CHAPITRE V- Mouvement des solides en rotation

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1 SMMAIRE CHAPITRE V- Muvement des slides en tatin INTRDUCTIN V.1- CINEMATIQUE DE RTATIN V.1.1- CINEMATIQUE DE RTATIN DU PINT MATERIEL V.1.- CINEMATIQUE DE RTATIN DU SLIDE a/ Les pints du slide b/ Le slide V.- DYNAMIQUE DE RTATIN V..1- DYNAMIQUE DE RTATIN DU PINT MATERIEL V Mment de fce a/ Mment de fce pa appt à un pint fixe b/ Mment de fce pa appt à un axe () V..1.- Mment cinétique a/ Définitins du mment cinétique pa appt à un pint, pa appt à un axe b/ Théèmes du mment cinétique pa appt à un pint, pa appt à un axe V..- DYNAMIQUE DE RTATIN DU SLIDE V...1- Définitin du cente de masse d un slide V...- Définitin du mment d inetie d un slide V...3- Mment cinétique a/ Mment cinétique du slide (Σ) pa appt à un pint fixe appatenant à (). b/ Mment cinétique du slide (Σ) pa appt à l axe de tatin () : c/ Théème du mment cinétique pa appt à un pint, pa appt à un axe : V.3- SLIDE EN MUVEMENT DE TRANSLATIN ET DE RTATIN V.3.1- Slide en tanslatin pue V.3.- Slide en tatin pue autu d un axe passant pa V.3.3- Slide en tanslatin et tatin autu d un axe passant pa A (aute que ). V.4- CNDITIN D EQUILIBRE D UN SLIDE P. D. THABET-KHIREDDINE - 015/016 91

2 V- Muvement des cps en tatin INTRDUCTIN Dans les chapites pécédents nus avins étudié la mécanique du pint matéiel, c est-à-die un cps sans dimensin. n ne puvait envisage qu un muvement de tanslatin ectiligne u cuviligne d une manièe généale du pint matéiel. Le muvement de tatin autu d un axe passant pa ce pint n a pas de sens. Dans ce chapite, nus allns étudie la mécanique des cps slides indéfmables en tatin. n cnsidéea paticulièement les tatins autu d un axe fixe passant pa un pint du slide et ce pa appt à un epèe galiléen. Le cps slide indéfmable en tatin autu d un axe fixe peut ête cnsidéé cmme un ensemble de pints matéiels (u plus exactement d éléments infinitésimaux de masse dm) décivant des cecles de ayns difféents autu de l axe. L étude cinématique, dynamique et énegétique éalisée su le pint matéiel peut à nuveau ête cnsidéée et les gandeus définies punt ête btenues pa smmatin (u intégatin) dans le cas du slide en tatin. V.1- CINEMATIQUE DE RTATIN V.1.1- CINEMATIQUE DE RTATIN DU PINT MATERIEL Dans le chapite II.9, page 33, nus avins abdé l étude cinématique du muvement de tatin ciculaie du pint matéiel et défini un cetain nmbe de gandeus cinématiques. Cnsidéns un pint matéiel M décivant un cecle de cente et de ayn R. P. D. THABET-KHIREDDINE - 015/016 9

3 *L ac AM epésente l abscisse cuviligne de M : s(m) = s( θ ) = Rθ. *Le vecteu vitesse linéaie v est tangent à la tajectie. *Le mdule du vecteu vitesse est : ds v = = Rθ ɺ *La vitesse angulaie du pint M autu de est : dθ ω = = θ ɺ. *Le vecteu vitesse angulaie ω est pté pa l axe pependiculaie au plan de tatin du pint matéiel et sn sens est dnné pa la «ègle du tunevis» : ω = θɺ k. *La elatin vectielle eliant le vecteu vitesse linéaie v et le vecteu vitesse angulaie ω est : v = ω M. *L accéléatin linéaie du pint M est : γ = ωɺ M + ω v. dω d θ * Le vecteu accéléatin angulaie est : α = = ω ɺ = k = ɺɺ θk. dv drθ dθ *L accéléatin tangentielle est : γ T = = ɺ = R ɺɺ = Rα v (R θ) *L accéléatin nmale (u accéléatin centipète) est : γ N = = ɺ = Rω. R R Dans le cas du muvement ciculaie unifmément vaié, n peut établi des elatins analgues au cas du muvement ectiligne unifmément vaié : 1/ Equatin haie du muvement de M dans le cas d un muvement ciculaie unifmément vaié (accéléatin angulaie α cnstante) avec pu cnditin initiale : à t = 0, d θ dθ dω α = = ɺ = ω =αt +ω dθ 1 ω = = α t + ω θ(t) = αt +ωt +θ θ = θ et ω = ω. / Relatin ente θ, ω et α : ω ω ( ω ω ) ω ω ω + ω ωω ω ω t = θ = α + ω + θ θ θ = + ω α α α α α 1 1 ω -ω = α(θ -θ ) P. D. THABET-KHIREDDINE - 015/016 93

