FONCTION EXPONENTIELLE ET EQUATION DIFFERENTIELLE. 1 + x n

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1 FONCTION EXPONENTIELLE ET EQUATION DIFFERENTIELLE. I LA FONCTION EXPONENTIELLE Définition Il eiste une fonction f, dérivble sur IR, solution de l'éqution différentielle Y '= Y et telle que f(0) = que l'on ppelle l fonction eponentielle. Eistence de f :L méthode d'euler suggère d'étudier les suites + n n et n n. On dmet provisoirement que pour tout réel ces deu suites convergent vers l même ite et on note provisoirement ep () cette ite. Unicité de f Démontrons d'bord que f ne s'nnule ps sur IR. Soit l fonction φ définie sur IR pr φ () = ep() ep( ). φ est dérivble sur IR et φ'() = ep'() ep( ) ep() ep'( ) = 0. L fonction φ est constnte sur IR et égle à cr ep(0) =. donc φ(0) = Donc pour tout réel, f() f( ) =. f ne s'nnule donc ps sur IR. Démontrons mintennt l'unicité de l solution. Soit On définie h l fonction définie sur IR pr h() = f() Puisque pour tout réel, ep() ep(-) = donc l fonction ep ne s'nnule jmis. 2 Propriété L fonction eponentielle est strictement positive sur IR. On démontre mintennt, pr l'bsurde, que l fonction ep est strictement positive. S'il eistit 0, tel que ep( 0 ) 0, lors, ep étnt dérivble sur IR, elle est continue sur IR. En ppliqunt le théorème des vleurs intermédiires à l fonction ep sur [0 ; 0 ] ou [ 0 ; 0], on trouverit une solution à l'éqution ep() = 0. Ceci est fu puisqu'on montré que ep ne s'nnule jmis, donc o tel que ep( 0 ) 0 n'eiste ps. Remrque : si f est continue sur un intervlle I et si f ne s'nnule ps sur cet intervlle lors f grde un signe constnt 3 propriété ("crctéristique" de l fonction ep) Pour tous nombres réels et b, ep ( + b) = ep() ep(b). Soit l fonction g définie sur IR pr g() = ep(+ b ) ep() où et b sont des nombres réels. g est dérivble sur IR, et on g'() = 0 g() = g(b) = ep() ep(b) g(0) = g( + b) = ep( + b) on donc : ep( + b) = ep() ep(b). L propriété est "crctéristique" de l fonction ep f est dérivble sur IR pour tout réel et b : f( + b) = f() f(b) crctérise l fonction ep. f'(0) = Pour tout réel, f( + 0) = f() f(0) donc pour tout réel : f() ( f(0)) = 0 Comme f '(0) 0 on peut dire que l fonction f n'est ps constnt sur I et donc qu'il eiste un réel tel que f() 0. On peut donc conclure que f(0) = Pour tout réel on pose g l fonction définie sur IR pr : g () = f( + ) = f() f(). g est l composée de deu fonctions dérivbles sur IR elle est donc dérivble sur IR IR, g () = f( + ) IR, g '() = f '( + ) ( + )' IR, g () = f() f() IR, g '() = f() f '() On donc : IR, f '( + ) = f () f '(). Pour = 0 on obtient : f '( + 0) = f() f(0). Comme f '(0) = on peut dire que pour tout réel, f '() = f() f vérifie f(0) = f ' = f f est donc l fonction ep

2 II NOTATION e Cs de IQ Le nombre réel ep(l) se note e. Tout d'bord, on montre que, pour tout nombre n entier nturel, on l propriété «Pour tout réel, ep(n) = (ep())n.» L propriété est vrie pour n = 0 cr, pr définition de l fonction ep : ep(0) =. Supposons que, pour un entier k, on it ep(k) = ep()) k. Alors, d'près l propriété 2, on : ep((k + )) = ep(k) ep()= ep()) k ep() = (ep()) k+. L propriété est vérifiée pour n = 0. Si on l suppose vrie pour n = k, lors elle est vrie pour n = k +, et donc pr récurrence, elle est vrie pour tout nombre entier n ep(n) = (ep() = e Pr définition, ep() = e et d'près l propriété 2, ep() ep( ) =. Donc ep( ) = e = e Donc, pour tout Z, ep() = e. Si est un nombre rtionnel, on peut écrire = p vec =, q entier strictement positif et p un entier reltif. : q ep(q) = (ep()) q. Or q =, donc (ep()) q = e. Soit ep() = e q ep() = ep(p ) = ep() p = e p q. Soit ep() = e Donc, pour tout élément de IQ, ep() = e. 2 Nottion On étend cette propriété à IR et on convient de noter e le nombre ep() pour tout élément de IR. Remrques Ainsi e 2 un sens, c'est l'imge de 2 pr l fonction e. On ussi e 0 = ; e l = e ; e = ; e 2 = e 3 Conséquences Pour tous nombres réels et b. e +b = e e b e = e e b = e e b Pour tout nombre réel et tout nombre rtionnel r : e r = (e ) r. EXEMPLES e + = e e ; e 2 = e e 2 ; e 2 = (e ) 2 ; e 2 = e. Remrque Ne ps confondre e ( b ) et ( e ) b ; insi e 2 = ep( 2 ) lors que (e ) 2 = e 2. III ETUDE DE LA FONCTION e D'près s définition : solution de l'éqution différentielle Y ' = Y et telle que f(0) =, l fonction e dérivble sur IR donc continue sur IR, et égle à s dérivée. est Vritions e est strictement croissnte sur IR. On (e )' = e et pour tout e > 0. 2 Limite en 0 e = 0 L fonction e est dérivble en 0 donc son tu de vrition e pour ite en 0 le nombre dérivé de e e en 0, soit : = e 0 0

