Comparaison des fonctions au voisinage d un point

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1 DOCUMENT 29 Comprison des fonctions u voisinge d un point Pour tout 0 R on pose : V 0 = {] 0 η, 0 + η[ η > 0} si 0 R; V 0 = {], + [ R} si 0 = + et V 0 = {], [ R} si 0 =. Un élément de V 0 est ppelé un voisinge de 0. L ensemble des voisinges de 0 est stble pr intersection. Pour tout 0 R, on désigne pr F 0 l ensemble des fonctions définies dns un voisinge de 0. Cet ensemble est stble pr ddition, multipliction pr une constnte, multipliction. 1. Les reltions de domintion et de prépondérnce Définition Soit f et g deu éléments de F 0. On dit que f est dominée pr g u voisinge de 0 s il eiste V V 0 et M > 0 tels que : V f() M g() On dit que f est négligeble devnt g ou que g est prépondérnte devnt f u voisinge de 0 si, pour tout ɛ > 0, il eiste V V 0 tel que : V f() ɛ g() On désigne respectivement pr O(g) et o(g) l ensemble des fonctions dominées pr g et l ensemble des fonctions négligebles devnt g u voisinge de 0. Il est clir que o(g) O(g) F 0. Prfois, pr bus d écriture, on note O(g) et o(g) un élément quelconque de ces ensembles (c est souvent le cs dns l écriture des développements limités). On peut ussi écrire O 0 (g) et o 0 (g) lorsque différentes vleurs de 0 interviennent. Remrquons que: Si f O(g) et si lim g() = 0 lors lim f() = 0. L fonction f est négligeble devnt une fonction constnte non nulle si et seulement si lim f() = 0. Théorème On f o(g) si et seulement si, il eiste dns F 0 une fonction ɛ tel que lim ɛ() = 0 et f() = ɛ()g() pour tout d un voisinge de 0. Si g ne s nnule ps dns f() un voisinge de 0 lors, f o(g) équivut à lim g() = 0 On un résultt nlogue pour l reltion de domintion en remplçnt l fonction ε pr une fonction M bornée dns un voisinge de

2 COMPARAISON DES FONCTIONS AU VOISINAGE D UN POINT Preuve. Supposons f o(g) et soit ε = 1. Il eiste V 1 V 0 tel que si V 1 lors f() g(). On définit sur V 1 une fonction ɛ pr ɛ() = 0 si g() = 0 et ɛ() = f() g() si g() 0. On, pour tout V 1, f() = ɛ()g(). C est évident si g() 0 et si g() = 0 lors f() g() entrine f() = 0. Soit ε > 0. Il eiste V 2 V 0 tel que V 2 implique f() ε g() et si V 1 V 2 lors ɛ() ε. On donc lim ɛ() = 0. Réciproquement, supposons qu il eiste une fonction ɛ, définie sur un voisinge V 1 de 0, telle que lim ɛ() = 0 et f() = ɛ()g() pour tout V 1. Soit ε > 0. Il eiste V 2 V 0 tel que si V 1 V 2, ɛ() < ε. Pour V 1 V 2, f() = ɛ() g() < ε g() et donc f o(g). Dns le cs où f O(g), on définit une fonction M comme l fonction ε précédente mis cette fois M est seulement bornée dns un voisinge de 0. En utilisnt les crctéristions des reltions de domintion et de prépondérnce obtenues dns ce théorème, insi que celle de l reltion d équivlence, l pluprt des preuves de ce document sont élémentires et utilisent les trois résultts suivnts : Le produit de deu fonctions bornées u voisinge de 0 est une fonction bornée u voisinge de 0. Le produit d une fonction bornée u voisinge de 0 pr une fonction de limite nulle en 0 est une fonction de limite nulle en 0. Le produit de deu fonctions de limite nulle en 0 est une fonction de limite nulle en 0. (C est un cs prticulier du résultt précédent.) Eemples. 1) Au voisinge de + on α o(e ) et ln o( α ) si α > 0. Si 0 < α < α lors α o( α ) et e α o(e α ). 