Chapitre 6 : Calcul littéral

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1 Chpitr 6 : Clul littérl 1. Propriétés d l ddition t d l soustrtion Définition. L ddition st l opértion qui fit orrspondr à dux nomrs t lur somm +. t sont ls trms d tt somm. Définition. L soustrtion st l opértion qui fit orrspondr à dux nomrs t lur différn Rmrqus :. t sont ls trms d tt différn. ) L oppos d st. Pr xmpl : l opposé d 4 st 4, l opposé d st. 3 ) L différn d t d st l somm d t d l opposé d : ) L opposé d st ( ) =+, don : = + ( ) ( ) = + d) Lorsqu un somm omport plusiurs trms préédés d + ou d, on dit qu st un somm lgériqu. + st un somm lgériqu d 3 trms t x+ y+ z k st un somm lgériqu d 4 trms. L'ddition st ommuttiv : C + + = + L ommuttivité prmt d'éhngr l'ordr ds trms dns un somm. x+ = + x 7+ 3 = 3 + ( 7) 4 4 L soustrtion n st ps ommuttiv :. Contr-xmpl : 8 3= 5, mis 3 8=

2 En générl : x = ( x) ( 4 y) = y 4 Plus générlmnt : t sont opposés. Don : = ( ) L opposé d un somm st l somm ds opposés d hun d ss trms. ( + + ) = ( + ) = + ( + ) = + t. L'ddition st ssoitiv : A + ( + ) + = + ( + ) = + + On put groupr ls trms omm on vut dns l lul d un somm. Voilà pourquoi on put lissr d ôté ls prnthèss lorsqu'on érit ds somms. ( ) = 5+ 4= 9 5 t ( ) x+ ( x+ y) = ( x+ x) + y= x+ y L soustrtion n st ps ssoitiv : = = + 7= 9. ( ) ( ). Contr-xmpl :( 18 ) 4= 1, mis ( ) ( ) En générl : ( ) = = 18 = 0. Si ls () sont préédés d + on put lissr ls () d ôté! ( ) = + Si ls () sont préédés d on put ls supprimr à ondition d hngr l sign d hqu trm ntr ()

3 0 st l'élémnt nutr d l'ddition : N + + 0= 0+ = Exmpl. 5+ 0= 0+ 5= 5. 0 n st ps élémnt nutr d l soustrtion : 0= mis 0 =. L ddition st symétriqu : tout nomr dmt un t un sul opposé. C st l nomr qui jouté à donn un somm égl à 0. S +, + ( ) = + = 0 L'opposé d 3 st ( ) L opposé d x st x 3 = 3 : 3+ 3= 0 : x ( x) + = 0. Propriétés d l multiplition t d l division Définition. L multiplition st l opértion qui fit orrspondr à dux nomrs t lur produit =. t sont ls fturs d t produit. Définition. L division st l opértion qui fit orrspondr à dux nomrs t ( 0 ) lur quotint : =. st l dividnd t l divisur d quotint. Dns l éritur frtionnir st l numértur t l dénomintur. Rmrqus : 1 ) L invrs d un nomr non nul st 1 :=. L invrs d 1 L invrs d 3 st 1 3. L invrs d 0, st 5 L invrs d 5 7 st L invrs d st. 7 5 ) L quotint d pr st l produit d pr l invrs d : 1 : = = 3 Un nomr t son invrs ont mêm sign! st d nouvu.

4 3 1 3 : 4= = 3 = 3 0, : x= 7 = x x : = = 3 3 ) Lorsqu un xprssion omport plusiurs fturs préédés d ou d : on dit nor qu st un produit. On préfèr l éritur frtionnir dns s. : = 1 1 xz x : y z : = x z = y y 1 : : d= d L multiplition st ommuttiv : C = L ommuttivité prmt d'éhngr l'ordr ds fturs dns un produit. x = x= x y ( ) 7 = 7y L division n st ps ommuttiv : : :. Contr-xmpl : 8 4 =, mis 4 = 1 = 0,5. 8 Ls fturs préédés d sont u numértur Ls fturs préédés d : sont u dénomintur En générl : t sont invrss. Don : 1 = 4

5 L multiplition st ssoitiv : A ( ) = ( ) = = On put groupr ls fturs omm on vut dns l lul d un produit. Voilà pourquoi on put lissr d ôté ls prnthèss lorsqu'on érit ds produits. ( 3) 4= 6 4= 4 t ( ) x ( x y) = ( x x) y= x y L division n st ps ssoitiv : Contr-xmpl :( 16 : 4 ) : 4 : En générl : = 3 4 = 1= 4. ( : ) : :( : ). 16 : 4 : = 16 : = 8. = =, mis ( ) 1 ( : ) : = : = = :( : ) : = = = 1 st l'élémnt nutr d l multiplition : N 1= 1 = = = 1 ( 1 ) 1 n st ps élémnt nutr d l division r : :1= mis = 1 1 := st l invrs d.. L multiplition st symétriqu : tout nomr non nul dmt un t un sul invrs 1. C st l nomr qui multiplié pr donn un produit égl à 1. S 0, = = 5

6 3. Opposés ) Opposés d'un somm t d'un différn : ( + ) = ( ) = + ) Opposés d'un produit t d'un quotint : ( ) = ( ) = ( ) = = L s distriu sur ls trms ntr () L s rpport à un sul ftur! ( x+ 4y 5) = x 4y+ 5 ( x) 6= 1x ( + ) ( x y) = ( )( x y) = ( + ) ( y x) x 1 x 1 1 x = = 4. Distriutivité ) Distriutivité simpl : L multiplition st distriutiv pr rpport à l'ddition t l soustrtion : D / + ( ) + = + D / ( ) = Démonstrtion géométriqu d l 1 r formul : L ir du grnd rtngl st : d un prt : ( + ) d utr prt : + Don : ( + ) = + Démonstrtion lgériqu d l formul : ( ) ( ( )) ( ) = + = + = r 1 formul 6

