MT91 P2010 Médian - f(x) = α + x + βx 2.

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1 MT9 P Médin - Corrigé Eercice. α et β sont deu prmètres réels tels que α >. On définit f) = α + + β. Ecrire le développement limité de f, à l ordre, en.. Utiliser l question précédente pour étudier l brnche infinie de l courbe d éqution y = + + lorsque tend vers. On préciser l éqution de l symptote et l position de l courbe pr rpport à cette symptote.. f) = α + α + β α. En utilisnt l formule de Tylor-Young de l fonction en, on obtient le développement limité u voisinge : + u = + u 8 u + u ɛu). En composnt on obtient : f) = α α + β ) α ) + ɛ)) 8 α + = α + β α + α ) ) 8α + ɛ).. Pour étudier l brnche infinie de l courbe d éqution y = g) = + +, il suffit de clculer un développement limité de g) à l ordre u voisinge de. Attention qund tend vers, on = cr = =. g) = + + = )) ɛ. On utilisé le développement précédent vec α = et β =. tend vers. On obtient : y = g) = h = ) ) ɛ tend vers qund Qund tend vers, )) tend vers pr vleurs inférieures, ɛ tend vers 7 3, donc cette epression est positive pour petit. On donc g) ) = ) ) ɛ qui tend vers pr vleurs supérieures qund tend vers. L droite d éqution y = est donc symptote à l courbe d éqution y = g), l courbe se trouve u dessus de l symptote.

2 Eercice Cet eercice été trité dns le devoir 6.. Soit l fonction f ) = tn, écrire le développement de Tylor-Young de f, à l ordre, en π.. A quelle condition sur, l fonction φ) = dmet-elle un développement de Tylor- Young, à l ordre, en? Déterminer lors ce développement. 3. Soit l fonction f définie pr f ) = cos +. Utiliser l question précédente pour obtenir le développement limité de f à l ordre, en π.. Soit l fonction f définie pr f) = f )f ). Clculer le développement limité de f à l ordre, en π.. On ) ) ) π π π f =, f =, f =. ) π D où tn + h) = + h + h + h ɛh).. Pour que l fonction φ dmettent des dérivées en, il fut que. On lors φ ) =, φ ) =, φ ) = 3. D où + h = h + h 3 + h ɛh). 3. On détermine un développement limité du dénominteur en π en utilisnt, pr eemple, l formule de Tylor-Young. D) = ) ) ) π π π cos +, D =, D =, D =. ) π D + h = h h + h ɛh). Il reste mintennt à composer vec le développement précédent en choisissnt =. cos π + h) + = ) h h + ) h + h + h ɛh) = 8 + h + h + h ɛh).. Il suffit de fire le produit des prties régulières, en tronqunt les termes de degré supérieur à 3. ) π f + h = + 5h + 7h + h ɛh).

3 Eercice 3 Soit < b.. Soit f définie sur [, b], donner l définition de f est intégrble sur [, b].. Soit n un entier non nul, on définit h = b n, i = + ih pour i =,..., n. On définit u n et U n, fonctions étgées sur [, b] : u n ) = i pour ] i, i+ [, i =,..., n. U n ) = i+ pour ] i, i+ [, i =,..., n. Que vut U n ) u n )d? 3. Utiliser l définition pour montrer que l fonction f définie pr f) = est intégrble sur [, b].. Pour tout ɛ >, il eiste des fonctions étgées u et U définies sur [, b], telles que : u f U, U) u)d ɛ.. U n u n est une fonction étgée qui est constnte sur [, b] : U n ) u n ) = h. Donc U n ) u n )d = hb ) = b ). n 3. On u n f U n, ceci est vri sur tout intervlle ] i, i+ [ donc sur [, b]. Soit ɛ >, on choisit n entier supérieur à d Archimède ). On ur lors b ) ɛ ce qui est possible d près l propriété n b ) ɛ b ) n ɛ Ce qui termine de démontrer que f est intégrble sur [, b]. U n ) u n )d ɛ.

4 Eercice. Clculer I = t dt.. Soient et b tels que < b et soit f continue sur [, b]. Montrer que ft)dt) b ) f t)dt. 3. Utiliser l question précédente pour trouver une mjortion de I. En déduire une mjortion de π pr un nombre rtionnel.. On pose t = sin, dt = cos d. Pour = on t =, pour = π, on t =. t dt = cos cos d = cos d = cos + d = π. Il suffit d ppliquer l inéglité de Cuchy-Schwrz vec g fonction constnte égle à. b ft)dt b ) f t)dt. Les deu termes sont positifs, donc on encore l inéglité vec leurs crrés, ce qui est le résultt recherché. 3. On donc ) t dt t dt = 3. ) π 3 π 3 3.

5 Eercice 5. Donner rpidement l llure des courbes d éqution On trcer ces courbes sur l même figure.. Clculer sh Argch ). y = sh, y = ch, y = Argch. 3. Quelle est l dérivée de l fonction f) = Argch? Démontrer le résultt et préciser le domine de définition de f.. Voir les courbes trcées en cours. Attention l fonction ch n est ps bijective, Argch est l fonction réciproque de y = ch pour.. D près l remrque précédente, Argch est positif donc shargch ), on donc : shargch ) = sh Argch ) = ch Argch ) = 3. On utilise le résultt du chpitre 5 sur l dérivée d une fonction réciproque. L fonction g) = ch est bijective de [, + [ sur [, + [, elle est dérivble sur [, + [, MAIS s dérivée sh s nnule en. Pr contre g est bijective de ], + [ sur ], + [, elle est dérivble sur ], + [, et s dérivée sh ne s nnule ps sur ], + [. f qui est l fonction réciproque de g est donc dérivble sur ], + [ et on f ) = g f)) = sh Argch ) =. On vérifie bien que f est définie pour tout >.