Une preuve élémentaire du théorème de convergence dominée

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1 Une preuve élémentire du théorème de convergence dominée Le but de ce texte, influencé pr l lecture de l rticle [2], est de proposer une preuve élémentire du théorème de convergence dominée, dns le cdre des fonctions continues pr morceux sur un segment. L djectif élémentire signifie qu on s interdit de recourir à l théorie de l mesure de Lebesgue, lquelle fournit pourtnt une preuve en quelques lignes de notre théorème (voir [1]), preuve dont nous essierons de donner un perçu en cours de route. Dns notre contexte, élémentire ne veut certinement ps dire fcile! En effet, l «niche écologique» du théorème de convergence bornée étnt l théorie de Lebesgue, toute tenttive de rendre l rgument élémentire pporte inévitblement son lot de complictions... Toutefois, l preuve ici présentée le mérite de suivre d ssez près l preuve historique et très nturelle de Lebesgue, et de l dpter u cdre qui est le nôtre. Commençons pr rppeler l énoncé du théorème. Théorème 1. Soit (f n ) n 0 une suite de fonctions continues pr morceux d un intervlle de R vers C, telle que, pour chque x, l on it f n (x) f(x), où f : C est une fonction continue pr morceux. On suppose de plus qu il existe ϕ : R + continue pr morceux et intégrble vérifint f n (x) ϕ(x) pour n 0 et x. Alors, f n (x)dx f(x)dx. 1 Le lemme de convergence bornée Commençons pr montrer que le théorème 1 est une conséquence immédite du résultt suivnt, que nous nommerons dns l suite «lemme de convergence bornée». 1

2 Théorème 2. Soit (f n ) n 0 une suite de fonctions de [, b] vers C continues pr morceux, telle que, pour chque x [, b], l on it f n (x) f(x), où f : [, b] C est une fonction continue pr morceux. On suppose qu il existe une constnte réelle M telle que f n (x) M pour n 0 et x [, b]. Alors, f n (x)dx f(x)dx. Supposons un instnt le théorème 2 cquis, et revenons ux nottions du théorème 1. Fixons ε > 0. Comme l fonction ϕ est intégrble, il existe certinement (pr définition même de l intégrle) un segment J = [, b] tel que 1 On lors, pour n 0 : f n (x)dx f(x)dx \J J J J ϕ(x)dx ε. f n (x) f(x) dx + \J f n (x) f(x) dx + 2 f n (x) f(x) dx + 2ε. Or, d près le lemme de convergence bornée, on f n (x) f(x) dx 0. En effet, d une prt et d utre prt J \J f n (x) f(x) 0 pour chque x J, ( f n (x)dx + f(x) dx ϕ(x)dx f n (x) f(x) f n (x) + f(x) 2ϕ(x) 2 ϕ,j pour n 0 et x J. l existe donc un entier N tel que f n (x)dx f(x)dx 3ε pour n N, 1. L intégrle R ϕ(x)dx désigne en rélité l somme d u plus deux intégrles. \J 2

3 ce qui termine l preuve du théorème 1. Revenons à notre lemme de convergence bornée. Une première remrque s impose : on peut supposer sns perte de générlité les f n à vleurs réelles positives, et f nulle. En effet, si l on sit montrer le théorème dns ce cs prticulier, on obtient le cs générl en posnt g n = f f n pour n 0. Dès lors : chque g n est continue pr morceux et positive, pour chque x [, b], g n (x) 0, pour n 0 et x [, b], g n (x) 2M. Le cs prticulier donne lors d où fortiori puisque f n (x)dx g n (x)dx 0, f n (x)dx f(x)dx f(x)dx g n (x)dx. Dns l suite, on considèrer donc une suite (f n ) n 0 de fonctions continues pr morceux de [, b] vers R, telles que et l s git de montrer que f n (x) 0 pour chque x [, b] 0 f n (x) M pour n 0 et x [, b]. f n (x)dx 0. 2 Les idées de l preuve de Lebesgue Avertissement : ce prgrphe ne prétend ps à l même rigueur que les utres. l pour seul objectif de donner une idée de l preuve historique du théorème qui nous occupe, en occultnt les détils techniques. L théorie de l mesure de Lebesgue montre l possibilité d ttribuer à chque élément X d une clsse très lrge de prties de [, b], dites mesurbles 2, un nombre réel compris entre 0 et b, ppelé l mesure de X, noté m(x), et possédnt les propriétés suivntes, ssez nturelles à l exception, peut-être, de l dernière : 2. qu il serit hors de propos de définir ici. Pour un exposé à l fois très clir, complet et prticulièrement motivnt de l théorie de l mesure, on renvoie à l excellent [3]. 3

