Deuxième formule de la moyenne

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Deuxième formule de la moyenne"

Transcription

1 Deuxième formule de l moyenne Jen-Frnçois Burnol, 7 otobre 29 Soit < b et f, g : [, b] R deux fontions à vleurs réelles, f étnt supposée intégrble sur [, b] et g positive déroissnte. Alors : [, b] f(t)g(t) = g() f(t). Pour f à vleurs omplexes l inéglité suivnte est vlble : f(t)g(t) g() sup f(t). [,b] Pour g positive roissnte on ur f(t)g(t) = g(b) f(t) et/ou l inéglité nlogue. On ur ompris que l intérêt mjeur de l deuxième formule de l moyenne sous l forme d une inéglité est que le module dns l mjortion est à l extérieur de l intégrle! L preuve est, omme à l hbitude, un hoix prmi de nombreuses possibilités. Pour elle que je présente en premier, je voulis être ompris pr quelqu un ne mîtrisnt que l intégrle de Riemnn, et don, pour une preuve réellement omplète, il me fllit éviter l emploi d un théorème dmis omme l est elui de l onvergene dominée. Mis le risonnement se devit d être vlble ussi pour une fontion intégrble u sens de Lebesgue, et don je ne pouvis ps fire reposer l preuve sur l emploi de sommes de Riemnn. Lorsqu elle esustifible, une simple intégrtion pr prties mène u résultt. Cel ser expliqué pr l suite. Remrque : si l on trville ve l intégrle u sens de Riemnn, on sit que toute fontion monotone sur le segment [, b] est intégrble, et que le produit de deux fontions Riemnn-intégrbles est intégrble. Si l on trville ve l intégrle de Lebesgue, on sit que toute fontion monotone est mesurble, que le produit de deux fontions mesurbles est mesurble, don le produit f g est mesurble et de plus, omme g est bornée, fg est intégrble puisque f l est. (Miro)-Remrque 2 : g esuste supposée déroissnte, ps ontinue. Don il vudrit mieux érire g( + ) que g(), el donnerit une meilleure mjortion. Mis ç mrhe ve les deux. Remrque 3 : si l on remple g(t) pr g(t) g(b ) on obtient une évlution plus préise, est l forme trditionnelle de l seonde formule de l moyenne f(t)g(t) = g(+ ) f(t) + g(b ) f(t) (il suffit lors pour g d être monotone, et ps néessirement positive). Remrque ssez subtile 4 : suf si g est onstnte sur ],b[ l deuxième formule de l moyenne sous l forme plus hut vut ve un distint de et de b. Et sous l forme f(t)g(t) = g( + ) f(t) + g(b ) f(t) elle vut ve un ],b[ sns utre ondition sur g que d être monotone (vous pourrez herher à justifier ette remrque, el est ssez rusé). Je vis voir besoin du fit que F(x) = x f(t) et K(x) = x f(t) sont des fontions ontinues de x. C est évident lorsque f est bornée (don en prtiulier si f est intégrble u sens de Riemnn) r de f C résulte F(x) F(y) C x y (de même pour K) don F et K sont lors Lipshitziennes. Dns le s d une fontion Lebesgueintégrble non bornée, est un théorème lssique que l on peut prouver en utilisnt le théorème de l onvergene dominée (exerie). On v même utiliser que K est uniformément ontinue, e qui est ssuré pr le fit que [, b] est ompt, et est trivil pr l propriété Lipshitzienne dns le s où f est bornée. 1

2 Soit N 1 et soit = + j b N, j N. Définissons : I N = Comme g est déroissnte : tj+1 f(t)g( ) j= (g( ) g(+1 )) j= tj+1 j= tj+1 f(t)g(t) f(t)g( ) j= tj+1 f(t) (g( ) g(t)) f(t) = (g( ) g(+1 ))(K(+1 ) K( )) Soit ω(n) = sup t b b (K(t + b N ) K(t)). D près e qui préède : N I N f(t)g(t) (g( ) g(+1 ))ω(n) = (g() g(b))ω(n) j= On sit que K est ontinue, don uniformément ontinue sur [, b], don ω(n). Ainsi lim I N = N j= f(t)g(t) Pr illeurs on églement (quelque prt F() = est utilisé!) : (1) I N = j= = I N tj+1 f(t)g( ) = ( j= g( )(F(+1 ) F( )) = (g( ) g(+1 ))F(+1 ) + g(b)f(b) j= ) (g( ) g(+1 )) + g(b) j= sup x b F(x) = g() sup F(x) x b D où l deuxième formule de l moyenne dns le s omplexe, pr pssge à l limite. Dns le s réel, et en notnt m = inf [,b] F(x) et M = sup [,b] F(x), on obtient de (1) (puisque g est déroissnte et positive) : d où près pssge à l limite g() inf F(x) I N g()sup F(x), [,b] g() inf [,b] F(x) [,b] f(t)g(t) g()sup F(x), [,b] et pr onséquent (le s g() = trité à prt) pr le théorème des vleurs intermédiires pour l fontion ontinue F : [, b] f(t)g(t) = g()f() = g() f(t). Répétons que si g n est ps onstnte sur ], b[ lors il y un ], b[ qui onvient. 2

3 Autre perspetive Supposons que f soit ontinue et g de lsse C 1. Toujours ve F(x) = x f(t) on pr intégrtion pr prties : f(t)g(t) = g(b)f(b) + F(t)( g (t)) Pr le premier théorème de l moyenne pour une intégrle ve poids positif, il vient : Ainsi, [, b] F(t)( g (t)) = F() f(t)g(t) = g(b)f(b) + (g() g(b))f() = g() ( g (t)) = F()(g() g(b)) f(t) + g(b) f(t) C est-à-dire l seonde formule de l moyenne sous s forme «plus préise» (je lisse en exerie le fit qu il y un ], b[ qui onvienne). Comme F([, b]) est un segment, tout bryentre à oeffiients positifs de points de e segment y est enore don g(b)f(b) + (g() g(b))f() est de l forme g()f( ), e qui donne omme onséquene l seonde formule de l moyenne sous s forme «fruste», elle que j i hoisie de mettre en vnt u début de e texte. Dns l prtique, on veut surtout une mjortion de b, f(t)g(t) et l forme fruste omme l forme préise donnent toutes deux : f(t)g(t) g() sup f(t). [,b] On noter que l mjortion pr g() f(t) + g(b) f(t) est souvent moins intéressnte. Enore une utre perspetive Ii je m dresse à un uditoire mîtrisnt mesure et intégrtion. Tout d bord on peut rempler g(x) en tout x pr g(x + ) e qui ne modifie g que sur un ensemble dénombrble, don de mesure nulle, et rend g ontinue à droite. L formule ser don prouvée ve g( + ) et elle omme orollire moins préis elle ve g(). Dorénvne suppose g ontinue à droite, don il existe une mesure (de Lebesgue-Stieltjes) positive sur le segment [, b] telle que g(x) = g(b) + µ(]x, b]) (pr exemple et en prtiulier g(b ) = g(b) + µ({b})). On pplique le théorème de Fubini : f(t)g(t) = g(b)f(b) + f(t)( dµ(u)) <t<b t<u b = g(b)f(b) + f(t)dµ(u) = g(b)f(b) + F(u)dµ(u) <t<u b <u b Puis on fit ppel u premier théorème de l moyenne pour l intégrtion de fontions ontinues ontre une mesure positive : [, b] f(t)g(t) = g(b)f(b)+f() dµ(u) = g(b)f(b)+(g() g(b))f() <u b 3

