Lois de probabilité continues

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Lois de probabilité continues"

Transcription

1 Lois de probbilité continues Tble des mtières I Lois de probbilité continues I.1 Principe et définitions I. Exemples de lois continues I..1 Loi uniforme I.. Loi exponentielle II Loi normle centrée réduite 6 II.1 Convergence de l loi binomile II. L loi N(,1) IIIL loi normle N(µ,σ ) 9

2 I Lois de probbilité continues I.1 Principe et définitions On considère une expérience létoire dont les issues ne sont plus dénombrbles : choisir un nombre réel entre et 1; prévoir l durée d un ppel téléphonique; prévoir l ngle d une girouette,... Comment peut-on définir une loi de probbilité sur des résultts regroupés en intervlle? On rppelle qu étblir une loi de probbilité sur un univers fini Ω, consiste à ttribuer ux N vleurs x i de Ω, un réel positif p i tels que : p i 1 pour 1 i N i=n p i = 1 i=1 Le réflexe consiste à poser p i = 1 quelque soit i; on définit lors une loi équiprobble. N Mis comment fire lorsque Ω n est ps fini? Exemple : Un jeu consiste à tirer une flèche sur un cible dont l forme est donnée ci-contre. L prbole est l courbe représenttive de l fonction f définie sur [;1] pr : 1 f(x) = 6x(1 x) On suppose que l flèche tteint toujours l cible et on ppelle x l bscisse du point d impct P sur l cible.on s intéresse à l probbilité de l événement : E :, x,6 Cet événement ser rélisé chque fois que l flèche tombe dns l zone hchurée. On peut lors construire l probbilité de E en considérnt le rpport des deux ires : Or, d une prt A = A E, l ire de l prtie hchurée, A, l ire de l prtie située sous l courbe,u dessus de l xe des bscisses entre les vleurs et 1. 1 f(x)dx et d utre prt A E =,6 A = 1 et A E =,544. Une primitive F de f est F(x) = 3x x 3, f(x)dx.un clcul rpide donne : /11

3 Ainsi, l probbilité de l événement E est-elle : p(e) =,544. On donc défini une loi de probbilité sur un univers infini (cr x peut prendre une infinité de vleurs) pr l reltion : p(x [c;d]) = d c f(x)dx où c < d 1 Définition 1 Soit I = [;b] un intervlle borné de réels vec < b. On considère une fonction f positive sur I telle que l intervlle I de tout intervlle J = [c;d] inclus dns I pr : f(x) dx = 1. On définit une loi de probbilité sur p(x [c;d]) = d c f(x)dx À chque intervlle J inclus dns I, on ttribue donc un réel positif p J tel que : p J 1 p J = 1 (J I) Définition L fonction f insi définie s ppelle densité de l loi de probbilité sur l intervlle I. L distribution des probbilités n est plus discrète mis continue. Cel justifie le nom de loi de probbilité continue. I. Exemples de lois continues On se propose ici de découvrir deux situtions qui permettent de construire deux fonctions de densité, c està-dire deux nouvelles lois. I..1 Loi uniforme Un cmrde choisit,un nombre entier entre 1 et 1. Dns ce cs,l probbilité de retrouver son nombre est de.1 (une chnce sur dix). En revnche, s il choisit un nombre réel entre 1 et 1,l probbilité de le retrouver est qusiment nulle. L question est lors comment modéliser le tirge létoire d un nombre d un intervlle I? On considère un intervlle I = [;b].pour tout nombre x dns I, on considère un intervlle J = [c;d] inclus dns I et contennt x.on construit une loi de probbilité sur I en clculnt le rpport des longueurs des intervlles J et I. Ainsi : p(x J) = longueur de J longueur de I = d c b Plus J est grnd, plus p se rpproche de 1 et plus l événement x J de chnces de se produire.inversement,plus J est petit, moins l événement précédent de chnces de se produire. L loi insi construite est l loi uniforme sur I.On peut l considérer comme l loi équiréprtie pour les lois continues. Définition 3 Une vrible létoire X suit une loi uniforme sur l intervlle [;b] ( < b) 1 lorsque s densité de probbilité f est l fonction constnte égle à b. 3/11

4 En effet, si f(x) = 1 pour x [;b] lors, d p(x [c;d]) = f(x)dx = d c vec p(x [;b]) = f(x)dx = b c b b = 1. On illustre l sitution pr le schém ci-contre (qui rppelle celui de l cible) : Sur un intervlle [;b], l fonction de densité de l loi uniforme est f(x) = 1. L probbilité b que X soit dns un intervlle [c;d] est égl à l ire de l prtie hchurée. 1 b c d b Exemple 1 On choisit un nombre u hsrd dns l intervlle [5;]. L vrible X égle u nombre choisi, suit l loi uniforme sur [5;].On considère les événements A = (X > 1), B = (1 X 16) et C = (8 X 13). Alors : p(a) = 1 5,67,p(B) = p(ā) = p(x 1) = 1 p(a),33,7 et p(c) = 5 15,33 p(b C) = p(b)+p(c) p(b C) = = 8 15 Pour rppeler que les formules connues fonctionnent encore vec les lois continues. Définition 4 L espérnce mthémtique d une vrible létoire X dont l densité de probbilité f est définie sur l intervlle [;b] est : E(X) = xf(x)dx L espérnce est l moyenne des vleurs prises pr X lorsqu on réitère un grnd nombre de fois l expérience dont est issue X.Pour l loi uniforme on le résultt suivnt : Proposition 1 Si X suit l loi uniforme sur [;b] lors E(X) = +b C est l moyenne rithmétique de et b. On démontre ce résultt pr un clcul intégrl simple. En effet si X suit l loi uniforme sur [;b] lors f(x) = 1 b et : I.. Loi exponentielle E(X) = xf(x)dx = x b dx = 1 b [x ]b = +b Les lois exponentielles modélisent les phénomènes dont l durée de vie ne dépend ps de l âge, comme pr exemple celle d un tome rdioctif. Cette propriété est connue sous le nom de durée de vie sns vieillissement. Elle s exprime pr le reltion probbiliste : 4/11

5 P X t (X t+h) = P(X h) pour tous t et h positifs ou nuls. En d utres termes, le probbilité que X dépsse le temps t+h schnt que X déjà dépssé le temps t est l même que l probbilité que X dépsse h quelque soit t et h. On démontre que les vribles létoires qui suivent une loi exponentielle sont les seules qui modélisent une durée de vie sns vieillissement. Définition 5 On considère un réel positif λ. L loi exponentielle est l loi de probbilité d une vrible létoire T définie sur [;+ [ pr l fonction de densité f(t) = λe λt λ p(t ) Une fonction de densité d une loi exponentielle est toujours décroissnte (λ > ) On insi d près les définitions précédentes : p(t [c;d]) = En fisnt tendre d vers +, on obtient : d c λe λt dt = e cλ e dλ ou encore, p(t [c;+ ]) = p(t c) = + c λe λt dt = e cλ p(t c) = c λe λt dt = 1 e cλ Exemple L durée de vie d un composnt électronique, exprimée en nnées, est une vrible létoire T qui suit une loi exponentielle de prmètre λ =,. L probbilité que le composnt dure moins de 8 ns est lors : p(t 8) = 8 L probbilité que le composnt dure plus de 1 ns est lors :,e.t dt = 1 e 8,,798 p(t 1) = + 1,e.t dt = e 1,,135 Proposition Soit T une vrible létoire qui suit une loi exponentielle de prmètre λ >. Alors : E(T) = 1 λ 5/11

