.1 Subdivision 1.1 DÉFINITION On ppelle subdivision d un intervlle

Plus en détail

Définition Propriétés de d intégrale Intégrale fonction de sa borne supérieure Méthodes d intégration. Calcul Intégral

Définition Propriétés de d intégrale Intégrale fonction de sa borne supérieure Méthodes d intégration. Calcul Intégral Clcul Intégrl christophe.profet@univ-evry.fr http://www.mths.univ-evry.fr/pges_perso/cprofet/ Amphi n 1 Jnvier 214 Objectifs du cours 1 donner une définition de l intégrle f (x)dx qui permet de comprendre

Plus en détail

7. Applications du théorème des

7. Applications du théorème des 67 7. Applictions du théorème des résidus. Évlution d intégrles réelles impropres Une ppliction importnte de l théorie des résidus est l évlution de certins types d intégrles définies et d intégrles impropres

Plus en détail

Analyse 2 - Résumé du Cours

Analyse 2 - Résumé du Cours UFR de Mthémtiques Université de Lille Licence sciences et technologies A - S MASS Anlyse - Résumé du Cours Tble des mtières Prtie I : Intégrtion. Introduction : Premières remrques sur les primitives et

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable e x 2 x dx 6) (**) +

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable e x 2 x dx 6) (**) + Eo7 Intégrtion Eercices de Jen-Louis Rouget. Retrouver ussi cette fiche sur www.mths-frnce.fr * très fcile ** fcile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournble Eercice

Plus en détail

Intégration numérique

Intégration numérique Chpitre 5 Intégrtion numérique 5.1 Introduction Dns ce chpitre, on s interesse u clcul numérique d intégrles. Plus précisément, on considère une fonction f continue et une fonction w continue et positive

Plus en détail

Cours de Terminale S /Intégration. E. Dostal

Cours de Terminale S /Intégration. E. Dostal Cours de Terminle S /Intégrtion E. Dostl Février 26 Tble des mtières 9 Intégrtion 2 9. Intégrles............................................. 2 9.. Aire sous une courbe...................................

Plus en détail

LIMITE ET CONTINUITÉ DE FONCTIONS

LIMITE ET CONTINUITÉ DE FONCTIONS Lurent Grcin MPSI Lycée Jen-Bptiste Corot LIMITE ET CONTINUITÉ DE FONCTIONS Soit R. Dns tout ce chpitre, on dir qu une fonction f de domine de définition D f est définie u voisinge de s il existe un réel

Plus en détail

LIMITES DE SUITES ET DE FONCTIONS I..

LIMITES DE SUITES ET DE FONCTIONS I.. TS-cours-chp2-1 - LIMITES DE SUITES ET DE FONCTIONS I.. Limite d une suite 1 / tend vers l infini Définition ( rppel ) Dire que l suite tend vers + signifie que, pour tout nombre A, l intervlle [A ; +

Plus en détail

Contenus Capacités attendues Commentaires. Déterminer des primitives des fonctions usuelles par lecture inverse du tableau des dérivées.

Contenus Capacités attendues Commentaires. Déterminer des primitives des fonctions usuelles par lecture inverse du tableau des dérivées. Chpitre 7 Intégrtion Contenus Cpcités ttendues Commentires Intégrtion Définition de l intégrle d une fonction continue et positive sur [;] comme ire sous l coure. Nottion f(x) dx. Théorème : si f est une

Plus en détail

Mathématiques Différentielle - Intégrale

Mathématiques Différentielle - Intégrale Mthémtiques Différentielle - Intégrle F. Richrd 1 1 Institut PPRIME - UPR 3346 CNRS Déprtement Fluides, Thermique, Combustion Frnce Institut des Risques Industriels Assurntiels et Finnciers IRIAF F. Richrd

Plus en détail

Intégration I Licence de mathématiques, 4 e semestre Université Aix-Marseille 1

Intégration I Licence de mathématiques, 4 e semestre Université Aix-Marseille 1 ntégrtion Licence de mthémtiques, 4 e semestre Université Ai-Mrseille J-Y. Briend Fscicule de résultts ntégrbilité, intégrle Définition.. Soit = [,b] un intervlle compct. Une subdivision pointée P de est

