Calcul des variations

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1 Clcul des vritions 0. Prérequis 0.1. Clcul différentiel et intégrl d une et plusieurs vribles 0.2. Intégrtion pr prties : f (x)g(x)dx = f (b)g(b) f ()g() f (x)g (x)dx 0.3. Règle de l chîne, pr exemple : x f ((x,y),b(x,y)) = f x + f b b x f (x + hy) f (x) 0.4. Dérivées directionnelles : lim = f (x) y h 0 h 0.5. Condition nécessire pour un extremum x : y R n : f (x) y = Optimistion vec contrinte g(x) = 0 : λ R : f (x) = λ g(x) 1. Introduction Le clcul des vritions est clcul vec infinies vribles. Ces vribles sont souvent codifiés pr les vleurs d une fonction f : R R. Ainsi, les fonctions dns ce clcul, dites fonctionnels prennent des fonctions comme rguments et produisent des nombres. L évlution d un fonctionnel E sur une fonction f est notée E[ f ]. Comme dns le cs de dimension finie, une condition nécessire pour que E[ f ] soit miniml est que E [ f ] = 0. L objectif de ces notes est de fournir une significtion à l nottion E. Pr exemple, pour le fonctionnel qui mesure l longueur d un grphe y = y(x) : E[y] = 1 + y (x) 2 dx l condition E [y] = 0 est y (x) 1 + y (x) 2 3 = 0 ce qui implique que l courbe l plus courte entre deux points est une droite (y = 0). Typiquement l condition E [ f ] = 0 revient à une EDO ou une EDP sur f. Pr exemple, nous obtenons le résultt que pour un fonctionnel E[ f ] de l forme E[ f ] = L( f (x), f (x),x)dx où L est une fonction de trois vribles, l condition E [ f ] = 0 est f d dx f = 0 ce qui est une EDO de premier ordre sur f, dite éqution d Euler-Lgrnge de E. 1

2 2. Exemples de fonctionnels 2.0. L longueur du grphe d une fonction E[y] = 1 + y (x) 2 dx 2.1. L longueur d une courbe prmétrée E[q] = q(t) dt 2.2. L ction d une trjectoire E[q] = q(t) 2 dt 2.3. L ction dns un moyen non-homogène E[q] = g(q(t)) q(t) 2 dt 2.4. L énergie potentielle d une chîne suspendue E[y] = y(x) 1 + y (x) 2 dx 2.5. L tension d une membrne pr petites déformtions verticles : E[u] = u(x) 2 dx 2.6. L tension d une plque pr petites déformtions verticles : E[u] = u(x) 2 dx 2.7. L ire d une surfce définie pr un grphe : E[u] = 2.8. L pente mximle d une fonction : E[u] = sup u(x) x 2.9. L vrition totle d une fonction : E[u] = u(x) dx L énergie du p-lplcien : E[u] = u(x) p dx L ire d une surfce prmétrée : E[x] = x u x v du dv Le débruitge pr vrition totle d une imge I(x) : ( ) E[u] = u(x) I(x) + λ u(x) dx 1 + u(x) 2 dx L erreur de flot optique entre deux frmes vidéo : [ E[u] = B(x + u(x)) A(x) 2 + α 2 ( u 2 x + u 2 y + v 2 x + v 2 y) ] dx 3. Constructions mthémtiques 3.1. Proposition (Lemme fondmentl du clcul de vritions) Soit f : [, b] R une fonction continue telle que v(x) f (x)dx = 0 pour toute fonction v de clsse C 1 sur [,b] vec v() = v(b) = 0. Alors l fonction f est identiquement nulle sur [,b] Définition (Dérivée de Gâteux) Soit V un espce vectoriel réel et f : V R une fonction. L dérivée directionnelle de f u point x V en l direction y V est l limite f (x + εy) f (x) lim ε 0 ε Dns le cs prticulier où V = R n et f est différentible, cette limite est f (x) y 2