6 En reprennt l exemple précédent, E(T) = 1 = 5. Donc en moyenne sur un grnd lot de composnts, l durée, de vie est de 5 ns. Démonstrtion : Il s git de clculer dns un premier temps l intégrle I(α) = Posons g(x) = xλe λx. L fonction g est dérivble sur [;+ [ et on : α xλe λx dxetdeclculer lim α + I(α). d où : Ainsi : I(α) = 1 λ α g (x) = λe λx λ xe λx = λe λx λg(x) g(x) = 1 λ (λe λx g (x)) (λe λx g (x))dx = 1 λ ( e λα λαe λα +1) près clculs. Avec lim α + λαe λα = et lim α + e λα =, il vient lim α + I(α) = 1 λ II Loi normle centrée réduite Dns cette section, on étudie plus précisément l loi normle dns un cs prticulier. On générliser pr l suite. II.1 Convergence de l loi binomile On rppelle que si une vrible létoire X suit une loi binomile B(n,p) lors : X prend les vleurs entières de à n; ( ) n pour k n, p(x = k) = p k k (1 p) n k ; E(X) = n p et V(X) = n p (1 p) Cette distribution des probbilités s illustre pr un digrmme en brres : Répétition de n épreuves identiques et indépendntes les unes des utres, à deux issues possibles, l un étnt ppelée le succès de probbilité p. Illustrtion du cs n = 1 et p =.. L huteur des brres donnent l probbilité des événements X = k On considère l vrible létoire Z définie pr Z = X np np(1 p). Clculons l espérnce puis l vrince de Z. L espérnce est linéire donc : X np E(Z) = E( ) = E(X) E(np) = np npe(1) = cr E(1) = 1 np(1 p) np(1 p) np(1 p) et : X np V(Z) = V( ) = V(X) np(1 p) np(1 p) = 1.. Voir puissnces comprées d une exponentielle et d un polynôme. Pour tous réels et b, E(X +b) = E(X)+b. Pour tous réels et b, V(X +b) = V(X) 6/11

7 En conclusion Z une espérnce nulle et un écrt-type égl à 1. Définition 6 L vrible Z est dite centrée réduite. Qund les vleurs de X décrivent l ensemble des entiers Ω = {,1,,...,n} les vleurs de Z décrivent l l ensemble des nombres réels { np σ, 1 np, np,..., n np } où σ = np(1 p). σ σ σ Ci-dessous, on donne le digrmme en brres de l vrible Z pour différentes vleurs de n. n = 5 n = 1 n = Plus n est grnd, plus les digrmmes dessinent une ire délimitée pr une courbe en cloche, ppelée courbe de Guss.On démontre que cette courbe est l courbe représenttive de l fonction Φ définie pour tout réel x pr : 4.1 Φ(x) = 1 e x π L loi de probbilité discrète de l vrible X (loi binomile) devient une loi continue lorsque n devient grnd de l vrible Z. Cette loi dont l fonction de densité est l fonction Φ, est l loi normle centrée réduite. Cette convergence d une loi vers une utre constitue le théorème suivnt. Théorème 1 Théorème de Moivre Lplce Soit X n une vrible létoire qui suit l loi binomile B(n,p). On pose : Z n = X n np np(1 p). Alors pour tous réels et b, vec < b, on : lim p( Z n b) = n + où Φ est l fonction de Guss définie ci-dessus. Φ(t) dt L démonstrtion est hors progrmme et repose sur une pproximtion (dite de Stirling). II. L loi N(,1) Définition 7 L loi normle centrée réduite est l loi continue dont l fonction de densité est l fonction de Guss Φ. Ainsi,dns le cs où X suit l loi normle N(,1), p( X b) = Φ(t) dt. En prtique le clcul intégrl précédent est impossible cr on ne connît ps une primitive explicite de l fonction Φ. On utilise les fonctionnlités des clcultrices qui permet pr divers lgorithmes d en déterminer une vleur pprochée... Voir cours sur le clcul intégrl 7/11

8 Proposition 3 En utilisnt notmment l symétrie de l courbe,pour tout réel : p( X ) = p( X ); p(x ) = 1 p(x ) Les probbilités des événements ci-dessus peuvent toujours s interpréter en termes d ires : p( X ) p( X ) Exemple 3 On considère une vrible létoire X qui suit l loi normle centrée réduite N(,1). À l clcultrice, on trouve p(x <.6).734.Alors on peut en déduire : p( < X <.6) cr p( < X <.6) = p(x <.6).5 =.34; p(x >.6) cr p(x >.6) = p(x <.6) =.734; p(x.6) cr p(x.6) = 1 p(x <.6) =.676. Exemple 4 On considère l vrible létoire X qui suit une loi binomile B(7;,7). On pose Z = X 49 14,7. D près le théorème de Moivre Lplce, considérnt que le nombre n d essis est ssez grnd, Z suit l loi normle centrée réduite. Déterminons p(46 X 6), c est-à-dire l probbilité que le nombre de succès soit compris entre 35 et 6.On : p(46 X 6) = p( Z 6 49 ) p(,78 Z,869), ,7 14,7 Théorème Soit X une vrible létoire qui suit une loi normle centrée réduite. Alors pour tout réel α dns ];1[, il existe un unique réel positif u α tel que : p( u α X u α ) = 1 α Démonstrtion :D près l symétrie de l courbe,on : p( u X u) = p( X u) = u Φ(x)dx = H(u) où H est une primitive de Φ qui s nnule en.l fonction H est continue et strictement croissnte sur [;+ [ vec lim H(u) = 1.On obtient insi le tbleu de vritions suivnt : u + 8/11

9 u + 1 H(u) ր Lorsque α pprtient à ];1[, 1 α ussi. D près le théorème des vleurs intermédiires, il existe un unique u α dns [;+ [ tel que H(u α ) = 1 α, c est-à-dire, p( u α X u α ) = 1 α. Il fut en prticulier retenir deux vleurs prticulières de α, données pr le tbleu ci-dessous : u,5 = 1,96 u,1 =,58 95%des vleurs 99%des vleurs 1,96 1,96,58,58 III L loi normle N(µ,σ ) Il s git de générliser l notion de loi normle. Définition 8 On considère un réel µ et un réel strictement positif σ. On dit qu une vrible X suit l loi normle N(µ,σ ) si l vrible centrée réduite Z = X µ suit l loi centrée réduite N(,1). σ Dns ce cs, l espérnce de X est µ et son écrt-type est σ. 9/11

