Deuxième formule de la moyenne

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1 Deuxième formule de l moyenne Jen-Frnçois Burnol, 7 otobre 29 Soit < b et f, g : [, b] R deux fontions à vleurs réelles, f étnt supposée intégrble sur [, b] et g positive déroissnte. Alors : [, b] f(t)g(t) = g() f(t). Pour f à vleurs omplexes l inéglité suivnte est vlble : f(t)g(t) g() sup f(t). [,b] Pour g positive roissnte on ur f(t)g(t) = g(b) f(t) et/ou l inéglité nlogue. On ur ompris que l intérêt mjeur de l deuxième formule de l moyenne sous l forme d une inéglité est que le module dns l mjortion est à l extérieur de l intégrle! L preuve est, omme à l hbitude, un hoix prmi de nombreuses possibilités. Pour elle que je présente en premier, je voulis être ompris pr quelqu un ne mîtrisnt que l intégrle de Riemnn, et don, pour une preuve réellement omplète, il me fllit éviter l emploi d un théorème dmis omme l est elui de l onvergene dominée. Mis le risonnement se devit d être vlble ussi pour une fontion intégrble u sens de Lebesgue, et don je ne pouvis ps fire reposer l preuve sur l emploi de sommes de Riemnn. Lorsqu elle esustifible, une simple intégrtion pr prties mène u résultt. Cel ser expliqué pr l suite. Remrque : si l on trville ve l intégrle u sens de Riemnn, on sit que toute fontion monotone sur le segment [, b] est intégrble, et que le produit de deux fontions Riemnn-intégrbles est intégrble. Si l on trville ve l intégrle de Lebesgue, on sit que toute fontion monotone est mesurble, que le produit de deux fontions mesurbles est mesurble, don le produit f g est mesurble et de plus, omme g est bornée, fg est intégrble puisque f l est. (Miro)-Remrque 2 : g esuste supposée déroissnte, ps ontinue. Don il vudrit mieux érire g( + ) que g(), el donnerit une meilleure mjortion. Mis ç mrhe ve les deux. Remrque 3 : si l on remple g(t) pr g(t) g(b ) on obtient une évlution plus préise, est l forme trditionnelle de l seonde formule de l moyenne f(t)g(t) = g(+ ) f(t) + g(b ) f(t) (il suffit lors pour g d être monotone, et ps néessirement positive). Remrque ssez subtile 4 : suf si g est onstnte sur ],b[ l deuxième formule de l moyenne sous l forme plus hut vut ve un distint de et de b. Et sous l forme f(t)g(t) = g( + ) f(t) + g(b ) f(t) elle vut ve un ],b[ sns utre ondition sur g que d être monotone (vous pourrez herher à justifier ette remrque, el est ssez rusé). Je vis voir besoin du fit que F(x) = x f(t) et K(x) = x f(t) sont des fontions ontinues de x. C est évident lorsque f est bornée (don en prtiulier si f est intégrble u sens de Riemnn) r de f C résulte F(x) F(y) C x y (de même pour K) don F et K sont lors Lipshitziennes. Dns le s d une fontion Lebesgueintégrble non bornée, est un théorème lssique que l on peut prouver en utilisnt le théorème de l onvergene dominée (exerie). On v même utiliser que K est uniformément ontinue, e qui est ssuré pr le fit que [, b] est ompt, et est trivil pr l propriété Lipshitzienne dns le s où f est bornée. 1

2 Soit N 1 et soit = + j b N, j N. Définissons : I N = Comme g est déroissnte : tj+1 f(t)g( ) j= (g( ) g(+1 )) j= tj+1 j= tj+1 f(t)g(t) f(t)g( ) j= tj+1 f(t) (g( ) g(t)) f(t) = (g( ) g(+1 ))(K(+1 ) K( )) Soit ω(n) = sup t b b (K(t + b N ) K(t)). D près e qui préède : N I N f(t)g(t) (g( ) g(+1 ))ω(n) = (g() g(b))ω(n) j= On sit que K est ontinue, don uniformément ontinue sur [, b], don ω(n). Ainsi lim I N = N j= f(t)g(t) Pr illeurs on églement (quelque prt F() = est utilisé!) : (1) I N = j= = I N tj+1 f(t)g( ) = ( j= g( )(F(+1 ) F( )) = (g( ) g(+1 ))F(+1 ) + g(b)f(b) j= ) (g( ) g(+1 )) + g(b) j= sup x b F(x) = g() sup F(x) x b D où l deuxième formule de l moyenne dns le s omplexe, pr pssge à l limite. Dns le s réel, et en notnt m = inf [,b] F(x) et M = sup [,b] F(x), on obtient de (1) (puisque g est déroissnte et positive) : d où près pssge à l limite g() inf F(x) I N g()sup F(x), [,b] g() inf [,b] F(x) [,b] f(t)g(t) g()sup F(x), [,b] et pr onséquent (le s g() = trité à prt) pr le théorème des vleurs intermédiires pour l fontion ontinue F : [, b] f(t)g(t) = g()f() = g() f(t). Répétons que si g n est ps onstnte sur ], b[ lors il y un ], b[ qui onvient. 2