3 3. Fonctions y : R R 3.1. Cs générl Soit L une fonction différentible L : R 3 R ppelée le lgrngien. Nôtre but est de minimiser le fonctionnel E[y] = L(y(x),y (x),x) dx dns l espce des fonctions différentibles en l intervlle [, b] telles que y() = α et y(b) = β pour deux constntes α et β. Supposons que y est une fonction où le minimum de E est tteint. On v retrouver une condition nécessire qui doit stisfire l fonction y. On prend une fonction différentible v : [,b] : R tel que v() = v(b) = 0. Une telle fonction s ppelle vrition à extrémités fixes. Considérons l fonction f : R R définie pr f (ε) := E[y + εv] = L(y(x) + εv(x),y (x) + εv (x),x) dx Observons que f (0) est l dérivée directionnelle de E en y dns l direction v. Comme y est un minimum de E lors l fonction f un minimum en ε = 0, ce qui implique f (0) = 0. Écrivons cette condition en utilisnt l règle de l chîne : ( v ) + v y y dx = 0 en intégrnt pr prties le second terme de l somme, ( v y v d ) dx y dx = 0 et ppliqunt le lemme fondmentl du clcul de vritions y d dx y = 0 ce qui est une EDO de second ordre sur l fonction y(x). Cette EDO crctérise les points sttionnires du fonctionnel E[y]. Elle s ppelle l éqution d Euler-Lgrnge de E. On l écrit symboliquement E [y] = L stuce de Beltrmi Dns le cs, cournt, où le lgrngien L ne dépend explicitement de x, l éqution d Euler-Lgrnge est équivlente à L y y = K où K est une constnte qu il fut déterminer pour stisfire les conditions de bord. Cette EDO est de premier ordre, donc plus simple que l éqution d Euler-Lgrnge. 3

4 3.3. Minimistion vec contrintes d églité Plusieurs problèmes d optimistion ont nturellement de contrintes. Pr exemple, une chîne pendue une longueur fixe, et une bulle de svon fermée contient un volume d ir constnte. Comme dns le cs de dimension finie, les problèmes vec des contrintes se tritent vec multiplicteurs de Lgrnge. Les minim de E[y] sous l contrinte G[y] = c, stisfont l éqution d Euler-Lgrnge (E + λg) [y] = 0. Le prmètre λ est un nombre réel que l on détermine à posteriori en imposnt l condition G[y] = c. 4. Fonctions q : R R n Soit q : [,b] R n une courbe prmétrée en R n. Les problèmes vritionnels sur l courbe q se tritent en considérnt chque composnte q i indépendmment. Ainsi, les extrem du fonctionnel E[q] = L(q(t), q(t), t) dt où L est une fonction de n + n + 1 vribles, stisfont les équtions d Euler-Lgrnge q d dt q = 0 qui sont un système de n EDO de second ordre. 5. Fonctions u : R n R Soit R n un domine borné et u : R. Les problèmes vritionnels sur fonctions à plusieurs vribles comme u se tritent en prennt vritions de u qui sont identiquement zéro sur. Ainsi, les extrem d un fonctionnel E[u] = L(u(x), u(x), x) dx où L est une fonction de 1 + n + n vribles, stisfont l éqution d Euler-Lgrnge n u d i=1 dx i u x i = 0 ce qui est une EDP de second ordre sur l fonction u. Cette( éqution ) peut encore s écrire, vec beucoup d bus de nottion, comme 0 = u div u. Ici, u dénote le grdient de L pr rpport ux n vribles u. Pour n = 2, pr exemple, pour un lgrngien L = L(u,u x,u y,x,y) l éqution d Euler- Lgrnge est u d d = 0 dx u x dy u y 4

5 6. Dérivées d ordre supérieur Prfois les lgrngiens contiennent des dérivés secondes ou d ordre plus élevé. En dimension 1, le cs générl est E[y] = L(y(x),y (x),y (x),...,y (n) (x),x) dx Pour minimiser ce fonctionnel on prend des vritions v telles que ses n dérivées ux extrémités s nnulent. On obtient lors l EDO d ordre n + 1 suivnte : 0 = y d dx y + d2 dn dx 2 + ( 1)n y dx n y (n) Des cs encore plus générux sont ussi possibles : lgrngiens d ordre supérieur à plusieurs vribles..., mis l nottion devient trop compliquée et peu prtique. Pr exemple, pour le lgrngien de second ordre L = ( u) 2, discuté ci dessus, il vut mieux clculer l vrition directement u lieu d utiliser une formule générle. 7. Conditions d Euler-Lgrnge pour les exemples ntérieurs 7.0. L longueur du grphe d une fonction E[y] = 1 + y (x) 2 dx E y (x) [y] = 1 + y (x) 2 3 L condition E [y] = 0 est équivlente à y (x) = 0, c est à dire, que y est une droite L longueur d une courbe prmétrée E[q] = q(t) dt ( ) q(t) q(t) E [q] = d dt ( ) L condition E [q] = 0 dit que l direction du vecteur tngent à l courbe q(t) q(t) est constnte, c est à dire, l courbe est une droite vec une prmétristion rbitrire L ction d une trjectoire 1 E[q] = 2 q(t) 2 dt E [q] = q(t) L condition E [q] = 0 dit que le vecteur tngent à l courbe est constnte (et de longueur constnte). C est à dire, l courbe est une droite prmétrée pr un multiple constnt du prmètre rc (une droite prcourue à vitesse constnte) L ction dns un moyen non-homogène E[q] = g(q(t)) q(t) 2 dt E [q] = g q i q 2 2( g q) q i 2g q i L condition E (q) = 0 est un système semi-linéire d EDO de second ordre, (les EDO des géodésiques). 5

