FICHE METHODE Résoudre un exercice de physique ou de maths

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1 FICHE METHODE Résudre un exercice de hysique u de maths Prblème à résudre Enncé Interréter l'énncé d'un exercice, truver et effectuer la démarche cnduisant à la slutin demandée. Cmmentaires 1/ La méthde décrite ici est inutile lrsque l'exercice cnsiste à aliquer directement une méthde sécifique cmme "écrire une équatin d'xydréductin", ar exemle. Elle est ar cntre intéressante dans les cas ù la marche à suivre n'est as rescrite ni évidente. / Pur truver la slutin d'un exercice, il y a lusieurs difficultés à surmnter : cmrendre l'énncé (c'est à dire savir y recnnaître les dnnées utiles), truver les étaes à accmlir (c'est-à-dire l'enchaînement d'alicatins de cnnaissances du curs frmules, thérèmes menant au but) et les effectuer (c'est-à-dire déruler les calculs u raisnnements nécessaires). Méthde Idée de la méthde Chaque difficulté dit être islée ur être traitée. La démarche est dnc rgressive : interrétatin de l'énncé recherche des étaes dérulement de la réslutin exressin de la slutin. Descritin de la méthde La méthde de réslutin d'exercice cmrte tris grandes étaes: 1) Analyse de l'énncé : truver le déart et l'arrivée Cette étae fndamentale a ur but de traduire l'énncé sus une frme claire. Elle dit en extraire deux ensembles d'éléments : le int de déart de la réslutin, c'est-à-dire tutes les dnnées initiales furnies ar l'énncé : les hythèses ; le int d'arrivée, c'est-à-dire une frmulatin exlicite de la slutin à atteindre : la cnclusin cherchée. Cette étae ermet de s'arrier l'énncé. Elle dit être bien faite, ur qu'il ne sit lus nécessaire de regarder l'énncé. En ratique, la feuille est divisée hrizntalement en deux sectins ur inscrire les hythèses et la cnclusin. ) Recherche de la démarche : élabrer la feuille de rute De même qu'n ne rend as la rute ur une destinatin incnnue sans avir déterminé sn chemin à l'aide de la carte, il faut éviter de se lancer dans les calculs sans avir une idée des étaes à franchir. C'est suvent la difficulté rinciale de la réslutin, qui tient au fait que la "carte" n'est as figée : elle est en fait cnstituée ar Résudre un exercice de hysique u de maths / Feuille 1

2 l'ensemble du curs dnt il faut exliter la cnnaissance ur truver le fil d'ariane du chemin à suivre. Cette étae cnsiste dnc à imaginer la feuille de rute qui va cnduire du int de déart au int d'arrivée en un etit nmbre d'étaes aussi simles que ssible. Il n'y a malheureusement as de "recette miracle" ur effectuer cette étae essentielle mais les cnseils suivants euvent être utiles : cnnaître le curs et le cnsidérer cmme une bîte à utils furnissant les frmules et thérèmes utiles; étudier les dnnées de la case "hythèses" ur déterminer quelles snt les grandeurs qui guvernent le hénmène u la cnfiguratin bjet de l'exercice; étudier aussi la case "cnclusin" ur déterminer les relatins qui euvent exister avec les hythèses : ur déterminer la rute, il est suvent utile de déterminer la directin générale du chemin en regardant la situatin du int d'arrivée ar rart au int de déart; exliciter les étaes imaginées : la fin de l'une est le début de la suivante ; réserver une sectin de la feuille à la "feuille de rute". 3) Mettre en œuvre la démarche : arcurir le chemin C'est la démnstratin (en maths) u la réslutin (en hysique) rrement dite, qui arcurt les étaes et c'est suvent la artie la lus facile. Il faut effectuer les raisnnements avec rigueur (ceci suse de cnnaître sn curs et de ne as être arximatif) et faire les calculs sans se trmer (rcéder méthdiquement, écrire rrement). En hysique, n eut arfis vérifier les rdres de grandeur et il faut tujurs vérifier les unités du résultat. En maths, relire sn calcul ne suffit en général as ur truver les erreurs : il faut réellement le refaire dans sa tête u au bruilln en cas de dute. 4) Exrimer le résultat C'est une frmalité ermettant de bien mettre en évidence le but atteint. Cela eut suvent se résumer à encadrer le résultat btenu mais il faut arfis rédiger un eu ur bien l'exliquer u ur le cmmenter. Au ttal, la feuille de travail se résente dnc cmme ci-dessus. Hythèses Cnclusin Dnnées initiales Résultat cherché Feuille de rute Etae 1 Etae Démnstratin (maths) u réslutin (hysique) Dérulement de l'étae 1, uis de l'étae, Résultat Le résultat, éventuellement exliqué u cmmenté. Seule la démnstratin (u réslutin) et le résultat snt rédigés au rre. Résudre un exercice de hysique u de maths / Feuille