4 Une pplition : trnsformtion de Lple On onsidère une fontion f : [, + [ C, intégrble sur tout segment et telle que l intégrle impropre T f(t) = lim T + f(t) existe. Alors les intégrles impropres : I() = f(t)e t existent et définissent une fontion ontinue de. Preuve : pr l seonde formule de l moyenne : Y Y = f(t)e t sup Z Y Z f(t) Don le ritère de Cuhy pour l existene de I() est vérifié. De plus en fisnt tendre Y vers + il vient : = f(t)e t sup Z f(t) 2 sup f(t) Z Pr onséquent les fontions de, I () = f(t)e t, onvergent uniformément sur [, + [ et pour + vers l fontion I(). Il suffit don de s ssurer de l ontinuité de hque I (). Mis pr le théorème des roissement finis e t e bt t b e t b pour t. Les fontions I sont don Lipshitziennes et pr onséquent ontinues en leur vrible. Si l on suppose seulement que T f(t) est borné, on peut ffirmer en revisitnt l preuve que I() = f(t)e t existe pour > et est une fontion ontinue. Il se peut qu lors l limite I( + ) existe. Notez que pour f positive le théorème de l onvergene monotone grntit f(t) = I( + ) (même si tous les I() vlent + ). Supposons seulement que l fontion f soit telle que les trnsformées de Lple I() = lim f(t)e t existent et que I = lim + I() existe. Le remrquble théorème suivnt (l preuve en ser donnée ultérieurement) vut : l intégrle impropre f(t) onverge (et est don néessirement égle à I) si et seulement si on tf(t) = o() pour (vri si f(t) = o(1 t )...). Cei s ppelle un théorème Tubérien, Tuber ynt montré l nlogue ve une série u lieu d une intégrle. Pouvez-vous en tout s montrer l prtie file : si f(t) onverge lors tf(t) = o()? Étudions I() = sin(t) t e t. Pr l deuxième formule de l moyenne Y sin(t) t 2 don le ritère de Cuhy est vérifié pour l existene de I() = sin(t) t. Don I est une fontion ontinue de. On peut ensuite justifier de diverses mnières que I () existe et vut J() = sin(t)e t. C est très file si l on dispose du théorème de l onvergene dominée r I(+h) I() h = sin(t)e t e ht 1 th et on peut mjorer en vleur bsolue e ht 1 th pr e t h. Don si > et si h est restreint à être 1 2, le théorème de l onvergene dominée donne le résultt voulu. Et bien sûr : J() = Im e (+i)t = Im 1 + i = Z Don, il existe une onstnte C telle que pour > on it I() = C Artg(). Il ne reste lors qu à justifier lim + I() = ( est trivil... si, si!) pour en onlure que C = π 2 et don que sin(t) t = I( + ) = C = π 2. Défi : prouvez élémentirement I () = J()! Z 4

5 (deuxième formule de l moyenne, suite) Jen-Frnçois Burnol, 7 otobre 29 Je rppelle nos nottions I() = sin(t) t e t et J() = sin(t)e t. On veut montrer élémentirement I () = J() pour >. Pr Tylor-Lgrnge : e y = e x + (y x)e x (y x)2 e z ve un z entre x et y, et don : e y e x y x ex 1 2 x y emx(x,y) = 1 2 x y mx(ex, e y ) Ave > et b 1 2 on peut érire : I(b) I() ( e bt e t ) J() = sin(t) + e t b bt t = I(b) I() J() b 1 2 b sin(t) t e 1 2 t D où l onlusion. Et en e qui onerne : on tout bêtement : lim + I() sin(t) e t = t e t = 1 Je propose mintennt l exerie suivnt : soit f : [, + [ C une fontion intégrble sur tout segment, et telle que f(t) soit borné. On sit que les intégrles impropres f(t)e t onvergent pour tout >. Montrez : lim + f(t)e t = voir u verso près y voir réfléhi... l onvergene monotone ne s pplique bien sûr ps puisque l on n ps fit l hypothèse de l existene de f(t) le résultt est trivil si f est bornée mis on n ps non plus fit ette hypothèse... et si f étit mjorée pr un polynôme ç irit enore, mis on n ps non plus fit ette hypothèse... même si f étit u plus de roissne exponentielle el serit ssez trivil, mis on n ps fit ette hypothèse!... à propos donner un exemple de f qui vérifie l hypothèse mis qui n est mjorée pr uune expression du type Ke λt, utrement dit telle que lim sup t + f(t) e t = + pour tout >. 5

6 Soit K tel que f(t) Y K pour tout. Ainsi f(t) 2K pour tous, Y. Pr l deuxième formule de l moyenne : Y Y = f(t)e t 2Ke En prennt l limite pour Y il vient : f(t)e t 2Ke Ainsi : f(t)e t 1 f(t) e t + 2Ke Le premier terme tend vers zéro pour +, soit pre que f est supposée intégrble u sens de Riemnn sur [, 1] et don est bornée sur et intervlle, soit dns le s générl pr le théorème de l onvergene dominée (rppelez-vous qu il y dns son énoné un «presque prtout» bien utile ii à use de t = ). Le seond terme tend ussi vers zéro. D où l onlusion. Vrinte : pour tout ǫ > on : f(t)e t ǫ f(t) + 2Ke ǫ = lim sup f(t)e t ǫ f(t) + = lim sup f(t)e t ǫ lim f(t) = + ǫ d où l onlusion. L dernière limite n est ps trivile et néessite l onvergene dominée ou monotone et équivut à l ontinuité de x x f(t) en théorie de l intégrle de Lebesgue. Si f est supposée intégrble u sens de Riemnn sur [, 1] est trivil pr ontre, r elle est lors bornée. 6

EB - INTEGRALES DEPENDANT D UN PARAMETRE

EB - INTEGRALES DEPENDANT D UN PARAMETRE EB - INTEGRALES DEPENDANT D UN PARAMETRE Définition 1 Soit (f x ) x A une fmille de fonctions continues à vleurs dns C, définies sur un intervlle [, b[ de R. On considère l intégrle impropre g(x) = que

Plus en détail

LEÇON N 67 : Formules de Taylor. Applications.