Plus en détail

Jour no1 Exercice 1.0 Exercice 1.1 Exercice 1.2

Jour no1 Exercice 1.0 Exercice 1.1 Exercice 1.2 Jour n o Exercice. ) Étudier l intégrbilité de x e x x2 sur ], + [. 2) Étudier l intégrbilité de x ln x x 2 + sur ], + [. Exercice. Soit f de clsse C 2 sur [, + [ telle que f est intégrble sur [, + [ et

Plus en détail

1. Fonctions fortement piquées. La fonction delta de Dirac. (x) ρ n. n = 8. Figure 1

1. Fonctions fortement piquées. La fonction delta de Dirac. (x) ρ n. n = 8. Figure 1 31 3. Fonction de Dirc 1. Fonctions fortement piquées. fonction delt de Dirc 1.1. Exemple en électrosttique ρ n (x n = 8 n = 4 n = 2 n = 1-1/2 O 1/2 x Figure 1 Considérons, sur une droite, une suite de

Plus en détail

PRIMITIVES ET INTÉGRALES

PRIMITIVES ET INTÉGRALES Lurent Grcin MPSI Lycée Jen-Bptiste Corot PRIMITIVES ET INTÉGRALES Les fonctions de ce chpitre sont des fonctions d une vrible réelle à vleurs réelles ou complexes. Primitives. Définition Définition. Primitive

Plus en détail

Résumé 07 : Intégrales généralisées

Résumé 07 : Intégrales généralisées Résumé 07 : Intégrles générlisées Dns tout ce chpitre, K ser le corps R ou C 1 INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES 1 Convergence d une intégrle impropre Dns cette section, f ser ici indifféremment à vleurs dns R ou

Plus en détail

Fiche Intégration MOSE Octobre 2014

Fiche Intégration MOSE Octobre 2014 Fiche Intégrtion MOSE 13 9 Octore 14 Tle des mtières Propriétés de l intégrle 1 Théorème fondmentl du clcul intégrl................................ Intégrle d une fonction de signe quelconque...............................

Plus en détail

Nombres rationnels. 1 Définition de Q. On définit, sur l ensemble Z Z, la relation binaire R de la façon suivante : (a, b)r(a, b ) ab = ba

Nombres rationnels. 1 Définition de Q. On définit, sur l ensemble Z Z, la relation binaire R de la façon suivante : (a, b)r(a, b ) ab = ba Nomres rtionnels Définition de Q On définit, sur l ensemle Z Z, l reltion inire R de l fçon suivnte : (, )R(, ) = Propriété. R est une reltion d équivlence. Démonstrtion : Réflexivité : Elle découle de

Plus en détail

TS 2, Correction Bac Blanc n o 2

TS 2, Correction Bac Blanc n o 2 TS, Correction Bc Blnc n o Exercice Nouvelle-Clédonie, mrs extrit) points Restitution Orgnisée de Connissnces On utiliser le résultt suivnt : les solutions de l éqution différentielle E ) y = y où R sont

Plus en détail

Présentation. Villeneuve d Ascq, octobre 2005 Charles Suquet

Présentation. Villeneuve d Ascq, octobre 2005 Charles Suquet Présenttion Ce polycopié résulte de l ssemblge sépré de deux chpitres nnexes du cours d Intégrtion et Probbilités Élémentires (IPE Mth36) 25 26. Il regroupe ce qu un étudint de 3 e nnée devrit connître

Plus en détail

Comparaison des fonctions au voisinage d un point

Comparaison des fonctions au voisinage d un point DOCUMENT 29 Comprison des fonctions u voisinge d un point Pour tout 0 R on pose : V 0 = {] 0 η, 0 + η[ η > 0} si 0 R; V 0 = {], + [ R} si 0 = + et V 0 = {], [ R} si 0 =. Un élément de V 0 est ppelé un

Plus en détail

Analyse numérique : Intégration numérique

Analyse numérique : Intégration numérique Anlyse numérique : Intégrtion numérique Pgor 1A Chpitre 4 8 février 11 mrs 2013 Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/2013 1 / 67 Pln 1 Introduction 2 Intégrtion pr méthode de Monte-Crlo

Plus en détail

Primitives Calcul intégral

Primitives Calcul intégral Primitives Clcul intégrl Christophe ROSSIGNOL Année scolire 2009/200 Tble des mtières Primitives 2. Définition, premières propriétés..................................... 2.2 Primitives des fonctions usuelles....................................

