Rappels et compléments sur l intégrale de Riemann

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1 Chpitre Rppels et compléments sur l intégrle de Riemnn Commençons pr un rppel. Théorème.. (Théorème fondmentl du clcul intégrl) Soit f :[, b]! R une fonction continue. Pour tout x 2 [, b], posons F (x) x f(t)dt. L fonction F est définie sur [, b], elle est dérivble et F (x) f(x). En d utres termes, si F est une primitive d une fonction continue f lors R f(x) F ( ) F ( ). On pr l reltion de Chsles, F (x + h) F (x) R x+h R x f(t)dt f(t)dt R x+h f(t)dt. x Pr l formule de l moyenne (cf TD ), il existe t h 2 [x, x + h] telque R x+h f(t)dt hf(t x h ). Fisons tendre h vers. Alors t h! x et pr continuité de f, f(t h )! f(x). Donc lim h! (F (x+h) F (x))/h f(x). L fonction F est dérivble en x, etf (x) f(x). Nous énonçons mintennt des propriétés très utiles pour l mjortion et le clcul e ectif d intégrles (et de primitives en remplçnt le b en hut de l intégrle pr une vrible).. Inéglité de Cuchy-Schwrz Théorème.. Si f et g sont continues sur [, b] lors f g! 2 pple!! b f 2 g 2 vec églité si f et g sont proportionnelles. L preuve est toujours l même. 8t 2 R, x7! (f(x)+tg(x)) 2 est continue, positive et pr linérité et croissnce de l intégrle de Riemnn, (f + tg)(x)) 2 f 2 +2tfg + t 2 g 2 f 2 +2t fg + t 2 g 2 Si g le résultt nnoncé est évident. 2

2 Anlyse Mth4 Université de Bourgogne Si g 6 lors, comme g est continue, R g 2 >. Pr conséquent, le polynôme de degré 2 en t, P (t) f 2 +2t fg + t 2 g 2 vérifie pr construction P (t) pour tout t et son discriminnt pple vec 4 2 fg 4 f 2 g 2 pple d où le résultt. Enfin, en cs d églité (discriminnt nul), on pour un certin t 2 R (rcine double) f(x)+t g(x) pour tout x 2 [, b]. Les deux fonctions f et g sont proportionnelles. Exemple d utilistion Soit f une fonction continue et positive sur [, ]. Remrque p 2 f(x) pple f(x). On peut observer que cette inéglité est ssociée u produit sclire (dns l espce des fonctions intégrbles) hf,gi R fg..2 Intégrtion pr prties Cette technique est utile lorsqu on peut écrire l fonction à intégrer comme le produit de 2 fonctions, dont on connit une primitive pour l une des 2. Théorème.2. Si f et g sont 2 fonctions continûment dérivbles sur un intervlle [, b] lors fg [fg] b gf Posons h : fg. L fonction h est dérivble et de dérivée continue, h f g + fg, on donc d près le théorème fondmentl ( rppeler) et l linérité de l intégrle ce qui termine l preuve. [h] b h fg + f g Voici quelques exemples d utilistion de l intégrtion pr prties. Clcul de R 2 ln(x) Posons f(x) ln(x) etg (x). On lors 2 ln(x) [xln(x)] 2 2ln(2) 2

