Maths 1 : DL et intégrales

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1 Polytech Pris-Sud PeiP1 2010/2011 Notes de cours Mths 1 : DL et intégrles Filippo SANTAMBROGIO Ce texte remplce et complète les chpitres 5, 6 et 10 du Poly officiel

2 Chpitre 1 Dérivées et développements ités Nous commençons ce chpitre en considérnt certines conséquences que le théorème des ccroissements finis en terme de dévéloppement des fonctions dérivbles. Nous vons déjà vu ses conséquences en terme de comportement croissnt, constnt etc. Une conséquence importnte du théorème des croissements finis est le fit qu on peut fire le développement suivnt : si f est une fonction dérivble en tout point d un intervlle A et x, x 0 A, lors on f(x) = f(x 0 ) + f (ξ)(x x 0 ), où ξ est un point de l intervlle ]x 0, x[ ou ]x, x 0 [ (ce qui dépende de x > x 0 ou x 0 > x). Celui-ci est un développement excte de l fonction f, qui est continue cr dérivble, et qui donne une idée de l écrt entre f(x) et f(x 0 ). Il s git en fit d un développement qui est un peu complémentire pr rpport u suivnt : f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + ε(x)(x x 0 ), (1.1) où ε(x) est une quntité qui tend vers 0 lors que x x 0 (en fit, si l on définit ε grâce à l réltion ci-dessus, qui en donne l vleur en tout point x x 0,et on rjoute ε(x 0 ) = 0, on peut dire qu on obtient une fonction continue). Ce dernier. développement est obtenible à prtir de l défintion de dérivée, cr si f(x) f(x 0 ) x x 0 f (x 0 ), on peut dire f(x) f(x 0 ) = f (x 0 ) + ε(x) x x 0 et près réconstruire le dévéloppement souhité. L quntité ε(x)(x x 0 ) est ussi souvent notée pr le symbol o(x x 0 ). Il est en fit commun d écrire o(g(x)) si g est une fonction qui converge à zéro lorsque x x 0 et lors dns ce cs là dire f(x) = o(g(x)) ou f est un petit o de g signifie f(x) x x 0 g(x) = 0. Ceci équivut, dns l nottion de tout à l heure, f(x) = ε(x)g(x). Typiquement on utilise l nottion du petit o vec des puissnces de x x 0. Pr exemple on peut dire que x 2 + x 4 est un petit o de x pour x 0, mis non ps qu elle est un petit o de x 2 (cr l ite du rtio n est ps nulle mis 1). Les deux dévéloppements ont des vntges et désvntges : le premier est excte, mis les termes qui sont connus (si l on connit le comportement de f en x 0, c est-à-dire f(x 0 ) et f (x 0 )) s rrêtent tout de suite et il n y que l prtie f(x 0 ) ; pr contre, le deuxième utilise une fonction ε dont on sit seulement qu elle converge vers zéro, mis il l vntge d rriver un peu plus loin vec les termes connus, cr il donne déjà une pproximtion vec une droite (l fonction x f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 )). Le but de ce genre de dévéloppement est en fit d pprocher une fonction utour d un point x 0 en connissnt les vleurs de f et de s dérivée. On verr dns les sections suivntes que on rriver à fire beucoup mieux en utilisnt ussi ses dérivées d ordre supérieur. 1.1 Dérivées d ordre supérieur Une question nturelle qu on se pose qund on une fonction f dérivble en tout point est celle de considérer l fonction x f (x) est se demnder : est-elle continue? est-elle dérivble? 2

3 Il est ssez nturel de se convincre que f n est ps forcement une fonction dérivble et l exemple le plus fcile est le suivnt : Exemple Considérons f(x) = x x, qui corréspond à deux prboles différentes, l une vec concvité en hut, l utre en bs, qui se joignent en 0 (cr f(x) = x 2 pour x 0 et f(x) = x 2 pour x 0). Il est fcile de clculer f (x) (et de vérifier qu elle existe) pour x 0, cr loclement l fonction coïncide vec une prbole connue. Concernnt 0, on peut clculer à l min l ite f x x 0 (0) = x 0 x 0 = x = 0 x 0 et finlement on obtient l expression générle f (x) = 2 x. Cette fonction n est ps dérivble en 0. Il est moins fcile de comprendre si f est forcement continue ou non. En fit il y ce résultt, dû à Drboux, qui montre que f une propriété typique des fonctions continues. Théorème (Drboux). Soit A un intervlle et f : A R une fonction dérivble en tout point : lors, si x 0, x 1 A, pour toute vleur l intermediire entre f (x 0 ) et f (x 1 ), il existe ξ entre x 0 et x 1 tel que f (ξ) = l. Démonstrtion. Pr prticité, on v supposer l = 0, x 0 < x 1 et f (x 0 ) < 0 < f (x 1 ). Ceci ne réduit ps l générlité du théorème, cr il suffit de remplcr f pr l fonction x f(x) lx et, le cs échent, de chnger de signe f ou de fire un chngement de vrible x = x. Considérons donc l fonction f sur l intervlle [x 0, x 1 ] : comme elle est dérivble, elle est continue ussi et, l intervlle étnt fermé et borné, elle dmet minimum sur cet intervlle. Soit ξ ce point de minimum : on montrer ξ x 0 et ξ x 1, ce qui entriner qu il s git d un point intérieur, et donc f (ξ) = 0, ce qui conclut l preuve. Pour montrer ξ x 0 il suffit de remrquer f (x 0 ) < 0, ce qui empêche u point x 0 d être un point de minimum sur l intervlle [x 0, x 1 ], cr il ne respecte ps l condition nécessire pour les points du bord. En fit, si l dérivée u point initil est négtive, le point n est ps un minimum cr juste à s droite on des vleurs plus petites. Preillement on ξ x 1. Une utre propriété typique des fonctions continues qui est stisfite pr l dérivée est l suivnte. Théorème Soit A un intervlle et f : A R une fonction dérivble sur A \ {x 0 }. Supposons f (x) = l R. x x 0 Alors f (x 0 ) existe et est égle à l. En prticulier, si f est déjà dérivble prtout en A et x x0 f (x) existe lors f est continue u point x 0. Démonstrtion. On veut démontrer f(x) f(x 0 ) = l. x x 0 x x 0 Pour cel on utilise le fit suivnt : pour tout ε > 0 il existe δ > 0 tel que f l < ε sur ]x 0 δ, x 0 + δ[ (grâce à l hypothèse sur l ite des dérivées u point x 0 ). De plus, on utilise le théorème des ccroissements finis et on voit que, si x ]x 0 δ, x 0 + δ[ lors f(x) f(x 0 ) x x 0 = f (ξ) ]l ε, l + ε[, cr ξ ussi pprtient à ]x 0 δ, x 0 + δ[ (comme il est un point intermédiire entre x 0 et x). Ceci montre que l ite des tux d ccroissements est égle à l et que donc f est dérivble u point x 0 et f (x 0 ) = l. L même démonstrtion montre l continuité de f sous l hypothèse de l existence de l ite. Observtion Le même enoncé peut s étendre u cs d une ite à guche ou à droite seulement, vec églité vec l dérivée guche (ou droite). Observtion Il est importnt remrquer l différence qu il y en théorie entre l ite des tux d ccroissement et l ite des dérivées. Si on nous demnde de démontrer qu une fonction f donnée est dérivble u point x 0 on devrit considérere les tux d ccroissement (f(x) f(x 0 ))/(x x 0 ) et leur ite pour x x 0, et non ps l ite x x0 f (x). Preillement, pour démontrer qu elle n est ps dérivble il fut démontrer que l ite des tux d ccroissement n existe ps, et non ps celle des dérivées. L exemple d en bs montre ussi que cette deuxième ite peut ne ps exister lors que le première existe. Pourtnt, le résultt du Théorème nous ide si l ite des dérivées existe. De plus, si les ites droite et guche des dérivées existent et sont différentes, l fonction ne ser ps dérivble (cr l ite droite et l ite guche des tux d ccroissement seront différentes). 3