3 Exemle d'alicatin (maths) Dnnées L'énncé à résudre est le suivant : "La iste vale qui fait le tur du stade ci-dessus dit avir la lngueur L = 400 m. Otimiser les dimensins du stade ur dnner la lus grande surface ssible au rectangle central hachuré. A " Réslutin Hythèses Stade= rectangle+ demi-disques L = 400 m, érimètre imsé Cnclusin Dimensins du stade telles que l'aire hachurée A sit maximale. Feuille de rute 1/ Exliciter l'hythèse L = 400 m ur la rendre exlitable : n vit que si l'n fixe la largeur du stade, alrs les deux demi-cercles vient leur dimensin fixée ar leur diamètre et que la lngueur du rectangle hachurée est dnc imsée ur arriver à réaliser L = 400 m. A cause de cette hythèse, la figure ne déend finalement que d'un seul aramètre : la largeur x incnnue du stade. / En cnséquence, l'aire A est aussi fnctin seulement de x. La deuxième étae sera d'exrimer cette fnctin. 3/ Il reste à déterminer la valeur de x qui rend A maximale : ceci eut être fait en cherchant les valeurs de x qui annulent la dérivée de A ar rart à x. 4/ Une fis que x est cnnue, les autres dimensins du stade s'en déduisent. Démnstratin 1/ Ntns x la largeur du stade, X la lngueur du rectangle hachuré. La iste vale a ur lngueur le érimètre d'un cercle de diamètre x augmenté des deux lngueurs X de l'aire hachurée : L = x + X ; imser L égale à 400 m imlique que X déend de x à cause de la cntrainte x + X = 400 m ; ar cnséquent, X est fnctin de x : X(x) = 400 m - x sit : X ( x) = 00m x. Cette égalité est une traductin de l'hythèse. / L'aire hachurée est la surface du rectangle A(x) = x.x(x) sit : A( x) = x 00m x. L'aire est dnc un trinôme du secnd degré en fnctin de x. Remarque : si n se raelle le curs sur les arables, n eut cnclure tut de suite que celle-ci a sn maximum à mi chemin entre ses racines qui snt : Résudre un exercice de hysique u de maths / Feuille 3

4 x ' = 0 et 00m 400 x" = = m et dnc que A(x) est maximum ur 00 x = m. Sinn, n asse à l'étae suivante ur utiliser la dérivée. 3/ Pur dériver la fnctin A, il est lus cmmde de déveler : A( x) = 00m. x x d'ù A' ( x) = 00m x. 00 La dérivée est nulle ur 00m=x sit x = m. Le signe du terme en x² du trinôme est négatif dnc la valeur de x qui annule la dérivée crresnd nécessairement à un maximum. Résultat La largeur timale du stade est x = (00/) m. Pur cette largeur, la lngueur du rectangle central est : X ( m) = 00m m = 00m 100m = 100m. La surface maximale ssible est dnc A max = / m² = (0 000/) m². La lngueur ttale du stade est : X+x=(100+00/) m = 100 (+)/ m. Exemle d'alicatin (hysique) Dnnées L'énncé à résudre est le suivant : "Un skieur de masse m=80 kg se lance sur une iste drite faisant l'angle α=30 avec l'hrizntale. L'air se une frce de résistance f = kv rrtinnelle au carré de la vitesse v du skieur et sée à sn muvement, avec k=0,5 Nm -.s, et le frttement des skis sur la neige est négligeable. Mntrer que le muvement du skieur cmrte deux hases et calculer sa vitesse ite". Réslutin Hythèses Cnclusin Masse du skieur : m = 80 kg Existence de deux hases dans le Pente : α=30 muvement. Seul frttement : f = kv avec Vitesse ite V du skieur. k = 0,5 Nm -.s Pesanteur g = 9,81 N.kg -1. Feuille de rute 1/ Le muvement du centre d'inertie du skieur résulte des frces aliquées ; il faut dnc cmmencer ar faire le bilan de celles-ci ur cnnaître leur résultante. Résudre un exercice de hysique u de maths / Feuille 4

5 ur cnnaître leur résultante. / Aliquer les lis de Newtn ur caractériser la vitesse du skieur. 3/ En demandant la "vitesse ite", l'énncé indique que la vitesse atteint une ite dnc devient cnstante. Ceci veut dire que, dans la directin du muvement, la frce mtrice (cmsante du ids) et la frce résistante (en v²) s'annulent alrs ; cmme le ids est cnnu, cela va furnir une équatin ur v et ermettre de la calculer. Réslutin 1/ Bilan des frces Le skieur subit sn ids P = mg vertical descendant, la réactin de la iste R, erendiculaire à la iste uisque les skis ne frttent as, et la résistance de l'air f = kv sée à sa vitesse. R f P // v P P Cmme les skis ne frttent as, la réactin R du sl sur le skieur est simlement l'sée de la cmsante du ids rthgnale à la iste P. Ces deux frces s'annulent dnc. La résultante F des frces sur le skieur est dnc la smme de la résistance de l'air f et de la cmsante du ids arallèle à la α iste P qui est aussi arallèle à la vitesse et dnc à la résistance de // l'air. La frce ttale exercée dans la directin et dans le sens de la = mg sin( α kv. vitesse a alrs ur mesure algébrique : / Quand la vitesse v du skieur est encre etite, cette frce est sitive. La deuxième li de Newtn indique alrs que la vitesse v du centre d'inertie du skieur augmente. F Résudre un exercice de hysique u de maths / Feuille 5 )

6 A frce d'augmenter, un mment arrive ù kv² devient aussi grand que m.g.sin(α) ; la frce F devient alrs nulle et le muvement du skieur se stabilise à vitesse cnstante, d'arès la remière li de Newtn. 3/ Cette vitesse ite vérifie α d'ù mg sin( ) = kv v F 0 sin( ) kv = = mg α dnc mg sin( α) =. Résultat Les lis de Newtn induisent dnc deux hases: - une hase d'accélératin, mg sin( α). une hase à vitesse cnstante : v = sit, k numériquement 80.9,81.sin(30 ) 1 1 v = = 39,6m. s = 14,6km. h. 0,5 k Résudre un exercice de hysique u de maths / Feuille 6