3 Anlyse Mth4 Université de Bourgogne Clcul de R xex Posons f(x) x et g (x) e x. On connit une primitive de g,g(x) e x et on donc xe x [xe x ] e x e (e ) Cette méthode se générlise directement ux clculs d intégrles de l forme P (x)e x où P (x) est un polynôme en x. Il fut e ectuer des intégrtions pr prties successives de fçon à fire diminuer le degré du polynôme (en le dérivnt, f(x) P (x)). Cette technique s pplique églement lorsque l exponentielle est remplcée pr des fonctions trigonométriques cos, sin où des fonctions hyperboliques (sinh(x) (e x e x )/2 et cosh(x) (e x +e x )/2) Clcul de R x2 cos(x) On pose f(x) x 2 et g (x) cos(x) et on obtient x 2 cos(x) x 2 sin(x) 2x sin(x) 2 [x.( cos(x))] ( cos(x)) 2. Clcul de R rctn(x) On se rppelle que l fonction rctn est dérivble sur R et que s dérivée vut rctn(x) ( + x 2 ). En posnt f(x) rctn(x) etg (x), on obtient rctn(x) [x rctn(x)] x +x 2 On sit que pour toute fonction strictement positive u(x), l fonction composée ln(u(x)) est dérivble, de dérivée ln(u(x)) u (x)/u(x) (règle de dérivtion d une fonction composée). Et d une mnière plus générle, pour toute fonction continue non nulle en x, (ln( u(x) )) u /u. En remrqunt que l fonction h(x) x( + x 2 ) s écrit, à un fcteur multiplictif près, comme le rpport de l fonction x 7! +x 2 et de s dérivée, on en déduit.3 Chngement de vribles pple 2x 2 +x 2 2 ln( + x2 ) Un théorème importnt que vous reverrez pr l suite. Théorème.3. Soient ' une fonction continûment dérivble sur un intervlle I et à vleurs dns un intervlle J et f est une fonction continue sur J. Si et b sont deux points de I lors f('(t))' (t)dt '(b) '() f(x)

4 Anlyse Mth4 Université de Bourgogne Soit F une primitive de f sur J. Soit G : F ' (fonction dérivble de I dns J). S dérivée est Le théorème fondmentl nous dit lors G ' (F ')' (f ') d où le résultt. F ('()) F ('(b)) G() G(b) G (t)dt f '(t) ' (t)dt, Remrquons qu ici il n est ps nécessire de supposer que l fonction ' est bijective sur son support. Souvent on veut poser x '(t) et il est lors délict de trouver les bonnes bornes pour l intégrle de guche, suf dns le cs où ' est une bijection. On lors sous cette condition supplémentire et les conditions du théorème précédent d c f(x) ' ' (d) (c) f('(t))' (t) dt. En e et, ' : I! [c, d] etf :[c, d]!: R et I [' (c),' (d)] si ' est croissnte (et donc ' est ussi croissnte). Moyen mnémotechnique : on pose x : '(t) et on remplce x pr s vleur en fonction de t et pr ' (t)dt. Voici quelques exemples d utilistion du chngement de vrible pour le clcul d intégrles, d utres seront vus en TD. Cs d un chngement ne x t + On cherche 4 cos(3t + )dt cos(3t + )dt On utilise l formule du théorème de chngement de vrible de droite à guche. On pose x : '(t) 3t + pour obtenir x à l intérieur du cos. On lors ' (t) 3, soit 3dt soit encore dt /3. Pour t, on x et pour t 4, on x 3, donc 4 Cs d une intégrle du type R u (t)exp(u(t))dt 3 cos(3t + )dt cos(x) 3 sin(3) sin() 3 On pose lors f expet' u. Prenons l exemple de l intégrle R 4 cos(t)exp(sin(t))dt. On pose ' sin et on lors cos(t)exp(sin(t)) : ' (f ') et pr conséquent 4 cos(t)exp(sin(t))dt sin(4 ) sin() exp(x).