4 Pourtnt, même si ces propriété sont typiques des fonctions continues, il n est ps vri que l dérivée d une fonction dérivble est continue, et on peut le voir de l exemple suivnt. Exemple Considérons l fonction f donnée pr { x 2 sin 1/x si x 0, f(x) = 0 si x = 0. Cette fonction est dérivble en tout point : elle est dérivble hors de 0 cr composée et produit de fonctions dérivbles, et pour vérifier l dérivbilité en 0 il suffite de clculer l ite des tux d ccroissement, en obtennt f x 2 sin 1/x 0 (0) = = x sin 1/x = 0, x 0 x 0 x 0 où l dernière ite peut être cluclée grâce à x x sin 1/x x. On donc { f 2x sin 1/x + cos 1/x si x 0, (x) = 0 si x = 0. On peut vérifier que cette expression n est ps continue en x = 0, cr il n existe ps l ite x 0 2x sin 1/x + cos 1/x, le premier terme convergent à zéro, mis le deuxième n ynt ps de ite. En vue des exemples ci-dessus, il est nturel introduire l notion de fonctions C k, c est-à-dire les fonction dérivbles vec continuité k fois. Qu est-ce qu il signifie? une fonction C 1 est une fonction qui est dérivble et telle que s dérivée est une fonction continue. Une fonction C 2 est une fonction telle qu on puisse fire cette opértion deux fois, c est à dire que elle est dérivble et s dérivée est non seulement continue, mis dérivble ussi vec dérivée continue. On dit ussi C 0 propos des fonctions continue. On peut résumer pr récurrence tout ç en cette définition. Définition On dit qu une fonction f : A R est C 0 (A) si elle est continue. Pour tout k 1 on dit qu une fonction f : A R est C k (A) si elle est dérivble et l fonction f est C k 1 (A). Il n est ps difficile étblir le suivnt : Théorème Soit k 1. Si f et g sont deux fonctions C k (A) lors f + g, fg sont ussi C k (A), insi que 1/f si en plus f 0 sur A. Si g est une fonction C k (f(a)) (C k sur l ensemble f(a), qui est un intervlle si A est un intervlle) lors g f C k (A). Si en plus f 0 sur A lors f 1 est C k (f(a)) (f 1 existe cr f 0 et donc, grâce u théorème de Drboux, f est soit toujours positive soit toujours négtive, donc f est strictement monotone et donc inversible). Démonstrtion. Il suffit de tout démontrer pr récurrence. On sit que le résultt est vri pour k = 1. Mintennt on le suppose vri pour k = n et on le montre pour k = n + 1. Prenons f, g C n+1 (A) (donc f, g C n (A)) et considérons l somme et le produit. Comme on veut montrer que f + g, fg et 1/f pprtiennent à C n+1 (A) il nous suffit de montrer que leurs dérivées pprtiennent à C n (A). Les dérivées qu on regrde sont f + g, fg + f g et f /f 2 qui sont obtenues comme sommes, produits et rtios de fonctions C n. Donc, comme le résultt est supposé vri pour k = n, on en déduit que f + g, fg + f g et f /f 2 sont C n et donc f + g et fg sont C n+1. L idée est l même en ce qui concerne l composition : prenons f C n+1 (A) et g C n+1 (f(a)). L dérivée de l composée g f est donnée pr g f f qui est un produit d une fonction C n (A) (l fonction f, pr hypothèse sur f) et d une fonction qui est l composition de deux fonctions C n. en ppliqunt le résultt dns le cs k = n on trouve que (g f) est C n et donc g f est C n+1. Pour terminer il reste le cs de l inverse. Si f C n+1 (A) on clcule (f 1 ). On 1/(f f 1 ). L fonction f f 1 est l composition de deux fonctions C n et est donc C n. Là ussi on montré, en utilisnt les résultts pour k = n, que f 1 est C n+1. Observtion On peut dire qu une fonction est continue en un point x 0, on peut dire qu elle est dérivble en ce point, mis si l on dit qu elle est C 1 en x 0 lors on veut en fit dire qu elle est u moins dérivble hors de x 0 ussi et que s dérivée est continue en x 0. Preillement, dire qu une fonction est C k en un point donné implique prler de ses dérivées hors de x 0 ussi. Sous le côté nottions, on ppelle dérivée seconde d une fonction f, et on l note pr f, l dérivée de s dérivée (f = (f ) ) et plus en générl on prle de dérivée k ième. On écris en générl f, f, f, f mis près on utilise l nottion f (k) pour l dérivée k ième. Qund on prle de combien de fois une fonction est dérivble vec continuité on ppelle ç le dégré de régulrité de cette fonction. Une fonction est usuellement dite régulière si elle est suffismment dérivble pour ce qu on veut y fire vec. Prfois on dit régulière pour dire C, ce qui est introduit dns l définition suivnte. Définition Une fonction f est dite C (A) si f C k (A) pour tout k 0. 4

5 1.2 Formule de Tylor et dévéloppements ités On considère ici une fonction f suffismment régulière sur A et on donne des formules de développement beucoup plus fines de celles qu on donné vnt. Il s git en générl d pprocher une fonction f pr des fonctions polynomiles, en utilisnt les vleurs de f et de ses dérivées dns un point donné. Ce genre de développement est connu comme développement de Tylor. On présente ici deux différentes formules, qui donnent le même résultt (le même polynôme) mis l expression du reste est différente (et les hypothèses de régulrité ussi). On donner plus trd une définition plus générle de qu est-ce que c est qu un développement ité (ou DL, en générl il s git de remplcer une fonction pr un nombre ité d expressions plus fciles, des monômes) et on verr que les dveloppements de Tylor sont des DL. On commence pr le premier, le développement de Tylor-Lgrnge. Théorème Soit f : A R une fonction C n (A) qui dmet dérivées n + 1 ième en tout point de A et x 0 un point à l intérieur de A. Alors pour tout x A il existe un point ξ entre x 0 et x (c est-à-dire ξ ]x 0, x[ si x 0 < x ou ξ ]x, x 0 [ si x < x 0 ) tel que f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) f (x 0 )(x x 0 ) n! f (n) (x 0 )(x x 0 ) n + 1 (n + 1)! f (n+1) (ξ)(x x 0 ) n+1. Démonstrtion. (HORS PROGRAMME) L démonstrtion qu on v voir est un exemple de démonstrtion mgique où l on rrive à l thèse en considérnt des fonctions qui n ont ps grnde chose à voir et en leur ppliqunt d utres théorèmes, jusqu à en obtenir une formule qui, pprmment pr hsrd, est utilisble dns le cdre qui nous intéresse. Dns ce cs on considérer l fonction φ(t) = f(x) f(t) n (x t) k f (k) (x t)n+1 (t) A, k! (n + 1)! k=1 où A est une constnte à choisir pour fire en sorte d voir φ(x) = φ(x 0 ) et ppliquer le théorème de Rolle à φ sur l intervlle [x 0, x]. Remrquons d bord que φ(x) = 0 et φ(x 0 ) = R A(x x 0 ) n+1 /(n + 1)!, où R est le reste du développement de Tylor, c est-à-dire n (x x 0 ) k R = f(x) f(x 0 ) f (k) (x 0 ). k! Notre but ser exctement de montrer R = f (n+1) (ξ)(x x 0 ) n+1 /(n + 1)! pour un ξ entre x et x 0. Supposons mintennt qu on it choisi A de fçon à voir φ(x 0 ) = 0, c est-à-dire k=1 R = A (x x 0) n+1. (1.2) (n + 1)! On peut bien ppliquer le théorème de Rolle à l fonction φ cr elle est continue et dérivble prtout à l intérieur de l intervlle [x 0, x] pr conséquence du fit que f C n (A) (donc toutes les fonctions qui pprissent dns l définition de φ sont continues) et que f (n) est dérivble (et donc toutes les fonctions qui pprissent sont dérivbles ussi). Si l on clcule l dérivée de φ on trouve un effet téléscopique : φ (t) = f (t) + = n k=1 (x t) k 1 (k 1)! f (k) (t) (x t)n f (n+1) (x t)n (t) + A. n! (n)! n (x t) k f (k+1) (x t)n (t) + A k! (n)! Le théorème de Rolle nous dit qu il existe un point ξ dns l intervlle entre x 0 et x vec φ (ξ) = 0. Ceci implique, grâce à l formule pour φ, qu on f (n+1) (ξ) = A. En remplcent A pr f (n+1) (ξ) dns (1.2), on trouve justement ce qui étit notre but. k=1 R = f (n+1) (ξ) (x x 0) n+1, (n + 1)! 5