2) L fonction f possède un développement limité d ordre n u voisinge de 0, f() = n n + n ɛ() vec lim ɛ() = 0, si et seulement si f() = n n +o( n ). 0 Cel entrine f() = n 1 n 1 +O( n ) mis cette dernière écriture n entrine ps que f un développement limité d ordre n. Elle implique seulement que f un développement limité d ordre n 1 cr O( n ) o( n 1 ). 3) Soit f : R R définie pr f(0) = 0 et f() = e 1 2 pour 0. On, pour tout e 1 2 n = 0 et donc f() o(n ). n N, lim u ± e u2 u n = 0 (voir le document 30) d où lim 0, 0 Désignons pr χ() l fonction crctéristique de Q et posons g() = f()χ(). Comme χ() 1, on encore g() o( n ) ce qui entrine que l fonction g possède des développements limités de tous ordres u voisinge de 0. Cette fonction est continue et dérivble en 0 et 0 est le seul point où elle est continue. Comme elle n est ps continue dns un voisinge de 0, elle n est ps deu fois dérivble en Propriétés des reltion binires de domintion et de prépondérnce. Proposition ) Les reltions de prépondérnce et de domintion sont trnsitives. L reltion de domintion est, de plus, réfleive (c est un préordre). b) Soit f, g, h trois éléments de F 0. Si f o(g) et g O(h) lors f o(h). De même, si f O(g) et g o(h) lors f o(h)

3 2. L ÉQUIVALENCE DES FONCTIONS 313 Preuve. Montrons pr eemple que si f O(g) et g o(h) lors f o(h). Il eiste une fonction M bornée u voisinge de 0 et une fonction ε de limite nulle en 0 telles que f() = M()g() et g() = ε()h() pour tout d un voisinge V de 0. Pour tout de V on donc d où f o(h). f() = M()ε()h() vec lim M()ε() = 0 On remplce prfois f o(g) pr f << g. C est l nottion de Hrdy qui est intéressnte lorsque on utilise l trnsitivité de l reltion de prépondérnce Opértions lgébriques et reltions de domintion et de prépondérnce. Proposition ) Les ensembles O(f) et o(f) sont des sous espces vectoriels de F 0 (stbilité pour l ddition et l multipliction pr une constnte) b) Soit f 1, f 2, g 1, g 2 dns F 0 : f 1 O(g 1 ) et f 2 O(g 2 ) f 1 f 2 O(g 1 g 2 ) f 1 o(g 1 ) et f 2 O(g 2 ) f 1 f 2 o(g 1 g 2 ) 2. L équivlence des fonctions Définition Deu fonctions f et g de F 0 sont dites équivlentes u voisinge de 0 si f g o(g). Cette reltion est notée. Théorème On f g si et seulement si il eiste une fonction ε dns F 0 telle que lim ε() = 0 et f() = (1 + ε())g() pour tout d un voisinge de 0. Si g ne s nnule ps f() dns un voisinge de 0 lors, f g équivut à lim g() = 1. Preuve. Si f g lors f g o(g) et il eiste une fonction ε de limite nulle en 0 telle que f() g() = ε()g() pour tout d un voisinge V de 0. Il en résulte f() = (1 + ε())g() pour tout de V. L réciproque est fcile et si g ne s nnule ps dns un voisinge de 0 lors, f() f() f g équivut à lim = 1 cr g() g() = 1 + ε(). Proposition L reltion binire est une reltion d équivlence. Preuve. Seule l symétrie n est ps évidente. Si f g lors il eiste une fonction ε définie sur un voisinge V de 0 et de limite nulle en 0 telle que, pour tout de V, f() = (1 + ε())g(). Comme lim (1 + ε()) = 1, il eiste un voisinge W de 0 sur lequel 1 + ε() > 0. Pour tout V W, on : g() = 1 ε() f() = (1 1 + ε() 1 + ε() )f() = (1 + ε 1())f() vec ε 1 () = ε(). On lim ε 1 () = 0 et donc g f. 1 + ε() L intérêt de l notion de fonctions équivlentes est due, en grnde prtie, u résultt suivnt dont l preuve est une conséquence immédite du théorème 29.2.