10 σ =.4 σ = 1 σ = Pour une même moyenne µ = 15, on voit l évolution de l forme de l courbe en cloche selon les différentes vleurs de σ. Les lois normles à l origine permettent de modéliser de nombreuses études biométriques.il fut comprendre que pour une loi normle N(µ,σ ), plus l vrible est proche de l vleur de µ, plus l probbilité de son pprition est grnde. L dispersion des vleurs est précisée pr σ. En prtique, pour clculer l probbilité d un événement imposé à l vrible X qui suit l loi N(µ,σ ), on utilise les fonctionnlités de l clcultrice. Exemple 5 On suppose que X N(4,4). Clculons l probbilité des événements suivnts : (X 5),(3.5 X 4.5) et (X > 6) À l clcultrice, on obtient : p(x 5),6915,p(3.5 X 4.5),1974 et p(x > 6) = 1 p(x 6),1587 Proposition 4 Soit X une vrible létoire qui suit l loi normle N(µ,σ ). Alors : p(µ σ X µ+σ),683 p(µ σ X µ+σ),954 p(µ 3σ X µ+3σ),997 Cette propriété est connue sous le nom des 1,,3 sigm. 1/11

11 µ σ µ+σ 68,5% des vleurs µ σ µ+σ 95,4% des vleurs µ 3σ 99,7% des vleurs µ+3σ 11/11

Clamaths.fr - Les Roc en Terminale S

Clamaths.fr - Les Roc en Terminale S Clmths.fr - Les Roc en Terminle S CONTENTS ROC - exigibles... 2 Roc 1 Théorème de comprison pour les suites... 2 Roc 2 Limite de qn lorsque q > 1... 2 Roc 3 Unicité de l fonction exponentielle... 3 Roc

Plus en détail

LOIS À DENSITÉ. a) Un site de vente en ligne de vêtements établit le bilan des ventes par taille. L histogramme ci-contre résume ce bilan.

LOIS À DENSITÉ. a) Un site de vente en ligne de vêtements établit le bilan des ventes par taille. L histogramme ci-contre résume ce bilan. 1 LOIS À DENSITÉ I. Loi de probbilité à densité Exemples : 1) Vrible létoire continue ) Un site de vente en ligne de vêtements étblit le biln des ventes pr tille. L histogrmme ci-contre résume ce biln.

Plus en détail

DÉNOMBREMENT LOIS DE PROBABILITÉ

DÉNOMBREMENT LOIS DE PROBABILITÉ DÉNOMBREMENT LOIS DE PROBABILITÉ A Dénombrement I Utilistion de digrmmes, de tbleux, d rbres Exemples : 1. Un centre de loisirs ccueille 100 enfnts. Deux sports sont proposés : le footbll et le tennis.

Plus en détail

Contrôle Continu 3 Novembre 2015

Contrôle Continu 3 Novembre 2015 L2 MIASHS 20 2016 Introduction à l Modélistion Sttistique Contrôle Continu 3 Novembre 20 Durée : 1h30 Documents interdits clcultrices UPPA utorisées Chque réponse devr être justifiée et rédigée de mnière

Plus en détail

LOI UNIFORME SUR [a ; b]

LOI UNIFORME SUR [a ; b] LOI UNIFORME SUR [ ; ] Eemple Dns une ville, un voygeur sit que sur une ligne d utous donnée, il psse un utous toutes les heures Ce voygeur ignore les horires et rrive à un rrêt de cette ligne Comien de

Plus en détail

LEÇON N 67 : Formules de Taylor. Applications.

LEÇON N 67 : Formules de Taylor. Applications. LEÇON N 67 : Formules de Tylor. Applictions. Pré-requis : Théorème de Rolle, théorème des Accroissements Finis ; Intégrtion pr prties ; Nottions de Lndu. 67. Résultts globux 67.. Formule de Tylor-Lgrnge

Plus en détail

Intégration. 1 Intégrale d une fonction. 2.1 Définition Propriétés Ensemble des primitives d une fonction... 6

Intégration. 1 Intégrale d une fonction. 2.1 Définition Propriétés Ensemble des primitives d une fonction... 6 Tble des mtières Intégrle d une fonction. Définition.................................................. Propriétés................................................. 4 Notion de primitive d une fonction 5.

Plus en détail

Chapitre 10 Intégrales. Table des matières. Chapitre 10 Intégrales TABLE DES MATIÈRES page -1

Chapitre 10 Intégrales. Table des matières. Chapitre 10 Intégrales TABLE DES MATIÈRES page -1 Chpitre Intégrles TABLE DES MATIÈRES pge - Chpitre Intégrles Tble des mtières I Exercices I-................................................ I-................................................ I-................................................

Plus en détail

Analyse numérique : Intégration numérique

Analyse numérique : Intégration numérique Anlyse numérique : Intégrtion numérique Pgor 1A Chpitre 4 8 février 11 mrs 2013 Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/2013 1 / 67 Pln 1 Introduction 2 Intégrtion pr méthode de Monte-Crlo

Plus en détail

Intégration. Intégrale d une fonction. II - Interprétation graphique : calcul d aire. 1) Aire d une fonction positive. T ale STI

Intégration. Intégrale d une fonction. II - Interprétation graphique : calcul d aire. 1) Aire d une fonction positive. T ale STI Intégrtion T le STI I - Intégrle d une fonction Définition Soit F une primitive de l fonction f sur [; ], lors, on note Exemple : Clcul de Clcul de 4 (3x ) dx = = [F(x)] = F() F() xdx : Une primitive de

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 21 avril 2010

Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 21 avril 2010 Corrigé du bcclurét S Pondichéry 2 vril 2 EXERCICE Commun à tous les cndidts Prtie A : Restitution orgnisée de connissnces 6 points f et g sont deux fonctions continues sur un intervlle [ ; b] donc g f

Plus en détail

Calcul intégral. I Intégrale d une fonction 2

Calcul intégral. I Intégrale d une fonction 2 T le STIGE Clcul intégrl 8-9 Clcul intégrl Tble des mtières I Intégrle d une fonction II Interpréttion grphique : clcul d ire II. Aire d un fonction positive...................................... II. Aire

Plus en détail

x est la variable et f(x) est l image de x. On note y = f(x). L ensemble des éléments de I ayant une image est appelé ensemble de définition, noté E.

x est la variable et f(x) est l image de x. On note y = f(x). L ensemble des éléments de I ayant une image est appelé ensemble de définition, noté E. http://mths-sciences.r LES FONCTIONS NUMÉRIQUES USUELLES I) Générlités ) Déinition Soit I un intervlle de, une onction est une reltion qui ssocie à tout élément x de I, un nombre réel (x) u plus. : I x

Plus en détail

Cours de terminale S Probabilités : lois à densité

Cours de terminale S Probabilités : lois à densité Cours de terminale S Probabilités : lois à densité V. B. et S. B. Lycée des EK Considérons une variable aléatoire susceptible de prendre n importe quelle valeur réelle appartenant à un intervalle donné.