6 Comme dns le cs des ccroissements finis, on peut obtenir un utre développement, plus puissnt sous le point de vue hypothèses de régulrité-dégré du développement, mis dont le reste une formultion moins explicite. Théorème Soit f : A R une fonction C n 1 (A) qui dmet une dérivée n ième u point x 0 A. Alors on f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) f (x 0 )(x x 0 ) n! f (n) (x 0 )(x x 0 ) n + o((x x 0 ) n ). Démonstrtion. Dns cette démonstrtion on v pr contre voir une utre technique de preuve très typique, et notmment celle de démonstrtion pr récurrence. On remrque que si n = 1 le théorème dit seulement que toute fonction dérivble dmet le développeent f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + o(x x 0 ). Ceci descend directement de l définition de dérivée. Or, supposons le théorème vri pour un certin rng n et démontrons-le pour n + 1. Prenons f qui stisfit les hypothèses de régulrité du théorème vec n + 1 : il est évident que lors f stisfit les hypothèses du théorème vec n. Appliquons donc le résultt à f : on trouve f (x) = n k=1 f (k) (x 0 ) (k 1)! (x x 0) k 1 + o((x x 0 ) n ). (1.3) On écrit R(x) = f(x) n f (k) (x 0) k=0 k! (x x 0 ) k et on remrque que (1.3) peut s écrire sous l forme R (x) = ε(x)(x x 0 ) n, ε étnt une fonction qui tend vers zéro lorsque x x 0. Ceci signifie que pour tout η > 0 il existe δ > 0 tel qu on R (x) < η x x 0 n pour tout x (x 0 δ, x 0 + δ). L enoncé du théorème revient à montrer R(x) = o((x x 0 ) n+1 ). Pour cel on remrque R(0) = 0 et on écrit R(x) = R (ξ) x x 0 η ξ x 0 n x x 0 η x x 0 n+1, où l inéglité est vlble si x (x 0 δ, x 0 +δ), cr dns ce cs là ξ ussi pprtient u même intervlle. Ceci montre exctement R(x) = 0, x x 0 (x x 0 ) n+1 et donc R(x) = o((x x 0 ) n+1 ). Observtion Il fut remrquer que l formule de Tylor-Young devient beucoup plus fcile à démontrer, et on peut l déduire de celle de Tylor-Lgrnge, si on met l hypothèse f C n (A) (ce qui est deux fois plus restricitve : prce que l on demnde une dérivée n ième prtout, ps seulement en x 0, et prce qu on l veut continue). En fit, il suffit d écrire l formule de Tylor-Lgrnge à l ordre n 1 et remrquer que (f (n) (ξ) f (n) (x 0 ))(x x 0 ) n = o((x x 0 ) n ). Plus en générl on ppelle développement ité u point x 0 d une fonction f à l ordre n un polynôme P de dégré n tel que f(x) = P (x) + o((x x 0 ) n ). Ce qu on vient de montrer est que, si l fonction f est C n (C n 1 vec dérivées n ièmes prtout étnt suffisnt) lors il existe en tout point un dévéloppement ité et les coefficients du développement sont clculés d près les vleurs des dérivées u point x 0. Il se peut que d utres fonctions, qui ne sont ps ssez régulières, dmettent qund même l existence d un développement ité d ordre supérieur à ce que l on urit pu s ttendre. En tout cs, si une fonction dmet un dévéloppement ité, ce développement est unique prmi les polynômes du même dégré. Théorème Soit f : A R une fonction qui dmet deux dévéloppements ités du même ordre n et u même point x 0, de l forme vec deg P, deg Q n. Alors P = Q. f(x) = P (x) + o((x x 0 ) n ) = Q(x) + o((x x 0 ) n ), Démonstrtion. On déduit fcilement du fit que P et Q sont des dévéloppements ités d une même fonction f que P (x) Q(x) = o((x x 0 ) n ). 6

7 On sit bien que tout polynôme peut être écrit en terme de puissnces de x x 0 à l plce des puissnces de x (il suffit de vérifier que 1, x x 0, (x x 0 ) 2,..., (x x 0 ) n forment une bse de l espce des polynômes de dégré inférieur ou égle à n, où de démontrer ce résultt pr récurrence sur n). Donc P Q peut s écrire sous l forme P (x) Q(x) = A(x x 0 ) k + n i=k+1 A i (x x 0 ) i, pour un coefficient A 0 (en choisissnt pour k le premier dégré vec coefficient non nul dns cette déomposition : si ce dégré n existe ps c est pr ce que P Q est le polynôme nul, et dns ce cs là on obtenu P = Q). Donc on A(x x 0 ) k n + i=k+1 A i(x x 0 ) i x x 0 (x x 0 ) n = 0. Pourtnt, dns cette ite, l seule prtie qui compte est A(x x 0 ) k x x 0 (x x 0 ) n, ce qui donne comme résultt soit ± si k < n soit A si k = n. Comme cette ite ne donne jmis zéro, on une contrdiction et donc P = Q. Ce résultt d unicité des DL plusieurs conséquences. Une première conséquence que l on voit concerne les fonctions pires et impires. Proposition Soit A =], [ un ouvert symétrique de R qui inclut 0. Supposons que f : A R soit pire (c est-à-dire f(x) = f( x) pour tout x A). Alors tout développement ité de f en zéro est pire ussi (et donc toute puissnce d exposnt impire coefficient nul). Si pr contre on suppose que f soit impire (c est-à-dire f(x) = f( x) pour tout x A) on peut dire lors que ses développements sont impires ussi. Démonstrtion. Soit P un polynôme de dégré n tel que f(x) = P (x) + o(x n ) et f pire. On donc f(x) = f( x) = P ( x) + o(( x) n ) = P ( x) + o(x n ). Le polynôme x P ( x) est donc un utre DL du même ordre de f utour de zéro. Pr conséquent P (x) = P ( x) et donc P est pire. Si f est impire on obtient d où l on tire P (x) = P ( x). f(x) = f( x) = P ( x) o(( x) n ) = P ( x) + o(x n ), 1.3 Exemples et pplictions On v se rendre compte que l unicité du DL est à l bse de toute méthode de clcul du DL différente de l simple dérivtion itérée. On en donner tout de suite un exemple, mis cet exemple ser précedé pr quelques définitions concernnt l équivlence et l négligebilité des fonctions tendnt vers zéro. Définition Soient f, g : A R deux fonctions définies u voisinge du point x 0 A et telles que on dit lors que f et g sont équivlentes si et on dit que f est negligeble devnt g si x x 0 f(x) = x x 0 g(x) = 0, f(x) x x 0 g(x) = l R \ {0}, f(x) x x 0 g(x) = l R \ {0}. Si f est équivlente à g on écrit f(x) = O(g(x)) et si f est négligeble devnt à g on écrit f(x) = o(f(x)). L reltion d équivlence étnt une reltion d équivlence, elle est symétrique et donc f(x) = O(g(x)) équivut à g(x) = O(f(x)). 7