4 COMPARAISON DES FONCTIONS AU VOISINAGE D UN POINT Théorème Soit f et g deu fontions équivlentes de F 0. Si f possède une limite qund 0 lors g possède l même limite qund 0. Pour l preuve, il suffit de dire que pour tout d un voisinge de 0, g() = (1 + ε())f(), vec lim ε() = 0, et utiliser l proposition donnnt l limite d une somme et d un produit de fonctions. Si les fonctions f et g ont l même limite l R lorsque 0 lors lim = 1 et f g u g voisinge de 0. En revnche, le résultt peut être fu si l = 0 ou si l est infini. Pr eemple, lim = lim = + et on n ps 2 u voisinge de l infini. Si tend vers 0, les mêmes fonctions donnent un eemple vec l = L équivlence des fonctions et les opértions lgébriques. f Proposition ) L reltion d équivlence est comptible vec l multipliction: pour f 1, f 2, g 1, g 2 dns F 0, f 1 f 2 et g 1 g 2 impliquent f 1 g 1 f 2 g 2. b) Si f g et si f ne s nnule ps dns un voisinge de 0 lors 1/f 1/g. c) Si f 1 g 1 et f 2 g 2 lors, g 2 o(g 1 ) implique f 1 + f 2 g 1. Preuve. L preuve de ) utilise le théorème Pour b), on dpte l preuve l proposition Donnons une preuve brégée de c). Il eiste des fonctions ε 1, ε 2 et ε 3 telles que f 1 () = (1 + ε 1 ())g 1 (), f 2 () = (1 + ε 2 ())g 2 (), g 2 () = ε 3 ()g 1 () d où f 1 () + f 2 () = (1 + ε 1 () + ε 3 () + ε 2 ()ε 3 ())g 1 () et donc f 1 + f 2 g 1. En générl, l équivlence des fonctions n est ps ps comptible vec l ddition : u voisinge de 0, , 1 1 et 2. On cependnt le résultt suivnt: Proposition Soit f 1, f 2, g 1, g 2 dns F 0, f 1 f 2 et g 1 g 2. S il eiste un voisinge de 0 dns lequel f 1 0 et g 1 0 lors f 1 + g 1 f 2 + g 2. Preuve. Soit V le voisinge de 0 sur lequel f 1 0 et g 1 0 et ε 1, ε 2 les fonctions de limites nulles en 0 telles que f 2 () = (1 + ε 1 ())f 1 (), g 2 () = (1 + ε 2 ())g 1 (). Posons, pour dns V, ε() = 0 si f 1 () + g 1 () = 0 et ε() = ε 1()f 1 () + ε 2 ()g 1 () si f 1 () + g 1 () f 1 () + g 1 () > 0. On, pour tout de V, f 2 () + g 2 () = (1 + ε())(f 1 () + g 1 ()). Pour tout de V, ε() ε 1 () + ε 2 () : c est clir si f 1 () + g 1 () = 0 et sinon ε 1()f 1 () + ε 2 ()g 1 () f 1 () + g 1 () f 1 () ε 1 () f 1 () + g 1 () + ε g 1 () 2() f 1 () + g 1 () ε 1() + ε 2 (). Il en résulte que lim ε() = 0 et donc f 1 + g 1 f 2 + g 2. Remrques. 1) En eminnt l preuve précédente on voit qu une condition suffisnte pour que f 1 f 2 et g 1 g 2 impliquent f 1 + g 1 f 2 + g 2 est que les fonctions f 1 et g 1 ient le même

5 signe en chque point d un voisinge de L ÉQUIVALENCE DES FONCTIONS 315 2) Au voisinge de 0, e 1 + et e 1 mis l deuième reltion ne se déduit ps correctement de l première en joutnt 1 u deu membres cr e et 1 n ont ps le même signe u voisinge de 0. En revnche, l première reltion implique e pr ddition de l fonction positive L composition à droite (ou le chngement de vribles). Proposition Soit 0 et 1 deu élément de R, φ F 0, f F 1 et g F 1. Si lim φ() = 1 lors : f O 1 (g) f φ O 0 (g φ) f o 1 (g) f φ o 0 (g φ) f 1 g f φ 0 g φ Donnons une preuve de l troisième impliction. Soit ε l fonction de limite nulle en 1 telle que pour tout d un voisinge V de 1, f() = (1 + ε())g(). Supposons que φ soit définie sur un voisinge W 1 de 0. Comme V est un voisinge de 1 et comme φ l limite 1 qund tend vers 0, il eiste un voisinge W 2 de 0 tel que φ(w 1 W 2 ) V. L ensemble W 1 W 2 est un voisinge de 0 et, pour tout de W 1 W 2, on f(φ()) = (1 + ε(φ()))g(φ()). L ppliction du théorème sur l limite d une fonction composée donne lim ε(φ()) = 0 d où f φ 0 g φ. Eemples. 