VI INERTIE GEOMETRIE DES MASSES

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1 VI INERTIE EOMETRIE DE ME Dans l étude de la dynamque des systèmes matérels et des soldes l est mportant d étuder la répartton géométrque des masses, afn d exprmer smplement les concepts cnétques qu apparassent dans les los fondamentales.. Masse d un système matérel a) Masse volumque Défnton : ot un ensemble de ponts matérels (, m ). En chaque pont M de l espace occupé par les (, m ) on défnt un volume de mesure V(M) fermé. + La densté volumque de masse au pont M, ρ( M ) R, est alors donnée par : masse de V ( M ) ρ ( M ) = V( M) ρ est auss appelée masse volumque, son unté est le kg/m 3 Remarque + La foncton densté ρ: ε R ans défne n est généralement pas contnue (dstrbuton dscrète des ponts). Cette défnton correspond à un procédé physque smple de mesure de ρ (on prend un volume dont on mesure la masse et on fat la dvson). On peut cependant modfer légèrement la défnton de ρ pour obtenr une foncton contnue, en affectant un pods à chaque pont matérel par exemple. Nous supposerons ρ généralement contnu dans la sute. Mécanque - VI - / 8

2 b) Masse Défnton : vec le modèle du mleu contnu, un système matérel est représenté par un volume V fermé et borné de ε sur lequel on a défn la densté volumque de masse ρ. La masse de est alors défne par : m ( ) = dm = ρ( M ) dv ( M ) V M V est le domane volumque contenant l ensemble des masses. Remarque : En mécanque newtonenne, la masse d un système matérel présente la proprété d addtvé (faux en mécanque relatvste). Pour un ensemble dscret de n ponts matérels de masse m, on a : n m= m = c) Elément de volume Rappel : uvant le type de coordonnées chos pour décrre le système, l élément de volume dv(m) s exprme dfféremment : Coordonnées cartésennes : dv = dx dy dz Coordonnées cylndrques : dv = ρd ρdθ dz Coordonnées sphérques : dv = r 2 snϕ dr dθ dϕ 2. Centre de masse (ou d nerte) a) Défnton On appelle centre de masse d un système matérel le barycentre des dfférents ponts de affectés de leurs masses respectves. n Pour un système de n ponts matérels (, m ), sa poston est défne par : m!!!! = 0 = Mécanque - VI - 2 / 8

3 Cette relaton est équvalente à :!!! n!!!! mo = mo = où O est une orgne quelconque et m la masse totale du système ( m= m ) n = Pour un mleu contnu de domane Ω (volume, surface ou courbe) sur lequel est défne une densté unforme (volumque, surfacque, lnéque) son centre de masse est alors défn par :!!!!!!!!!!!!!!!!!!! M dm = 0, ou la relaton équvalente : mo = OM dm M Ω, O M Ω Remarques : - Le centre de masse est souvent appelé centre de gravté (abus de langage) - La défnton du centre d nerte est ndépendante du pont O chos b) Proprétés () ssocatvté oent 2 systèmes matérels dsjonts et 2 de centres de masse respectfs et 2, alors ( 2) a pour centre de masse tel que :!!!!!!!!!!! m( ) O = m( ) O + m( ) O 2 énéralsaton : un système matérel est une somme de n systèmes matérels smples, cette proprété permet de détermner le centre de masse de l ensemble à partr des centres de masse de chacune des partes :!!! n!!!! m ( ) O= m ( ) O = () ymétre matérelle Défnton : Un système matérel possède un élément de symétre matérelle (pont, drote, plan) s la masse volumque en tout pont de ce système est égale à la masse volumque au pont symétrque par rapport à cet élément de symétre. ot s α : ε ε l applcaton symétre par rapport à α alors, ρ( ) s ( ) = ρ( ) α Mécanque - VI - 3 / 8

4 Proprété : un élément matérel admet une symétre matérelle par rapport à α (pont, drote ou plan) alors le centre d nerte de,, appartent à la symétre : α () Théorèmes de uldn Détermnaton des centres de masse de courbes et de surfaces matérelles smples. er Théorème : ot un système matérel modélsé par un arc de courbe C plan (π) de densté lnéque de masse ρ l homogène. ot une drote de (π) ne coupant pas C, alors on a : où l = longueur de la courbe C h = dstance de à 2π lh = = are de la surface engendré par la rotaton de C autour de Exemple : Poston du centre de masse d un quart de cercle de rayon R En prenant successvement pour les axes e x et e y délmtant le quart de cercle, on obtent : x = y = 2R π 2 ème Théorème : ot un système matérel modélsé par une surface dans le plan (π) de densté surfacque de masse ρ s homogène. ot une drote de (π) telle que ne coupe pas, alors on a : où = are de la surface h = dstance de à 2π h = V V = volume du domane engendré par la rotaton de autour de Mécanque - VI - 4 / 8