Plus en détail

Le Centre d éducation en mathématiques et en informatique. Ateliers en ligne Euclide Atelier n o 5. Suites et séries. c 2014 UNIVERSITY OF WATERLOO

Le Centre d éducation en mathématiques et en informatique. Ateliers en ligne Euclide Atelier n o 5. Suites et séries. c 2014 UNIVERSITY OF WATERLOO Le Centre d éduction en mthémtiques et en informtique Ateliers en ligne Euclide Atelier n o 5 Suites et séries c 014 UNIVERSITY OF WATERLOO L pluprt des problèmes de cette trousse font ppel à des formules

Plus en détail

5. Intégration complexe

5. Intégration complexe 49 5. Intégrtion complexe 1. Intégrles définies d une fonction complexe d une vrible réelle Les intégrles sont extrêmement importntes dns l étude des fonctions d une vrible complexe. Nous étblirons l équivlence

Plus en détail

Licence de Mathématiques Fondamentales Calcul Scientifique feuille de TD 3

Licence de Mathématiques Fondamentales Calcul Scientifique feuille de TD 3 Licence de Mthémtiques Fondmentles Clcul Scientifique feuille de TD 3 Intégrtion numérique Soit f : [, b] R une fonction continue On cherche à clculer numériquement l intégrle f(x) dx Pour cel, on subdivise

Plus en détail

LIMITES ET CONTINUITÉ

LIMITES ET CONTINUITÉ LIMITES ET CONTINUITÉ Cours Terminle S Limite d une onction à l inini ) Limite inie en l inini Déinition : Soit une onction déinie sur un intervlle de l orme ] A ; + [ On dit que l onction dmet pour limite

Plus en détail

Chapitre 2 Limites et asymptotes

Chapitre 2 Limites et asymptotes Chpitre 2 Limites et symptotes A) Introduction ) Le grenier Je veux monter un toit à une pente en lissnt l plce pour une pièce (grenier) de 3 mètres de long et 2 mètres de hut. OA = 3, OC = 2, OE = x.

Plus en détail

Table des matières 3. GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS...63 A) ENSEMBLE DE DÉFINITION D'UNE FONCTION...63

Table des matières 3. GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS...63 A) ENSEMBLE DE DÉFINITION D'UNE FONCTION...63 Tble des mtières 1. ALGORITHMES...15 A) LES PRINCIPAUX ALGORITHMES À SAVOIR CONSTRUIRE ET MANIPULER...15 1. Comment écrire un lgorithme qui clcule un terme u n d'une suite numérique définie pr récurrence?...15

Plus en détail

Fiches de cours analyse 4 ème Sciences expérimentales. Limites et continuité. Limites et comparaison de fonctions.

Fiches de cours analyse 4 ème Sciences expérimentales. Limites et continuité. Limites et comparaison de fonctions. Fiches de cours nlyse 4 ème Sciences epérimentles Limites et continuité Limites et comprison de fonctions. L et L ' sont des réels. désigne soit un réel, soit +, soit Premier théorème de comprison Soit

Plus en détail

Intégration numérique

Intégration numérique Chpitre 5 Intégrtion numérique 5.1 Introduction Dns ce chpitre, on s interesse u clcul numérique d intégrles. Plus précisément, on considère une fonction f continue et une fonction w continue et positive

Plus en détail

1 Puissances d'une matrice

1 Puissances d'une matrice 1 Puissnces d'une mtrice Dénitions 1 On ppelle digonle ou digonle principle d'une mtrice les éléments i,i de l mtrice ynt un indice de ligne égl à l'indice de colonne 2 On ppelle mtrice digonle une mtrice

Plus en détail

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE (COURS)

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE (COURS) Équtions différentielles du ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE (COURS) TI-Nspire CAS 1. Objectifs Découvrir les équtions différentielles du premier ordre. Résoudre à l min et à l ide de l clcultrice

Plus en détail

Résumé de cours : Terminale ES. Table des matières. Maths-Terminale ES. Mr Mamouni : source disponible sur: Samedi 08 Avril 2006.

Résumé de cours : Terminale ES. Table des matières. Maths-Terminale ES. Mr Mamouni : source disponible sur: Samedi 08 Avril 2006. Résumé de cours : Terminle ES. Mths-Terminle ES. Mr Mmouni : myismil@ltern.org source disponile sur: c http://www.chez.com/myismil Smedi 08 Avril 2006. Tle des mtières Eqution du second degré. 2. Ses solutions

Plus en détail

1. Fonctions fortement piquées. La fonction delta de Dirac. (x) ρ n. n = 8. Figure 1

1. Fonctions fortement piquées. La fonction delta de Dirac. (x) ρ n. n = 8. Figure 1 31 3. Fonction de Dirc 1. Fonctions fortement piquées. fonction delt de Dirc 1.1. Exemple en électrosttique ρ n (x n = 8 n = 4 n = 2 n = 1-1/2 O 1/2 x Figure 1 Considérons, sur une droite, une suite de

Plus en détail

ROC: Restitution Organisée des Connaissances

ROC: Restitution Organisée des Connaissances ROC: Restitution Orgnisée des Connissnces Terminle S Septembre 2005 Tble des mtières 1 Anlyse 2 1.1 Limites et ordre........................... 2 1.2 Bijection............................... 3 1.3 Fonction

Plus en détail

I. Fonctions

I. Fonctions FORMULAIRE MATHÉMATIQUES - RENTRÉE 205 - PRÉPA ECS PREMIÈRE ANNÉE Tble des mtières I. Fonctions - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4. Générlités sur les fonctions...................

Plus en détail

Fiche 10 : Probabilités

Fiche 10 : Probabilités Fiche 10 : Probbilités Pln de l fiche I - Les prties d un ensemble E II - Probbilité III - Probbilité conditionnelle IV - Vrible létoire V - Lois discrètes usuelles VI - Loi continue I - Les prties d un

Plus en détail

1. Rappels sur la loi binomiale

1. Rappels sur la loi binomiale . Rppels sr l loi inomile On ppelle épree de Bernolli tote expérience létoire ne présentnt qe dex isses possiles (contrires l ne de l tre). On ppelle schém de Bernolli tote répétition d éprees de Bernolli

Plus en détail

Méthodes de calcul de valeurs approchées d une intégrale.