1). On sit qu u voisinge de 0, sin. Il en résulte qu u voisinge de 0, sin, sin Au voisinge de 0, ln(1 + ) et donc u voisinge de +, ln(1 + 1/) 1/. 2). Au voisinge de +, ln o() et donc ln ln o(ln ) et o(e ). Remrques.. 1) On remplce prfois dns l définition de l reltion d équivlence, les voisinges pr les voisinges pointés (i.e. privés du point 0 ). Si on dopte ce point de vue, l proposition précédente peut être fusse. Pr eemple, soit f : R R définie pr f(0) = 0 et, pour 0, pr f() = cos 1. Soit ussi g : R R définie pr g(0) = 0 et g() = 1 si 0. On, u voisinge de 0, g 1 (vec les voisinges pointés) et lim f() = 0. En revnche, g f 0 n est ps équivlent à 1 u voisinge de 0 cr cette fonction n ps de limite qund tend vers 0. L epliction se trouve dns l preuve de l proposition Cette preuve utilise le théorème reltif à l limite d une fonction composée et ce théorème est fu vec l notion de limite pr vleurs différentes. On peut énoncer un théorème de composition à droite pour les équivlents définis à l ide des voisinges pointés mis les hypothèses sont moins simples. 2) Il semble difficile de trouver des résultts intéressnts concernnt l composition à guche. Pr eemple, u voisinge de 0, et ln(1 + ) ln(1 + 2 ). De même u voisinge de +, mis e 2 + e L équivlence des fonctions et les fonctions logrithme et eponentielle. En utilisnt le théorème 29.2, on voit que e f e g équivut à lim (f() g()) = 0 et donc, en générl, il n y ps de lien entre l équivlence de f et g et celle de e f et e g (considérer f() = 2

6 COMPARAISON DES FONCTIONS AU VOISINAGE D UN POINT et g() = 2 + u voisinge de + puis h() = et k() = 2 u voisinge de 0). Pour l fonction logrithme on : Proposition Soit f et g deu éléments de F 0 strictement positifs dns un voisinge de 0. Si g dmet une limite l R + {1} en 0 lors f g entrine ln f ln g. Preuve. Comme l 1, il eiste un voisinge V de 0 sur lequel g ne prend ps l vleur 1. Pour V, ln f() ln g() = ln f() ln g() ln g() + 1 = ɛ() + 1 ln f() g() vec ɛ() = ln g(). Comme f g, l limite de f g eiste qund tend vers 0 eiste et vut 1. L limite de son logrithme est donc 0 et lim ɛ() = 0. Finlement, ln f ln g. Si g n dmet ps de limite le résultt peut être fu ; considérer 0 = 0, f() = cos(1/) + 2 et g() = e f(). Il en est de même si l limite de g est 1 : u voisinge de 0, et on n ps ln(1 + ) ln 1. On peut voir ln f ln g sns que f g. Pr eemple, u voisinge de +, ln e 2 ln e 2 +1 et on n ps e 2 e Intégrtion. Proposition Soit f une ppliction dérivble u voisinge d un point 0. (1) Si u voisinge de 0, f () o( 0 ) n (resp. f () O( 0 ) n ), n N, lors f() f( 0 ) o( 0 ) n+1 (resp. f() f( 0 ) O( 0 ) n+1 ). (2) Si u voisinge de 0, f () ( 0 ) n, n N, lors f() f( 0 ) ( 0) n+1 n + 1 Preuve. 1. Soit ε > 0. Il eiste un voisinge V de 0 tel que pour tout V, f () ε 0 n. Si > 0 et V lors f () ε( 0 ) n et l ppliction du corollire 31.4 sur le segment [ 0, ] donne f() f( 0 ) ε ( 0) n+1 ε( 0 ) n+1 = ε 0 n+1. n + 1 Si < 0 et V lors, dns le cs où n est impir, on f () ε( 0 ) n d où pr ppliction du corollire 31.4 sur [, 0 ], f() f( 0 ) ε ( 0) n+1 ε( 0 ) n+1 = ε 0 n+1. n + 1 On obtient l même inéglité si n est pir et finlement (f() f( 0 )) o( 0 ) n+1. L preuve vec l reltion de domintion est similire. 2. Si f () ( 0 ) n lors f () ( 0 ) n o( 0 ) n d où f() f( 0 ) ( 0) n+1 n + 1 et donc f() f( 0 ) ( 0) n+1. n + 1 o( 0 ) n+1 = o( ( 0) n n + 1 )

