Exemple. 4 Grammaires régulières. The quick brown fox jumps over the lazy dog. Réécriture. Application : image de synthèse. Phrase

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1 Phrse 4 Grmmires régulières Sujet Vere Complément Groupe Nominl Complément Ojet Indirect rticle Liste djectifs Nom Préposition Groupe Nominl djectif djectif rticle Liste djectifs Nom djectif The quick rown fox jumps over the lzy dog 1! 2! Réécriture ppliction : imge de synthèse mécnisme qui permet d engendrer des fmilles d ojets (figures géométriques, étiquettes de grphes, polyominos, mots, frctles...) on dispose d un ojet initil : l xiome insi que de règles de réécriture i.e. un ensemle d éléments du type α β (lire : l ojet α se réécrit en celui β. ) elle s ppuie sur une reltion de dérivtion inire trnsitive notée * et définie pr : si α β lors α β si α β et si en remplçnt dns γ l ojet α pr celui β on otient δ lors γ δ ' * est l fermeture trnsitive de l ensemle engendré est : {ϕ, * ϕ}' 3! 4!

2 Une seule règle de réécriture : (F signifie «flèche») F + F + F + F Une étpe de réécriture F F + F - F - FF + F + F - F (+ signifie que l on tourne à droite - signifie que l on tourne à guche) «se dérive en» 5! 6! Déut de l étpe 2 2 e étpe entière 7! 8!

3 Merci Python! Grmmire Une grmmire G est un qudruplet (N,T,P,) où : Propriétés N est un ensemle fini de symoles non-terminux T est l lphet de symoles terminux P est un ensemle fini de productions (ou de règles) { ϕ ψ, ϕ (N T) +, ψ (N T) * } est l xiome le voculire est V = N T N T = (P,) est un système de réécriture. Le lngge engendré pr l grmmire G est L(G) = { ϕ T*, * ϕ} L(G) : ensemle des mots sur T dérivnt de l xiome. 9! 10! G = (N,T,P,) vec : Exemples N = {, } ensemle des non-terminux T = {, } ensemle des terminux P = { ε } est l xiome L(G) est décrit pr * * G = (N,T, P,) vec : N = { }, xiome T = { 0, 1 } P = { 0 1 ε } L(G ) = {0 n 1 n, n 0} (non rtionnel). TTENTION à ne ps inventer une expression régulière pour un lngge non rtionnel... rre de dérivtion Soit G = (N,T,P,) une grmmire vec un seul non-terminl pr prtie guche des productions. Un rre de dérivtion pour un mot w engendré pr G est un rre dont : l rcine est étiquetée pr l xiome les feuilles sont étiquetées pr des éléments de T {ε} les nœuds internes le sont pr des éléments de N un nœud interne étiqueté des fils, de guche à droite, étiquetés α 1, α 2,... α n, s il existe dns P une production : α 1 α 2... α n w est formé de l concténtion des feuilles lues dns un prcours (ici indifféremment infixe, préfixe ou postfixe) de l rre. 11! 12!

4 s Grmmires régulières * G = (N,T,P,) vec : N = {, } T = {, } P ={ ε } G = (N,T,P,) vec : N = { } T = { 0, 1 } P = { 0 1 ε } ε ε Une grmmire (N,T,P,) est régulière à droite si les éléments de P sont de l forme : C ou ou ε' vec N, C N et T Une grmmire (N,T,P,) est régulière à guche si les éléments de P sont de l forme : C ou ou ε vec N, C N et T Théorème un lngge L est rtionnel si et seulement si il existe une grmmire régulière qui engendre les mots de L. * ussi dites grmmires linéires. il existe un lgorithme pour psser d une grmmire régulière à guche à une grmmire régulière à droite engendrnt le même lngge (cf. TD 4) 13! 14! Exemple & contre-exemple G = (N,T,P,) est régulière à droite : P = { ε } L(G) est décrit pr l expression régulière : * * G = (N,T,P,) n est ps une grmmire régulière : P = { 0 1 ε } Un lngge non-rtionnel L(G ) = { 0 n 1 n, n 0 } ne peut ps être engendré pr une grmmire régulière..f.d. grmmire régulière * Le théorème précédent se prouve pr doule construction. Premier sens : Soit un utomte fini déterministe donné = (Σ, Q, δ, q 0, F) Construisons G = (N,T,P,), une grmmire régulière pour L() : l ensemle des non-terminux N est celui des étts Q de ** l ensemle des terminux T égle Σ l xiome de G correspond à l étt q 0 pour tout (q,σ,q ) de δ il existe q σ q dns P ** pour tout f de F, il existe f ε dns P ** * on pourrit ussi prtir d un.f.n. ** à un renommge près. 15! 16!

5 Grmmire régulière.f.n. = (Σ, Q, δ,, F) Construction réciproque : soit G = (N,T,P,) une grmmire régulière à droite Σ = {,}, Q = {,,C,D}, F = {D} G = (N,T,P,) N = {,,C,D} T = {,} P = { C D C D C D D D D D ε } C L(G) = L() D, construisons un utomte fini qui ccepte L(G) : = (Σ, Q, δ, q 0, F) on joute un nouveu non-terminl X pour les productions α et on les remplce pr α X et X ε. les étts de Q correspondent ux non-terminux N {X}. * l lphet Σ coïncide vec l ensemle T des terminux. l étt q 0 correspond à l xiome de l grmmire pour toute production α C de P, on crée (,α,c) dns δ. * pour toute production ε, l étt correspondnt à est finl dns. * à un renommge près. 17! 18! Exemple G = (N,T,P,) une grmmire régulière à droite N = {,} T = {,,c} P = { = (Σ, Q, δ,, F) c (devient c X et X ε) (devient X ) ε } c X Σ = {,,c} Q = {,,X} F = {,X} E : * * (+ε) + * c L(G) = L() 19!