5 Exemple : Poston du centre de masse d un quart de plaque crculare de rayon R Même démarche que pour le quart de cercle. On obtent : x = y = 4R 3π 3. Moments d nerte a) Moment d nerte par rapport à un axe Défnton On appelle moment d nerte d un système matérel contnu par rapport à un axe, la quantté postve : I 2 ( / ) = dm (, ) dm M où dm (, ) est la dstance du pont M à l axe dm (, ) =!!!! HM Remarque : Pour un système matérel dscret (ensemble de n ponts matérels (, m ) ), on a : n I ( / ) = md (, ) = 2 Théorème de Huygens-chtener ot un système matérel de densté de masse ρ et de centre d nerte. ot un axe et la drote parallèle à passant par. lors on a : où d = d(, ) I ( / ) = I ( / ) + md ( ) (dstance entre les deux axes parallèles et ) 2 Mécanque - VI - 5 / 8

6 b) Opérateur et matrce d nerte Défnton : ot un système matérel de domane Ω (volume, surface ou courbe) et de densté de masse ρ ( M ) (volumque, surfacque ou lnéque), on appelle opérateur d nerte de en ε l applcaton lnéare : E E vérfant : u!!!!!!!! E, ( u) = ( M u) M dm Cette opérateur est auss appelé tenseur d nerte. Ω Théorème : Quelque sot l axe défnt par la drote ( u, ), avec u =, l opérateur d nerte vérfe : I ( / ) = u. ( u) Défnton : La matrce carrée suvant laquelle s explcte l opérateur drecte B= ( e, e 2, e 3) est appelée matrce d nerte. dans une base orthonormée 2 3 = 3 B avec (, j) =,2,3 j,. j = e ( ej ), j est appelé produt d nerte = j, représente le moment d nerte de par rapport à ( e, ), = I( / e) = I Remarque : Dans le cas fréquent où est un solde par rapport auquel la base B est fxe, la matrce est constante Théorème : L applcaton lnéare est symétrque ( ( uv, ) E 2, u. ( v ) = v. ( u ) ) la matrce d nerte est symétrque Mécanque - VI - 6 / 8

7 pplcaton : oent ( xyz,, ) les coordonnées cartésennes relatves au repère R= ( O, e, e, e ) x y z alors la matrce d nerte s écrt : O D E = D B F E F C R avec Ox ( ) xy = I = y + z dm Oy D I xydm = = ( ) xz B= I = x + z dm Oz E I xzdm = = ( ) yz C = I = x + y dm F I yzdm = = Démonstraton : Il sufft d utlser dans la défnton du moment d nerte l expresson de la dstance à un axe ssue de la géométre vectorelle :!!!! OM u d = u c) xes prncpaux d nerte Théorème : ot une applcaton lnéare L: E E symétrque, alors l exste au mons une base orthonormée dans laquelle la matrce de L est dagonale. Défnton : ot un système matérel et un pont ε, alors l exste au mons une base orthonormée drecte dans laquelle la matrce de est dagonale. Il est possble de trouver, par changement de base un système d axes orthonormés B' = ( e, e, e ) tel que les produts d nerte soent nuls : 2 3 O = 0 I2 0 B' I I 3 Mécanque - VI - 7 / 8

8 Cette base est appelée base prncpale d nerte, ses axes, axes prncpaux d nerte, la matrce, matrce prncpale d nerte et les termes dagonaux, I, I 2, I 3, moments prncpaux d nerte. Théorème : ymétre matérelle ot un système matérel de domane Ω (volume, surface ou courbe) et de densté ρ. () Plan de symétre : admet une symétre matérelle par rapport à un plan (π), alors tout axe perpendculare à (π) est axe prncpal d nerte. ot ( π ) = ( Oxy) par exemple, alors ( e ) = I e et I = 0 = O z Oz z xz I yz () xe de symétre : possède un axe de symétre matérelle, alors est axe prncpal de symétre ot = ( Oz) par exemple, alors ( e ) = I e et I = 0 = I O z Oz z xz yz Corollare ot un système matérel et R= ( O, e, e2, e3) un repère orthonormé drect de E, alors O est une matrce dagonale et ( e, e2, e3) est trèdre prncpal d nerte dans les deux cas suvants : () admet une symétre matérelle par rapport à 2 des 3 plans ( Oe,, e 2), ( Oe,, e) 2 3 ( Oe,, e3) () admet une symétre matérelle par rapport à 2 des 3 axes ( Oe, ), ( Oe, 23 ) et ( Oe, 3) et Théorème de Huygens : énéralsaton aux matrces d nerte!!! ot un système matérel de centre d nerte tel que O = a e+ be2 + c e3 et B= ( e, e 2, e 3) une base orthonormée drecte, alors le transport des moments d nerte permet d écrre : b + c ab ac O = + m( ) ab a + c bc ac bc a + b (transport des opérateurs d nerte) Mécanque - VI - 8 / 8