8 Observtion On dit prfois que deux fonctions sont équivlentes en utilisnt une définition beucoup plus stricte, c est-à-dire que l ite fsse 1 à l plce de n importe quel nombre fini et non nul. Aussi, on prfois envie d étendre note définition u cs où l ite n existe ps : dns ce cs là on dit que les deux fonctions sont équivlentes si le quotient est loclement borné entre deux constntes c et C vec 0 < c < C < + (ou 0 > c > C > ). Non seulement, souvent pr bus de nottion on dit f(x) = O(g(x)) pour dire f est u pire de l ordre de g, c est-à-dire soit f(x) = O(g(x)), soit f(x) = o(g(x)). C est un peu comme qund on dit dénombrble pour dire soit dénombrble soit fini. On connit bien pr exemple les ites suivntes, qu on peut démontrer pr voie de considértions géometriques et de mnipultions lgébriques : sin x x 0 x = 1 ; 1 cos x x 0 x 2 = 1 2, ce qui nous donne les équivlences entre sin x et x et entre 1 cos x et x 2 u voisinge de 0. Ce qui nous intéresse en vue des DL est le suivnt : Observtion Si f et g sont équivlentes u voisinge d un certin point x 0, les écritures o(f(x)) et o(g(x)) (eu voisinge du même point x 0 ) coïncident Clculs de DL et de ites En utilisnt tout ç, on peut voir les exemples suivnts. Exemple Considérons l fonction f(x) = sin(2 sin(x/2)) et cherchons-en le DL jusqu à l ordre 4 en 0. On commence pr le sinus à l exterieur et on se souvient du DL sin y = y y 3 /3 + o(y 4 ). On v choisir près y = 2 sin(x/2). Pourquoi? pour réliser l sitution de l fonction qu on veut développer. Pourquoi -t on pris le DL du sinus jusqu à l ordre 4? cr le y qu on v utiliser ser équivlent à x et donc si l on cherche un reste o(x 4 ) on veut un reste du genre o(y 4 ). On donc sin(2 sin(x/2)) = 2 sin(x/2) 1 3 (2 sin(x/2))3 + o((2 sin(x/2)) 4 ). On peut remplcer o((2 sin(x/2)) 4 ) pr o(x 4 ) et les expressions vnt pr leurs DL. Celui de 2 sin(x/2) est fcile, mis pour le développement de son cube il y plusieurs mnières de procéder. On pourrit développer le sinus jusqu à l ordre 4 et puis en prendre le cube. Ceci v mrcher sûrement : il est toujours suffisnt de développer les fonctions qu on u dedns jusqu u même ordre qu on souhite réliser pour l fonction composée. Pourtnt, on peut fire mieux. Dns l expression (2 sin(x/2)) 3 = (2 sin(x/2)) (2 sin(x/2)) (2 sin(x/2)) = (x + o(x 2 )) (x + o(x 2 )) (x + o(x 2 )) on un produit vec un terme x 3 et d utres termes qui ont u moins deux fois x et une fois o(x 2 ). Comme x x o(x 2 ) = o(x 4 ), tous ces termes peuvent être negligés dns notre développement et mis ensemble u o(x 4 ) à l fin. On donc f(x) = sin(2 sin(x/2)) = x 2 ( x ) 3 + o(x 4 ) x + o(x4 ) = x 5 24 x3 + o(x 4 ). Exemple Considérons l fonction f(x) = ln(cos x + x 3 ) et cherchons-en le DL jusqu à l ordre 5 en 0. On écrit ç comme f(x) = ln(1 + (cos x + x 3 1)) = ln(1 + y) vec y = g(x) = cos x + x 3 1. Comme ç on une fonction g telle que g(0) = 0 et on l compose vec l fonction ln(1 + y), dont on connît bien le développement, et notmment on ln(1 + y) = y y2 2 + o(y2 ) = y y2 2 + y3 3 + o(y3 ) = y y2 2 + O(y3 ). On utiliser l dernière version. Pourquoi s rrêt-on u reste O(y 3 )? Cr c est l fonction g qui ser de l ordre de x 2, et précisément g(x) = x2 2 + x3 + x o(x5 ). 8

9 On donc g(x) = O(x 2 ) (pour clculer l puissnce dont une fonction donnée est grnd O il suffit de trouver le développement de Tylor et près regrder le premier terme non nul). Or, si y = g(x) = O(x 2 ), on O(y 3 ) = O(x 6 ) = o(x 5 ). Il suffit donc de s rrêter à ce développement là dns le logrithme. Évidemment pour choisir l ordre où s rrêter dns l fonction à l extérieur il fut regrder l ordre d équivlence de l fonction à l intérieur de l composition. En générl il est qund même toujours suffisnt développer l fonction à l extérieur ussi jusqu à l ordre finl souhité (dns ce cs, 5), mis prfois on peut économiser des clculs. Preil pour l fonction à l intérieur : il est toujours suffisnt d rriver jusqu à l ordre souhité, mis prfois on peut fire mieux. Notmment, si dns le développement de l fonction à l extérieur il y une prtie y (comme dns ce là), on y peut rien fire : on est forcé à développer jusqu u but cr de toute fçon on devr copier le développement de y = g(x) dns le résultt finl. Si pr contre on commence pr y 2 et on est dns le cs g(0) = 0 (donc g commence pr x) on se retrouver toujours à clculer des termes u moins g 2 (x) vec g qui commence pr x : chque terme de g ser multiplié dns le crré pr x u moins et on peut donc s rrêter un ordre vnt. C est un peu ce qu on v voir pour clculer g 2 (x) et son développement dns ce cs-ci. On g 2 (x) = ) 2 ( x2 2 + x3 + x o(x5 ). On commence à multiplier chque terme fois tous les utres mis on néglige tout terme qui dépsse l ordre 5 (pr exemple x 3 fois x 3 ou x 4 fois x 2 ou les petits o). On obtient g 2 (x) = x4 4 x5 + o(x 5 ) et on s perçoit ussi que les termes en x 4 et o(x 5 ) n ont joué ucun rôle (cr, en étnt obligé de les multiplier toujours fois x 2 u moins, on dépssit sûrement l ordre 5). Plus en générl, si je dois clculer le DL à l ordre n d un produit du genre g 1 (x)g 2 (x) vec g 1 (x) = O(x k ) et g 2 (x) = O(x h ) on peut se contenter de développer g 1 jusqu à l ordre n h (cr on multiplier toujours fois x h u moins) et g 2 jusqu à n k (cr on multiplier toujours fois x k u moins). Qund on met tout ç ensemble on obtient f(x) = ln(cos x + x 3 ) = x2 2 + x3 + x o(x5 ) 1 ( ) x x5 + o(x 5 ) = x2 2 + x3 x x5 2 + o(x5 ). Un utre exemple intéressnt est le suivnt. Exemple Considérons l fonction f(x) = tn x et cherchons-en le DL jusqu à l ordre 3 en 0. Mis on veut le trouver rpidement, et sns regrder les tbleux de dévéloppements connus. Cependnt, on dmet de connître les dévéloppements du sinus et du cosinus, qui sont plus simples à s en souvenir. Non seulement, on dmet l existence du DL à l ordre 3 de l tngente, cr on sit qu elle est une fonction C (] π/2, π/2[). On écrit donc tn x cos x = sin x. On suppose tn x = A + Bx + Cx 2 + Dx 3 + o(x 3 ). Écrire les trois développements à l ordre 3 donner qutre équtions qui permettront de déduire les vleurs des snstntes inconnus A, B, C et D. Cependnt, fut ps exgérer : on sit bien que A vut 0 cr le premier terme du DL en un point x 0 est toujours l vleur f(x 0 ) et dns ce cs là on tn 0 = 0. En plus, on connît l vleur de B ussi, cr le coefficient du terme linéire coïncide toujours vec f (x 0 ). Ceci peut être vu en écrivnt le développement (1.1) et en utilisnt l unicité du DL. Et comme on sit clculer l dérivée de l tngente en 0 est elle vut 1, on ( x + Cx 2 + Dx 3 + o(x 3 ) ) ( 1 1 ) 2 x2 + o(x 3 ) = x 1 6 x3 + o(x 3 ). En développnt les produits (et en négligent les termes en o(x 3 )) on trouve x + Cx 2 + Dx x3 + o(x 3 ) = x 1 6 x3 + o(x 3 ). Ceci signifie que l même fonction, le sinus, dmet deux développements ités en 0, et donc ils coïncident. Ceci implique C = 0 et D 1/2 = 1/6, ce qui donne C = 1/3. On donc tn x = x 1 3 x3 + o(x 3 ). On peut voir ce qu il se psse vec les fonctions réciproques. 9