LEÇON N 67 : Formules de Taylor. Applications. LEÇON N 67 : Formules de Tylor. Applictions. Pré-requis : Théorème de Rolle, théorème des Accroissements Finis ; Intégrtion pr prties ; Nottions de Lndu. 67. Résultts globux 67.. Formule de Tylor-Lgrnge

Plus en détail

LIMITE ET CONTINUITÉ DE FONCTIONS

LIMITE ET CONTINUITÉ DE FONCTIONS Lurent Grcin MPSI Lycée Jen-Bptiste Corot LIMITE ET CONTINUITÉ DE FONCTIONS Soit R. Dns tout ce chpitre, on dir qu une fonction f de domine de définition D f est définie u voisinge de s il existe un réel

Plus en détail

LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE. Unité d enseignement LCMA 4U11 ANALYSE 3. Françoise GEANDIER

LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE. Unité d enseignement LCMA 4U11 ANALYSE 3. Françoise GEANDIER LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE Unité d enseignement LCMA 4U ANALYSE 3 Frnçoise GEANDIER Université Henri Poincré Nncy I Déprtement de Mthémtiques . Tble des mtières I Séries numériques. Séries

Plus en détail

5. Intégration complexe

5. Intégration complexe 49 5. Intégrtion complexe 1. Intégrles définies d une fonction complexe d une vrible réelle Les intégrles sont extrêmement importntes dns l étude des fonctions d une vrible complexe. Nous étblirons l équivlence

Plus en détail

Chapitre 5. Intégration. 5.1 Intégration des fonctions en escaliers

Chapitre 5. Intégration. 5.1 Intégration des fonctions en escaliers Chpitre 5 Intégrtion Nous llons construire l intégrle pr un procédé de pssge à l limite. D bord on définit l intégrle des fonctions en escliers, ensuite on psse à l limite pour intégrer des fonctions plus

Plus en détail

Intégration I Licence de mathématiques, 4 e semestre Université Aix-Marseille 1

Intégration I Licence de mathématiques, 4 e semestre Université Aix-Marseille 1 ntégrtion Licence de mthémtiques, 4 e semestre Université Ai-Mrseille J-Y. Briend Fscicule de résultts ntégrbilité, intégrle Définition.. Soit = [,b] un intervlle compct. Une subdivision pointée P de est

Plus en détail

1. Intégrale de Riemann des fonctions réglées.

1. Intégrale de Riemann des fonctions réglées. Agrégtion de Mthémtiques 2012-2013 CMI Université d Aix-Mrseille Résumé du cours d Intégrtion 1. Intégrle de Riemnn des fonctions réglées. Fonctions réglées. f : [, b] C est dite réglée si et seulement

Plus en détail

Intégrale Simple. par Alain Prouté Université Denis Diderot Paris 7

Intégrale Simple. par Alain Prouté Université Denis Diderot Paris 7 Ce ours peut être librement opié et distribué. L version l plus réente peut être télérgée à prtir de : ttp://www.mt.jussieu.fr/~lp. Prière d dresser les remrques, orretions ou suggestions à l uteur : lp@mt.jussieu.fr

Plus en détail

DM n o 17 : Intégration

DM n o 17 : Intégration Lycée Louis-Le-Grnd, Pris Pour le 14/05/2015 MPSI 4 Mthémtiques A. Troesch DM n o 17 : Intégrtion Correction du problème 1 Intégrle de Lebesgue Prtie I Intégrtion pr rpport à une mesure 1. Soit f = α k

Plus en détail

Chapitre 1 Suites de fonctions

Chapitre 1 Suites de fonctions Université de Bourgogne Déprtement de Mthémtiques Licence de Mthémtiques Résumé du cours Compléments d Anlyse Chpitre Suites de fonctions. Suites de nombres, suites de fonctions Dns tout ce chpitre, l

Plus en détail

Résumé de cours sur les intégrales dépendant d un paramètre

Résumé de cours sur les intégrales dépendant d un paramètre Résumé de cours sur les intégrles dépendnt d un prmètre On v considérer une fonction à deux vribles ' puis on étudier l existence, l continuité, dérivbilité,...de l fonction F dé nie pr x! F (x) = F est

Plus en détail

Une preuve élémentaire du théorème de convergence dominée

Une preuve élémentaire du théorème de convergence dominée Une preuve élémentire du théorème de convergence dominée Le but de ce texte, influencé pr l lecture de l rticle [2], est de proposer une preuve élémentire du théorème de convergence dominée, dns le cdre

Plus en détail

Feuille 4 : Quelques rappels, corrections et exercices supplémentaires.

Feuille 4 : Quelques rappels, corrections et exercices supplémentaires. Université de Poitiers Mthémtiques L1 SPIC, Module L0 010/011 Feuille 4 : Quelques rppels, orretions et exeries supplémentires Rppels : 1 Mtrie d une pplition linéire Soient E, F deux K-espes vetoriels,

Plus en détail

11 Fonctions numériques - continuité

11 Fonctions numériques - continuité 11 Fonctions numériques - continuité 11.1 Ensemble des fonctions à vleurs réelles 11.1.1 Fonctions numériques Soit E un ensemble non vide. On note E l ensemble des pplictions de E dns. On définit les opértions

Plus en détail

Analyse numérique : Intégration numérique

Analyse numérique : Intégration numérique Anlyse numérique : Intégrtion numérique Pgor 1A Chpitre 4 8 février 11 mrs 2013 Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/2013 1 / 67 Pln 1 Introduction 2 Intégrtion pr méthode de Monte-Crlo

Plus en détail

MT91 P2010 Médian - f(x) = α + x + βx 2.