4 Cnclusin : Cespndances ente les gandeus linéaies et les gandeus angulaies : Muvement ectiligne unifmément vaié unité Muvement ciculaie unifmément vaié unité Psitin : x m Psitin : θ d Vitesse linéaie : dx v = m/s Vitesse angulaie : dθ ω = d/s Accéléatin linéaie : dv d x Accéléatin angulaie : dω d θ α = = d/s v(t) = γ t + v m/s ω (t) = α t + ω d/s 1 = γ + + m x(t) t vt x v v = γ(x x ) - 1 θ (t) = α t + ω t + θ d ω ω = α( θ θ ) - V.1.- CINEMATIQUE DE RTATIN DU SLIDE Cnsidéns, dans un epèe galiléen, un slide indéfmable quelcnque (Σ) en tatin autu d un axe fixe ( ). n pale als de tatin pue. pa : v a/ Les pints du slide : * Tus les pints du slide tunent avec la même vitesse angulaie ω autu de cet axe. * Ils nt tus des tajecties ciculaies centées su l axe, mais de ayns difféents. Ces tajecties snt tutes pependiculaies à l axe de tatin ( ). En cnséquence, tut ce qui a été établi pécédemment pu un pint matéiel est valable pu un pint quelcnque du slide : - le vecteu vitesse angulaie ω, cmmun à tus les pints du slide, est pté pa l axe ( ) : ω = θu ɺ ( ) avec ( ) le vecteu unitaie de l axe ( ). u - la vitesse linéaie de chaque pint du slide est dnnée = ω ù est la distance du pint M du slide à l axe ( ) (le ayn de sa tajectie u ayn giatie). Cette vitesse est difféente d un pint à l aute et elle est d autant plus gande que l n s éligne de l axe. P. D. THABET-KHIREDDINE - 015/016 94

5 b/ Le slide : - sa psitin est epéée pa l angle θ (c est l angle de tatin de l un de ses pints). - sa vitesse angulaie est celle de l ensemble de ses pints dnc, c est le vecteu vitesse angulaie ω. Il en est de même pu sn accéléatin angulaie α. - le muvement d un cps slide en tatin unifmément vaiée autu d un axe fixe véifie les elatins établies ci-dessus : V.- DYNAMIQUE DE RTATIN ω (t) = α t + ω 1 θ (t) = α t + ω t + θ ω ω = α( θ θ ) V..1- DYNAMIQUE DE RTATIN DU PINT MATERIEL V Mment de fce a/ Mment de fce pa appt à un pint fixe Sit F une fce appliquée à un pint matéiel M. Le mment de la fce F pa appt à un pint quelcnque est : M (F) = M F. Ce mment est pependiculaie au plan fmé pa M et F. Sn mdule est : (F) = M F sin(m,f) = M F d. d est appelé «bas de levie». b/ Mment de fce pa appt à un axe () Le mment de la fce F, appliquée au pint matéiel M, pa appt à un axe () de vecteu unitaie, est dnné pa la quantité algébique epésentant sa pjectin su () : u = ( t M (F) = M (F).u M F).u. P. D. THABET-KHIREDDINE - 015/016 95