10 Exemple Cherchons les DL jusqu à l ordre 3 des fonctions f(x) = rcsin x et g(x) = rctn x. On sit sin(rcsin x) = x. Prenons les DL ités à l ordre 3 de toute expression. Évidemment on ne connît ps encore celui de l rcsinus, mis on peut svoir qu il est de l forme x + Ax 3 + o(x 3 ). Ceci on le sit cr l fonction rcsinus vut zéro en zéro, s dérivée vut 1, et il s git d une fonction impire (donc il n y ps de prtie de dégré 2). On donc rcsin x 1 6 (rcsin x)3 + o((rcsin x) 3 ) = x; x + Ax 3 + o(x 3 ) 1 6 ( x + Ax 3 + o(x 3 ) ) 3 + o((rcsin x) 3 ) = x. Grâce u fit que rcsin x est équivlent à x u voisinge de 0 (ce qui est une conséquence du fit que l fonction vut zéro en zéro mis s dérivée non), on peut remplcer le o((rcsin x) 3 ) pr o(x 3 ). En plus, en développnt et en négligent les termes d ordre trop élevé, on obtient d où l on tire A = 1/6. x + Ax x3 + o(x 3 ) = x, De mnière toute à fit équivlente on suppose rctn x = x + Bx 3 + o(x 3 ) et on trouve B = 1/3. On pplique tout ç u clcul d une ite. Exemple On veut clculer l ite tn x rctn x x 0 sin x rcsin x. On remrque que dénominteur et numérteur, les deux, vlent 0 et qu on donc une condition d indétermintion 0/0. Ceci correspond à fire un développement à l ordre 0, c est-à-dire à ne regrder que les vleurs des fonctions, mis nous on peut fire mieux. On regrde le développement à l ordre 1 et là ussi on voit que, comme toutes les fonctions tn x, rctn x, sin x, rcsin x sont de l forme x + o(x), on tombe encore sur une expression qui ne nous ide ps. On en effet o(x) x 0 o(x), ce qu on n est ps cpbles de triter cr en ce qui concerne o(x) on sit seulement x 0 o(x)/x = 0 mis on ne sit ps diviser un o(x) pr un utre. Il fut donc continuer vec les développements jusqu à un résultt meilleur. On le trouve à l ordre 3, où l on tn x rctn x sin x rcsin x = x 1 3 x3 + o(x 3 ) x 1 3 x3 + o(x 3 ) x 1 6 x3 + o(x 3 ) x 1 6 x3 + o(x 3 ) = 2 3 x3 + o(x 3 ) 1 3 x3 + o(x 3 ) = o(x 3 ) x o(x3 ) x 3 Mintennt on peut clculer les ites des nouveux dénominteur et numérteur séprément et on obtient tn x rctn x x 0 sin x rcsin x = 2. En générl on développe séprément dénominteur et numérteur jusqu u premier ordre qui ne donne ps un résultt bnl (ici, l ordre 3). Après on regrde les exposnts qu on obtenus : pr exemple x 5 + o(x 5 o(x ) x 0 x 3 + o(x 3 ) = ) x x2 5 = 0, x o(x3 ) x 3 lors que, vec l même méthode (toujours diviser pr l puissnce qui pprît dns chque terme de l frction) on x 3 + o(x 3 ) x 0 x 5 + o(x 5 ) = + ; x 3 + o(x 3 ) x 0 ± x 4 + o(x 4 ) = ± ; Ax n + o(x n ) x 0 Bx n + o(x n ) = A B Minim, mxim et DL Les clculs des ites ne sont ps les seules pplictions possibles et intéressntes des DL. Les développements ités sont ussi très importnts en vue de l détection des points des minim et mxim locux. On en fit le théorème suivnt, qu on donne dns le cs d une fonction C. Théorème Soit f :], b[ R une fonction C (], b[) et x 0 ], b[. Soit n = min{k 1 : f (k) (x 0 ) 0}. lors : si n est impire x 0 n est ni un minimum locl ni un mximum locl ; 10

11 si n est pire et f (n) (x 0 ) > 0 lors x 0 est un point de minimum locl ; si n est pire et f (n) (x 0 ) < 0 lors x 0 est un point de mximum locl. Démonstrtion. Grâce u développement de Tylor on et donc f(x) = f(x 0 ) + f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n + o((x x 0 ) n ) n! f(x) f(x 0 ) = (x x 0 ) n ( f (n) (x 0 ) n! + o((x x 0) n ) ) (x x 0 ) n. Le signe à droite est donné pr le signe de (x x 0 ) n fois le signe de l prenthèse, qui ne dépende loclement que du signe de f (n) (x 0 ), cr f (n) (x 0 ) 0 et x x0 o((x x 0 ) n )/(x x 0 ) n = 0. Dns le cs n impir le signe du premier fcteur vrie selon l position de x pr rpport à x 0 lors que l utre ne vrie ps. Pr conséquent, u voisinge de x 0, l quntité f(x) f(x 0 ) est d un côté positive et de l utre négtive, ce qui implique que x 0 ne peut être ni un point de minimum locl (cr dns ce cs là on urit eu f(x) f(x 0 ) 0), ni de mximum locl (cr on urit eu f(x) f(x 0 ) 0). Dns le cs n pir, pr contre, le premier fcteur est e tout cs positif. Ceci implique que f(x) f(x 0 ) le même signe de l prenthèse, et donc on un minimum (f(x) f(x 0 ) 0) dns le cs f (n) (x 0 ) > 0 et un mximum (f(x) f(x 0 ) 0) dns le cs f (n) (x 0 ) < 0. Dns ce théorème on n ps supposé {k 1 : f (k) (x 0 ) 0} = simplement cr l énoncé même du théorème portit sur n, son minimum : si cet ensemble est vide lors n n existe ps et donc il n y rien à démontrer. Il y ussi un vice-vers un peu plus fible. cette version porte directement sur x 0 et déduit quelque chose sur n, et c est pour ç qu on suppose, pour clrifier, que n existe (c est -à-dire que l ensemble dont on prend le minimum soit non vide). Théorème Soit f :], b[ R une fonction C (], b[) et x 0 ], b[. Supposons {k 1 : f (k) (x 0 ) 0} et soit n = min{k 1 : f (k) (x 0 ) 0}. Alors : si x 0 est un point de minimum locl lors n est pire x 0 et f (n) (x 0 ) > 0 ; si x 0 est un point de mximum locl lors n est pire x 0 et f (n) (x 0 ) < 0. Démonstrtion. Il suffit d utiliser le théorème de tout à l heure pour en déduire qu il n est ps possible que n soit impire, ni que n soit pire mis que l dérivée it le muvis signe : dns ce cs là on urit un point qui est u même temps mximum locl et minimum locl, mis cel implique que l fonction est loclement constnte, c est à dire que toute dérivée s nnule en x 0. Et cel est en contrdiction vec les hypothèses. Ces théorèmes correspondent un peu à ce qu on dns le cs de l dérivée première (si un point est un extremum locl lors l dérivée vut zéro, et cel peut s étendre à toute dérivée d ordre impir, dns un certin sens) et ux théorèmes bien connus sur l dérivée seconde (si elle est strictement positive le point rélise un minimum locl, si le point rélise un minimum locle lors elle est 0 : ici l inéglité est stricte mil reste qund même l possibilité que les dérivées s nnule toutes, ce qui correspond u cs d églité). Or, dns notre intuition on ne connît ps trop de fonctions qui ont toutes les dérivées nulles en un point donné et qui ne sont ps l fonction nulle. Pr exemple on sit que cel ne peut ps être vri pour un polynôme, cr un polynôme coïncide vec son développement de Tylor (c est-à-dire le DL d ordre n d un polynôme d ordre n reste nul, et cel peut être vérifié en utilisnt l unicité du DL). Pourtnt, il y l exemple suivnt. Exemple Considérons l fonction f(x) = { 0 si x 0 e 1/x si x > 0. Cette fonction est une fonction C (R) et f (k) (0) = 0 pour tout k N. Pour s en rendre compte, on commence pr voir que x 0 + f(x) = 0 cr 1/x + et donc e 1/x e = 0. Ceci montre l continuité. Pour les dérivées, il suffit de clculer l dérivée à droite et on f (x) = e 1/x e 1/x x 2 et x 0 + x 2 = 0, cr cette dernière ite est une forme indéterminée 0/0 mis le zéro du numérteur l emporte sur celui du dénominteur grâce à son comportement exponentiel. 11