MT91 P2010 Médian - f(x) = α + x + βx 2. MT9 P Médin - Corrigé Eercice. α et β sont deu prmètres réels tels que α >. On définit f) = α + + β. Ecrire le développement limité de f, à l ordre, en.. Utiliser l question précédente pour étudier l brnche

Plus en détail

Intégrales et primitives

Intégrales et primitives Chpitre 3 Intégrles et primitives 3.1 Définitions Soit f(x une fonction continue définie sur l intervlle [, ]. L intégrle de f sur l intervlle [, ] est un nomre réel noté qui est défini de l fçon suivnte

Plus en détail

Primitives et intégrales

Primitives et intégrales Primitives et intégrles 19 mrs 14 Introduction Chercher une primitive et clculer une intégrle n est ps tout à fit l même chose. Une primitive d une fonction f, c est une fonction F qui, lorsqu on l dérive,

Plus en détail

1. Fonctions fortement piquées. La fonction delta de Dirac. (x) ρ n. n = 8. Figure 1

1. Fonctions fortement piquées. La fonction delta de Dirac. (x) ρ n. n = 8. Figure 1 31 3. Fonction de Dirc 1. Fonctions fortement piquées. fonction delt de Dirc 1.1. Exemple en électrosttique ρ n (x n = 8 n = 4 n = 2 n = 1-1/2 O 1/2 x Figure 1 Considérons, sur une droite, une suite de

Plus en détail

Généralités sur Les Fonctions Numériques 1 fonction numérique d'une variable réelle

Généralités sur Les Fonctions Numériques 1 fonction numérique d'une variable réelle Générlités sur Les Fontions Numériques ontion numérique d'une vrible réelle. Déinitions et nottions.. Déinition Soit E et F deux ensembles. ) On ppelle ontion de E dns F une reltion qui à x de E ssoie

Plus en détail

( ) non vides et disjoints tels que D= A1 A2. Soit f la fonction définie par : 1. sont non vides.

( ) non vides et disjoints tels que D= A1 A2. Soit f la fonction définie par : 1. sont non vides. Prties connexes de R et fonctions continues PARTIES CONNEXES DE R ET FONCTIONS CONTINUES Prties connexes de R crctéristion Prtie connexe de R On dit qu'une prtie D de est connexe si D n'dmet ps de prtition

Plus en détail

Mathématiques Différentielle - Intégrale

Mathématiques Différentielle - Intégrale Mthémtiques Différentielle - Intégrle F. Richrd 1 1 Institut PPRIME - UPR 3346 CNRS Déprtement Fluides, Thermique, Combustion Frnce Institut des Risques Industriels Assurntiels et Finnciers IRIAF F. Richrd

Plus en détail

Chapitre 6 Suites et séries de fonctions

Chapitre 6 Suites et séries de fonctions Chpitre 6 Suites et séries de fonctions Semine 1 : Etude des prgrphes 1 et 2. Fire les exercices d pprentissge 6.1 6.10. Semine 2 : Etude du prgrphe 3. Fire les exercices d pprofondissement 6.11 6.24.

Plus en détail

Intégrale de Riemann cours et exercices de Licence, L1, PC, S2

Intégrale de Riemann cours et exercices de Licence, L1, PC, S2 Intégrle de Riemnn cours et exercices de Licence, L1, PC, S2 H. Le Ferrnd Jnury 29, 2010 Contents 1 Des premières méthodes 2 2 Sommes de Drboux 2 3 Fonction intégrble u sens de Riemnn 3 3.1 Qu est-ce qu

Plus en détail

Variables aléatoires à densité

Variables aléatoires à densité Vribles létoires à densité Rppels : Une vrible létoire réelle (VAR) est une ppliction X : Ω R où (Ω,A,P) est un espce probbilisé. Lorsque X(Ω) est un ensemble discret on dit que X est une VAR discrète.

Plus en détail

CHAPITRE VII. 1 - Définition

CHAPITRE VII. 1 - Définition CHAPITRE VII Résumé Nous llons déouvrir dns e hpitre une notion ux innombrbles pplitions physiques. Compte tenu du peu d heures dont nous disposons, nous nous ontenterons d un survol rpide en srifint l

Plus en détail

CENTRALE TSI 2000 MATH 2

CENTRALE TSI 2000 MATH 2 CENTRALE TSI 2 MATH 2 PREMIERE PARTIE I.A.) M 2 S 2 (C) si et seulement si il existe 3 omplexes (;b;) tels que M S 2 (C) V et(a;b;c) ve A ;B ;C.Don De plus es trois mtries forment un système libre A +

Plus en détail

Convergence dominée et conséquences.

Convergence dominée et conséquences. Chpitre 3 Convergence dominée et conséquences.. nterversion ite-intégrle............................................................2 / Le cs d une CU sur un segment..................................................

Plus en détail

Université Denis Diderot Paris 7 septembre 2012-janvier Examen : correction

Université Denis Diderot Paris 7 septembre 2012-janvier Examen : correction Université Denis Diderot Paris 7 septembre 1-janvier 13 M1 ISIFAR : Probabilités Examen : orretion durée : 3 heures Les douments et alulatries ne sont pas autorisés. On prendra soin de bien justifier les

Plus en détail

LEÇON N 76 : Primitives d une fonction continue sur un intervalle ; définition et propriétés de l intégrale, inégalité de la moyenne. Applications.