Plus en détail

Espaces vectoriels normés ; espaces de Banach

Espaces vectoriels normés ; espaces de Banach Chpitre 7 Espces vectoriels normés ; espces de Bnch Un espce vectoriel normé complet est ppelé un espce de Bnch On note K pour R ou C 71 Exemples d espces vectoriels normés 711 Normes sur K n Sur K n,

Plus en détail

CALCUL INTEGRAL. Ph DEPRESLE. 29 juin Intégrale d une fonction continue et positive sur un segment 2

CALCUL INTEGRAL. Ph DEPRESLE. 29 juin Intégrale d une fonction continue et positive sur un segment 2 CALCUL INTEGRAL Ph DEPRESLE 9 juin 5 Tble des mtières Intégrle d une fonction continue et positive sur un segment Primitives d une fonction sur un intervlle. Primitives, définition...................................

Plus en détail

Primitives et intégrales

Primitives et intégrales Primitives et intégrles 19 mrs 14 Introduction Chercher une primitive et clculer une intégrle n est ps tout à fit l même chose. Une primitive d une fonction f, c est une fonction F qui, lorsqu on l dérive,

Plus en détail

La formule de Simpson avec reste intégral Jean-François Burnol, septembre 2016

La formule de Simpson avec reste intégral Jean-François Burnol, septembre 2016 L formule de Simpson vec reste intégrl Jen-Frnçois Burnol, septembre 1 On cherche à pprocher l intégrle b f (t)dt pr une combinison linéire λf () + µf ( + b ) + νf (b) On v tout d bord prendre = et b =

Plus en détail

Limite d une fonction à l infini

Limite d une fonction à l infini CHAPITRE 3 LIMITES DE FONCTIONS ET DE SUITES Limite d une fonction à l infini et s courbe repré-. Limite finie d une fonction à l infini Soit f une fonction définie sur un intervlle [ ; + [ senttive. L

Plus en détail

Mathématiques. Analyse de Fourier D après des notes rédigées par B. Helffer et T. Ramond

Mathématiques. Analyse de Fourier D après des notes rédigées par B. Helffer et T. Ramond Mthémtiques Anlyse de Fourier D près des notes rédigées pr B. Helffer et T. Rmond Année 2007 2 Tble des mtières I Suites, Intégrles et Séries 1 1 Suites de nombres réels ou complexes 1 1.1 Générlités.........................................

Plus en détail

Les théorèmes fondamentaux

Les théorèmes fondamentaux Université d Artois Fculté des ciences Jen Perrin Mesure et Intégrtion (Licence 3 Mthémtiques-Informtique) Dniel Li Les théorèmes fondmentux 21 vril 28 1 L notion de presque prtout Avnt de donner les théorèmes

Plus en détail

Résolution d équations numériques

Résolution d équations numériques Résolution d équtions numériques Dniel PERRIN On présente ici trois méthodes de résolution d équtions : les méthodes de Newton, d interpoltion linéire et, très rièvement, d justement linéire. Pour des

Plus en détail

Cours de Mathématiques Seconde. Ordre et valeur absolue

Cours de Mathématiques Seconde. Ordre et valeur absolue Cours de Mthémtiques Seconde Frédéric Demoulin 1 Dernière révision : 16 vril 2007 Document diffusé vi le site www.cmths.net de Gilles Costntini 2 1 frederic.demoulin (chez) voil.fr 2 gilles.costntini (chez)

Plus en détail

THEOREMES D ANALYSE. P. Pansu 12 avril 2005

THEOREMES D ANALYSE. P. Pansu 12 avril 2005 THEOREMES D ANALYSE P. Pnsu 12 vril 2005 1 Vleurs intermédiires 1.1 Le théorème des vleurs intermédiires Théorème 1 Soit [, b] un intervlle fermé borné. Soit f : [, b] R une fonction continue. On suppose

Plus en détail

Intégrales impropres et séries. Tewfik Sari. L2 Math

Intégrales impropres et séries. Tewfik Sari. L2 Math Intégrles impropres et séries Tewfik Sri L2 Mth Chpitre 1 Rppels sur l intégrtion 1.1 Intégrle de Riemnn des fonctions en esclier Soit [, b] un intervlle fermé et borné de R. Une subdivision de [, b] et

Plus en détail

Cours d intégration L3-mass

Cours d intégration L3-mass Cours d intégrtion L3-mss Renud Leplideur Année 214-215 UBO 2 Tble des mtières 1 Rppels sur l intégrle de Riemnn et les limites croissntes 5 1.1 L intégrle u sens de Riemnn et les principux résultts.........