7 Remrques et eemples. 2. L ÉQUIVALENCE DES FONCTIONS 317 1). On n ps de résultts semblbles vec l dérivtion. Pr eemple, soit f : R R définie pr f() = 2 sin 1 si 0 et f(0) = 0. Au voisinge de 0, f() o() mis l on n ps f () o(1) cr f n ps de limite qund tend vers 0. 2). On peut déduire fcilement de l proposition précédente, le résultt usuel sur l intégrtion des développements limités insi que l formule de Tylor-Young (voir le document 31). 3). Au voisinge de 0, sin, e 1 1 et 1 d où cos , e 1 et ln(1 + ) Autres propriétés de l équivlence des fonctions. Si f g lors il eiste un voisinge V de 0 dns lequel f() et g() sont de même signe. Si f g lors il eiste un voisinge V de 0 dns lequel f() = 0 équivut à g() = 0. si f g et si g est strictement positive dns un voisinge de 0 lors, pour tout α > 0, f α g α. Si f est dérivble en 0, vec f ( 0 ) 0, lors f() f( 0 ) ( 0 )f ( 0 ). Prouvons ce dernier résultt. On peut définir une fonction ε pr ε( 0 ) = 0 et ε() = f() f( 0 ) f ( 0 ) si 0. On sit que lim ε() = 0 et f() f( 0 ) = ( 0 )(f ( 0 ) + 0 ε()) d où si f ( 0 ) 0, et le résultt est démontré. f() f( 0 ) = ( 0 )f ( 0 )(1 + ε() f ( 0 ) ) C est cette dernière propriété qui permet de trouver les équivlents usuels des fonctions élémentires u voisinge de 0, chque fois que l dérivée de l fonction n est ps nulle en ce point. Pr eemple, sin, ln(1+), e 1, tn,... Si l dérivée de l fonction est nulle, il fut trouver une utre méthode. Pr eemple, à prtir de 1 cos = 2 sin 2 (/2), on obtient 1 cos 2 2 en utilisnt l proposition Pr une preuve nlogue et en utilisnt l formule de Tylor-Young, on montre que si f possède une premire dérivée non nulle en 0, f (p) ( 0 ), lors f() f( 0 ) ( 0) p f (p) ( 0 ). p! En utilisnt ce résultt on peut obtenir cos Plus générlement, si f possède un développement limité du type u voisinge de 0 (ici p = 2). f() = f( 0 ) + p ( 0 ) + o(( 0 ) p ), p 0 u voisinge de 0 lors f() f( 0 ) p ( 0 ) p.

8 COMPARAISON DES FONCTIONS AU VOISINAGE D UN POINT 2.6. Eemples. 1). Trouver une fonction simple équivlente u voisinge de + à l fonction f définie, pour > 1, pr : On vec g() = ln(1 + f()) = ln f() = [ ln(1 + ) ln = ln ln(1 + ) ] 1 ln ln + ln(1 + (1/)) ln = ln(1 + g()) ln(1 + (1/)). Pr chngement de vribles, ln(1 + ) u voisinge de 0 donne ln ln(1 + (1/)) 1/ u voisinge de +, d où g() 1. Pr chngement de vribles, ln ln(1 + g()) g() cr et, en prticulier, chngement de vribles, 1 lim g() = 0. On donc u voisinge de +, ln(1 + f()) + : ln. lim ln(1 + f()) = 0. Au voisinge de 0, + e 1, d où pr un dernier f() = e ln(1+f()) 1 ln(1 + f()) 1 ln. 2). Soit (α, β, γ) R 3 et f α,β,γ l fonction définie pour > 1 pr: f α,β,γ () = e α β (ln ) γ On f α,β,γ o(f α,β,γ ) u voisinge de + si et seulement si (α, β, γ) < (α, β, γ ) pour l ordre léicogphique sur R 3, c est-à-dire si et seulement si α < α ou α = α et β < β ou α = α, β = β et γ < γ. L preuve est fcile en utilisnt les résultts concernnt les croissnces comprées des fonctions eponentielles, puissnces et logrithmes. Deu fonctions distinctes du type f α,β,γ sont toujours comprbles pour l reltion de prépondérnce (voir le document 30) et en utilisnt le lemme suivnt on voit que leur ensemble est une prtie libre de l espce vectoriel des