PRIMITIVES ET INTÉGRALES

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1 Lurent Grcin MPSI Lycée Jen-Bptiste Corot PRIMITIVES ET INTÉGRALES Les fonctions de ce chpitre sont des fonctions d une vrible réelle à vleurs réelles ou complexes. Primitives. Définition Définition. Primitive Soit f une fonction continue sur un intervlle I. On ppelle primitive de f sur I toute fonction définie sur I dont l dérivée vut f. Exemple. Une primitive de tn sur ] π, π [ est t ln(cos t). Remrque. Une primitive est toujours dérivble donc continue. Proposition. Linérité Soient f et g deux fonctions continues sur un intervlle I et F et G deux primitives respectivement de f et g sur I. Soit (λ, µ) R. Alors λf + µg est une primitive de λf + µg. Exercice. Soit f une fonction continue sur R de primitive F sur R. Soient R et λ R. Déterminer à l ide de F une primitive de x f(x + ) et de x f(λx). Proposition. Soit f une fonction continue sur un intervlle I. Si F est une primitive de f sur I, lors les primitives de f sont les fonctions de l forme F + C où C est une constnte. Attention! Il est importnt de considérer une fonction continue sur un intervlle. Les fonctions f : { R R { R R et f x ln x : ln x si x < dmettent toutes deux pour dérivée l fonction x ln x + si x > inverse mis elles ne diffèrent ps d une constnte (f f = sur R et f f = sur R +). En effet, R n est ps un intervlle mis l réunion de deux intervlles (d où les deux constntes différentes). Exercice. Déterminer des primitives de x e x cos(x) et x e x sin(x) pr pssge en complexes. On dmet pour l instnt le théorème suivnt.

2 Lurent Grcin MPSI Lycée Jen-Bptiste Corot Théorème. Théorème fondmentl de l nlyse Soient f une fonction continue sur I et I. Alors F : x Autrement dit, F est l unique primitive de f sur I s nnulnt en. x est dérivble sur I et F = f. Attention! Il ressort des deux résultts précédents qu une fonction continue sur un intervlle dmet toujours une infinité de primitives sur cet intervlle. On prendr donc grde à ne jmis écrire des phrses du type «Soit F l primitive de f» mis plutôt «Soit F une primitive de f». Corollire. Clcul d intégrle Soit f une fonction continue sur I et F une primitive de f sur I. Pour (, b) I L quntité F(b) F() se note souvent [ F(t) ] t=b t=. F(b) F() Remrque. On en prticulier C dt = C(b ). Exercice.3 Bnl Etblir l dérivbilité puis clculer l dérivée de l fonction ψ définie pr x e x È e x + ln (t)dt. Exercice.4 Soit f une fonction continue sur R. Déterminer lim x x x. Exercice.5 Montrer que si f est une fonction continue et T-périodique sur R, lors pour tout R +T T. Primitives usuelles L connissnce des dérivées des fonctions usuelles permet de déterminer des primitives des fonctions usuelles.

3 Lurent Grcin MPSI Lycée Jen-Bptiste Corot Primitives usuelles Soit α R \ Z. Une primitive de x x α sur R + est x xα+ α +. Soit n N. Une primitive de x x n sur R est x xn+ n +. Soit n Z \ { }. Une primitive de x x n sur R + et sur R est x xn+ n +. Une primitive de x x sur R + sur R + est x ln x et une primitive de x sur R est x ln( x). Soit C. Une primitive de x e x sur R est x ex. Une primitive de x ln x sur R + est x x ln x x. Une primitive de x sin x sur R est x cos x. Une primitive de x cos x sur R est x sin x. Soit k Z. Une primitive de x tn x sur ] π + kπ, π [ + kπ est x ln cos x. Une primitive de x x sur ], [ est x rcsin x. Une primitive de x x sur ], [ est x rccos x. Une primitive de x sur ], [ est x rctn x. + x Une primitive de x sh x sur R est x ch x. Une primitive de x ch x sur R est x sh x. Une primitive de x th x sur R est x ln(ch x). Remrque. Une primitive de x x sur ], [ est églement x rcsin x. En effet, les fonctions rccos et rcsin différent d une constnte, à svoir rccos = π rcsin. Remrque. x ln x est une primitive de x ussi bien sur R + que sur R. Dns le même ordre d idée, si u est une fonction de clsse C ne s nnulnt ps sur un intervlle I, une primitive de u sur I est x ln u(x). u Méthode Clcul d une primitive de x e x cos(bx) et de x e x sin(bx) Pour clculer une primitive de x e x cos(bx) ou x e x sin(bx), on utilise le fit que ces fonctions sont respectivement l prtie réelle et l prtie imginire de x e αx vec α = + ib. Une primitive de x e αx est x eαx eαx. L prtie réelle et l prtie imginire de x sont donc α α respectivement des primitives de x e x cos(bx) et de x e x sin(bx). Remrque. Soit R. Une primitive de x est x x + rctn x. Soit R +. Une primitive de x est x rcsin x x. 3