Plus en détail

( ) non vides et disjoints tels que D= A1 A2. Soit f la fonction définie par : 1. sont non vides.

( ) non vides et disjoints tels que D= A1 A2. Soit f la fonction définie par : 1. sont non vides. Prties connexes de R et fonctions continues PARTIES CONNEXES DE R ET FONCTIONS CONTINUES Prties connexes de R crctéristion Prtie connexe de R On dit qu'une prtie D de est connexe si D n'dmet ps de prtition

Plus en détail

Développements limités. Généralités. Définitions usuelles

Développements limités. Généralités. Définitions usuelles Développements limités I Générlités I.A Définitions usuelles.......................... I.B Formules de Tylor.......................... I.C Développements limités usuels.................... 4 I.D Eemples

Plus en détail

Clamaths.fr - Les Roc en Terminale S

Clamaths.fr - Les Roc en Terminale S Clmths.fr - Les Roc en Terminle S CONTENTS ROC - exigibles... 2 Roc 1 Théorème de comprison pour les suites... 2 Roc 2 Limite de qn lorsque q > 1... 2 Roc 3 Unicité de l fonction exponentielle... 3 Roc

Plus en détail

CHAPITRE 11 : FONCTION NEPERIEN. FONCTION LOGARITHME DECIMAL.

CHAPITRE 11 : FONCTION NEPERIEN. FONCTION LOGARITHME DECIMAL. CHAPITRE : FONCTION NEPERIEN. FONCTION LOGARITHME DECIMAL.. Fonction népérien (logrithme d une fonction composée). Théorème Si u est une fonction strictement positive et dérivble sur un intervlle I ouvert,

Plus en détail

CHAPITRE 7. Rappel sur l intégrale simple.

CHAPITRE 7. Rappel sur l intégrale simple. CHPITRE 7 Rppel sur l intégrle simple. Les prochins chpitres triteront de l intégrtion. Dns un premier temps, nous rppellerons ce qu est l intégrle simple (l intégrtion pour les fonctions d une seule vrible

Plus en détail

CX - INTEGRALE DE RIEMANN

CX - INTEGRALE DE RIEMANN CX - INTEGRALE DE RIEMANN On introduit dns ce texte l construction de l intégrle d une fonction à vleurs réelles due à Riemnn qui permet de donner un sens précis à l notion d ire d un domine D du pln euclidien

Plus en détail

Intégrale de Riemann. L3 Mathématiques. Jean-Christophe Breton Université de Rennes 1 Septembre Décembre 2009

Intégrale de Riemann. L3 Mathématiques. Jean-Christophe Breton Université de Rennes 1 Septembre Décembre 2009 Intégrle de Riemnn L3 Mthémtiques Jen-Christophe Breton Université de Rennes 1 Septembre Décembre 009 version du 1 décembre 009 Tble des mtières 1 Intégrles des fonctions en esclier 1 1.1 Fonctions en

Plus en détail

Rappels et compléments sur l intégrale de Riemann

Rappels et compléments sur l intégrale de Riemann Chpitre Rppels et compléments sur l intégrle de Riemnn Commençons pr un rppel. Théorème.. (Théorème fondmentl du clcul intégrl) Soit f :[, b]! R une fonction continue. Pour tout x 2 [, b], posons F (x)

Plus en détail

COURS TERMINALE S LE CALCUL INTEGRAL

COURS TERMINALE S LE CALCUL INTEGRAL COURS TERMINALE S LE CALCUL INTEGRAL A. Notion d'intégrle. Aire sous l coure On définit le domine pln, qu'on ppeller ire sous l coure C représenttive d'une fonction positive f sur un intervlle [; ], l