6 Remaque : Pa exemple, dans un epèe cylindique (u, u, k) ρ θ, psns u = k ( étant l axe z) et expimns M et F : M = ρ uρ + zk M (F) = M F = zfθ u ρ + (zfρ ρ F z)uθ + ρfθ k F = Fρ uρ + Fθ uθ + Fz k M (F) = M (F).k = ρf θ Le mment de F pa appt à l axe (z), qui est égale à ρ F θ, epésente la capacité de la fce F à faie tune le pint M autu de cet axe. F θ est tangent au cecle décit pa le pint M. C est la seule cmpsante qui effectue un tavail dans le muvement de tatin. Remaque : en généal, en cdnnées cylindiques, n utilise au lieu de ρ pu signifie la cmpsante adiale et la base est als : (u, u, k). C est ce qu n adptea pa la suite. θ V..1.- Mment cinétique a/ Définitins du mment cinétique pa appt à un pint, pa appt à un axe *Le mment cinétique pa appt à un pint fixe, nté L, d un pint matéiel M de masse m animé d une vitesse v est le mment pa appt à du vecteu quantité de muvement p = mv : L = M p *Le mment cinétique L pa appt à un axe () de vecteu unitaie u, d un pint matéiel, est égal à la pjectin su () du mment cinétique L, le pint étant un pint fixe de () : L = L.u P. D. THABET-KHIREDDINE - 015/016 96

7 Cmme nus l avns fait pécédemment, expimns M et v dans une base cylindique (u,u,k) avec u = k ( étant l axe z) : M = u + zk L = M mv = mzvθuρ + m(zv v z)uθ + mvθk v = vu + vθuθ + vzk L = L.k = mv = m θ ɺ = m θɺ θ Remaque : Cmme dans le cas du mment d une fce, c est la cmpsante thadiale v θ de v qui intevient dans l expessin du mment cinétique pa appt à l axe (). θ b/ Théèmes du mment cinétique pa appt à un pint, pa appt à un axe : «Dans un epèe galiléen, la déivée pa appt au temps du mment cinétique en un pint fixe est égale au mment des fces éieues appliquées au pint matéiel» : dl = M (F ) Dans le cas d un muvement de tatin du pint matéiel autu d un axe (), ce théème s énnce : «Dans un epèe galiléen, la déivée pa appt au temps du mment cinétique pa appt à un axe () fixe, est égale au mment des fces éieues pa appt à l axe ()» : dl = M (F ) (Cette elatin est simplement btenue en multipliant scalaiement la elatin pécédente pa u ). V..- DYNAMIQUE DE RTATIN DU SLIDE n va cmmence pa défini quelques gandeus caactéistiques du slide. V...1- Définitin du cente de masse d un slide Un cps slide ( Σ ) est caactéisé pa sn cente de masse u cente d inetie. Sit un pint fixe quelcnque dans un epèe galiléen. Le cente de masse est défini pa sn vecteu psitin qui est tel que : Mdm ( Σ) = dm ( Σ) 1, sit = m ( Σ ) Mdm P. D. THABET-KHIREDDINE - 015/016 97

8 ù : - M est un pint du slide affecté de l élément de masse dm, - m epésente la masse ttale du slide. Si l n chisit à la place de, le cente de masse sea tel que : Mdm = 0 ( Σ) Remaques : 1/ n cnfnda le cente de masse (u d inetie) avec le cente de gavité en suppsant le champ de gavité g unifme. / Pu le calcul de l intégale ( Σ), tis cas peuvent se pésente : la distibutin massique du slide peut ête : Vlumique (slide de vlume V):. dm = ρ dv, ρest la densité vlumique (kg/m 3 ) : m = dm = ρdv Sufacique (slide de suface S): dm = σ ds, σ est la densité sufacique (kg/m ) : Linéique (slide de lngueu L) : dm = λdl, λ est la densité linéique (kg/m) : ( Σ) (V). m = dm = σds ( Σ) (S) l. m = dm = λd ( Σ) (L) V...- Définitin du mment d inetie d un slide Un cps slide (Σ) en tatin autu d un axe ( ) se caactéise également pa sn mment d inetie, nté I. Cette gandeu epésente l inetie du cps slide dans sn muvement de tatin (pa analgie avec une masse dans un muvement de tanslatin). Pu évalue l inetie d un cps en tatin, l inetie de sa masse seule ne suffit pas ; il faut en plus cnsidée la épatitin spatiale de cette masse pa appt à sn axe de tatin. C est ce que taduit le mment d inetie qui dépend dnc de la fme du slide. Mathématiquement, le mment d inetie est dnné pa la elatin : I = ù epésente la dm ( Σ) distance de l élément de masse dm à l axe. Dans le cas le plus simple d une seule paticule de masse m, située à la distance d un axe fixe, sn mment d inetie est : I = m. Le tableau suivant dnne les mments d inetie leus axes de symétie passant pa leus centes de masse espectifs : I de quelques slides usuels hmgènes pa appt à P. D. THABET-KHIREDDINE - 015/016 98