4 Si X est un intervlle contenu dns [, b], de toute nture, et d extrémités c et d, lors m(x) = d c. L mesure de Lebesgue est donc une générlistion de l notion de longueur des intervlles. Si X et Y sont deux prties disjointes et mesurbles de [, b], lors X Y est mesurble et m(x Y ) = m(x) + m(y ). Si X [, b] est mesurble, son complémentire ussi, et m([, b] \ X) = b m(x). Si X et Y sont deux prties mesurbles de [, b] telles que X Y, lors m(x) m(y ). Si (X n ) n 0 est une suite décroissnte u sens de l inclusion de prties mesurbles de [, b] telle que n N X n =, lors m(x n ) 0. Voici lors l «preuve» de Lebesgue de son théorème de convergence bornée. Fixons ε > 0 et posons A n = {x [, b]/f i (x) ε pour u moins un i n} et A n = [, b] \ A n pour n 0. Admettnt que A n (et donc A n) sont des prties mesurbles de [, b], on : f n (x)dx = f n (x)dx + f n (x)dx (genre de reltion de Chsles) A n A n M dx + ε dx A n A n Mm(A n ) + εm(a n) Mm(A n ) + (b )ε. Or, (A n ) n 0 est une suite décroissnte u sens de l inclusion de prties de [, b], d intersection vide. Pr suite, m(a n ) 0. Pour n ssez grnd, on ur donc ce qui termine l «preuve». 0 f n (x)dx (M + b )ε, 3 Théorie élémentire de l mesure Pour dpter l preuve de Lebesgue, nous llons développer, rigoureusement cette fois, une théorie élémentire de l mesure, qui bien que rudimentire ser suffisnte pour nous mener u but. 4

5 Quelles sont les prties X de [, b] uxquelles nous pourrions risonnblement ttribuer une mesure m(x)? l y bien sûr les intervlles, mis c est un peu restreint... Un peu plus plus générlement, décidons d ppeler prtie élémentire de [, b] toute union finie d intervlles (de toute nture) contenus dns [, b]. Ainsi, une prtie élémentire X s écrit X = 1... p, où k est un intervlle contenu dns [, b]. Bien sûr, une telle écriture n rien d unique, et les k ne sont ps supposés deux à deux disjoints, ce qui nous empêche de poser m(x) = m( 1 ) m( p ). Pour contourner cette difficulté, consttons le fit simple mis crucil suivnt : X [, b] est élémentire si et seulement si 1 X est en esclier sur [, b], 1 X désignnt l fonction indictrice de X. Dns ce cs, on peut poser m(x) = u sens de l intégrle des fonctions en esclier. 1 X (x)dx Quelles sont les propriétés de l «mesure 3» que nous venons de créer? Une réunion finie de prties élémentires est une prtie élémentire (évident). Le complémentire d une prtie élémentire est une prtie élémentire, puisque si X [, b] est élémentire, 1 [,b]\x = 1 1 X. On déduit des deux points précédents qu une intersection finie de prties élémentires est une prtie élémentire. Si X est un intervlle d extrémités c et d contenu dns [, b], lors X est élémentire et m(x) = d c. Si X et Y sont deux prties élémentires de [, b] telles que X Y, on 1 X 1 Y d où m(x) m(y ) en intégrnt sur [, b]. Si X et Y sont deux prties élémentires de [, b], disjointes, on 1 X Y = 1 X +1 Y, d où, pr simple linérité de l intégrle : m(x Y ) = m(x) + m(y ). (1) Que dire si les prties élémentires envisgées ne sont ps disjointes? On écrit lors X Y = X (Y \ X), ce qui donne, puisque X et Y \ X sont élémentires et disjointes : m(x Y ) = m(x) + m(y \ X) et donc C est l sous-dditivité de l mesure. 3. certes bien plus rudimentire que celle de Lebesgue. m(x Y ) m(x) + m(y ). (2) 5