12 Plus en générl, on peut montrer que l dérivée k ième de f est de l forme f (k) (x) = P (x) Q(x) e 1/x pour des polynômes P et Q (ceci peut être montré pr récurrence). Pr conséquent, on toujours f (k) (x) = 0, x 0 + ce qui montre u même temps que l fonction est C k (cr de l utre côté toute dérivée est nulle, l fonction étnt constnte) et que f (k) (0) = 0. 12

13 Chpitre 2 Intégrles 2.1 Fonctions Intégrbles Supposons qu une voiture roule à une certine vitesse v le long d une utoroute u déprt de Pris et qu on veuille svoir à quelle distnce de Pris elle se trouver près un temps T : l réponse est évidemment vt. Supposons mintennt que l voiture n it ps une vitesse constnte mis qui elle chnge de temps en temps s vitesse et que, pr exemple, elle it une vitesse v 1 pendnt un certin temps T 1, puis une nouvelle vitesse v 2 pendnt un temps T 2 (c est-à-dire entre l instnt T 1 et l instnt T 1 + T 2 ) et enfin une vitesse v 3 à prtir de l instnt T 1 + T 2 : si l on veut clculer l distnce où elle se trouver près un temps t l réponse ser v 1 t si t T 1 ; v 1 T 1 + v 2 (t T 1 ) si T 1 t T 1 + T 2 ; v 1 T 1 + v 2 T 2 + v 3 (t (T 1 + T 2 )) si T 1 + T 2 t. Et si l vitesse chngeit continuellement? l idée est que pour clculer l réponse dns le cs d une vitesse qui chnge de temps en temps il fut fire une somme de résultts du type vitesse fois temps" et que pour une vitesse en vrition perpétuelle il fudr une nouvelle technique, ce qui donner lieu ux intégrles. Pourtnt, elle ne ser ps si nouvelle que ç, comme en fit s définition ser bsée justement sur l idée d pprocher une vitesse en vrition pr des cs où elle vrie de temps en temps (mis très souvent, pour réliser une meilleure pproximtion). On commence donc pr l définition de fonction qui vrie seulement de temps en temps". Définition On ppelle fonction étgée toute fonction f : [, b] R telle qu il existe un nombre fini de points (t i ) i=1,...,n vec = t 0 < t 1 < < t n 1 < t n = b tels que f est constnte sur tout intervlle de l forme I i =]t i, t i+1 [ vec i < n. On dit que les points t i donnent lieu à une prtition dptée à l fonction étgée f. On écrir E([, b]) pour l ensemble des fonctions étgées sur l intervlle [, b]. Une fonction étgée ser donc de l forme k 0 si x =, m 1 si = t 0 < x < t 1, k 1 si x = t 1, m 2 si t 1 < x < t 2, f(x) = k 2 si x = t 2,... k n 1 si x = t n 1, m n si t n 1 < x < t n = b, k n si x = b. (2.1) Souvent on considère des intervlles semi-fermés genre [t i, t i+1 [ de fçon à voir k i = m i+1 mis ce qu on veut souligner pr cette définition est que l vleur de f ux points de séprtion entre les intervlles n est ps importnte. Évidemment toute fonction étgée f dmet, pr définition, u moins une prtition dptée mis elle en dmet en générl plusieurs (tout intervlle où l fonction est constnte peut en fit être ultérieurement séprée, tout en grdnt son crctère dpté). En suivnt l esprit des reltions qu on présentés entre vitesse et position, on peut définir l intégrle d une fonction étgée : 13

14 Définition Si f : [, b] R est une fonction étgée de l forme (2.1) on définit l intégrle de f sur l intervlle [, b] l quntité n f(t)dt := m i (t i t i 1 ). Cette quntité est bien définie (elle ne dépende ps de l prtition dptée choisie pour représenter f). Il fut qund même démontrer que l intégrle d une fonction étgée est bien définie. i=1 Démonstrtion. Considérons deux prtitions différentes T = ((t i ) i ) et S = ((s j ) j ) et supposons que l deuxième soit plus fine que l première : cel signifie que tout intervlle du type ]t i, t i+1 [ est divisé en plusieurs intervlles du type ]s j, s j+1 [ pour j = j i,..., j+ i. L fonction f vlnt m i sur tout le gros intervlle on obtiendrit un terme m i (t i+1 t i ) dns l expression de l intégrle due à l première prtition, églisée pr un terme j + i m j=j i (s j+1 s j ). i Ceci montre que l vleur de l intégrle ne chnge ps si l on psse d une prtition à une prtition plus fine. Comme deux prtitions distinctes dmettent toujours une prtition qui est plus fine des deux (il suffit de prendre l prtition composée pr l réunion des points des deux prtitions), on en déduit que l vleur de l intégrle est indépendnte de l prtition dptée choisie. Il est fcile vérifier l propriété suivnte : Proposition Soient f et g deux fonctions en E([, b]) : on lors (f + g)(t)dt = f(t)dt + g(t)dt. Démonstrtion. En pssnt à une prtition plus fine, on peut supposer d écrire f sous l forme (2.1) et g sous une forme nlogue pour des coefficients m i qui remplcent les m i et l même prtition (t i ) i. On donc (f + g)(t)dt = n (m i + m i)(t i t i 1 ) = i=1 n m i (t i t i 1 ) + i=1 n m i(t i t i 1 ) = i=1 f(t)dt + g(t)dt. Le but de l théorie de l intégrtion (ce type d intégrtion s ppelnt notmment Intégrtion de Riemnn est de donner un sens à l expression f(t)dt qund f n est ps n est ps étgée. On s occuper de le fire dns les prochines sections pour les fonctions continues, pr une procédure d pproximtion supérieure et inférieure L intégrbilité des fonctions continues et l uniforme continuité Avnt de nous occuper de définir une intégrle pour les fonctions continues, nous vons besoin d étudier des propriétés supplémentires des fonctions continues sur un intervlle [, b]. Définition Une fonction f : A R est dite uniformement continue si pour tout ε > 0 il existe δ > 0 tel que tout couple de points (x, y) A A stisfisnt x y < δ stisfit ussi f(x) f(y) < ε. C est quoi l différence entre l définition de continuité et d uniforme continuité? d bord l continuité est une propriété qui concerne une fonction f et un point x 0, lors que l uniforme continuité ne concerne que f. De plus, comme dns l définition de continuité le point x 0 été fixé, il le droit d intervenir dns le choix du δ, lors qu ici δ ne doit dépendre que de ε. Évidemment si une fonction est uniformément continue, lors elle est continue sur A (l notion d uniforme continuité est plus forte que celle de continuité en tout point de A). Le contrire n est ps vri, comme on peut voir de l exemple suivnt. Exemple L fonction f : R R donnée pr f(x) = x 2 est continue mis elle n est ps uniformément continue. Pour voir ceci, il suffit d estimer les vritions de f entre un point x et un point x + h (prenons pr simplicité x, h > 0) : f(x + h) = x 2 + 2xh + h 2 f(x) + 2xh f(x). Si l on suppose pr l bsurde que f ést uniformément continue on urit f(x + h) f(x) ε pour tout h < δ. Mis l quntité 2xh peut être rendue ussi grnde qu on veut, si x est très grnd, et v sûrement dépsser ε. Pr contre, l même démonstrtion n urit ps mrché si on se restreignit à un ensemble borné de vleurs de x. 14