LEÇON N 76 : Primitives d une fonction continue sur un intervalle ; définition et propriétés de l intégrale, inégalité de la moyenne. Applications. LEÇON N 76 : Primitives d une fonction continue sur un intervlle ; définition et propriétés de l intégrle, inéglité de l moyenne. Applictions. Pré-requis : Si f est une fonction numérique dérivble sur

Plus en détail

Jour no1 Exercice 1.0 Exercice 1.1 Exercice 1.2

Jour no1 Exercice 1.0 Exercice 1.1 Exercice 1.2 Jour n o Exercice. ) Étudier l intégrbilité de x e x x2 sur ], + [. 2) Étudier l intégrbilité de x ln x x 2 + sur ], + [. Exercice. Soit f de clsse C 2 sur [, + [ telle que f est intégrble sur [, + [ et

Plus en détail

Comparaison des fonctions au voisinage d un point

Comparaison des fonctions au voisinage d un point DOCUMENT 29 Comprison des fonctions u voisinge d un point Pour tout 0 R on pose : V 0 = {] 0 η, 0 + η[ η > 0} si 0 R; V 0 = {], + [ R} si 0 = + et V 0 = {], [ R} si 0 =. Un élément de V 0 est ppelé un

Plus en détail

Les théorèmes fondamentaux

Les théorèmes fondamentaux Université d Artois Fculté des ciences Jen Perrin Mesure et Intégrtion (Licence 3 Mthémtiques-Informtique) Dniel Li Les théorèmes fondmentux 21 vril 28 1 L notion de presque prtout Avnt de donner les théorèmes

Plus en détail

et est finie, on dit que l intégrale généralisée converge et on note f(t)dt =lim F (x). x b f(t)dt lorsque f est définie continue sur ]a, b].

et est finie, on dit que l intégrale généralisée converge et on note f(t)dt =lim F (x). x b f(t)dt lorsque f est définie continue sur ]a, b]. Chpire 7 Inégrles générlisées 7. Inroduion Pour ou inervlle fermé orné I =[, ] ve e réels, e pour oue fonion f oninue ou oninue pr moreux sur I, il es possile de définir l inégrle de Riemnn f()d omme limie

Plus en détail

Outils Mathématiques 4

Outils Mathématiques 4 Université de Rennes1 Année 5/6 1 Courbes prmétrées Outils Mthémtiques 4 Intégrtion résumé éfinition 1.1 Une courbe plne est un ensemble de couples (f(t), g(t)) où f et g sont des fonctions continues sur

Plus en détail

Licence de Mathématiques Fondamentales Calcul Scientifique feuille de TD 3

Licence de Mathématiques Fondamentales Calcul Scientifique feuille de TD 3 Licence de Mthémtiques Fondmentles Clcul Scientifique feuille de TD 3 Intégrtion numérique Soit f : [, b] R une fonction continue On cherche à clculer numériquement l intégrle f(x) dx Pour cel, on subdivise

Plus en détail

E(ϕ(Z, Y )) = ϕ(r(x + f(y)), y)dxdm(y). ϕ(ξ)dξ.

E(ϕ(Z, Y )) = ϕ(r(x + f(y)), y)dxdm(y). ϕ(ξ)dξ. Corrigé 191 (Les pièges de l indépendnce) Soit (Ω,, P ) un espce probbilisé et X, Y deux v..r. indépendntes. n suppose que X pour loi l loi uniforme sur [, 1]. Pour x, on pose e(x) = mx{n Z, n x} et r(x)

Plus en détail

Intégrales impropres et séries. Tewfik Sari. L2 Math

Intégrales impropres et séries. Tewfik Sari. L2 Math Intégrles impropres et séries Tewfik Sri L2 Mth Chpitre 1 Rppels sur l intégrtion 1.1 Intégrle de Riemnn des fonctions en esclier Soit [, b] un intervlle fermé et borné de R. Une subdivision de [, b] et

Plus en détail

Partie 1 - Calcul d une probabilité

Partie 1 - Calcul d une probabilité Essec mths 3 voie E 2014 1 Option économique Mthémtiques Essec 2014 (mths 3) vendredi 8 mi 2014 Ce problème est constitué de trois prties. Les résultts de l prtie 1 sont utilisés dns les prties 2 et 3.

Plus en détail

Graphes de décision binaires

Graphes de décision binaires Chpitre 3 : Grphes de déision inires Chpitre 3 Grphes de déision inires Pour répondre u prolème posé pr l roissement de l tille des fontions logiques à triter (grnd nomre de fontions, de monômes et de

Plus en détail

APPROXIMATION DE FONCTIONS DÉRIVABLES PAR UNE FONCTION POLYNOMIALE

APPROXIMATION DE FONCTIONS DÉRIVABLES PAR UNE FONCTION POLYNOMIALE APPROXIMATION DE FONCTIONS DÉRIVABLES PAR UNE FONCTION POLYNOMIALE Définition. Soit I R un intervlle ouvert et soit f : I R une fonction. () Si f est continue, on dit que f est de clsse C 0. (2) Si f est

Plus en détail

LIMITES DE SUITES ET DE FONCTIONS I..

LIMITES DE SUITES ET DE FONCTIONS I.. TS-cours-chp2-1 - LIMITES DE SUITES ET DE FONCTIONS I.. Limite d une suite 1 / tend vers l infini Définition ( rppel ) Dire que l suite tend vers + signifie que, pour tout nombre A, l intervlle [A ; +

Plus en détail

Chapitre 12 : Lois de probabilité continues

Chapitre 12 : Lois de probabilité continues Chpitre 12 : Lois de probbilité continues I. Lois de probbilité à densité Dns les situtions précédentes, on rencontré des vribles létoires dites discrètes : elles ne prennent qu un nombre fini de vleurs.

Plus en détail

Intégrale et primitives

Intégrale et primitives Chpitre 5 Intégrle et primitives 5. Ojetif On herhe dns e hpitre à onstruire l opérteur réiproue de l opérteur de dérivtion. Les deux uestions suivntes sont lors nturelles. Question : Soit f une pplition

Plus en détail

Cours de Terminale ES /Probabilités : Lois à densité. E. Dostal

Cours de Terminale ES /Probabilités : Lois à densité. E. Dostal Cours de Terminle ES /Probbilités : Lois à densité E. Dostl février 2017 Tble des mtières 7 Probbilités : Lois à densité 2 7.1 Vrible létoires à densité................................... 2 7.1.1 Vrible

Plus en détail

Cours d Analyse IV Suites et Séries de fonctions

Cours d Analyse IV Suites et Séries de fonctions Université Clude Bernrd, Lyon I Licence Sciences, Technologies & Snté 43, boulevrd 11 novembre 1918 Spécilité Mthémtiques 69622 Villeurbnne cedex, Frnce L. Pujo-Menjouet pujo@mth.univ-lyon1.fr Cours d

Plus en détail

Cours d intégration L3-mass

Cours d intégration L3-mass Cours d intégrtion L3-mss Renud Leplideur Année 214-215 UBO 2 Tble des mtières 1 Rppels sur l intégrle de Riemnn et les limites croissntes 5 1.1 L intégrle u sens de Riemnn et les principux résultts.........