Méthodes de calcul de valeurs approchées d une intégrale. Clcul de vleurs pprochées d intégrles Méthodes de clcul de vleurs pprochées d une intégrle. 1 Les formules de qudrture de type interpoltion : Présenttion On cherche à clculer l intégrle I(f) = b µ(x)f(x)

Plus en détail

CHAPITRE 10 : LA FONCTION LOGARITHME NEPERIEN

CHAPITRE 10 : LA FONCTION LOGARITHME NEPERIEN L fonction logrithme népérien Cours CHAPITRE : LA FONCTION LOGARITHME NEPERIEN. Définition de l fonction logrithme népérien L fonction logrithme népérien, notée ln, est définie sur ],+ [, prend l vleur

Plus en détail

LIMITE ET CONTINUITÉ DE FONCTIONS

LIMITE ET CONTINUITÉ DE FONCTIONS Lurent Grcin MPSI Lycée Jen-Bptiste Corot LIMITE ET CONTINUITÉ DE FONCTIONS Soit R. Dns tout ce chpitre, on dir qu une fonction f de domine de définition D f est définie u voisinge de s il existe un réel

Plus en détail

Chapitre 6 - Intégration

Chapitre 6 - Intégration TES Chpitre 6 - Intégrtion 1-13 Chpitre 6 - Intégrtion I Intégrle d une fonction positive TD1 : Des clculs d ire Définition 1 Dns un repère orthogonl (O, I, J), on ppelle unité d ire l ire du rectngle

Plus en détail

11 Fonctions numériques - continuité

11 Fonctions numériques - continuité 11 Fonctions numériques - continuité 11.1 Ensemble des fonctions à vleurs réelles 11.1.1 Fonctions numériques Soit E un ensemble non vide. On note E l ensemble des pplictions de E dns. On définit les opértions

Plus en détail

Primitives et intégrales

Primitives et intégrales Primitives et intégrles 19 mrs 14 Introduction Chercher une primitive et clculer une intégrle n est ps tout à fit l même chose. Une primitive d une fonction f, c est une fonction F qui, lorsqu on l dérive,

Plus en détail

Chapitre 1 Le Second Degré

Chapitre 1 Le Second Degré Cours de Mthémtiques Première STID Chpitre 1 : Le second degré Chpitre 1 Le Second Degré A) Résolution de l'éqution du second degré 1) Définitions On ppelle polynôme de second degré l expression x² x c

Plus en détail

Chapitre 1 Équations et Inéquations du 2nd degré

Chapitre 1 Équations et Inéquations du 2nd degré Cours de Mthémtiques Première S Chpitre 1 : équtions et inéqutions du second degré Chpitre 1 Équtions et Inéqutions du nd degré A) Les Polynômes 1) Définitions On ppelle monôme une expression de l forme

Plus en détail

Cours de Mathématiques 2

Cours de Mathématiques 2 Cours de Mthémtiques 2 première prtie : Anlyse 2 DEUG MIAS 1 e nnée, 2 e semestre. Mximilin F. Hsler Déprtement Scientifique Interfcultire B.P. 7209 F 97275 SCHOELCHER CEDEX Fx : 0596 72 73 62 e-mil :

Plus en détail

APPROXIMATION DE FONCTIONS DÉRIVABLES PAR UNE FONCTION POLYNOMIALE

APPROXIMATION DE FONCTIONS DÉRIVABLES PAR UNE FONCTION POLYNOMIALE APPROXIMATION DE FONCTIONS DÉRIVABLES PAR UNE FONCTION POLYNOMIALE Définition. Soit I R un intervlle ouvert et soit f : I R une fonction. () Si f est continue, on dit que f est de clsse C 0. (2) Si f est

Plus en détail

LOIS A DENSITE (Partie 1)

LOIS A DENSITE (Partie 1) LOIS A DENSITE (Prtie ) I. Loi de probbilité à densité ) Rppel Eemple : Soit l'epérience létoire : "On lnce un dé à si fces et on regrde le résultt." L'ensemble de toutes les issues possibles Ω = {; ;

Plus en détail

Jour no1 Exercice 1.0 Exercice 1.1 Exercice 1.2

Jour no1 Exercice 1.0 Exercice 1.1 Exercice 1.2 Jour n o Exercice. ) Étudier l intégrbilité de x e x x2 sur ], + [. 2) Étudier l intégrbilité de x ln x x 2 + sur ], + [. Exercice. Soit f de clsse C 2 sur [, + [ telle que f est intégrble sur [, + [ et

Plus en détail

Chapitre 2. Les nombres complexes. 2.1 Définition et propriétés de C

Chapitre 2. Les nombres complexes. 2.1 Définition et propriétés de C Chpitre 2 Les nombres complexes Certines équtions polynomiles à coefficients réels n ont ps de solution dns R ; c est le cs de l éqution du second degré x 2 +1 = 0 puisque tout crré de réel est positif.

Plus en détail

Intégration des fonctions numériques

Intégration des fonctions numériques ntégrtion des fonctions numériques Sommire ntégrtion des fonctions numériques Sommire ntégrle des fonctions en escliers.................... Fonctions en escliers............................ ntégrle des

Plus en détail

Comparaison entre ancien et nouveau programmes de Terminale S

Comparaison entre ancien et nouveau programmes de Terminale S Comprison entre ncien et nouveu progrmmes de Terminle S Ancien progrmme 2002 Nouveu progrmme 2012 Progrmme 1 ère S 2011 et Commentires Anlyse Anlyse Anlyse Suites et récurrence Risonnement pr récurrence

Plus en détail

Calcul intégral. II Intégrale d une fonction 4

Calcul intégral. II Intégrale d une fonction 4 BTS DOMOTIQUE Clcul intégrl 8- Clcul intégrl Tble des mtières I Primitives I. Définitions............................................... I. Clculs de primitives.........................................

Plus en détail

NOTIONS DE CALCUL DIFFERENTIEL ET INTEGRAL EN PHYSIQUE

NOTIONS DE CALCUL DIFFERENTIEL ET INTEGRAL EN PHYSIQUE NOTIONS D CALCUL DIFFNTIL T INTGAL N PHYSIQU 1) Dérivée d une fonction Soit une fonction F : x F(x) D F(x + ) F(x ) ΔF x x + ( +Δ ) ( ) Δ F F x x F x Le tux de vrition = L limite de ce tux de vrition lorsque

Plus en détail

Résumé du cours d analyse de Sup et Spé

Résumé du cours d analyse de Sup et Spé Résumé du cours d nlyse de Sup et Spé 1 Topologie 1.1 Normes, normes équivlentes Une norme sur le K-espce vectoriel E est une ppliction N de E dns R vérifint : x E, N(x) 0 (positivité) x E, (N(x) = 0 x

Plus en détail

Cours de Terminale S Analyse. Éric ROUGIER

Cours de Terminale S Analyse. Éric ROUGIER Cours de Terminle S Anlyse Éric ROUGIER 13 vril 2015 2 Tble des mtières 1 Suites et récurrence 5 I - Le risonnement pr récurrence...................................... 6 1. Principe de récurrence.......................................

Plus en détail

Espaces vectoriels munis d un produit scalaire EVMPS

Espaces vectoriels munis d un produit scalaire EVMPS Espces vectoriels munis d un produit sclire EVMPS Produits sclires générlisés Définition. Dns l espce vectoriel V un produit sclire est une fonction ssocint à chque pire ordonnée ( x, y) de vecteurs de

Plus en détail

LES CONIQUES. Qu est-ce qu une conique?

