THEOREME DES RESIDUS ET CALCUL D INTEGRALES

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1 Unvrsté du Mn - Fculté ds Scncs tour ésdus THEOEME DES ESIDUS ET ALUL D INTEGALES I Défnton L coffcnt - du dévloppnt n sér d Lurnt d f n s ppll l résdu d f n On : s fu du S f st holoorph n c résdu st nul " Epls : f st l résdu d f n - / st l résdu d / n éro sn 5 st l résdu d sn n éro résdu d f n On pos u d où u u 5u 5 u u u 5 5, u u u u ' t s 5u II ésdu d un pôl d ordr d S st un pôl d ordr lors : s l - f n n n f d où / n f n n d 5 Il sufft lors d dérvr - fos t d fr tndr vrs pour obtnr près vor dvsé pr - S st un pôl d ordr lors : s l - f / Epls : - résdu d f n st un pôl d ordr donc : s d l / d III Théorè ds résdus 5 Sot un don D c à d un ouvrt conn lté pr l courb fré f st un foncton holoorph dns D suf n un nobr fn d ponts qu sont ds pôls où ds ponts ssntls solés f d st égl u produt pr d l so ds résdus n ss dvrs pôls t ponts ssntls ntérurs à

2 Unvrsté du Mn - Fculté ds Scncs tour ésdus fd fd fd " " " fd fd fd " " " fd fd f d s s s Epls : - d s pour tout courb d Jordn ntournt l orgn / d s - pour tout courb ntournt sns 5 ntourr t - ": "8 "9 - d pour un courb n ntournt n - n - d près l théorè d uchy-gourst d s pour tout courb ntournt - sns ntourr - d s s pour tout courb ntournt - t - IV Intégrls sur ds rcs d crcls Ls d Jordn rppl st un rc d crcl d cntr, d ryon t d ngl u cntr f st un foncton contnu sur S l f lors l fd / / S l f lors l fd / / S st un pôl spl d f lors : l fd s n n / n = = f, d = d= D où d d = n n n n = n d d = ' / ' /, n Sot f un foncton contnu dns l d-pln supérur suf n un nobr fn d ponts sngulrs t l dcrcl du d-pln supérur d cntr O t d ryon S t f / lors? t >, / fd / / = t tcos sn t sn = = = d où? >, D > : > B f A d où c t A t t sn = fd f d A d= / / t sn = t - A t / t= / t= / A d= 5 t t grphqunt on vérf qu s A = A / lors = / A sn= L ntégrl st joré pr un nobr rbtrrnt ptt qund tnd vrs l nfn donc ll tnd vrs éro d= - y= = /

3 Unvrsté du Mn - Fculté ds Scncs tour ésdus théorè sblbl vc t négtf t d-pln nférur Sot f un foncton contnu dns l d-pln guch suf n un nobr fn d ponts sngulrs t l d-crcl du d-pln guch d cntr O t d ryon S f / lors t? t >, / fd / / théorè sblbl vc t négtf t d-pln drot O V lcul d ntégrls défns V Intégrls d l for I fcos =,sn = d= Epl = d I 5 cos = On pos = = d où d d= d= t cos = Sot U E F l crcl d ryon unté prcouru dns l sns drct d d d I U U U 9, 55 ' - G H / I 9 Dns U f st holoorph suf n qu st un pôl d ordr, d où : I s 9 d d 5 s l g 5 5 d d 5 5 I 8 9 J 5 5 / 5 I 9 Méthod : S f st dérvbl n cos = t sn= lors: I fcos =,sn= d= / Kd U I s = pols dns U V Intégrls d l for I f d Epl : I d convrg cr d A d d A d Sot J où -, L t > 5 Ds pôls spls, suls,, / 5 / sont dns J G s s s H

4 Unvrsté du Mn - Fculté ds Scncs tour ésdus s /, J 5 /, / l ' l ' / ' ' / / / /, 5 ' d 5 / d 5 - d J / B / / d où / d t d Méthod : s f st holoorph dns l d-pln supérur suf n un nobr fn d ponts sngulrs non stués sur l rél, s J f / t s f d t f d sont convrgnts lors on pplqu l théorè ds résdus n / consdèrnt ls pôls d f stués dns l d-pln supérur t V Intégrls d l for E cos F L -, I f sn d > fd fd Epl : cos I d > cos convrg cr d A d - rctg - Sot J d J s -, L s 5 t 5 J f / B d / > d où / / cos sn cos J d d d d cos d où d Méthod : s f st holoorph dns l d-pln supérur suf n un nobr fn d ponts sngulrs non stués sur l rél, s f t s f d t f d sont convrgnts lors on pplqu l théorè ds résdus n / / consdérnt ls pôls d f stués dns l d-pln supérur t -, V Intégrls d l for I f d, M, NN L t t fd fd t> p Epl : I d p p Sot J d t - AB L L - FG L = - st un pôl spl stué sur l d- ds réls négtfs st un pont d brnchnt pour l foncton pussnc On coup l long du d- ds réls postfs J p d s p l / p p - A G r B F p p p p J d - d d - d AB FG

5 Unvrsté du Mn - Fculté ds Scncs tour ésdus p l / l / p cr p d où l fd / l / p / p l cr p / d où l fd p J d p p p d I p I p p p snp S p I d, s p I d p Méthod : s f st holoorph suf un nobr fn d ponts sngulrs non stués sur l d- ds réls postfs, s f / lors on pplqu l théorè ds résdus à / Q fd P - L L - L fd AB FG O fd V 5 Autr pl sn I d Sot J -, L" L -, L d l / " / d s l l d / d où 5 l d d /5 l 5 / / / cos cos sn d d d 5 sn d t sn d sn d " -