Plus en détail

Chapitre 8 Le calcul intégral

Chapitre 8 Le calcul intégral Cours de Mthémtiques Terminle STI Chpitre 8 : Le Clcul Intégrl Chpitre 8 Le clcul intégrl A) Intégrle d une fonction dérivle sur un intervlle 1) Définition Soit f une fonction dérivle sur un intervlle

Plus en détail

Primitives et intégrales

Primitives et intégrales Primitives et intégrles Je donne ici des éléments pour triter l exposé de CAPES 76 (liste 2007) : Primitives d une fonction continue sur un intervlle ; définition et propriétés de l intégrle, inéglité

Plus en détail

Calcul intégral. et théorie de la mesure (Notes de cours)

Calcul intégral. et théorie de la mesure (Notes de cours) Clcul intégrl et théorie de l mesure (Notes de cours) Gérld Tenenbum Université Henri Poincré Nncy 1 Licence et mîtrise de Mthémtiques 1994/95 (12/12/212, 1h44) Tble des mtières Chpitre. ntégrle de Cuchy

Plus en détail

Chapitre 2 Limites et asymptotes

Chapitre 2 Limites et asymptotes Chpitre 2 Limites et symptotes A) Introduction ) Le grenier Je veux monter un toit à une pente en lissnt l plce pour une pièce (grenier) de 3 mètres de long et 2 mètres de hut. OA = 3, OC = 2, OE = x.

Plus en détail

CHAPITRE III. CONSTRUCTION DE L INTÉGRALE DE RIEMANN

CHAPITRE III. CONSTRUCTION DE L INTÉGRALE DE RIEMANN CHAPITRE III. CONSTRUCTION DE L INTÉGRALE DE RIEMANN 1. Fonctions en esclier. Le but de l construction de l intégrle d une fonction f : [, b] R étit, initilement, de définir rigoureusement l ire de l figure

Plus en détail

Calculs de base (Rappels)

Calculs de base (Rappels) Chpitre I Clculs de bse (Rppels) I.1 Diviseurs et multiples I.1.1 Définitions On : 12=3 4. On dit que 3 et 4 sont des diviseurs de 12, ou que 12 est un multiple de 3 et de 4. DÉFINITION I.1.1 Soit et b

Plus en détail

Clamaths.fr - Les Roc en Terminale S

Clamaths.fr - Les Roc en Terminale S Clmths.fr - Les Roc en Terminle S CONTENTS ROC - exigibles... 2 Roc 1 Théorème de comprison pour les suites... 2 Roc 2 Limite de qn lorsque q > 1... 2 Roc 3 Unicité de l fonction exponentielle... 3 Roc

Plus en détail

Résumés de cours : Terminale S.

Résumés de cours : Terminale S. Résumés de cours : Terminle S. Mths-Terminle S. Mr Mmouni : myismil@ltern.org source disponible sur: c http://www.chez.com/myismil Smedi 08 Avril 2006. Tble des mtières Nombres complexes. 3. Prtie réelle

Plus en détail

PARTIE II : Un exemple pour se familiariser avec la conjecture et cette drôle de fonction. . (On ne cherchera pas à exprimer F plus simplement.

PARTIE II : Un exemple pour se familiariser avec la conjecture et cette drôle de fonction. . (On ne cherchera pas à exprimer F plus simplement. Eercice. Découverte des fonctions définies pr une intégrle et premiers ps vers le téorème fondmentl du clcul intégrl. PARTE : Découverte de l fonction «ire sous l courbe» et conjecture sur s dérivée et

Plus en détail

TD n 6 : Fourier - Correction

TD n 6 : Fourier - Correction D n : Fourier- Correction - Pge sur D n : Fourier - Correction Séries de Fourier Coefficient de Fourier On considère une fonction f continue pr morceux et -périodique. c n f f t e in n Z n f [] f t cos

Plus en détail

Mathématiques. Analyse de Fourier D après des notes rédigées par B. Helffer et T. Ramond

Mathématiques. Analyse de Fourier D après des notes rédigées par B. Helffer et T. Ramond Mthémtiques Anlyse de Fourier D près des notes rédigées pr B. Helffer et T. Rmond Année 2007 2 Tble des mtières I Suites, Intégrles et Séries 1 1 Suites de nombres réels ou complexes 1 1.1 Générlités.........................................

Plus en détail

Espaces préhilbertiens

Espaces préhilbertiens 1 Espces préhilbertiens On désigne pr E un espce vectoriel réel non réduit à {}. 1.1 Produit sclire Définition 1.1 On dit qu une forme bilinéire symétrique ϕ sur E est : positive si ϕ (x, x) pour tout

Plus en détail

Primitives Calcul intégral

Primitives Calcul intégral Primitives Clcul intégrl Christophe ROSSIGNOL Année scolire 2009/200 Tble des mtières Primitives 2. Définition, premières propriétés..................................... 2.2 Primitives des fonctions usuelles....................................

Plus en détail

Développements limités. Généralités. Définitions usuelles

Développements limités. Généralités. Définitions usuelles Développements limités I Générlités I.A Définitions usuelles.......................... I.B Formules de Tylor.......................... I.C Développements limités usuels.................... 4 I.D Eemples

Plus en détail

Intégrale de Riemann. L3 Mathématiques. Jean-Christophe Breton Université de Rennes 1 Septembre Décembre 2009

Intégrale de Riemann. L3 Mathématiques. Jean-Christophe Breton Université de Rennes 1 Septembre Décembre 2009 Intégrle de Riemnn L3 Mthémtiques Jen-Christophe Breton Université de Rennes 1 Septembre Décembre 009 version du 1 décembre 009 Tble des mtières 1 Intégrles des fonctions en esclier 1 1.1 Fonctions en

Plus en détail

TS 2, Correction Bac Blanc n o 2

TS 2, Correction Bac Blanc n o 2 TS, Correction Bc Blnc n o Exercice Nouvelle-Clédonie, mrs extrit) points Restitution Orgnisée de Connissnces On utiliser le résultt suivnt : les solutions de l éqution différentielle E ) y = y où R sont

Plus en détail

Td 3 : Produit scalaire

Td 3 : Produit scalaire Université Frnçois Rbelis de Tours Déprtement de Mthémtiques Td 3 : Produit sclire Algèbre Semestre 4 Exercice En utilisnt l inéglité de Cuch-Schwrz - on préciser l espce préhilbertien E;.,. dns lequel