LES CONIQUES. Qu est-ce qu une conique? LES CONIQUES Qu est-ce qu une conique? Une conique est une courbe plne que l on peut trcer sur un cône de révolution à deux nppes. Suivnt l position qu il occupe pr rpport à un cône, un pln qui coupe ce

Plus en détail

CHAPITRE 17 : CALCUL D INTEGRALES - INTEGRATION PAR PARTIES

CHAPITRE 17 : CALCUL D INTEGRALES - INTEGRATION PAR PARTIES Clcul d intégrles - Intégrtion pr prties Cours CHAPITRE 7 : CALCUL D INTEGRALES - INTEGRATION PAR PARTIES Dns ce cours, nous disposons de trois techniques de clcul d intégrles : ) primitivtion pr lecture

Plus en détail

Chapitre 6 : Logarithme

Chapitre 6 : Logarithme Chpitre 6 : Logrithme Introduction Pour représenter grphiquement des nombres qui vrient sur plusieurs ordres de grndeur (pr exemple de à 000), on ne peut ps utiliser l échelle hbituelle où les grdutions

Plus en détail

Calcul différentiel et intégral 2 (M-1.1)

Calcul différentiel et intégral 2 (M-1.1) Clcul différentiel et intégrl (M-.) Cdre : dns l suite on considère une fonction numérique f définie sur un intervlle I et un réel I I. Dérivée d'une fonction Définition du nomre dérivé : l fonction f

Plus en détail

ÉQUATIONS INÉQUATIONS SYSTÈMES Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako

ÉQUATIONS INÉQUATIONS SYSTÈMES Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako ÉQUATIONS INÉQUATIONS SYSTÈMES Site MthsTICE de Adm Troré Lycée Technique Bmko I Équtions du second degré : Résolution pr l méthode du discriminnt : Pour résoudre l éqution du second degré b c = ( d inconnu,

Plus en détail

Janvier 09 - Examen de Calcul de Probabilités Ex 1 Ex 2 Ex 3 Ex 4 - Page 1/8

Janvier 09 - Examen de Calcul de Probabilités Ex 1 Ex 2 Ex 3 Ex 4 - Page 1/8 Jnvier 9 - Exmen de Clcul de Proilités Ex 1 Ex 2 Ex 3 Ex 4 - Pge 1/8 Exercice 1 Enoncé. Trois chuves sont en file indienne. Le 2ème voit le 1er et le 3ème voit les 2 utres. Dns un sc, connu des trois chuves,

Plus en détail

Polycopié pour le cours de MATH121b Analyse élémentaire. Chapitre 1 Étude pratique des fonctions d une variable réelle.

Polycopié pour le cours de MATH121b Analyse élémentaire. Chapitre 1 Étude pratique des fonctions d une variable réelle. Université de Svoie 0-03 L MASS-SFT-SV Polycopié pour le cours de MATHb Anlyse élémentire. Chpitre Étude prtique des fonctions d une vrible réelle. I Générlités Un peu de vocbulire On doit toujours présenter

Plus en détail

THEOREMES D ANALYSE. P. Pansu 12 avril 2005

THEOREMES D ANALYSE. P. Pansu 12 avril 2005 THEOREMES D ANALYSE P. Pnsu 12 vril 2005 1 Vleurs intermédiires 1.1 Le théorème des vleurs intermédiires Théorème 1 Soit [, b] un intervlle fermé borné. Soit f : [, b] R une fonction continue. On suppose

Plus en détail

LE CALCUL ALGEBRIQUE

LE CALCUL ALGEBRIQUE I. Clculs vec des frctions : ce fcteur : ) Rppels : LE CALCUL ALGEBRIQUE b = b = b = b Exemple : 3 x = x 3 = 3x ( b ) c = ( bc ) = bc Exemple : ( 3x ) 5 = 3 ( 5x ) = 15x 1 = 1 = b) Signe moins dns une

Plus en détail

CONTENUS MODALITÉS DE MISE EN ŒUVRE COMMENTAIRES

CONTENUS MODALITÉS DE MISE EN ŒUVRE COMMENTAIRES MATHÉMATIQUES 65 culier que certins phénomènes peuvent être étudiés soit en temps discret - à l ide d une suite -, soit en temps continu - à l ide d une fonction (évolution d un cpitl pr exemple). Une

Plus en détail

Intégrale de Riemann. L3 Mathématiques. Jean-Christophe Breton Université de Rennes 1 Septembre Décembre 2009

Intégrale de Riemann. L3 Mathématiques. Jean-Christophe Breton Université de Rennes 1 Septembre Décembre 2009 Intégrle de Riemnn L3 Mthémtiques Jen-Christophe Breton Université de Rennes 1 Septembre Décembre 009 version du 1 décembre 009 Tble des mtières 1 Intégrles des fonctions en esclier 1 1.1 Fonctions en

Plus en détail

Outils Mathématiques 3

Outils Mathématiques 3 Université de Rennes1 Année 2010/2011 Outils Mthémtiques 3 Chpitre 4: Intégrtion curviligne résumé 1 Courbes prmétrées Définition 1.1 Une courbe plne est un ensemble de couples (f(t), g(t)) où f et g sont

Plus en détail

Loi normale. I) Loi Normale N(0 ; 1) 1) Définition. 2) Théorème 1

Loi normale. I) Loi Normale N(0 ; 1) 1) Définition. 2) Théorème 1 Loi normale I) Loi Normale N(0 ; 1) 1) Définition Soit X une variable aléatoire à valeurs réelles. On dit qu elle suit la loi normale centrée réduite N(0 ; 1) si elle admet pour densité la fonction ϕ définie

Plus en détail

QUELQUES NOTES SUR LES MATRICES. Une matrice est un tableau (à deux dimensions) de nombres (les éléments) ordonnés. Elle est notée [A].

QUELQUES NOTES SUR LES MATRICES. Une matrice est un tableau (à deux dimensions) de nombres (les éléments) ordonnés. Elle est notée [A]. QUELQUES NOTES SUR LES MATRICES Définition Une mtrice est un tbleu (à deux dimensions) de nombres (les éléments) ordonnés. Elle est notée [A]. Elément d'une mtrice Pr convention, on note ij l'élément situé

Plus en détail

(b). Calculons les dérivées partielles de f. Nous obtenons f x (x, y) = 2x(1 + x2 + y 2 ) 4x(x 2 + y 2 ) (1 + x 2 + y 2 ) 3 4x 2

(b). Calculons les dérivées partielles de f. Nous obtenons f x (x, y) = 2x(1 + x2 + y 2 ) 4x(x 2 + y 2 ) (1 + x 2 + y 2 ) 3 4x 2 CORRECTION DU MODÈLE D EXAMEN 2 Exercice 1 (). L fonction f est un quotient de deux fonctions polynomiles et le dénominteur ne s nnulle ps sur R 2, donc f est de clsse C et en prticulier de clsse C 2.