6 7.4. L énergie potentielle d une chîne suspendue Voici un problème vritionnel vec contrintes. Il fut minimiser l énergie potentielle E[y] d une courbe de longueur G[y] = l. L énergie potentielle est E[y] = y(x) 1 + y (x) 2 dx Pour trouver le minimum sous l contrinte G[y] = l il fut minimiser le fonctionnel F[y] = E[y] λg[y], où l vleur du multiplicteur de lgrnge λ ser déterminée à posteriori pour stisfire l contrinte. Le Lgrngien est donc L = (y λ) 1 + ẏ 2. Vu q uil ne dépend ps explicitement de x on peut clculer l éqution d Euler-Lgrnge comme L ẏ ẏ = c, pour une constnte c : (y(x) λ) 1 + y (x) = c 2 L solution de cette éqution est une chînette de l forme y(x) = λ + cosh ( x c + c 2 ). Les trois constntes λ, c et c 2 sont enfin justées pour stisfire les deux conditions de bord et l contrinte L tension d une membrne pr petites déformtions verticles E[u] = u(x) 2 dx E [u] = u L solution est l fonction hrmoniques (0 = u) qui stisfit condition de bord. L EDP résultnte est l éqution de Lplce L tension d une plque pr petites déformtions verticles E[u] = u(x) 2 dx E [u] = u Voici un fonctionnel de second ordre, qui résulte en une EDP de qutrième ordre ppellé l éqution bihrmonique. Pour voir solution unique on doit fixer l vleur de u et s dérivé première sur. Dns cet exemple, pour clculer E il vut mieux de clculer l vrition directement u lieu d utiliser une formule générle L ire d une surfce définie pr un grphe Le grphe d une fonction u : R 2 R définit une surfce (x,y,u(x,y)) en R 3. Les surfces minimles sont celles qui minimisent E[u] vec une condition de bord fixée (pr exemple, un film de svon s ppuynt sur un contour rigide). E[u] = 1 + u(x) 2 dx E [u] = u xx(1 + u 2 y) 2u x u y u xy + u yy (1 + u 2 x) 1 + u 2 x + u 2 3 y 7.8. L vrition totle d une fonction E[u] = u(x) dx E [u] = 1 ( ) u u 3 div u 6

7 7.9. Le p-lplcien E[u] = u(x) p dx ( ) E [u] = 0 div u p 2 u = L pente mximle d une fonction L pente mximle d une fonction u : R n R est E[u] = sup u(x) x Ce fonctionnel n est ps dérivble vec les méthodes décrits ujourd hui. Pr contre, on peut l intérpreter comme le limite qund p de l énérgie du p-lplcien. Ainsi, on obtient l éqution non-linéire du Lplcien infini : D 2 u( u, u) = Le débruitge pr lissge d une imge I(x) E[u] = 1 2 ( u(x) I(x) 2 + α 2 u(x) 2) dx E [u] = u I α 2 u L condition E [u] = 0 est une EDP linéire de second ordre. S solution est une fonction qui est à l fois lisse et pproxime bien l fonction I. Le compromis entre ces deux requis contrdictoires est géré pr l vleur du prmètre α. 8. Continution D utres sujets que nous n vons ps trité : 8.1. Conditions suffisntes d extrem locux (second vrition) 8.2. Identifiction d extrem globux 8.3. Problèmes à extrémités vribles ou mixtes 8.4. Existence (!), unicité, régulrité des solutions 8.5. Crctéristion vritionnelle des vleurs propres (théorie de Sturm-Liouville) 8.6. Principe d ction sttionnire en physique 8.7. Symétries et lois de conservtion (théorème de Noether) 8.8. Formlisme Hmiltonien et éqution d Hmilton-Jcobi 8.9. Théorie de l commnde optimle (Pontriguine-Bellmn) Interpréttion vritionnelle des méthodes Byésiens (Mumford) 7

8 9. Bibliogrphie 9.1. L. Lndu : Mécnique (pge 2) 9.2. L. C. Evns : Prtil Differentil Equtions (chpitre 8, pge 431) 9.3. R. Cournt, D. Hilbert : Methods of Mthemticl Physics 9.4. C. Lnczos : The Vritionl Principles of Mechnics 9.5. G. Aubert, P. Kornprobst : Mthemticl Methods in Imge Processing 8