7 ( ) 4 + = 4+ 4 ( ) 3x+ 8 x= 3x x+ 8x= 3x + 8x 0,5( x 6y) = 0,5x+ 3y ( 3x+ 6y) ( 7) = 1x 4y 4 x 7 4x 8 x 8 5 ( 3) = = = 6 ( ) = = = = ( ) 17= 17 ' = 16' ,8 7+ 4, 7= ( 15,8+ 4,) 7= 0 7= 140 CALCUL MENTAL ) Distriutivité doul : ( + )( + d) = + d+ + d ( + )( d) = d+ d ( )( + d) = + d d ( )( d) = d + d Démonstrtion géométriqu d l 1 r formul : L ir du grnd rtngl st : d un prt :( + )( + d) d utr prt : + d+ + d Don :( + )( + d) = + d+ + d Démonstrtion lgériqu d l drnièr formul : ( )( d) = ( + ( ) )( + ( d) ) = + ( d) + ( ) + ( )( d) = d + ( 4+ 3)( ) = = ( ) ( ) 3x+ 8 x 1 = 6x 3x+ 16x 8= 6x + 13x 8 7

8 5. Réduir un xprssion littérl Un xprssion littérl ou un somm lgériqu put omportr ds trms smlls : sont ds trms v l mêm prti littérl. x, 5x t 17x sont ds trms smlls. 3, 5 t 7 sont ds trms smlls. 6 Mis : 4x y t x y sont ds trms smlls. 3x t 5y n sont ps ds trms smlls. 6x t 7x n sont ps ds trms smlls. x y t 8xy n sont ps ds trms smlls. Réduir un somm lgériqu, st l érir v l moins d trms possil. Pour l on dditionn ls trms smlls. x 5x+ 17x = x= 14x ( ) D + / t ( 3 7) + + = + + = D + / t x y+ x y= 5x y 3x+ 9y+ 4+ 4x 6y= 7x+ 3y+ 4 N mélngz ps : + = + + = = 4 t. = = = Dévloppr ou fftur un xprssion littérl L distriutivité prmt d trnsformr un produit n un somm : ( ) + = + produit On dit qu on fftu ou dévlopp l produit. somm 8

9 Définition. Dévloppr ou fftur un xprssion littérl, st trnsformr tous ls produits d ( ) n ds somms lgériqus, puis réduir. Avnt d fftur un xprssion, hituz-vous à soulignr ls trms! Ls différnts trms doivnt êtr fftués d ord, r sont ds produits (règls d priorité)! Attntion lorsqu un trm st préédé du sign! ( ) ( ) = = r 1 trm trm ( x ) x x( x ) = 4x + 8x 6x + 6x= x + 14x r 1 trm trm x 3x ( x 1) x (7x+ 8) + 5 ( 3x+ ) r 1 trm = = x 3 trm trm 4 trm 3x x x+ x x 8 x+ 10 ( x ) ( x ) r 1 trm ( x x x ) = réduir d' ord!! ( x x ) = = 6x 6x 8 ( ) ( 3) ( ) ( 5 ) + + r 1 trm trm 6 ( 10 + ) ( ) = = = = L trm st préédé du sign, on l fftu d ord ntr (), puis on supprim ls (). 9

10 7. Ftorisr un xprssion littérl L distriutivité prmt ussi d trnsformr un somm n un produit : somm ( ) + = + produit On dit qu on mis l ftur ommun n évidn. Plus générlmnt : Définition. Ftorisr un xprssion, st l trnsformr n un produit. Exmpls d miss n évidn: 5x+ 5y= 5( x+ y) 7 14= 7+ ( 7) = 7( + ) ( 3 5) 4x 77xy= 7 6 x x 7 11 x y= 7x( 6x 11y) 6,7+ 4,7= ( 6+ 4),7= 10,7= 7 4( x+ 1) 5( x+ 1) = ( x+ 1)( 4 5) = = pgd(36,60) = 1 8. Produits / idntités rmrquls ) Crré d un somm : ) Crré d un différn : ( ) + = + + ( ) doul produit trinôm rré prfit = + doul produit trinôm rré prfit ) Produit d un somm pr un différn : Démonstrtion : ( + ) = ( + )( + ) ) = = = + + ( ) ( ) + = différn d dux rrés 10

11 ( ) = ( )( ) ) = + = + = + ( )( ) ) + = + Attntion : = Ls élèvs font toujours ls mêms futs ( ) + + ( ) Donnz ds ontr-xmpls numériqus : ) Efftur : x+ 3 = x + x 3+ 3 = x + 6x+ 9 ( ) ( ) ( ) 7 = 7+ 7 = = = = 10' = 9' 16 ( ) 5 8x 5+ 8x = 5 8x = 5 64x ( )( ) ( ) 5 48= ( 50 )( 50+ ) = 50 = '500 4= ' 496 ) Ftorisr : x + 8x+ 16= x + 4 x+ 4 = ( x+ 4) 9 6+ = ( 3) 3 + = ( 3 ) = = = 30 = 900 ( ) z 9k = ( z 3k)( z+ 3k) = ( 9 ) 9 + = ( 9 ) ( )( ) = = 8 1'600= 6'