Plus en détail

Probabilités continues et Loi normale Ce que dit le programme :

Probabilités continues et Loi normale Ce que dit le programme : Chapitre 3 Probabilités continues et Loi normale Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Terminale S Notion de loi à densité à partir d exemples Loi à densité sur un intervalle.

Plus en détail

! Remarque : La racine carrée d un nombre négatif n existe pas.

! Remarque : La racine carrée d un nombre négatif n existe pas. 3 ème Chpitre A 3 RACINE CARREE D UN NOMBRE POSITIF 1 I) Définition et conditions d existence de l rcine crrée d un nombre. 1) Définition. Il existe deux nombres tel que si on les multiplie pr eux même

Plus en détail

GESTION DE LA PRODUCTION RECUEIL D EXERCICES & SOLUTIONS

GESTION DE LA PRODUCTION RECUEIL D EXERCICES & SOLUTIONS PROD 00 GESTION DE LA PRODUCTION RECUEIL D EXERCICES & SOLUTIONS de le Court Eléonore, Botton Quentin, Seml Pierre de le Court Eléonore. / Tél : 00/47.8.70 Botton Quentin.0 / Tél : 00/47.8.8 Seml Pierre

Plus en détail

Chapitre 0 : Mise au point sur les nombres et le calcul

Chapitre 0 : Mise au point sur les nombres et le calcul Lycée Jules Fil, Crcssonne Clsse de 2 nde Chpitre 0 : Mise u point sur les nombres et le clcul D. Zncnro C. Aupérin 2009-2010 Téléchrger c est tuer l industrie, tuons les tous Thurston Moore Dernière modifiction

Plus en détail

Racines carrées 20 = 4,

Racines carrées 20 = 4, Clsse de 3ème 08/11/010 Chpitre Rcines crrées I. Activité n 1. ABCD est un crré de coté c et d ire. (1 ) Choisir des vleurs de c puis clculer. ( ) Choisir des vleurs de puis clculer c. c = 3 cm c = cm

Plus en détail

LES PUISSANCES: vers les exposants négatifs

LES PUISSANCES: vers les exposants négatifs LES PUISSANCES: vers les exposnts négtifs Puissnces de Puissnces de n définition résultt n définition résultt 6 6 6 - - - - - - - - - - -6-6 Complète l prtie supérieure du tbleu ; elle correspond ux puissnces

Plus en détail

CX - INTEGRALE DE RIEMANN

CX - INTEGRALE DE RIEMANN CX - INTEGRALE DE RIEMANN On introduit dns ce texte l construction de l intégrle d une fonction à vleurs réelles due à Riemnn qui permet de donner un sens précis à l notion d ire d un domine D du pln euclidien

Plus en détail

COURS DE STATISTIQUE DEFINITIONS ET PROPRIETES DES PRINCIPALES LOIS UNIDIMENSIONNELLES

COURS DE STATISTIQUE DEFINITIONS ET PROPRIETES DES PRINCIPALES LOIS UNIDIMENSIONNELLES Université Paris Magistère d Economie - ère année COURS DE STATISTIQUE DEFINITIONS ET PROPRIETES DES PRINCIPALES LOIS UNIDIMENSIONNELLES Convention : Si la variable aléatoire (v.a.) X suit la loi L, on

Plus en détail

I.S.F.A. Université Lyon 1 Année Concours d Entrée

I.S.F.A. Université Lyon 1 Année Concours d Entrée I.S.F.A. Université Lyon 1 Année 29. Concours d Entrée Deuxième épreuve de mthémtiques Durée 4h. OPTION A Le sujet est composé d un problème comportnt 3 prties. Toutes les réponses doivent être soigneusement

Plus en détail

Séquence 6. Intégration. Sommaire

Séquence 6. Intégration. Sommaire Séquence 6 Intégrtion Ojectifs de l séquence Introduire une nouvelle notion : l intégrle d une fonction sur un intervlle ;. Après une première pproche géométrique, l introduction de l notion de primitive

Plus en détail

Tout ce qu il faut savoir en math

Tout ce qu il faut savoir en math Tout ce qu il fut svoir en mth 1 Pourcentge Prendre un pourcentge t % d un quntité : t Clculer le pourcentge d une quntité pr rpport à une quntité b : Le coefficient multiplicteur CM pour une ugmenttion

Plus en détail

Lois de probabilité à densité

Lois de probabilité à densité Lois de probbilité à densité Christophe ROSSIGNOL Année scolire 0/03 Tble des mtières Loi à densité sur un intervlle I. Deux exemples pour comprendre..................................... Densité de probbilité...........................................3

Plus en détail

Cours de mathématiques 3e année niveau 2

Cours de mathématiques 3e année niveau 2 Cours de mthémtiques 3e nnée niveu 2 Anlyse 2012 2013 Bernrd Lenggenhger : bernrd.lenggenhger@edu.ge.ch Collège de Genève Version du 5 jnvier 2013 ii Tble des mtières Tble des mtières iii 1 Introduction

Plus en détail

Cours en salle d'informatique muni d'un vidéo-projecteur ou d'un tableau interactif

Cours en salle d'informatique muni d'un vidéo-projecteur ou d'un tableau interactif CTIVITÉ TICE : DÉRIVATIOND ACTIVITÉ Niveu : Bc Professionnel Type d'utilistion : Cours en slle d'informtique muni d'un vidéo-projecteur ou d'un tbleu interctif Mtériel : 1 ordinteur pr binôme et/ou un

Plus en détail

[Scilab] Les matrices. [Scilab] Les matrices S. ANDRES. Lycée des Eaux Claires S. ANDRES, Lycée des Eaux Claires 1/34

[Scilab] Les matrices. [Scilab] Les matrices S. ANDRES. Lycée des Eaux Claires S. ANDRES, Lycée des Eaux Claires 1/34 [Scilb] Les mtrices S. ANDRES Lycée des Eux Clires 2015-2016 S. ANDRES, Lycée des Eux Clires 1/34 Dns ce cours 1) Mtrices : générlités 2) Mtrices prticulières 3) Extrction 4) Opértions sur les mtrices

Plus en détail

Théorie élémentaire de l intégration

Théorie élémentaire de l intégration Université Joseph Fourier, Grenoble Mths en Ligne Théorie élémentire de l intégrtion Jen-Pierre Demilly, Didier Piu et Bernrd Ycrt Ignorer l théorie de l intégrtion n jmis empêché personne de clculer des

Plus en détail

CHAPITRE 4 DÉTERMINANTS ET INVERSION DE MATRICES

CHAPITRE 4 DÉTERMINANTS ET INVERSION DE MATRICES HAPITRE DÉTERMINANTS ET INVERSION DE MATRIES Introduction Dns l lgèbre mtricielle, les déterminnts occupent une plce d importnce tnt en théorie qu en prtique est que l vleur numérique du déterminnt d une

