TD n 6 : Fourier - Correction

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1 D n : Fourier- Correction - Pge sur D n : Fourier - Correction Séries de Fourier Coefficient de Fourier On considère une fonction f continue pr morceux et -périodique. c n f f t e in n Z n f [] f t cos n ; b n f [] f t sin n n N n c n + c n ; b n i c n c n ; c n n i b n Cs prtique : n f Si f est pire : b n f t cos n b n f Si f impire n f t sin n Série de Fourier de f Sf x + n cos n x + n b n sin n x Sf x n c n e in x héorème de Dirichlet (9) Soit f définie sur R, C pr morceux sur ; et -périodique. Pour tout réel x Sf x f x + f x + héorème de Prsevl Soit f définie sur R, continue pr morceux sur ; et -périodique. n c n f t dt ou + n + n b n f t dt On écrit ussi : M.rbelsi, M. Regrgui, M. Duffud :

2 + n n + b n f t dt D n : Fourier- Correction - Pge sur Exercice : Soit f -périodique définie pr f x x sur ;.. Montrer que : Sf x ( ) n sin nx n n On n f (cr f est impire) et pr IPP n N, b n f t sin n cos n sin n + n ( )n n n N, b n f ( )n n Donc on obtient le résultt demndé.. Convergence.. Montrer que : x ; ; ( ) n sin nx n x n L fonction f n est ps continue sur ; puisque f mis lim + f x. Il y donc une discontinuité en x ±. Elle est bien C pr morceux puisqu elle est C sur ;. le théorème de Dirichlet ffirme donc que l série v converger vers x sur ; et vers f x +f x + On obtient donc le résultt demndé. pour x ±. b. Etudier le cs où x. Dns ce cs, tous les termes de l série sont nuls, et l somme est bien nulle comme ttendue. 3. Cs prticulier. Montrer que : Pour x, on retrouve l série lternée demndée.. Appliction du héorème de Prsevl : Montrer que : n En ppliqunt l formule de Prsevl, ce qui est l légitime cr f est continue pr morceux sur ; donc + n + n b n f t dt n b n ( )n n n t dt 3 3 n ² 3 n M.rbelsi, M. Regrgui, M. Duffud :

3 Exercice : Soit f -périodique, impire, définie pr : f x sur ; f n pour n Z D n : Fourier- Correction - Pge 3 sur. Représenter f.. Montrer que : x R, f x n (n+) sin n + x On n f cr f est impire et pr IPP, n N, b n f sin n n ( )n p N, b p, b p+ (p + ) f définie sur R, C pr morceux sur R et -périodique donc on peut ppliquer le théorème de Dirichlet L série de Fourier réelle de f converge simplement et pour somme l régulrisée f de f. Or ici f est égle à s régulrisée, donc on obtient le résultt demndé. 3. Montrer que :. Montrer que : ( ) n n. Il suffit de prendre x n+ n ² n+ On peut ppliquer l formule de Prsevl puisque f est continue pr morceux. + n + n b n f t dt n b n n (n + ) dt n (n + )² ² n (n + )² 5. En déduire que : Comme n n ², et que N+ n N p ( ) n n n + (p)² ² N p (p + )² On peut psser à l limite (en N) cr toutes ces séries converges donc + n 3 + p + n + (p)² + p (p + )² donc n n + p p² ² + M.rbelsi, M. Regrgui, M. Duffud :

4 n ( ) n n + p (p)² + p (p + )² ² donc ( ) n n n D n : Fourier- Correction - Pge sur rnsformée de Fourier L trnsformée de Fourier (notée F ou F) d une fonction f donnée est une opértion qui trnsforme une fonction f intégrble sur R en une utre fonction notée f ou F. F f f ( ou F) f x + f t e ix Remrque : Cette définition est celle doptée pr les physiciens, on peut ussi définir f sns le fcteur. Il suffit en fit que le produit des constntes dns () et () fsse / Existence : Une condition suffisnte d existence de f est que l fonction f soit bsolument intégrble. L trnsformée de Fourier inverse. Soit f une fonction donnée dmettnt une F f x + f x + + f t e ix Exercice 3 : Clculer l F f pour f définie pr : Réponse : f x si x f x sinon Si non nul, f x, et pour f x Exercice :. Montrer que si f est pire : f x + f t cos x et que f x + f t cos x. Montrer que si f est impire : f x + f t sin x et que f x + f t sin x Exercice 5 :. Montrer que l F f pour f définie pr : f x x² si x est f x si x > f x x cos x sin x x 3 M.rbelsi, M. Regrgui, M. Duffud :

5 . Montrer que : D n : Fourier- Correction - Pge 5 sur x cos x sin x x 3 cos x dx 3 Exercices complémentires utocorrectifs : Exercice : Soit f -périodique, pire, définie pr : x ;, f x x.. Montrer que : x R, f x n (n+)² cos n + x On b n f (cr f est pire) et pr IPP n N, n f t cos n f n ² ( ) n p N, p+ f (p + )² f. En déduire que : n n+ ² On prend x. Exercice 7 : Soit f -périodique, impire, définie pr : x ;, f x si x.. Montrer que : x R, f x. En déduire que : 3. Avec x / n n n ² n+ ²(n+3)² On pplique Prsevl n n n+ (n+3) sin n + x n N, n p N, b p p N, b p+ p p + (p + 3) ( ) n n n+ (n+3) 3² 5 Exercice :. En utilisnt le résultt de l exercice 3, montrer que + sin t cos xt t dt si x < si x si x > L trnsformée de Fourier inverse. f x +f x + + f t e ix donc M.rbelsi, M. Regrgui, M. Duffud :

6 + e ix D n : Fourier- Correction - Pge sur si x < si x si x > + cos x + i + sin x si x < si x si x > L prtie imginire est nulle (fonction impire) donc on obtient le résultt demndé.. En déduire que : + sin t t dt Suffit de prendre x et. M.rbelsi, M. Regrgui, M. Duffud :