3 3 ites en + et en + e = + e = 0 Pour étudier l ite en +, on montre d'bord que, pour tout, e Soit l fonction f définie sur R pr f () = e. f est dérivble sur IR et f () = e. Comme ep est croissnte sur IR et e 0 =, on obtient le tbleu de vritions de f ci-dessous. Comme, pour tout, f() > 0, on e > et, d'près un des théorèmes «des gendrmes», on : + e = +. Pour étudier l ite en, on pose X = et on e = e X = e X. : e = + e X = + e X = 0 cr + ex = f ' + f 4 Tbleu de vritions de l fonction ep et représenttion grphique + signe de f ' f e 0 L courbe représenttive de l fonction : e psse pr les points de coordonnée (0 ; l) et ( ; e). L tngente à l courbe représenttive de l fonction : e u point de coordonnées (0 ;) pour éqution = +. De plus, pour h «ssez petit» : e h + h. L courbe représenttive de l fonction e est u-dessus de l'e des bscisses, qui est une droite smptote. 5 Conséquences Pour tout nombre réel : e > 0. Pour tous nombres réels et : e = e équivut à =. e > e ' équivut à >. EXEMPLES e 3 = e + équivut à 3 = +. e équivut à 0. e = équivut à = 0. 6 Fonction e u() Soit u une fonction définie sur un intervlle I. Si u est dérivble sur I, lors l fonction e u() est dérivble sur I et s dérivée est : u '() e u(). D'près le théorème de l dérivée d'une fonction composée, e étnt dérivble sur IR et u dérivble sur I, l fonction composée : u-() e u() est dérivble sur I de dérivée u'() e u(). EXEMPLE L fonction e sin est dérivble sur IR de dérivée cos e sin. 7 Des ites fondmentles e + = + e = 0 On vu que, pour tout, e >. Donc, pour tout, e /2 2 et, pour tout 0, e ( e/2 ) 2 D'près un des «théorèmes des gendrmes», on obtient + On e = e.en posnt X =, on : e = X e X. X Or + e X = 0 donc e = X + e X = soit e 2 4 e = +. donc e 4.

4 8 Autres ites Pour tout nombre entier n strictement positif n e + n = + n n e = 0. Comme e > 0, - = e n = e /n n /n. On pose X = e X e on = + donc : n + X + n = e X + n X = + On pose = X. On : n e = ( X) n e X, soit n e = ( ) n X n e X. Donc n e = X n + )n e X = 0 Pour les ites en + et en, on retiendr que «ep l'emporte sur». III EQUATION DIFFERENTIELLE Y'= Y+ B théorème Soit un nombre réel. Les fonctions solutions de l'éqution différentielle Y '= Y sont définies sur IR pr : f() = k e où k est une constnte réelle. Soit ( 0 ; 0 ) un couple de nombre réels. L'éqution différentielle Y '= Y dmet une solution unique sur R vérifint les conditions initiles : 0 = f( 0 ). L fonction e est solution de l'éqution Y ' = Y. Si f est une utre solution de l'éqution Y ' = Y Soit g l fonction définie sur pr g() = f() e On : g '() = f '() e f() e (e ) 2 = 0 donc g est une fonction constnte donc f est de l forme k e L condition 0 = f( 0 ) s'écrit 0 = k e o soit k = 0 e o. Donc il eiste un réel k unique et une unique fonction f solution de l'éqution Y'= Y et vérifint 0 = f ( 0 ). EXEMPLE Soit l'éqution différentielle Y ' = 2 Y. Les solutions sont les fonctions ke 2 définies sur IR. Prmi ces solutions, une seule vérifie f() = 3 f() = 3 équivut à 3 = k e 2, soit k = 3 e 2, donc f() = 3 e 2 e 2 = 3e 2 2. Remrque Le réel et le point A(o ; o) sont donnés. Prmi les courbes représenttives des solutions de Y ' = Y, il eiste une seule courbe pssnt pr A. 2 Allure des courbes représenttives des solutions de Y = Y n > 0 = 0 < 0

5 3 Théorème Soit et b des nombres réels. Les fonctions solutions de l'éqution différentielle Y'= Y + b sont définies sur IR pr : b + k si =0 où k est une constnte réelle k e b si 0. Soit ( 0 ; 0 ) un couple de nombre réels. L'éqution différentielle Y ' = Y + b dmet une solution unique sur vérifint 0 = f( 0 ). ' Si = 0 : l'éqution différentielle s'écrit Y' = b. Donc les solutions sur IR sont les primitives sur IR de l fonction b, c'est-à-dire les fonctions b + k où k est une constnte réelle. Si 0, on peut écrire Y ' = Y + b On pose Z = Y+ b, d'où Z ' = Y' = Z et l'éqution différentielle s'écrit Z ' = Z dont les solutions sur IR sont les fonctions k e. Comme on Y = Z b les solutions de l'éqution Y ' = Y + b sont les fonctions k e b définies sur IR. L condition o = f(o) s'écrit o = k e b. Soit k = o + b e o Donc il eiste un réel k unique et une unique fonction f solution de l'éqution Y'= Y + b qui vérifie o, = f(o). f définie sur IR pr : f() = o + b e o b