Plus en détail

GLMA201 - ALGÈBRE LINÉAIRE ET ANALYSE 2-2013-2014 CONTRÔLE CONTINU 2

GLMA201 - ALGÈBRE LINÉAIRE ET ANALYSE 2-2013-2014 CONTRÔLE CONTINU 2 GLMA -4 GLMA - ALGÈBRE LINÉAIRE ET ANALYSE - -4 CONTRÔLE CONTINU Durée : h Tout doument ou lultrie est interdit Il ser tenu ompte de l lrté et de l préision de l rédtion Il est importnt de justifier hune

Plus en détail

Synthèse de cours PanaMaths Variables aléatoires à densité

Synthèse de cours PanaMaths Variables aléatoires à densité Synthèse de cours PnMths Vriles létoires à densité Vrile létoire à densité Vrile létoire réelle continue Soit X une vrile létoire réelle. On dit que «X est une vrile létoire réelle continue» si elle prend

Plus en détail

Calcul Intégral - Equations Différentielles M211-1

Calcul Intégral - Equations Différentielles M211-1 /46 Clcul Intégrl - Equtions Différentielles M11-1 Michel Fournié michel.fournie@iut-tlse3.fr http://www.mth.univ-toulouse.fr/ fournie/ /46 Introduction Tble des mtières 1 Introduction Préliminires, Rppels

Plus en détail

Lois de probabilité continues

Lois de probabilité continues Lois de probbilité continues Tble des mtières I Lois de probbilité continues I.1 Principe et définitions........................................... I. Exemples de lois continues.........................................

Plus en détail

CX - INTEGRALE DE RIEMANN

CX - INTEGRALE DE RIEMANN CX - INTEGRALE DE RIEMANN On introduit dns ce texte l construction de l intégrle d une fonction à vleurs réelles due à Riemnn qui permet de donner un sens précis à l notion d ire d un domine D du pln euclidien

Plus en détail

Rappels sur l intégrale de Lebesgue

Rappels sur l intégrale de Lebesgue Rppels sur l intégrle de Lebesgue Renud Leplideur Année 214-215 UBO Tble des mtières 1 Rppels sur l intégrle de Riemnn et les limites croissntes 2 1.1 Trois spects de l intégrtion..........................

Plus en détail

Ch.4èFONCTIONS DE RÉFÉRENCE

Ch.4èFONCTIONS DE RÉFÉRENCE LFA / première S COURS - mthémtiques Mme MAINGUY Ch.4èFONCTIONS DE RÉFÉRENCE ere S Dns tout le chpitre, le pln est muni d'un repère orthonorml ( O ; i! ;! j ) I. Rppels de Seconde Soit f une fonction définie

Plus en détail

Suites et séries de fonctions MP

Suites et séries de fonctions MP Suites et séries de fonctions MP 17 jnvier 2013 Tble des mtières 1 Convergence simple et convergence uniforme 2 1.1 L convergence simple.............................. 2 1.2 L convergence uniforme.............................

Plus en détail

Intégration numérique

Intégration numérique Chpitre 5 Intégrtion numérique 5.1 Introduction Dns ce chpitre, on s interesse u clcul numérique d intégrles. Plus précisément, on considère une fonction f continue et une fonction w continue et positive

Plus en détail

Chapitre 7 Intégrale et primitive. Table des matières. Chapitre 7 Intégrale et primitive TABLE DES MATIÈRES page -1

Chapitre 7 Intégrale et primitive. Table des matières. Chapitre 7 Intégrale et primitive TABLE DES MATIÈRES page -1 Chpitre 7 Intégrle et primitive TABLE DES MATIÈRES pge - Chpitre 7 Intégrle et primitive Tble des mtières I Exercices I-................................................ I- Clcul pproché d une intégrle

Plus en détail

TRIANGLES QUELCONQUES

TRIANGLES QUELCONQUES hpitre 3 TRINGLES QUELONQUES 3. Rppels : TRINGLES RETNGLES Figure de référene γ Nottions β = longueur du ôté opposé u sommet L ngle de sommet se nomme α. = longueur du ôté opposé u sommet L ngle de sommet

Plus en détail

Cours de LICENCE. 1 Introduction

Cours de LICENCE. 1 Introduction Cours de LICENCE Inégrles générlisées Inroduion Pour l inégrle de Riemnn, on s es limié à onsidérer des fonions qui son définies sur un segmen [, b] de R (ve e b finis) e qui son bornées sur [, b]. Définiion

Plus en détail

La loi normale. Chapitre Introduction Motivation à partir de la loi binomiale Notion de variable aléatoire à densité

La loi normale. Chapitre Introduction Motivation à partir de la loi binomiale Notion de variable aléatoire à densité Chpitre 4 L loi normle 4.1 Introduction Dns le chpitre précédent, les probbilités rencontrées se rmenient à lister tous les cs possibles, leur ttribuer l même probbilité, et diviser le nombre de cs fvorbles

Plus en détail

Exercices - Capes première épreuve : corrigé

Exercices - Capes première épreuve : corrigé Avertissement : Ceci n est ps une correction in extenso du problème de cpes Il s git plutôt d une lecture personnelle des questions, vec des indictions, des idées de preuve, des mises en grde d erreurs

Plus en détail

Présentation. Villeneuve d Ascq, octobre 2005 Charles Suquet

Présentation. Villeneuve d Ascq, octobre 2005 Charles Suquet Présenttion Ce polycopié résulte de l ssemblge sépré de deux chpitres nnexes du cours d Intégrtion et Probbilités Élémentires (IPE Mth36) 25 26. Il regroupe ce qu un étudint de 3 e nnée devrit connître

Plus en détail

Automates temporisés TD/TME 2 : Composition d automates temporisés Construction des régions

Automates temporisés TD/TME 2 : Composition d automates temporisés Construction des régions Automtes temporisés TD/TME 2 : Composition utomtes temporisés Constrution es régions Exerie 1 Moélistion un feu triolore Un feu triolore peut être rouge, ornge, vert, ou éteint. Il peut fontionner selon

Plus en détail

LE CALCUL ALGEBRIQUE

LE CALCUL ALGEBRIQUE I. Clculs vec des frctions : ce fcteur : ) Rppels : LE CALCUL ALGEBRIQUE b = b = b = b Exemple : 3 x = x 3 = 3x ( b ) c = ( bc ) = bc Exemple : ( 3x ) 5 = 3 ( 5x ) = 15x 1 = 1 = b) Signe moins dns une

Plus en détail

Le théorème de Pythagore

Le théorème de Pythagore Le théorème de Pythgore représenttion à l thédrle de Chrtres Vu pr Rphel Pythgore mthémtiien gre vers 500 vnt JC Le théorème de Pythgore Voulire Dns un tringle retngle, l hypoténuse est le ôté opposé à

Plus en détail

Fiches de cours analyse 4 ème Sciences expérimentales. Limites et continuité. Limites et comparaison de fonctions.

