Lois de probabilité continues

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1 Lois de probbilité continues Tble des mtières I Lois de probbilité continues I.1 Principe et définitions I. Exemples de lois continues I..1 Loi uniforme I.. Loi exponentielle II Loi normle centrée réduite 6 II.1 Convergence de l loi binomile II. L loi N(,1) IIIL loi normle N(µ,σ ) 9

2 I Lois de probbilité continues I.1 Principe et définitions On considère une expérience létoire dont les issues ne sont plus dénombrbles : choisir un nombre réel entre et 1; prévoir l durée d un ppel téléphonique; prévoir l ngle d une girouette,... Comment peut-on définir une loi de probbilité sur des résultts regroupés en intervlle? On rppelle qu étblir une loi de probbilité sur un univers fini Ω, consiste à ttribuer ux N vleurs x i de Ω, un réel positif p i tels que : p i 1 pour 1 i N i=n p i = 1 i=1 Le réflexe consiste à poser p i = 1 quelque soit i; on définit lors une loi équiprobble. N Mis comment fire lorsque Ω n est ps fini? Exemple : Un jeu consiste à tirer une flèche sur un cible dont l forme est donnée ci-contre. L prbole est l courbe représenttive de l fonction f définie sur [;1] pr : 1 f(x) = 6x(1 x) On suppose que l flèche tteint toujours l cible et on ppelle x l bscisse du point d impct P sur l cible.on s intéresse à l probbilité de l événement : E :, x,6 Cet événement ser rélisé chque fois que l flèche tombe dns l zone hchurée. On peut lors construire l probbilité de E en considérnt le rpport des deux ires : Or, d une prt A = A E, l ire de l prtie hchurée, A, l ire de l prtie située sous l courbe,u dessus de l xe des bscisses entre les vleurs et 1. 1 f(x)dx et d utre prt A E =,6 A = 1 et A E =,544. Une primitive F de f est F(x) = 3x x 3, f(x)dx.un clcul rpide donne : /11

3 Ainsi, l probbilité de l événement E est-elle : p(e) =,544. On donc défini une loi de probbilité sur un univers infini (cr x peut prendre une infinité de vleurs) pr l reltion : p(x [c;d]) = d c f(x)dx où c < d 1 Définition 1 Soit I = [;b] un intervlle borné de réels vec < b. On considère une fonction f positive sur I telle que l intervlle I de tout intervlle J = [c;d] inclus dns I pr : f(x) dx = 1. On définit une loi de probbilité sur p(x [c;d]) = d c f(x)dx À chque intervlle J inclus dns I, on ttribue donc un réel positif p J tel que : p J 1 p J = 1 (J I) Définition L fonction f insi définie s ppelle densité de l loi de probbilité sur l intervlle I. L distribution des probbilités n est plus discrète mis continue. Cel justifie le nom de loi de probbilité continue. I. Exemples de lois continues On se propose ici de découvrir deux situtions qui permettent de construire deux fonctions de densité, c està-dire deux nouvelles lois. I..1 Loi uniforme Un cmrde choisit,un nombre entier entre 1 et 1. Dns ce cs,l probbilité de retrouver son nombre est de.1 (une chnce sur dix). En revnche, s il choisit un nombre réel entre 1 et 1,l probbilité de le retrouver est qusiment nulle. L question est lors comment modéliser le tirge létoire d un nombre d un intervlle I? On considère un intervlle I = [;b].pour tout nombre x dns I, on considère un intervlle J = [c;d] inclus dns I et contennt x.on construit une loi de probbilité sur I en clculnt le rpport des longueurs des intervlles J et I. Ainsi : p(x J) = longueur de J longueur de I = d c b Plus J est grnd, plus p se rpproche de 1 et plus l événement x J de chnces de se produire.inversement,plus J est petit, moins l événement précédent de chnces de se produire. L loi insi construite est l loi uniforme sur I.On peut l considérer comme l loi équiréprtie pour les lois continues. Définition 3 Une vrible létoire X suit une loi uniforme sur l intervlle [;b] ( < b) 1 lorsque s densité de probbilité f est l fonction constnte égle à b. 3/11

4 En effet, si f(x) = 1 pour x [;b] lors, d p(x [c;d]) = f(x)dx = d c vec p(x [;b]) = f(x)dx = b c b b = 1. On illustre l sitution pr le schém ci-contre (qui rppelle celui de l cible) : Sur un intervlle [;b], l fonction de densité de l loi uniforme est f(x) = 1. L probbilité b que X soit dns un intervlle [c;d] est égl à l ire de l prtie hchurée. 1 b c d b Exemple 1 On choisit un nombre u hsrd dns l intervlle [5;]. L vrible X égle u nombre choisi, suit l loi uniforme sur [5;].On considère les événements A = (X > 1), B = (1 X 16) et C = (8 X 13). Alors : p(a) = 1 5,67,p(B) = p(ā) = p(x 1) = 1 p(a),33,7 et p(c) = 5 15,33 p(b C) = p(b)+p(c) p(b C) = = 8 15 Pour rppeler que les formules connues fonctionnent encore vec les lois continues. Définition 4 L espérnce mthémtique d une vrible létoire X dont l densité de probbilité f est définie sur l intervlle [;b] est : E(X) = xf(x)dx L espérnce est l moyenne des vleurs prises pr X lorsqu on réitère un grnd nombre de fois l expérience dont est issue X.Pour l loi uniforme on le résultt suivnt : Proposition 1 Si X suit l loi uniforme sur [;b] lors E(X) = +b C est l moyenne rithmétique de et b. On démontre ce résultt pr un clcul intégrl simple. En effet si X suit l loi uniforme sur [;b] lors f(x) = 1 b et : I.. Loi exponentielle E(X) = xf(x)dx = x b dx = 1 b [x ]b = +b Les lois exponentielles modélisent les phénomènes dont l durée de vie ne dépend ps de l âge, comme pr exemple celle d un tome rdioctif. Cette propriété est connue sous le nom de durée de vie sns vieillissement. Elle s exprime pr le reltion probbiliste : 4/11