Plus en détail

Intégrale de Riemann cours et exercices de Licence, L1, PC, S2

Intégrale de Riemann cours et exercices de Licence, L1, PC, S2 Intégrle de Riemnn cours et exercices de Licence, L1, PC, S2 H. Le Ferrnd Jnury 29, 2010 Contents 1 Des premières méthodes 2 2 Sommes de Drboux 2 3 Fonction intégrble u sens de Riemnn 3 3.1 Qu est-ce qu

Plus en détail

Corrigés d exercices pour le TD 7

Corrigés d exercices pour le TD 7 Corrigés d exercices pour le TD 7 Dns cette feuille, suf indiction contrire, H désigne un espce de Hilbert réel de produit sclire,, et de norme ssociée =,. De plus, pr un léger bus de nottion, on identifier

Plus en détail

Universite Mohammed V- Agdal Faculté des Sciences. Département de Mathématiques. Module Analyse 2. Filières SM et SMIA. Semestre 2.

Universite Mohammed V- Agdal Faculté des Sciences. Département de Mathématiques. Module Analyse 2. Filières SM et SMIA. Semestre 2. Universite Mohmmed V- Agdl Fculté des Sciences Déprtement de Mthémtiques Module Anlyse 2 Filières SM et SMIA Semestre 2 Hmz BOUJEMAA 1 Chpitre 1 Intégrle de Riemnn. On peut déterminer l surfce de certines

Plus en détail

APPROXIMATION DE FONCTIONS DÉRIVABLES PAR UNE FONCTION POLYNOMIALE

APPROXIMATION DE FONCTIONS DÉRIVABLES PAR UNE FONCTION POLYNOMIALE APPROXIMATION DE FONCTIONS DÉRIVABLES PAR UNE FONCTION POLYNOMIALE Définition. Soit I R un intervlle ouvert et soit f : I R une fonction. () Si f est continue, on dit que f est de clsse C 0. (2) Si f est

Plus en détail

Calcul intégral. Catherine Decayeux. Catherine Decayeux () Calcul intégral 1 / 23

Calcul intégral. Catherine Decayeux. Catherine Decayeux () Calcul intégral 1 / 23 Clcul intégrl Ctherine Decyeux Ctherine Decyeux () Clcul intégrl 1 / 23 I-Introduction Le clcul intégrl s est développé u XVIIe siècle vec les trvux de Bonvntur Cvlieri, Isc Newton, Leibniz... mis les

Plus en détail

Chapitre 6. Calcul intégral. OJ = j. Aire(rectangle OIKJ)= 1 u.a. 1 u.a. D = {M(x ; y) P tels que a x b et 0 y f(x)}

Chapitre 6. Calcul intégral. OJ = j. Aire(rectangle OIKJ)= 1 u.a. 1 u.a. D = {M(x ; y) P tels que a x b et 0 y f(x)} Chpitre 6 Clcul intégrl Intégrle et ire. Intégrle d une fonction continue positive sur un intervlle [ ; ] Définition : L unité d ire Soit P un pln muni d un repère orthogonl (O ; ı, j ). Soient I, J, et

Plus en détail

Intégration. Intégrale d une fonction. II - Interprétation graphique : calcul d aire. 1) Aire d une fonction positive. T ale STI

Intégration. Intégrale d une fonction. II - Interprétation graphique : calcul d aire. 1) Aire d une fonction positive. T ale STI Intégrtion T le STI I - Intégrle d une fonction Définition Soit F une primitive de l fonction f sur [; ], lors, on note Exemple : Clcul de Clcul de 4 (3x ) dx = = [F(x)] = F() F() xdx : Une primitive de

Plus en détail

Définition d'une intégrale. Calcul intégral

Définition d'une intégrale. Calcul intégral Définition d'une intégrle Clcul intégrl. Introduction... p2 4. Primitives d'une fonction continue sur un intervlle... 2. Intégrle d'une fonction continue positive sur [;]... p5 p 5. Recherche de primitives...