9 Cylinde plein Sphèe ceuse Sphèe pleine Tige mince de de ayn R de ayn R de ayn R lngueu L I = 1 mr I = mr 3 I = mr 5 I = 1 ml 1 Théème d Huygens : Si l axe () ne passe pas pa le cente de masse du slide (Σ), n utilise le théème d Huygens pu le calcul du mment d inetie pa appt à cet axe : «Le mment d inetie I d un slide pa appt à un axe () est égale au mment d inetie du slide pa appt à un axe ( ) passant pa et paallèle à ( ), augmenté du pduit de la masse du slide pa la distance au caé ente les deux dites» : I = I + md Exemples de calcul : 1/ Calcul du mment d inetie d une tige hmgène de masse m, de lngueu L et de masse linéique λ, pa appt à un axe ( ) passant pa sn cente de masse. L L / L / 3 3 x 1 L 1 1 I = dm x dx x dx ( L)L = ( Σ) λ = λ = λ = λ = λ I = ml / Calcul du mment d inetie d une tige hmgène de masse m, de lngueu L et de masse linéique λ, pa appt à un axe () passant pa l une de ses émités. 1 L = + = + = 1 I I md ml m 1 ml 3 P. D. THABET-KHIREDDINE - 015/016 99

10 V...3- Mment cinétique d un slide indéfmable Sit un slide (Σ) en tatin autu d un axe fixe () de vecteu unitaie u avec une vitesse angulaie ω = ωu. Tut pint M affectée de la masse élémentaie dm à la distance de l axe décit un cecle, le vecteu vitesse v(m) lui étant tangent. a/ Mment cinétique du slide (Σ) pa appt à un pint fixe appatenant à (). *Le mment cinétique élémentaie pa appt à un pint fixe de () d un élément de masse dm est : dl = M vdm. *Le mment cinétique du slide (Σ) pa appt à est : L = dl = M vdm. ( Σ) ( Σ) Dans le cas généal, L n est pas paallèle à ω, c est-à-die n est pas pté pa l axe (). Cnsidéns les tis cas suivants : 1 e CAS : Le cas simple d un seul pint matéiel tunant autu d un axe () avec une vitesse angulaie ω. P. D. THABET-KHIREDDINE - 015/

11 n a v = ω HM = ω (M H) = ω M avec ω H = 0 ca Le mment cinétique est : L = M mv = mm ( ω M). Expimns M dans un epèe cylindique (u, u θ, k) : M = u + zk. ω M = ωk (u + zk) = ωu θ L = mm ( ω M) = m(u + zk) ω uθ = m ωk mzωu L = m ω mzωu ω// H. Le mment d inetie d un pint matéiel de masse m en tatin autu d un axe fixe () est : I = m. D ù : L = Iω - mzωu. L se décmpse en une cmpsante paallèle à () et une cmpsante pependiculaie à (). ème CAS : Le mment cinétique d une tige de masse négligeable avec deux masses m fixées à ses émités qui tune autu d un axe fixe () passant pa sn milieu H. Dans ce cas, le système pésente une symétie matéielle pa appt à : en effet, les deux masses en M et M snt symétiques pa appt à H et décivent un cecle de cente H avec une vitesse angulaie ω ptée pa (). Cmme pécédemment, n a : L (M) = m ω mzωu. Et cmme v(m') = v(m), als : L (M ') = m ω + mzωu P. D. THABET-KHIREDDINE - 015/