pplictions de ]1, + [ dns R. Lemme Soit f 1,..., f n des pplictions définies dns un voisinge de 0. Si f 1 o(f 2 ),..., f n 1 o(f n ) et si f 1 n est ps identiquement nulle dns un voisinge de 0 lors {f 1,..., f n } est une prtie libre de l espce vectoriel des fonctions définies dns un voisinge de 0. L preuve est pr récurrence sur n > 0. Le résultt est vri pour n = 1 et s il est vri pour n 1 supposons qu il eiste λ 1,..., λ n tels que,pour tout d un voisinge de 0, On pour tout k < n, f k o(f n ) d où λ 1 f 1 () λ n f n () = 0. λ 1 f λ n 1 f n 1 o(f n ). Si λ n 0 lors λ 1 f λ n 1 f n 1 o(λ n f n ) (Si λ 0 lors f() = ɛ()g() f() = ɛ() (λg()) et donc f o(g) f o(λg).) λ et donc l proposition 29.2, prtie c), entrine λ 1 f λ n f n λ n f n

9 4. COMPLÉMENTS 319 ce qui est bsurde cr λ n f n n est ps identiquement nulle dns un voisinge de 0 (f n n est ps identiquement nulle dns un voisinge de 0 cr f 1 ne l est ps et f 1 o(f n )). On donc λ n = 0 et l hypothèse de récurrence chève l preuve. Le résultt précédent entrine pr eemple que les fonctions e,..., e n,... sont linéirement indépendntes. 3. Applictions Clcul de limites : c est l ppliction clssique de l notion de fonctions équivlentes. On utilise le théorème Convergence de séries ou d intégrles, en prticulier pour les séries et les intégrles de Bertrnd. Inéglités u voisinge d un point. On déjà vu que si f g u voisinge de 0 lors f et g ont le même signe u voisinge de ce point. Si f o(g) u voisinge de 0 lors, en prennt ɛ = 1 dns l définition de l reltion de prépondérnce on f() g() pour tout d un voisinge de 0. Pr eemple, de 100 o(e ) u voisinge de +, on déduit qu il eiste 0 tel que pour > 0 on it 100 < e. 4. Compléments 4.1. Etension de l définition. Soit I une prtie non vide de R et 0 R un point d ccumultion de I. On peut remplcer F 0 pr l ensemble F 0 (I) formé des fonctions définies sur un ensemble de l forme I V vec V V 0. L pluprt des résultts précédents restent vlbles (ttention à l composition à droite) et un cs prticulier très intéressnt est 0 = + et I = N. On obtient insi le cs des suites. On peut ussi prendre I =] 0, + [, I =], 0 [ ou I = R { 0 } Applictions u intégrles générlisées. Soit R, b R vec < b. On considère deu fonctions f et g continues sur [, b[. Lorsque b R, les reltions de domintion, de prépondérnce et d équivlence sont u voisinge de b et à guche de b (etension de l définition vec I =], b[). Pr eemple, f g signifie qu il eiste un voisinge V de b tel que f et g soient définies sur V ], b[ et une fonction ɛ définie sur V ], b[ telle que, pour tout V ], b[, f() = (1 + ɛ())g() vec lim b,<b ɛ() = 0. S il eiste un voisinge V de b tel que g it un signe constnt sur V ], b[ lors f kg, k 0, implique que les intégrles f() d et g() d sont de même nture. On suppose qu il eiste un voisinge V de b tel que f et g soient positives sur V ], b[ et que f O(g). Si Si b g() d converge lors il en est de même pour f() d diverge lors il en est de même pour b f() d. g() d. On suppose qu il eiste un voisinge V de b tel que f et g soient positives sur V ], b[. Si g() d converge lors (u voisinge de b et à guche)

10 COMPARAISON DES FONCTIONS AU VOISINAGE D UN POINT Si f O(g) f o(g) f g b b f() d O( f() d o( f() d b g() d. g() d). g() d). g() d diverge lors (u voisinge de b et à guche) f O(g) f o(g) f g f() d O( f() d o( f() d g() d. g() d). g() d).