Plus en détail

Chapitre 7 Intégrale et primitive. Table des matières. Chapitre 7 Intégrale et primitive TABLE DES MATIÈRES page -1

Chapitre 7 Intégrale et primitive. Table des matières. Chapitre 7 Intégrale et primitive TABLE DES MATIÈRES page -1 Chpitre 7 Intégrle et primitive TABLE DES MATIÈRES pge - Chpitre 7 Intégrle et primitive Tble des mtières I Exercices I-................................................ I- Clcul pproché d une intégrle

Plus en détail

CHAPITRE 5. Champs de vecteurs

CHAPITRE 5. Champs de vecteurs CHAPITRE 5 Chmps de vecteurs Définition 5.1. Un chmp de vecteur est une ppliction F définie et continue sur un domine D( F ) de R 3 qui chque point (x, y, z) de R 3 ssocie une vecteur F (x, y, z) de R

Plus en détail

Chapitre 0 : Mise au point sur les nombres et le calcul

Chapitre 0 : Mise au point sur les nombres et le calcul Lycée Jules Fil, Crcssonne Clsse de 2 nde Chpitre 0 : Mise u point sur les nombres et le clcul D. Zncnro C. Aupérin 2009-2010 Téléchrger c est tuer l industrie, tuons les tous Thurston Moore Dernière modifiction

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL. Session Pondichéry (avril 2010) MATHÉMATIQUES (obligatoire) Correction. Série : S

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL. Session Pondichéry (avril 2010) MATHÉMATIQUES (obligatoire) Correction. Série : S BACCALAURÉAT GÉNÉRAL Session Pondichéry vril ) MATHÉMATIQUES obligtoire) Correction Série : S Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 EXERCICE PARTIE A Soient et b deux réels tels que < b. Soient

Plus en détail

Propriétés de l intégrale

Propriétés de l intégrale [http://mp.pgedupuydelome.r] édité le juillet 24 Enonés Propriétés de l intégrle Exerie [ 965 ] [orretion] Soient : [, ] R une ontion ontinue pr moreux et ], [. Montrer que ( (tdt mx (tdt, Exerie 2 [ 966

Plus en détail

Chapitre 9. Calcul intégral. 9.1 Intégrale d une fonction continue Définition, exemples et propriétés

Chapitre 9. Calcul intégral. 9.1 Intégrale d une fonction continue Définition, exemples et propriétés Chpitre 9 Clcul intégrl L notion de clcul intégrle est une notion ssez importnte dns bons nombres de domines de l science. Ce cours pour but d introduire ldite notion. On utilise le clcul intégrl :. pour

Plus en détail

Calculs de base (Rappels)

Calculs de base (Rappels) Chpitre I Clculs de bse (Rppels) I.1 Diviseurs et multiples I.1.1 Définitions On : 12=3 4. On dit que 3 et 4 sont des diviseurs de 12, ou que 12 est un multiple de 3 et de 4. DÉFINITION I.1.1 Soit et b

Plus en détail

Le Calcul de Primitives

Le Calcul de Primitives Le Clcul de Primitives MPSI Prytnée Ntionl Militire Pscl Delhye 25 octobre 27 ϕ(x) f(u) du = f(ϕ(t) )ϕ (t) }{{}}{{} u du Résultts préliminires Définition : Primitives Soit deux fonctions f et F définies

Plus en détail

Chapitre 6 Suites et séries de fonctions

Chapitre 6 Suites et séries de fonctions Chpitre 6 Suites et séries de fonctions Semine 1 : Etude des prgrphes 1 et 2. Fire les exercices d pprentissge 6.1 6.10. Semine 2 : Etude du prgrphe 3. Fire les exercices d pprofondissement 6.11 6.24.

Plus en détail

Espaces préhilbertiens

Espaces préhilbertiens 1 Espces préhilbertiens On désigne pr E un espce vectoriel réel non réduit à {}. 1.1 Produit sclire Définition 1.1 On dit qu une forme bilinéire symétrique ϕ sur E est : positive si ϕ (x, x) pour tout

Plus en détail

Remise en forme. Chapitre 1

Remise en forme. Chapitre 1 Chpitre 1 Remise en forme 1) Trigonométrie L fonction exponentielle est l réciproque de l fonction logrithme. Elle trnsforme une somme en un produit, lors que le logrithme trnsforme un produit en une somme

Plus en détail

Chapitre 1 Le Second Degré

Chapitre 1 Le Second Degré Cours de Mthémtiques Première STID Chpitre 1 : Le second degré Chpitre 1 Le Second Degré A) Résolution de l'éqution du second degré 1) Définitions On ppelle polynôme de second degré l expression x² x c