Plus en détail

Kit de survie - Bac S

Kit de survie - Bac S Kit de survie - Bc S. Inéglités - Étude du signe d une expression Opértions sur les inéglités Règles usuelles : Pour tout x < y x + < y + même sens Pour tout k > : x < y kx < ky même sens Pour tout k

Plus en détail

Analyse 2. Notes de cours

Analyse 2. Notes de cours Anlyse Notes de cours André Giroux Déprtement de Mthémtiques et Sttistique Université de Montrél Avril 4 Tble des mtières INTRODUCTION 4. Exercices............................ 6 INTÉGRATION DES FONCTIONS

Plus en détail

Ch 11 Produit scalaire et applications 1 ère S 1

Ch 11 Produit scalaire et applications 1 ère S 1 Ch 11 Produit sclire et pplictions 1 ère S 1 Tble des mtières I. Produit sclire de deux vecteurs...1 A. Norme d'un vecteur (rppel)...2 B. Définition du produit sclire à l'ide des normes uniquement...2

Plus en détail

Cours de 1ère S/ Géométrie plane. Eric Dostal

Cours de 1ère S/ Géométrie plane. Eric Dostal Cours de 1ère S/ Géométrie plne Eric Dostl Aout 015 Tble des mtières Vecteurs et repérge dns le pln.1 Rppels.......................................... Bses, Repères et Coordonnées.............................

Plus en détail

APPROCHE INTUITIVE DE L INTÉGRATION

APPROCHE INTUITIVE DE L INTÉGRATION Quinzième Aventure APPROCHE INTUITIVE DE L INTÉGRATION Résumé Tout le monde le croyit mort : il est pourtnt de retour. Mis trop longtemps prisonnier de l terrible tribu des fisyssiuns, Mthemtor dopté leur

Plus en détail

STRUCTURES MATHÉMATIQUES POLYTECH LILLE GIS 3

STRUCTURES MATHÉMATIQUES POLYTECH LILLE GIS 3 STRUCTURES MATHÉMATIQUES POLYTECH LILLE GIS 3 Tble des mtières Les Intégrles Générlisées 3. éfintion et propriétés.................................... 3.2 Intégrles Générlisées de fonctions positives........................

Plus en détail

La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront dans l appréciation des copies.

La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront dans l appréciation des copies. ACADEMIE DE GRENOBLE Bcclurét Professionnel Systèmes Électroniques Numériques (S.E.N.) Durée : h C.C.F. de Mthémtiques Coefficient : Dte : novemre 007 Thèmes : Régultion du contrste lumineu d un téléviseur

Plus en détail

3 Méthodes du 1 er degré

3 Méthodes du 1 er degré 3 Méthodes du 1 er degré 3.1 Activité Un groupement de commerçnts plnifie ses dépenses promotionnelles u jour le jour, sur une période d un n. Il sit qu u début de l nnée, une dépense de 180 pr semine

Plus en détail

Oscillations libres des systèmes à un degré de liberté

Oscillations libres des systèmes à un degré de liberté Chpitre 2 scilltions libres des systèes à un degré de liberté 2.1 scilltions non orties 2.1.1 scillteur linéire Un systèe oscillnt à un degré de liberté est hbituelleent repéré à l ide d une coordonnée

Plus en détail

Calcul intégral. et théorie de la mesure (Notes de cours)

Calcul intégral. et théorie de la mesure (Notes de cours) Clcul intégrl et théorie de l mesure (Notes de cours) Gérld Tenenbum Université Henri Poincré Nncy 1 Licence et mîtrise de Mthémtiques 1994/95 (12/12/212, 1h44) Tble des mtières Chpitre. ntégrle de Cuchy

Plus en détail

Comparons, à la machine, 13 3 et 10 puis 20 6 et 14.

Comparons, à la machine, 13 3 et 10 puis 20 6 et 14. CHAPITRE 6 RACINES CARREES (PARTIE 2 SUR 2) I. LES RACINES CARREES ET LES QUATRE OPERATIONS Essyons de répondre ux questions suivntes : + est-il égl à +? est-il égl à? est-il égl à? est-il égl à? A. RACINES

Plus en détail

Lois de probabilité continues

Lois de probabilité continues Lois de probabilité continues Lois à densité sur un intervalle fini muni d une loi de probabilit P qui attribuait chaque issue sa Toute variable al atoire d finie sur Ω ne prenait qu un nombre fini de

Plus en détail

Correction de l épreuve CCP 2001 PSI Maths 2 PREMIÈRE PARTIE ) (

Correction de l épreuve CCP 2001 PSI Maths 2 PREMIÈRE PARTIE ) ( Correction de l épreuve CCP PSI Mths PREMIÈRE PARTIE I- Soit t u voisinge de, t Alors ϕt t s = ϕt ρt s ρs Pr hypothèse, l fonction ϕt ϕt est lorsque t, il en est donc de même de ρt s ρt s ρs cr ρ s est

Plus en détail

La chaînette. 1 Le cosinus hyperbolique. Éléments de géométrie. Arnaud Bodin, avril 2012

La chaînette. 1 Le cosinus hyperbolique. Éléments de géométrie. Arnaud Bodin, avril 2012 Éléments de géométrie Arnud Bodin, vril 202 L chînette L chînette est le nom que porte l courbe obtenue en tennt une corde (ou un collier, un fil, ) pr deux extrémités Sns plus trder voici l éqution d

Plus en détail

Toutes les questions de cours et R.O.C. au bac de T.S. Vincent PANTALONI

Toutes les questions de cours et R.O.C. au bac de T.S. Vincent PANTALONI Toutes les questions de cours et R.O.C. u bc de T.S. Vincent PANTALONI VERSION DU 9 MARS 2012 Tble des mtières Bc 2011 3 Bc 2011 5 Bc 2010 9 Bc 2009 11 Bc 2008 13 Bc 2007 17 Bc 2006 19 Bc 2005 21 ii Remerciements.

Plus en détail

LIMITES ET CONTINUITÉ DE FONCTIONS NUMÉRIQUES Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako

LIMITES ET CONTINUITÉ DE FONCTIONS NUMÉRIQUES Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako IMITES ET CONTINUITÉ DE FONCTIONS NUMÉRIQUES Site MthsTICE de Adm Troré ycée Technique Bmko I Notion de ite: Activité : Soit une onction de représenttion rphique ci-dessous : b C b Nous pouvons remrquer

Plus en détail

Kit de survie - Bac ES

Kit de survie - Bac ES Kit de survie - Bc ES. Étude du signe d une expression ) Signe de x + Ü Ü ½ Ò µ¼ Ò ½ 0) On détermine l vleur de x qui nnule x +, puis on pplique l règle : «signe de près le 0». ) Signe de x + x + c ܾ

Plus en détail

TES BAC BLANC 2013 durée 3h. f(x) = 100xe x + 1

TES BAC BLANC 2013 durée 3h. f(x) = 100xe x + 1 TES BAC BLANC 2013 durée 3h Exercice 1 ( 4,5 points ) Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des trois questions, trois réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient.

Plus en détail