3 Autre perspetive Supposons que f soit ontinue et g de lsse C 1. Toujours ve F(x) = x f(t) on pr intégrtion pr prties : f(t)g(t) = g(b)f(b) + F(t)( g (t)) Pr le premier théorème de l moyenne pour une intégrle ve poids positif, il vient : Ainsi, [, b] F(t)( g (t)) = F() f(t)g(t) = g(b)f(b) + (g() g(b))f() = g() ( g (t)) = F()(g() g(b)) f(t) + g(b) f(t) C est-à-dire l seonde formule de l moyenne sous s forme «plus préise» (je lisse en exerie le fit qu il y un ], b[ qui onvienne). Comme F([, b]) est un segment, tout bryentre à oeffiients positifs de points de e segment y est enore don g(b)f(b) + (g() g(b))f() est de l forme g()f( ), e qui donne omme onséquene l seonde formule de l moyenne sous s forme «fruste», elle que j i hoisie de mettre en vnt u début de e texte. Dns l prtique, on veut surtout une mjortion de b, f(t)g(t) et l forme fruste omme l forme préise donnent toutes deux : f(t)g(t) g() sup f(t). [,b] On noter que l mjortion pr g() f(t) + g(b) f(t) est souvent moins intéressnte. Enore une utre perspetive Ii je m dresse à un uditoire mîtrisnt mesure et intégrtion. Tout d bord on peut rempler g(x) en tout x pr g(x + ) e qui ne modifie g que sur un ensemble dénombrble, don de mesure nulle, et rend g ontinue à droite. L formule ser don prouvée ve g( + ) et elle omme orollire moins préis elle ve g(). Dorénvne suppose g ontinue à droite, don il existe une mesure (de Lebesgue-Stieltjes) positive sur le segment [, b] telle que g(x) = g(b) + µ(]x, b]) (pr exemple et en prtiulier g(b ) = g(b) + µ({b})). On pplique le théorème de Fubini : f(t)g(t) = g(b)f(b) + f(t)( dµ(u)) <t<b t<u b = g(b)f(b) + f(t)dµ(u) = g(b)f(b) + F(u)dµ(u) <t<u b <u b Puis on fit ppel u premier théorème de l moyenne pour l intégrtion de fontions ontinues ontre une mesure positive : [, b] f(t)g(t) = g(b)f(b)+f() dµ(u) = g(b)f(b)+(g() g(b))f() <u b 3