5 P X t (X t+h) = P(X h) pour tous t et h positifs ou nuls. En d utres termes, le probbilité que X dépsse le temps t+h schnt que X déjà dépssé le temps t est l même que l probbilité que X dépsse h quelque soit t et h. On démontre que les vribles létoires qui suivent une loi exponentielle sont les seules qui modélisent une durée de vie sns vieillissement. Définition 5 On considère un réel positif λ. L loi exponentielle est l loi de probbilité d une vrible létoire T définie sur [;+ [ pr l fonction de densité f(t) = λe λt λ p(t ) Une fonction de densité d une loi exponentielle est toujours décroissnte (λ > ) On insi d près les définitions précédentes : p(t [c;d]) = En fisnt tendre d vers +, on obtient : d c λe λt dt = e cλ e dλ ou encore, p(t [c;+ ]) = p(t c) = + c λe λt dt = e cλ p(t c) = c λe λt dt = 1 e cλ Exemple L durée de vie d un composnt électronique, exprimée en nnées, est une vrible létoire T qui suit une loi exponentielle de prmètre λ =,. L probbilité que le composnt dure moins de 8 ns est lors : p(t 8) = 8 L probbilité que le composnt dure plus de 1 ns est lors :,e.t dt = 1 e 8,,798 p(t 1) = + 1,e.t dt = e 1,,135 Proposition Soit T une vrible létoire qui suit une loi exponentielle de prmètre λ >. Alors : E(T) = 1 λ 5/11

6 En reprennt l exemple précédent, E(T) = 1 = 5. Donc en moyenne sur un grnd lot de composnts, l durée, de vie est de 5 ns. Démonstrtion : Il s git de clculer dns un premier temps l intégrle I(α) = Posons g(x) = xλe λx. L fonction g est dérivble sur [;+ [ et on : α xλe λx dxetdeclculer lim α + I(α). d où : Ainsi : I(α) = 1 λ α g (x) = λe λx λ xe λx = λe λx λg(x) g(x) = 1 λ (λe λx g (x)) (λe λx g (x))dx = 1 λ ( e λα λαe λα +1) près clculs. Avec lim α + λαe λα = et lim α + e λα =, il vient lim α + I(α) = 1 λ II Loi normle centrée réduite Dns cette section, on étudie plus précisément l loi normle dns un cs prticulier. On générliser pr l suite. II.1 Convergence de l loi binomile On rppelle que si une vrible létoire X suit une loi binomile B(n,p) lors : X prend les vleurs entières de à n; ( ) n pour k n, p(x = k) = p k k (1 p) n k ; E(X) = n p et V(X) = n p (1 p) Cette distribution des probbilités s illustre pr un digrmme en brres : Répétition de n épreuves identiques et indépendntes les unes des utres, à deux issues possibles, l un étnt ppelée le succès de probbilité p. Illustrtion du cs n = 1 et p =.. L huteur des brres donnent l probbilité des événements X = k On considère l vrible létoire Z définie pr Z = X np np(1 p). Clculons l espérnce puis l vrince de Z. L espérnce est linéire donc : X np E(Z) = E( ) = E(X) E(np) = np npe(1) = cr E(1) = 1 np(1 p) np(1 p) np(1 p) et : X np V(Z) = V( ) = V(X) np(1 p) np(1 p) = 1.. Voir puissnces comprées d une exponentielle et d un polynôme. Pour tous réels et b, E(X +b) = E(X)+b. Pour tous réels et b, V(X +b) = V(X) 6/11