4 Lurent Grcin MPSI Lycée Jen-Bptiste Corot Primitive de x x + bx + c Soit (, b, c) R 3 vec. On cherche à déterminer une primitive de x x + bx + c. Si le trinôme X + bx + c dmet deux rcines réelles distinctes r et r (vec r < r ), on déterminer deux réels C et C tels que Une primitive de x x R \ {r, r }, x + bx + c = C x r + C x r x + bx + c sur ], r [, ]r, r [, ]r, + [ est lors x C ln x r + C ln x R L vleur bsolue ssure l vlidité de cette primitive sur chcun des trois intervlles cités. Si le trinôme X + bx + c dmet une rcine double r, lors Une primitive de x x + bx + c x R \ {r}, x + bx + c = (x r) sur ], r[ et ]r, + [ est tout simplement x (x r) Si le trinôme X + bx + c n dmet ps de rcine réelle, on le met sous forme cnonique On en fit α = lors x R, b et β = b 4c 4 x + bx + c = [(x + α) + β ] mis peu importe. Une primitive de x x β rctn x + α β x + bx + c est Remrque. Il est INUTILE (et d illeurs impossible) de retenir ces résultts pr coeur. Seuls les trois cs et les méthodes ssociées sont à connître. Exercice.6 Déterminer des primitives de x x + 5x 3, x 4x + 4x + et x x + x +. Méthode Vérifiction des primitives Après voir déterminé une primitive d une fonction, on essier toujours de vérifier l vlidité de ses clculs en dérivnt l primitive pour voir si on retrouve bien l fonction initile. 4

5 Lurent Grcin MPSI Lycée Jen-Bptiste Corot Intégrles. Propriétés de l intégrle Proposition. Propriétés de l intégrle Soient f et g deux fonctions continues sur un intervlle I à vleurs réelles et (, b, c) I 3. Linérité Soit (λ, µ) R. Alors (λf(t) + µg(t)) dt = λ Positivité de l intégrle Si b et si f sur [, b], lors Croissnce de l intégrle Si b et si f g sur [, b], lors + µ. g(t) dt. c Reltion de Chsles f(t) + c g(t) dt. Attention! Il fut prendre grde à l ordre des bornes dès qu on écrit des inéglités vec des intégrles. On essier toujours de se rmener u cs b. Remrque. On rppelle que On rppelle églement que Chsles. b., ce qui est pr exemple une conséquence de l reltion de Remrque. L vrible d intégrtion est muette (comme l indice de sommtion dns une somme), c est-à-dire que f(u) du. Dns le même registre, une intégrle ne dépend ps de s vrible de sommtion mis seulement de ses bornes (et évidemment de l fonction intégrée). Exercice. On pose I n = t n + e t dt. Déterminer le sens de vrition et l limite de (I n). Exercice. x e t Montrer que lim dt = +. x + t + Proposition. Inéglité tringulire Soient f une fonction continue sur I à vleurs réelles et (, b) I. Si b, lors f(t) dt Remrque. Si on pense à l intégrle comme à une somme infinitésimle, ceci n est que l nlogue de l inéglité tringulire pour les sommes. 5