4 Une pplition : trnsformtion de Lple On onsidère une fontion f : [, + [ C, intégrble sur tout segment et telle que l intégrle impropre T f(t) = lim T + f(t) existe. Alors les intégrles impropres : I() = f(t)e t existent et définissent une fontion ontinue de. Preuve : pr l seonde formule de l moyenne : Y Y = f(t)e t sup Z Y Z f(t) Don le ritère de Cuhy pour l existene de I() est vérifié. De plus en fisnt tendre Y vers + il vient : = f(t)e t sup Z f(t) 2 sup f(t) Z Pr onséquent les fontions de, I () = f(t)e t, onvergent uniformément sur [, + [ et pour + vers l fontion I(). Il suffit don de s ssurer de l ontinuité de hque I (). Mis pr le théorème des roissement finis e t e bt t b e t b pour t. Les fontions I sont don Lipshitziennes et pr onséquent ontinues en leur vrible. Si l on suppose seulement que T f(t) est borné, on peut ffirmer en revisitnt l preuve que I() = f(t)e t existe pour > et est une fontion ontinue. Il se peut qu lors l limite I( + ) existe. Notez que pour f positive le théorème de l onvergene monotone grntit f(t) = I( + ) (même si tous les I() vlent + ). Supposons seulement que l fontion f soit telle que les trnsformées de Lple I() = lim f(t)e t existent et que I = lim + I() existe. Le remrquble théorème suivnt (l preuve en ser donnée ultérieurement) vut : l intégrle impropre f(t) onverge (et est don néessirement égle à I) si et seulement si on tf(t) = o() pour (vri si f(t) = o(1 t )...). Cei s ppelle un théorème Tubérien, Tuber ynt montré l nlogue ve une série u lieu d une intégrle. Pouvez-vous en tout s montrer l prtie file : si f(t) onverge lors tf(t) = o()? Étudions I() = sin(t) t e t. Pr l deuxième formule de l moyenne Y sin(t) t 2 don le ritère de Cuhy est vérifié pour l existene de I() = sin(t) t. Don I est une fontion ontinue de. On peut ensuite justifier de diverses mnières que I () existe et vut J() = sin(t)e t. C est très file si l on dispose du théorème de l onvergene dominée r I(+h) I() h = sin(t)e t e ht 1 th et on peut mjorer en vleur bsolue e ht 1 th pr e t h. Don si > et si h est restreint à être 1 2, le théorème de l onvergene dominée donne le résultt voulu. Et bien sûr : J() = Im e (+i)t = Im 1 + i = Z Don, il existe une onstnte C telle que pour > on it I() = C Artg(). Il ne reste lors qu à justifier lim + I() = ( est trivil... si, si!) pour en onlure que C = π 2 et don que sin(t) t = I( + ) = C = π 2. Défi : prouvez élémentirement I () = J()! Z 4

5 (deuxième formule de l moyenne, suite) Jen-Frnçois Burnol, 7 otobre 29 Je rppelle nos nottions I() = sin(t) t e t et J() = sin(t)e t. On veut montrer élémentirement I () = J() pour >. Pr Tylor-Lgrnge : e y = e x + (y x)e x (y x)2 e z ve un z entre x et y, et don : e y e x y x ex 1 2 x y emx(x,y) = 1 2 x y mx(ex, e y ) Ave > et b 1 2 on peut érire : I(b) I() ( e bt e t ) J() = sin(t) + e t b bt t = I(b) I() J() b 1 2 b sin(t) t e 1 2 t D où l onlusion. Et en e qui onerne : on tout bêtement : lim + I() sin(t) e t = t e t = 1 Je propose mintennt l exerie suivnt : soit f : [, + [ C une fontion intégrble sur tout segment, et telle que f(t) soit borné. On sit que les intégrles impropres f(t)e t onvergent pour tout >. Montrez : lim + f(t)e t = voir u verso près y voir réfléhi... l onvergene monotone ne s pplique bien sûr ps puisque l on n ps fit l hypothèse de l existene de f(t) le résultt est trivil si f est bornée mis on n ps non plus fit ette hypothèse... et si f étit mjorée pr un polynôme ç irit enore, mis on n ps non plus fit ette hypothèse... même si f étit u plus de roissne exponentielle el serit ssez trivil, mis on n ps fit ette hypothèse!... à propos donner un exemple de f qui vérifie l hypothèse mis qui n est mjorée pr uune expression du type Ke λt, utrement dit telle que lim sup t + f(t) e t = + pour tout >. 5

6 Soit K tel que f(t) Y K pour tout. Ainsi f(t) 2K pour tous, Y. Pr l deuxième formule de l moyenne : Y Y = f(t)e t 2Ke En prennt l limite pour Y il vient : f(t)e t 2Ke Ainsi : f(t)e t 1 f(t) e t + 2Ke Le premier terme tend vers zéro pour +, soit pre que f est supposée intégrble u sens de Riemnn sur [, 1] et don est bornée sur et intervlle, soit dns le s générl pr le théorème de l onvergene dominée (rppelez-vous qu il y dns son énoné un «presque prtout» bien utile ii à use de t = ). Le seond terme tend ussi vers zéro. D où l onlusion. Vrinte : pour tout ǫ > on : f(t)e t ǫ f(t) + 2Ke ǫ = lim sup f(t)e t ǫ f(t) + = lim sup f(t)e t ǫ lim f(t) = + ǫ d où l onlusion. L dernière limite n est ps trivile et néessite l onvergene dominée ou monotone et équivut à l ontinuité de x x f(t) en théorie de l intégrle de Lebesgue. Si f est supposée intégrble u sens de Riemnn sur [, 1] est trivil pr ontre, r elle est lors bornée. 6

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