12 L (M) et L (M ') snt deux vecteus symétiques pa appt à l axe (). Leu smme est dnc le vecteu L pté pa () : Le mment cinétique ttal est dnc : L L (M) L (M ') m = + = ω Le mment d inetie du système est : I D ù : = m L = I ω Dans ce cas, le mment cinétique du système des deux masses est paallèle à l axe de tatin. 3 ème CAS : Le mment cinétique d un cylinde plein et hmgène pa appt à un pint appatenant à sn axe de symétie () et tunant autu de cet axe avec la vitesse angulaie ω. Mment cinétique élémentaie pa appt à en M : dl (M) = M v(m)dm. Pa aisn de symétie, M a un symétique M pa appt à : dl (M ') = M ' v(m ')dm avec v(m ') = v(m). La cntibutin de deux éléments dm symétique pu le mment cinétique est : dl (M) + dl (M ') = (M M ') v(m)dm = M ' M v(m)dm = HM v(m)dm. Le mment cinétique ttal est : L = HM vdm = HM vdm = HM ( ω HM)dm ( Σ / ) ( Σ) ( Σ) P. D. THABET-KHIREDDINE - 015/016 10

13 Le duble pduit vectiel est tel que : a (b c) = b(a.c) - c(a.b), Sit : HM ( ω HM) = ωhm HM(HM. ω ) = ωhm ca : HM. ω = 0 (HM ω ). Finalement : L = ω HM dm = ω HM dm = ω dm ( Σ) ( Σ) L ( Σ) = HM étant la distance de l élément dm à l axe de tatin () du cylinde. = I ω CNCLUSIN : Le mment cinétique du slide ( Σ ) pa appt à un pint fixe L = M vdm s écit sus la fme L = I ω, avec appatenant à (), que dans le cas paticulie ù l axe () est sit un axe de symétie matéiel du slide, sit il est pependiculaie à un plan de symétie matéiel du slide. ( Σ) b/ Mment cinétique du slide (Σ) pa appt à l axe de tatin () : L = L.u = u.(m v)dm (Σ) Dévelppement de cette elatin : Tut pint M du slide situé à la distance de l axe à une vitesse v : v = ω M = ωu M. P. D. THABET-KHIREDDINE - 015/

14 Pa pemutatin ciculaie du pduit mixte, n a : u.(m v) = v.(u M) = ω(u M) D aute pat : Finalement : La quantité dm ( Σ) (u M) = M sin α = = = ω L u.(m v)dm dm ( Σ) ( Σ) n est aute que le mment d inetie I du slide pa appt à l axe (). Et l n a la elatin imptante ente le mment cinétique L et la vitesse angulaie ω : L = I ω c/ Théème du mment cinétique pa appt à un pint, pa appt à un axe : «Dans un epèe galiléen, la déivée pa appt au temps du mment cinétique en un pint fixe est égale au mment des fces éieues appliquées au slide» : dl = M (F ) Dans le cas d un muvement de tatin du slide autu d un axe () fixe, ce théème s énnce : «Dans un epèe galiléen, la déivée pa appt au temps du mment cinétique pa appt à un axe () fixe, est égale au mment des fces éieues pa appt à l axe ()» : Puisque L Remaques : dl = M (F ) dl dω = Iω, n a : = I = I α = M (F ) M (F ) = I α 1/ Pu les cps slides pésentant un axe de symétie matéielle, n a démnté la elatin vectielle suivante : L = I ω. Dans ce cas, le théème du mment cinétique s écit : dl dω = I = Iα = M (F ) / Cette denièe elatin mnte une analgie avec le Pincipe Fndamental de la Dynamique en tanslatin : F = mγ : P. D. THABET-KHIREDDINE - 015/