6 Lurent Grcin MPSI Lycée Jen-Bptiste Corot Exercice.3 On pose I n = ( ) n t n + t dt. Montrer que (I n ) converge vers. Exercice.4 Montrer que x lim x + x sin ( ) t dt =. t Proposition.3 Soit f une fonction continue et de signe constnt sur un intervlle [, b] ( < b) à vleurs réelles. Alors si et seulement si f est nulle sur [, b]. Remrque. On sit qu une somme de termes positifs est nulle si et seulement si chcun des termes est nul. L proposition précédente est l nlogue de ce résultt pour les intégrles. Pr contrposition, on le résultt suivnt. Corollire. Stricte positivité Soient f une fonction continue, positive et non constmment nulle sur un intervlle [, b] ( < b). Alors >. Exercice.5 Montrer que ln( + sin t) dt >.. Cs des fonctions à vleurs complexes Définition. Intégrle d une fonction à vleurs complexes Soient f une fonction continue sur un intervlle I à vleurs complexes et (, b) I. On pose Re(f(t)) dt + i Im(f(t)) dt Remrque. On en déduit en prticulier que Œ Re Re(f(t)) dt Im Œ Im(f(t)) dt Puisque des inéglités entre complexes n ont ps de sens, seules les propriétés suivntes de l intégrle subsistent. 6

7 Lurent Grcin MPSI Lycée Jen-Bptiste Corot Proposition.4 Propriétés de l intégrle complexe Soient f et g deux fonctions continues sur un intervlle I à vleurs complexes et (, b, c) I 3. Linérité Soit (λ, µ) R. Alors (λf(t) + µg(t)) dt = λ + µ Inéglité tringulire Si b, lors f(t) dt. Reltion de Chsles c f(t) + c g(t) dt. Attention! L positivité et l croissnce de l intégrle n ont plus ucun sens pour des fonctions à vleurs complexes. Dns l inéglité tringulire, les vleurs bsolues sont à remplcer pr des modules. 3 Méthodes de clcul Définition 3. Fonctions de clsse C Une fonction est dite de clsse C sur un intervlle si elle est dérivble sur cet intervlle et si s dérivée y est continue. Exemple 3. rcsin est de clsse C sur ], [. Attention! L condition de continuité n est ps là pour décorer. On verr plus trd des exemples de fonctions dérivbles à dérivées non continues. 3. Intégrtion pr prties L propriété suivnte n est qu une conséquence de l formule de dérivtion d un produit. Proposition 3. Intégrtion pr prties Soient u et v deux fonctions de clsse C sur un intervlle I. Alors pour (, b) I u(t)v (t) dt = [ u(t)v(t) ] t=b t= u (t)v(t) dt Exercice 3. Clculer t cos t dt. Exercice 3.. Clculer une primitive de ln sur R +.. Clculer une primitive de rctn sur R. 3. Clculer une primitive de rcsin sur [, ]. 7

8 Lurent Grcin MPSI Lycée Jen-Bptiste Corot Exercice 3.3 Clculer des primitives de x e x cos(x) et x e x sin(x) pr double intégrtion pr prties. Méthode ALPES Lorsqu on décide d intégrer pr prties un produit, se pose souvent l question de svoir quelle fonction dériver et quelle fonction «primitiver». De mnière générle, on dérive pr ordre de priorité décroissnte : A les Arctngentes, les Arccosinus, les Arcsinus ; L les Logrithmes ; P les Polynômes ; E les Exponentielles ; S les Sinus, les cosinus, les tngentes. 3. Chngement de vrible Proposition 3. Chngement de vrible Soient I et J deux intervlles de R. Soient ϕ une fonction de clsse C sur un intervlle I à vleurs dns R et f une fonction de clsse C sur ϕ(i). Soit (, b) I. Alors ϕ(b) ϕ() f(t)dt = f(ϕ(u))ϕ (u)du Méthode Chngement de vrible On dit qu on effectue le chngement de vrible t = ϕ(u). Comment lors se souvenir de l formule? On remplce t pr ϕ(u) dns l fonction à intégrer. dt du = ϕ (u) donc dt = ϕ (u)du et on remplce dns l intégrle. t doit vrier entre ϕ() et ϕ(b) lorsque u vrie entre et b, ce qui nous donne les bornes de l intégrle en u. Exemple 3. Soit à clculer l intégrle I = On dt = cos u du. t dt. On effectue le chngement de vrible t = sin u. Lorsque u vrie entre π et π, t vrie bien entre et. On en déduit I = π sin u cos u du = cos u cos u du = cos u du = ( + cos u) du = π π π π 8

9 Lurent Grcin MPSI Lycée Jen-Bptiste Corot Exercice 3.4 Clculer pr chngement de vribles une primitive de x rctn(e x )e x sur R. Exercice 3.5 Soit f une fonction continue et pire sur un intervlle I. Montrer que si f est pire, lors pour tout I, Montrer que si f est impire, et f(t)dt = f(t)dt et f(t)dt = 9