15 Sinon, il existe ps ml de clsses de fonctions qui sont uniformément continues et il s git en générl de clsses de fonctions où l continuité uniforme été mieux quntitifiée. Pr exemple, toute fonction Lipschitzienne est uniformément continue cr, si L est l constnte de Lipschitz d une fonction f, on stisfit toujours l définition d uniforme continuité en choisissnt δ = ε/l (nous rppelons ici qu une fonctions Lipschitzienne est une fonction stisfisnt f(x) f(y) L x y et que l meilleure constnte L qui fit mrcher cette inéglité pour tout x et y est dite Constnte de Lipschitz).. Une clsse plus générle est l clsse des fonctions Hölderiennes (là ussi Hölder est le mec qui - peut-être - étudié en premier les propriétés de ces fonctions). Définition Si α ]0, 1] une fonction f : A R est dite Hölderienne d exposnt α (ou α Hölderienne) si il existe une constnte C telle que f(x) f(y) C x y α pour tout couple (x, y) A A. Évidemment dns le cs α = 1 on retombe sur l définition des fonctions Lipschitziennes. Un exemple de fonction Hölderienne qui n est ps Lipschitzienne est le suivnt. Exemple L fonction f : [0, 1] R donnée pr f(x) = x α est Hölderienne d exposnt α mis elle n est ps Lipschitzienne. Pour voir ceci, il suffit d utiliser le fit que l fonction f, en tnt que fonction concve, est sous-dditive, ce qui signifie f(x + y) f(x) + f(y) : on donc, si x < y ce qui implique f(y) f(x) y x α. f(x) = x α < f(y) = y α f(y x) + f(x) = y x α + f(x), Pour voir qu elle n est ps Lipschitzienne il suffit de voir que s dérivée n est ps bornée. L fonction f est en fit dérivble sur ]0, 1[ mis s dérivée est donnée pr αx α 1 et on donc x 0 + f (x) = +, ce qui implique que f n est ps bornée (et donc f n est ps Lipschitzienne sur ]0, 1[, ni fortiori sur [0, 1]. Observtion Pourquoi prle-t-on de fonctions Höldériennes pour α 1 et ps pour α > 1? Simplement cr les fonctions Höldériennes pour α > 1 sont triviles : toute fonction f : I R (I étnt un intervlle de R) stisfisnt f(x) f(y) C x y α pour un certin α > 1 est en fit constnte!! On peut le voir fcilement en clculnt s dérivée : f f(x) f(y) C x y α (x) = = 0, y x x y y x x y ce qui démontre que l fonction est prtout dérivble et l dérivée est prtout nulle. Pour une fonction uniformément continue, il est intéressnt de définir ce qu on ppelle son module de continuité. Définition Pour toute fonction f : A R on ppelle module de continuité de f l fonction ω f : R + R + donnée pr ω f () := sup { f(x) f(y) : x, y A, x y }. Le fit que f soit uniformément continue équivut à 0 ω f () = 0. On peut fcilement vérifier que le module de continuité d une fonction Lipschitzienne f stisfit ω f () C, où C est l Constnte de Lipschitz de f, et que si f est Höldérienne on pr contre ω f () C α. Comme on remrqué dns l exemple, l uniforme continuité est plus difficile sur R mis plus fcile sur les ensembles bornés. En prticulier, on le théorème suivnt (Théorème de Heine) : Théorème Soient A = [, b] un intervlle fermé et borné de R et f : A R une fonction continue. Alors f est uniformément continue sur A. Démonstrtion. (HORS PROGRAMME) Supposons pr l bsurde que f ne soit ps uniformément continue. Alors il existe ε > 0 tel que, pour tout δ > 0, il y deux points x, y A vec f(x) f(y) ε et x y < δ. En prennt δ = 1/n on peut ppeler x n et y n les points correspondnts. On x n y n < 1/n 0 et f(x n ) f(y n ) ε. Comme A est fermé et borné, il existe une sous-suite (x nk ) k convergente. Soit x s ite. L correspondnte sous-suite (y nk ) k converge à l même ite x cr on x nk y nk 0. En pssnt à l ite dns l inéglité f(x nk ) f(y nk ) ε, comme f est continue, on trouve 0 = f(x) f(x) ε > 0, ce qui est une contrdiction. Une utre propriété importnte des fonctions uniformément continues est l suivnte, qu on écrit et on démontre pr complétude : 15