15 Muvement de tanslatin Muvement de tatin F M (F ) Fce (N) Mment de fce (N.m) m I Masse inetielle (kg) Mment d inetie (kg.m ) γ α Accéléatin linéaie (m/s ) Accéléatin angulaie (d/s ) La elatin M (F ) = Iα peut ête cnsidéée cmme le Pincipe Fndamental de la Dynamique pu les cps en tatin autu d un axe fixe (). V.3- SLIDE EN MUVEMENT DE TRANSLATIN ET DE RTATIN V.3.1- SLIDE EN TRANSLATIN PURE * Aspect dynamique : La quantité de muvement d un slide (Σ) est : p vdm dm d Sit : p = dm = Mdm ( Σ) ( Σ) La quantité Mdm est pa définitin le cente de masse égale à m. ( Σ) d d Dnc : p = (m) m mv = =, ù v est la vitesse du cente de masse. D ù la elatin : dp d p = mv et n en déduit : = (mv ) = m γ = F = ( Σ) F = mγ la ésultante des fces est appliquée au cente de gavité, à l insta du pids. Le PFD s écit als : F = mγ M (F ) = 0 *Aspect énegétique : Tus les pints du slide se déplace à la même vitesse v, y cmpis le cente de masse. Dnc, l énegie cinétique du slide en tanslatin pue est : 1 E c = mv P. D. THABET-KHIREDDINE - 015/

16 V.3.- SLIDE EN RTATIN PURE AUTUR D UN AXE PASSANT PAR *Aspect dynamique : Le PFD s écit : F = mγ = 0 (l'axe de tatin passant pa implique que est un pint fixe) M (F (I étant le mment d'inetie pa appt à un axe passant pa ) ) = I α *Aspect énegétique : Un élément de masse dm du slide (Σ) a une vitesse v qui vaie seln sa psitin et une vitesse angulaie ω cnstante, identique pu tus les pints. Sn énegie cinétique élémentaie est : ( ( Σ) ) dec = dm.v = dm.( ω ) = dm. ω Ec = dm ω E c = Iω. V.3.3- SLIDE EN TRANSLATIN ET RTATIN AUTUR D UN AXE PASSANT PAR A (AUTRE QUE ). *Aspect dynamique : Le PFD s écit : F = mγ (l'axe de tatin passant pa A fixe implique que n'est pas un pint fixe) M (F (I étant le mment d'inetie pa appt à un axe A A passant pa A) A ) = I α A *Aspect énegétique : L énegie cinétique ttale est : Récapitulatif : 1 1 E c = mv + I ω Tableau de cespndance ente un muvement linéaie et un muvement de tatin pue autu d un axe fixe () : Paamètes Muvement de tanslatin Muvement de tatin Pincipe Fndamental de la Dynamique Quantité de muvement / Mment cinétique Enegie cinétique F = mγ E p = mv c 1 = mv M (F ) = Iα E L c = I ω 1 = I ω P. D. THABET-KHIREDDINE - 015/

17 V.4- CNDITIN D EQUILIBRE D UN SLIDE Pu qu un slide sit en équilibe statique, il faut que l n ait simultanément : F = 0 M (F ) = 0 Exemple d applicatin des cnditins d équilibe statique d un slide susceptible d avi un muvement de tatin : Une bae hmgène A de pids P, de cente de gavité peut tune autu d un clu fixé en. L émité A de la bae est attaché à un fil inensible sans masse qui passe pa une pulie et à sn émité de laquelle est accché un pids P. n négligea tut fttement. Détemine la elatin ente α et β à l équilibe. Le fil est inensible et sans masse : P' = T1 = T = T ' = T La tige est sumise aux fces suivantes : *Sn pids P = mg appliqué au cente de gavité. *La tensin du fil T. *La éactin du clu R su la bae. Pu les cps en tatin, la li fndamentale de la Dynamique seule ne suffit pas pu décie le système. F = 0 La bae est en équilibe lsque : M(F ) = 0 P. D. THABET-KHIREDDINE - 015/

18 P + T + R = 0 P + T + R = 0 C est-à-die : M(P) + M(T) + M(R) = 0 P + A T = 0 Cmpsantes des difféents vecteus su x et y (pjectins su x et y) : L cs 0 Tcs R α β x Lcsα P T R A P Tsinβ R y L Lsin α sin α D ù le système de tis équatins pemettant de détemine une elatin ente α et β à l équilibe : T csβ + R x = 0 (1) P + Tsin β + R y = 0 () PL cs α + TLcs α sin β + TLsin α cs β = 0 (3) (1) R x = T csβ < 0 () R y = P Tsinβ En divisant la elatin (3) pa TLcsαcsβ, avec T = P' n btient : P P (3) + tgβ + tgα = 0 tgα = - tgβ P'csβ P'csβ P. D. THABET-KHIREDDINE - 015/