5 Anlyse Mth4 Université de Bourgogne Clcul de R u tn(t)dt, pour u 2] /2, /2[. Comme tn(t) sin(t) cos(t), et cos (t) sin(t), on peut poser '(t) cos(t) etf(x) /x. On obtient u u cos u tn(t)dt cos s ( sin(s))ds t dt ln(cos(u)) cos().4 Quelques techniques clssiques de clcul d intégrles Nous ne svons ps clculer exctement (vec des primitives qui sont des fonctions clssiques) l pluprt des intégrles. Il existe cependnt de nombreuses recettes ou règles pour choisir pr exemple les chngements de vrible les plus e cces. En voici quelques unes. Remrque : Il existe mintennt des logiciels de clcul formel tels que Mple qui svent mnipuler ces règles et clculer utomtiquement de mnière excte de nombreuses intégrles..4. Intégrtion de frctions rtionnelles pr décomposition en éléments simples On considère 2 polynômes P et Q et une fonction f définie pr f(x) :P (x)/q(x). L fonction f est continue sur tout intervlle de son ensemble de définition (R privé des rcines de Q). On suppose connue l décomposition en éléments simples de P/Q et on se rmène à l intégrtion d un polynôme plus des éléments de première espèce et de seconde espèce. Les éléments de première espèce (x ) k,k Ils ont pour primitive Si k : Si k 2: ln( x )+C x (x ) k ( k)(x ) k + C Les éléments de seconde espèce (x + b)/(x 2 + cx + d) k,k (vec c 2 4d<, ps de rcine réelle). Pr chngement de vrible u (x + )/ (soit x u ) vec x 2 + cx + d (x + ) on se rmène u clcul des intégrles du I k ( + u 2 ) k et J k udu ( + u 2 ) k Les I k se clculent pr récurrence tndis que J k se clcule pr chngement de vrible v u 2 (en distingunt R + et R ) J dv 2 ( + v) k 2 ln( + u2 )+C et pour k>, J k 2 ( k)(v + ) k + C

6 Anlyse Mth4 Université de Bourgogne Quelques exemples 2 x 2 2 x + + x 2 ln + x x + C. 2 x x du 2 +u 2 en posnt u x 2 2 [rctn u]4. vec le chngement de vrible u x 2. On considère mintennt l intégrle L décomposition en éléments simples x( + x 2 ) 2 f(x) x( + x 2 ) 2 x + bx + b +x 2 + cx + c ( + x 2 ) 2 vérifie, puis on obtient b c etb c, en écrivnt x( + x 2 ) 2 x bx + b +x 2 + cx + c ( + x 2 ) 2 et en identifint les termes. On donc x( + x 2 ) 2 x pple ln x x x 2 + x (x 2 + ) 2 2 ln(x2 + ) + 2 (x2 + )..4.2 Fonctions trigonométriques et hyperboliques Il fut linériser lorsqu on doit intégrer un produit ou une puissnce de fonctions trigonométriques ou hyperboliques. Clcul de R cos(3x)sin(2x) On utilise pour linériser les formules clssiques sur les produits (de fonctions trigonométriques ou hyperboliques). Ici sin cos b (sin( + b)+sin( 2 b)) On donc ici cos(3x)sin(2x) 2 pple (sin(5x)+sin( cos(5x) 5 + cos x x))

7 Anlyse Mth4 Université de Bourgogne Clcul de R sin4 (x) On e (sin x) 4 ix e ix 4 2i 6 ei4x 4e i2x +6e 4e i2x + e i4x (2 cos(4x) 8 cos(2x) + 6) 6 et donc sin 4 (x) pple 2sin(4x) 6 4 8sin(2x) 2 +6x Pour le clcul de frctions rtionnelles de fonctions trigonométriques, une méthode générle (ce n est ps forcément l plus rpide) consiste à poser t tn(x/2) (sur des intervlles ](2k ), (2k + ) [). On lors dt 2 + tn2 (x/2) soit 2 +t 2 dt et cos x t2 +t 2 et sin x 2t +t 2 On est donc rmené à clculer l intégrle d une frction rtionnelle polynômile. Il fut fire ttention ux intervlles de définition. Pr exemple, /2 cos x I 2sinx sin 3 x /3 en posnt t tn(x/2), (t vrie dns [ /6, /4]) on obtient que (tn( /6) / p 3 et tn( /4) ) I / p 3 ( t 2 )/( + t 2 ) 2dt 4t/( + t 2 ) (2t/( + t 2 )) 3 +t 2 Il est ensuite possible de clculer cette intégrle en utilisnt l décomposition en éléments simples des frctions rtionnelles. Le sujet est long et on ne le développer ps.