7 En conclusion Z une espérnce nulle et un écrt-type égl à 1. Définition 6 L vrible Z est dite centrée réduite. Qund les vleurs de X décrivent l ensemble des entiers Ω = {,1,,...,n} les vleurs de Z décrivent l l ensemble des nombres réels { np σ, 1 np, np,..., n np } où σ = np(1 p). σ σ σ Ci-dessous, on donne le digrmme en brres de l vrible Z pour différentes vleurs de n. n = 5 n = 1 n = Plus n est grnd, plus les digrmmes dessinent une ire délimitée pr une courbe en cloche, ppelée courbe de Guss.On démontre que cette courbe est l courbe représenttive de l fonction Φ définie pour tout réel x pr : 4.1 Φ(x) = 1 e x π L loi de probbilité discrète de l vrible X (loi binomile) devient une loi continue lorsque n devient grnd de l vrible Z. Cette loi dont l fonction de densité est l fonction Φ, est l loi normle centrée réduite. Cette convergence d une loi vers une utre constitue le théorème suivnt. Théorème 1 Théorème de Moivre Lplce Soit X n une vrible létoire qui suit l loi binomile B(n,p). On pose : Z n = X n np np(1 p). Alors pour tous réels et b, vec < b, on : lim p( Z n b) = n + où Φ est l fonction de Guss définie ci-dessus. Φ(t) dt L démonstrtion est hors progrmme et repose sur une pproximtion (dite de Stirling). II. L loi N(,1) Définition 7 L loi normle centrée réduite est l loi continue dont l fonction de densité est l fonction de Guss Φ. Ainsi,dns le cs où X suit l loi normle N(,1), p( X b) = Φ(t) dt. En prtique le clcul intégrl précédent est impossible cr on ne connît ps une primitive explicite de l fonction Φ. On utilise les fonctionnlités des clcultrices qui permet pr divers lgorithmes d en déterminer une vleur pprochée... Voir cours sur le clcul intégrl 7/11

8 Proposition 3 En utilisnt notmment l symétrie de l courbe,pour tout réel : p( X ) = p( X ); p(x ) = 1 p(x ) Les probbilités des événements ci-dessus peuvent toujours s interpréter en termes d ires : p( X ) p( X ) Exemple 3 On considère une vrible létoire X qui suit l loi normle centrée réduite N(,1). À l clcultrice, on trouve p(x <.6).734.Alors on peut en déduire : p( < X <.6) cr p( < X <.6) = p(x <.6).5 =.34; p(x >.6) cr p(x >.6) = p(x <.6) =.734; p(x.6) cr p(x.6) = 1 p(x <.6) =.676. Exemple 4 On considère l vrible létoire X qui suit une loi binomile B(7;,7). On pose Z = X 49 14,7. D près le théorème de Moivre Lplce, considérnt que le nombre n d essis est ssez grnd, Z suit l loi normle centrée réduite. Déterminons p(46 X 6), c est-à-dire l probbilité que le nombre de succès soit compris entre 35 et 6.On : p(46 X 6) = p( Z 6 49 ) p(,78 Z,869), ,7 14,7 Théorème Soit X une vrible létoire qui suit une loi normle centrée réduite. Alors pour tout réel α dns ];1[, il existe un unique réel positif u α tel que : p( u α X u α ) = 1 α Démonstrtion :D près l symétrie de l courbe,on : p( u X u) = p( X u) = u Φ(x)dx = H(u) où H est une primitive de Φ qui s nnule en.l fonction H est continue et strictement croissnte sur [;+ [ vec lim H(u) = 1.On obtient insi le tbleu de vritions suivnt : u + 8/11

9 u + 1 H(u) ր Lorsque α pprtient à ];1[, 1 α ussi. D près le théorème des vleurs intermédiires, il existe un unique u α dns [;+ [ tel que H(u α ) = 1 α, c est-à-dire, p( u α X u α ) = 1 α. Il fut en prticulier retenir deux vleurs prticulières de α, données pr le tbleu ci-dessous : u,5 = 1,96 u,1 =,58 95%des vleurs 99%des vleurs 1,96 1,96,58,58 III L loi normle N(µ,σ ) Il s git de générliser l notion de loi normle. Définition 8 On considère un réel µ et un réel strictement positif σ. On dit qu une vrible X suit l loi normle N(µ,σ ) si l vrible centrée réduite Z = X µ suit l loi centrée réduite N(,1). σ Dns ce cs, l espérnce de X est µ et son écrt-type est σ. 9/11

10 σ =.4 σ = 1 σ = Pour une même moyenne µ = 15, on voit l évolution de l forme de l courbe en cloche selon les différentes vleurs de σ. Les lois normles à l origine permettent de modéliser de nombreuses études biométriques.il fut comprendre que pour une loi normle N(µ,σ ), plus l vrible est proche de l vleur de µ, plus l probbilité de son pprition est grnde. L dispersion des vleurs est précisée pr σ. En prtique, pour clculer l probbilité d un événement imposé à l vrible X qui suit l loi N(µ,σ ), on utilise les fonctionnlités de l clcultrice. Exemple 5 On suppose que X N(4,4). Clculons l probbilité des événements suivnts : (X 5),(3.5 X 4.5) et (X > 6) À l clcultrice, on obtient : p(x 5),6915,p(3.5 X 4.5),1974 et p(x > 6) = 1 p(x 6),1587 Proposition 4 Soit X une vrible létoire qui suit l loi normle N(µ,σ ). Alors : p(µ σ X µ+σ),683 p(µ σ X µ+σ),954 p(µ 3σ X µ+3σ),997 Cette propriété est connue sous le nom des 1,,3 sigm. 1/11

11 µ σ µ+σ 68,5% des vleurs µ σ µ+σ 95,4% des vleurs µ 3σ 99,7% des vleurs µ+3σ 11/11