Plus en détail

CHAPITRE 17 : CALCUL D INTEGRALES - INTEGRATION PAR PARTIES

CHAPITRE 17 : CALCUL D INTEGRALES - INTEGRATION PAR PARTIES Clcul d intégrles - Intégrtion pr prties Cours CHAPITRE 7 : CALCUL D INTEGRALES - INTEGRATION PAR PARTIES Dns ce cours, nous disposons de trois techniques de clcul d intégrles : ) primitivtion pr lecture

Plus en détail

Lois de probabilité continues

Lois de probabilité continues Lois de probbilité continues Tble des mtières I Lois de probbilité continues I.1 Principe et définitions........................................... I. Exemples de lois continues.........................................

Plus en détail

Chapitre 2 Limites et asymptotes

Chapitre 2 Limites et asymptotes Chpitre 2 Limites et symptotes A) Introduction ) Le grenier Je veux monter un toit à une pente en lissnt l plce pour une pièce (grenier) de 3 mètres de long et 2 mètres de hut. OA = 3, OC = 2, OE = x.

Plus en détail

LIMITES D UNE FONCTION

LIMITES D UNE FONCTION Christophe Bertult Mthémtiques en MPSI LIMITES D UNE FONCTION Les fonctions qu on étudie en nlyse sont souvent définies sur des intervlles, mis souvent ussi sur des réunions d intervlles comme ou[0,[ [,3].

Plus en détail

Théorème de la bijection : exemples de rédaction

Théorème de la bijection : exemples de rédaction ECE-B 5-6 Théorème de l bijection : eemples de rédction Le but de cette fiche est de fire un point sur le théorème de l bijection. Après un retour sur l énoncé et s démonstrtion, on illustrer l utilistion

Plus en détail

Chapitre 19 Intégration sur un segment

Chapitre 19 Intégration sur un segment Chpitre 19 ntégrtion sur un segment Dns tout ce chpitre, suf mention contrire,, b désignent deux réels tels que < b et un intervlle de R contennt u moins deux points. - Construction de l'intégrle.1 - Continuité

Plus en détail

Variables aléatoires à densité

Variables aléatoires à densité Vribles létoires à densité Rppels : Une vrible létoire réelle (VAR) est une ppliction X : Ω R où (Ω,A,P) est un espce probbilisé. Lorsque X(Ω) est un ensemble discret on dit que X est une VAR discrète.

Plus en détail

Intégrales dépendant d un paramètre

Intégrales dépendant d un paramètre Intégrles dépendnt d un prmètre Très souvent, l solution d une éqution différentielle boutit u clcul d une primitive : F() = f (, t) dt. Dns de nombreu cs, il n y ps de forme eplicite pour cette primitive

Plus en détail

PARTIE II : Un exemple pour se familiariser avec la conjecture et cette drôle de fonction. . (On ne cherchera pas à exprimer F plus simplement.

PARTIE II : Un exemple pour se familiariser avec la conjecture et cette drôle de fonction. . (On ne cherchera pas à exprimer F plus simplement. Eercice. Découverte des fonctions définies pr une intégrle et premiers ps vers le téorème fondmentl du clcul intégrl. PARTE : Découverte de l fonction «ire sous l courbe» et conjecture sur s dérivée et

Plus en détail

Langages et Automates : LA3 Partie 6 : Minimisation. Langages et Automates : LA3 Partie 6 : Minimisation 1 / 40

Langages et Automates : LA3 Partie 6 : Minimisation. Langages et Automates : LA3 Partie 6 : Minimisation 1 / 40 Lngges et Automtes : LA3 Prtie 6 : Minimistion Lngges et Automtes : LA3 Prtie 6 : Minimistion 1 / 40 Minimistion Dns ce chpitre, on v montrer l existence d un unique utomte ynt un nomre minimum d étt pour

Plus en détail

Chap.9 Les fonctions polynômes du second degré (1)

Chap.9 Les fonctions polynômes du second degré (1) Chp.9 Les fonctions polynômes du second degré () Forme développée Forme cnonique Polynôme du second degré Forme fctorisée Polynôme du second degré f x x x c ( ) Forme développée réduite 3 ) Exemples f

Plus en détail