Fiches de cours analyse 4 ème Sciences expérimentales. Limites et continuité. Limites et comparaison de fonctions. Fiches de cours nlyse 4 ème Sciences epérimentles Limites et continuité Limites et comprison de fonctions. L et L ' sont des réels. désigne soit un réel, soit +, soit Premier théorème de comprison Soit

Plus en détail

Cours d harmonisation en mathématiques. Bérangère Delourme-Jose Gomez

Cours d harmonisation en mathématiques. Bérangère Delourme-Jose Gomez Cours d hrmonistion en mthémtiques Bérngère Delourme-Jose Gomez septembre 206 2 Tble des mtières Trigonométrie et nombres complexes 7. Trigonométrie élémentire...............................................

Plus en détail

Théorie élémentaire de l intégration

Théorie élémentaire de l intégration Université Joseph Fourier, Grenoble Mths en Ligne Théorie élémentire de l intégrtion Jen-Pierre Demilly, Didier Piu et Bernrd Ycrt Ignorer l théorie de l intégrtion n jmis empêché personne de clculer des

Plus en détail

Continuité des fonctions numériques d une variable réelle

Continuité des fonctions numériques d une variable réelle Mths PCSI Cours Continuité des fonctions numériques d une vrible réelle Tble des mtières Générlités 2. Du vocbulire............................................ 2.2 Monotonie...............................................

Plus en détail

Techniques d analyse de circuits

Techniques d analyse de circuits Chpitre 3 Tehniques d nlyse de iruits Ce hpitre présente différentes méthodes d nlyse de iruits. Ces méthodes permettent de simplifier l nlyse de iruits ontennt plusieurs éléments. Bien qu on peut résoudre

Plus en détail

La photomodélisation architecturale

La photomodélisation architecturale Livio De Lu Préfe de Lu Roert L photomodélistion rhiteturle Relevé, modélistion, représenttion d édifies à prtir de photogrphies Groupe Eyrolles, 2009 ISBN : 978 2 212 12524 5 Chpitre 2 L prise de vue

Plus en détail

THEOREMES D ANALYSE. P. Pansu 12 avril 2005

THEOREMES D ANALYSE. P. Pansu 12 avril 2005 THEOREMES D ANALYSE P. Pnsu 12 vril 2005 1 Vleurs intermédiires 1.1 Le théorème des vleurs intermédiires Théorème 1 Soit [, b] un intervlle fermé borné. Soit f : [, b] R une fonction continue. On suppose

Plus en détail

Epreuve de mathématiques CLASSE :...

Epreuve de mathématiques CLASSE :... Epreuve de mthémtiques Seonde NOM: PRENOM:.. CLASSE :... L lrté des risonnements et l qulité de l rédtion interviendront pour une prt importnte dns l'ppréition des opies. L'usge de l lultrie est utorisé.

Plus en détail

COURS TERMINALE S LE CALCUL INTEGRAL

COURS TERMINALE S LE CALCUL INTEGRAL COURS TERMINALE S LE CALCUL INTEGRAL A. Notion d'intégrle. Aire sous l coure On définit le domine pln, qu'on ppeller ire sous l coure C représenttive d'une fonction positive f sur un intervlle [; ], l

Plus en détail

Chapitre IV Equation d Euler-Lagrange

Chapitre IV Equation d Euler-Lagrange 26 hpitre IV Eqution d Euler-Lgrnge On s intéresse dns cette prtie ux problèmes de l forme suivnte : Sur l ensemble des fonctions y 1 ([,b]) (muni de l norme 1 ) telles que y() = A et y(b) = B, trouver

Plus en détail

Introduction au CALCUL INTEGRAL. Jean SCHMETS

Introduction au CALCUL INTEGRAL. Jean SCHMETS UNIVERSITE DE LIEGE Fculté des Sciences Déprtement de Mthémtique Introduction u CALCUL INTEGRAL Notes du cours destiné ux premiers bcheliers en sciences mthémtiques ou en sciences physiques Jen SCHMETS

Plus en détail

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE (COURS)

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE (COURS) Équtions différentielles du ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE (COURS) TI-Nspire CAS 1. Objectifs Découvrir les équtions différentielles du premier ordre. Résoudre à l min et à l ide de l clcultrice

Plus en détail

L intégrale pour présenter quelques fonctions usuelles Dans AlmaSoror

L intégrale pour présenter quelques fonctions usuelles Dans AlmaSoror L intégrle pour présenter quelques fonctions usuelles Dns AlmSoror Lurent Moonens Aspirnt u F.N.R.S. (Belgique) moonens@mth.ucl.c.be Le 2 vril 27 Pour ce numéro vril, je propose u lecteurs e l pge scientifique

Plus en détail

Corrigé du TD 3 : Limites

Corrigé du TD 3 : Limites Corrigé du TD 3 : Limites Eercice : Fonction réciproque. Cs f() = + L fonction f est définie sur R et à vleurs dns I = [,+ [. Elle est pire donc en prticulier pour tout réel, on f( ) = f() et en prticulier

Plus en détail

I. Fonctions

I. Fonctions FORMULAIRE MATHÉMATIQUES - RENTRÉE 205 - PRÉPA ECS PREMIÈRE ANNÉE Tble des mtières I. Fonctions - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4. Générlités sur les fonctions...................

Plus en détail

Outils Mathématiques 3

Outils Mathématiques 3 Université de Rennes1 Année 2010/2011 Outils Mthémtiques 3 Chpitre 4: Intégrtion curviligne résumé 1 Courbes prmétrées Définition 1.1 Une courbe plne est un ensemble de couples (f(t), g(t)) où f et g sont

Plus en détail

Exercices sur le calcul algébrique. Petits problèmes

Exercices sur le calcul algébrique. Petits problèmes Exercices sur le clcul lgébrique Les exercices ou questions précédés d un stérisque pourront être trités vec profit à l ide d un logiciel de clcul formel, tel que Xcs, qui ser vu en Trvux Prtiques, ou

Plus en détail