16 Théorème Soit f :], b[ R une fonction uniformément continue. Alors il existe une unique extension continue g de f à l intervlle fermé [, b], c est-à-dire une fonction continue g : [, b] R telle que g(x) = f(x) pour tout x ], b[. Démonstrtion. (HORS PROGRAMME) Il suffit de définir g sur les points et b et vérifier l continuité. Pour fire cel, prenons une suite (x n ) n [, b] convergente vers et considérons (f(x n )) n. Si l on fixe ε > 0, grâce à l uniforme continuité de f, il existe δ > 0 tel que x n x m < δ entrîne f(x n ) f(x m ) < ε. Or, l suite (x n ) n est de Cuchy, et donc l inéglité x n x m < δ est vrie pour n, m N 0. Ceci implique que l suite (f(x n )) n stisfit l inéglité f(x n ) f(x m ) < ε à prtir du même rng, et donc (f(x n )) n est de Cuchy ussi. Elle dmet donc une ite et on poser g() = n f(x n ). Celle-ci est une bonne définition, c est-à-dire le résultt ne dépend ps de l suite que l on choisi. En effet, si (y n ) n étit une suite différente on urit eu en fit x n y n < δ à prtir d un certin rng (cr x n et y n ont l même ite ) et ceci impliquerit f(x n ) f(y n ) < ε. Cette inéglité pssnt à l ite, elle implique que l différence des deux ites ne dépsse ps ε. Grâce à l rbitrrieté de ε les deux ites doivent coïncider. En définissnt comme ç g() (et en utilisnt une définition nlogue pour g(b) et en lissnt g(x) = f(x) pour tout x ], b[) on trouve une fonction g. Elle coïncide vec f à l intérieur de l intervlle ouvert, donc elle est continue (comme l continuité peut être vérifiée loclement). De plus, on vient d imposer que pour toute suite x n on n f(x n ) = n g(x n ) = g(), ce qui donne l continuité en (et en b c est preil). De plus, il est évident que tout extension continue de f doit coïncider vec cette fonction g qu on vient de définir sur et b comme il fut imposer l continuité en ces deux points-là et donc cette extension est unique. Observtion L même démonstrtion peut mrcher si f est définie sur un ensemble A R quelconque, ps forcement un intervlle. Elle grntie l existence d une unique extension de f à l ensemble des points qui peuvent être tteints comme ite d une suite de points de A. Cet ensemble s ppelle l dhérence de A. Corollire Toute fonction f :], b[ R uniformément continue sur un intervlle borné est bornée. Démonstrtion. Il suffit de prendre l extension g de f à [, b], qui ser une fonction continue sur un intervlle fermé et borné. Cette extension dmettr donc un mximum et un minimum et ser donc bornée. L fonction f résulte bornée comme restriction à un sous-ensemble plus petit d une fonction bornée sur un ensemble plus grnd. Observtion L démonstrtion qu une fonction uniformément continue est bornée sur un intervlle bornée pourrit se fire sns psser à l extension continue sur un compcte. Il suffirit de dire que, en prennt ε = 1, il existe un δ > 0 tel que x y < δ entrîne f(x) f(y) < 1 et puis prendre une prtition t 0, t 1,... t n de l intervlle telle que t i+1 t i < δ. Si on pose M = mx i f(t i ) on trouve certinement f(x) M + 1 pour tout x, cr tout x est à distnce inférieure à δ de l un des points t i et donc f(x) f(t i ) + 1. Après cette prenthèse sur les fonctions uniformément continues, on peut profiter de cette notion pour revenir ux intégrles. Définition Si T = ((t i ) i ) est une prtition = t 0 < t 1, < t n 1 < t n = b est une prtition d un intervlle [, b], nous ppelons tille de cette prtition le nombre mx i=0,...,n 1 (t i+1 t i ), c est-à-dire l tille mximle des intervlles déterminés pr cette prtition, et nous écrivons ce nombre tille(t ). Définition Pour définir l intégrle f(t)dt d une fonction continue f : [, b] R nous procédons de l mnière suivnte : prenons une suite T k de prtitions, chcune vec un nombre n k de points (donc T k = ((t i,k ) i ) vec = t 0,k < t 1,k, < t n 1,k < t n,k = b) ; supposons que pour tout k, l prtition T k+1 soit plus fine que T k (c est-à-dire, on obtient T k+1 en rjoutnt des points à T k ) ; supposons églement que k tille(t k ) = 0 ; définissions deux suites de fonctions étgées g k et g+ k pr g k (x) = min{f(x) : x [t i,k, t i+1,k ]} g + k (x) = mx{f(x) : x [t i,k, t i+1,k ]} pour x ]t i,k, t i+1,k [, (comme toujours l vleur de g ± k ux points t i,k de leur prtition dptée n est ps importnte) ; définissons ensuite deux suites de vleurs I k et I+ k pr I± k = g± k (t)dt ; ces suites étnt djcentes, elles ont une ite commune I qui ser prise comme vleur de f(t)dt. Pour que cette défintion soit vlble, il fut vérifier deux choses : que les suites I ± k soient vriment djcentes, et que leur ite ne dépende ps de l suite de prtition effectivement choisie. C est ce qu on v fire dns le théorème suivnt. Théorème Soit f : [, b] R une fonction continue et T k une suite de prtitions plus fines chcune que l précédente, vec k tille(t k ) = 0, comme dns l définition ci-dessus. Alors les suites I k et I+ k sont djcentes et ont une ite commune I. De plus, cette ite ne dépend ps de l suite T k chosie. 16

17 Démonstrtion. Nous commençons pr remrquer que, grâce u fit que T k+1 est plus fine que T k, lors on g k+1 g k insi que g+ k+1 g+ k. Ceci prce que, en chque point, g k+1 est définie en prennt le minimum sur un intervlle plus petit que dns l définition de g k, ce qui en fit ugmenter l vleur. De même, g+ k+1 est un mximum sur un intervlle plus petit que dns l définition de g + k, ce qui fit u contrire bisser le résultt. Pr conséquent, l suite I k est croissnte et l suite I+ k est décroissnte. Évidemment on ussi I k I+ k, ce qui lisse à démontrer seulement k I + k I k = 0 pour voir des suites djcentes. Or, grâce u Théorème l fonction f est uniformément continue ussi. Clculons l différence I + k I k n k 1 = (g + k (t) g k (t))dt = (t i+1,k t i,k )(mx{f(x) : x [t i,k, t i+1,k ]} min{f(x) : x [t i,k, t i+1,k ]}). i=1 Or, l quntité mx{f(x) : x [t i,k, t i+1,k ]} min{f(x) : x [t i,k, t i+1,k ]} (l oscilltion de f sur [t i,k, t i+1,k ]), est évidemment inférieure ou égle à ω(t i+1,k t i,k ), où ω est le module de continuité de f. On donc, fortiori, mx{f(x) : x [t i,k, t i+1,k ]} min{f(x) : x [t i,k, t i+1,k ]} ω(tille(t k )). On retrouve lors n k 1 I + k I k (t i+1,k t i,k )ω(tille(t k )) = (b )ω(tille(t k )). i=1 Comme k tille(t k ) = 0 est 0 ω() = 0, on k I + k I k = 0 et les deux suites sont donc djcentes. Considérons mintennt deux suites de prtitions T k et S k. On veut démontrer que l ite I qu on obtient est l même. Considérons une troisième suite de prtitions R k = T k S k (pour chque k, nous prénons tous les points de T k insi que tous les points de S k, elle est donc une prtition plus fine des deux, et on encore k tille(r k ) = 0). Écrivons I(T ) ± k et I(R)± k pour les suites d intégrles fites vec les prtitions T k et R k, respectivement. On, pour l même rison que R k est plus fine que T k, I(T ) k I(R) k I(R)+ k I(T )+ k. Pr le théorème des gendrmes, les ites de I(T ) ± k et I(R)± k doivent être les mêmes. Ceci donne l églité entre ce qu on obtient vec T k et vec R k mis, de même, on peut l ppliquer à R k et S k. Finlement les ites obtenues vec T k et S k sont les mêmes. Il n est ps difficile, ensuite, d étendre l définition d intégrle ux fonctions continues pr morceux. Imginons d voir une fonction f : [, b] R insi que des fonctions continues f j : I j R, les intervlles I j étnt de l forme [c j, c j+1 ] où C = ((c j ) j ) est une prtition de [, b] et supposons f = f j sur ]c j, c j+1 [. On peut lors définir f(t)dt en considérnt des prtitions T k qui pssent chcune pr tous les points c j, en rendnt de dette mnière indépendnt ce que f fit sur chcun des intervlles I j. Il est utile de remrquer que toute fonction étgée est églement continue pr morceux. 2.2 Le théorème fondmentl du clcul et l intégrtion pr prties On verr dns cette section l instrument principl pour le clcul des intégrles, qui dns l prtique ne psse ps du tout pr l définition vi les fonctions étgées, ni pr les ites vec les prtitions. Cet outil qu on verr s ppelle à bonne rison théorème fondmentl du clcul intégrl" et rélie les concepts d intégrle et de dérivée. Pour en prler on besoin d bord de remrquer un petit détil ssez fcile et connu (on m dit comme ç en TD) sous le nom de formule de Chsles". Lemme Si f est une fonction continue ou continue pr morceux sur un intervlle [, b] = [, c] [c, b] (c étnt un point intermédiire entre et b), lors on f(t)dt = c f(t)dt + c f(t)dt. Démonstrtion. Il fut d bord remrquer que cette églité, plutôt trivile, est encore plus trivile qund on prle de fonctions étgées, cr on à fire vec une églité des sommes. Si f est une fonction étgée et (t i ) i est une prtition qui lui est dptée, on peut supposer que c est l un des points séprteurs de l prtition (quitte à remplcer l prtition pr une prtition plus fine, où l on rjoute le point c). Supposons donc t k = c vec 0 < k < n. On f(t)dt = n k 1 n 1 m i (t i+1 t i ) = m i (t i+1 t i ) + m i (t i+1 t i ) = i=0 i=0 i=k c f(t)dt + c f(t)dt. 17