6 Nturellement, (1) et (2) se générlisent imméditement, pr récurrence, à un nombre fini quelconque de prties élémentires, supposées deux à deux disjointes dns le cs de (1). 4 Preuve du théorème de convergence bornée Dns ce prgrphe, nous llons modifier l rgument de Lebesgue en pprochnt les prties mesurbles pr des prties plus «régulières» : les prties élémentires. Fixons donc ε > 0 et posons, «à l Lebesgue», A n = {x [, b]/f i (x) ε pour u moins un i n}. Observons les fits suivnts : (A n ) n 0 est une suite décroissnte u sens de l inclusion de prties de [, b], n 0 A n = : en effet, si x [, b] pprtient à tous les A n, cel signifie exctement que l inéglité f n (x) ε lieu pour une infinité d indices n, ce qui est impossible puisque f n (x) 0. Fixons lors n 0, ϕ n une fonction en esclier telle que ϕ n f n, et posons E n = {x [, b]/ϕ n (x) ε} et E n = [, b] \ E n. Comme ϕ n est en esclier, E n et E n sont des prties élémentires 4 de [, b]. De plus, E n A n, et ϕ n (x)dx = ϕ n (x)1 En (x)dx + M1 En (x)dx + Mm(E n ) + (b )ε Mα(A n ) + (b )ε, ε dx ϕ n (x)1 E n (x)dx en notnt α(a n ) l borne supérieure de l ensemble des mesures des prties élémentires de [, b] contenues dns A n. Ensuite, comme cette inéglité est vrie pour toute fonction en esclier telle que ϕ n f n, un pssge à l borne supérieure sur ϕ n (toujours à n fixé) donne Si nous prvenons à montrer que 4. lors que A n n ucune rison de l être. f n (x)dx Mα(A n ) + (b )ε. α(a n ) 0, 6

7 nous pourrons conclure que d où 0 f n (x) (M + b )ε pour n ssez grnd, f n (x)dx 0, et l preuve ser terminée. Ce point fit l objet d un lemme-clé, que nous expliquons dns le prgrphe suivnt. 5 Le lemme-clé Lemme 1. Soit (A n ) n 0 une suite décroissnte u sens de l inclusion de prties de [, b], telle que A n =. Alors, n 0 α(a n ) 0, en notnt α(a n ) l borne supérieure de l ensemble des mesures des prties élémentires de [, b] contenues dns A n. Démonstrtion. Supposons le contrire. Comme l suite (α(a n )) n 0 est visiblement décroissnte, il existe δ > 0 tel que α(a n ) > δ pour tout n 0. D utre prt, pour chque n 0, nous pouvons fixer, pr définition de l borne supérieure, une prtie élémentire E n de A n telle que m(e n ) α(a n ) δ2 n 1. De plus, quitte à jouter à E n un certin nombre d extrémités des intervlles le constitunt (ce qui ne chnge ps s mesure), on peut supposer E n fermé. l n y bien sûr ucune rison pour que l suite (E n ) n 0 soit décroissnte, mis il est fcile de récupérer l monotonie en posnt n F n = E i pour n 0. i=0 L suite (F n ) n 0 est lors une suite décroissnte de fermés de [, b]. Si nous rrivons à montrer que chque F n est non vide, l intersection des F n le ser églement 5, ce qui fournir l contrdiction convoitée puisque A n =. n 0 F n n 0 5. C est une conséquence fcile du théorème de Bolzno-Weierstrss. 7

8 Or, pour montrer que F n, il suffit de montrer que α(a n \F n ) δ (puisque α(a n ) > δ pr définition), utrement dit que A n \ F n est «ssez petite». C est ce que nous fisons dns l suite. Fixons n 0. Comme E n est «proche» de A n, les prties élémentires de A n \E n sont «petites». De fçon précise, soit E une prtie élémentire de A n \ E n. On lors m(e) = m(e E n ) m(e n ) puisque E et E n sont disjointes et élémentires α(a n ) m(e n ) puisque E E n est élémentire et contenue dns A n δ2 n 1 pr définition de E n. Bien sûr, comme F n E n, les prties élémentires de A n \ F n risquent d être plus grosses que celles de A n \ E n. Essyons qund même de contrôler leur mesure : si E est une prtie élémentire de A n \ F n, on E = (E \ E 0 ) (E \ E 1 ) (E \ E n ). Or, pour chque i [0, n], E \ E i est une prtie élémentire de A n \ E i A i \ E i à cuse de l décroissnce des A n. On déduit lors du point précédent et de l sous-dditivité de l mesure que m(e) δ( n 1 ) δ 2 i = δ. Mis lors, pr définition de l borne supérieure, on α(a n \ F n ) δ, ce qui termine l preuve du lemme-clé et donc celle du théorème de convergence bornée. i=1 Références [1] H. Lebesgue, Leçons sur l intégrtion et l recherche des fonctions primitives, troisième édition, 1928, publiées pr l Americn Mthemticl Society, Chelse, 1973 [2] J. W. Lewin, «A truly elementry pproch to the bounded convergence theorem», Americn Mthemticl Monthly 93, 5 (1986), p [3] E. M. Stein, R. Shkrchi, Rel nlysis, Princeton university press,