Propagation des ondes - 3

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1 Popagation des ondes - 3 L3 physique & sienes physiques - UPPA -3 Rayonnement d un dipôle életique vaiable Pou ompende la «naissane» des ondes életomagnétiques, il est utile d étudie la popagation du potentiel éé pa un dipôle életique losque elui-i vaie au ous du temps. Beauoup d «objets» sont des dipôles au sens stit, omme etaines moléules elle de l eau pa exemple) ; toutefois il ne faut pas ompende le teme dipôle dans un sens top étoit mais plutôt omme le pemie teme du développement d une distibution spatiale de hages életiques. En effet, on peut monte que toute distibution «vue de loin» peut ête epésentée pa un développement multipolaie. Le pemie teme, qualifié de monopolaie, oespond au as où la distibution n est pas équilibée : elle ompote plus de hages positives que négatives, ou invesement. Il onsiste à assimile la distibution à une hage pontuelle dont la valeu est la somme algébique de toutes les hages. Le deuxième teme, qualifié de dipolaie, est impotant losque le pemie est nul e qui est souvent le as a la matièe est életiquement neute) mais que le bayente des hages positives est difféent de elui des hages négatives. Losque les deux bayentes sont onfondus, on peut ensuite ajoute un teme quadupolaie, puis otupolaie, et. On pend pou modèle de dipôle un fil onduteu etiligne vetial de longueu d dont le ente est situé su l oigine de l axe Oz. On utilise dans la suite les oodonnées sphéiques, θ, φ) pou epée un point P à pati de l oigine. On appelle les fomules du gadient et du otationnel en oodonnées sphéiques : gad V V u + ot A sin θ V u θ + V u φ θ sin θ φ sin θ Aφ ) A ) θ u + θ φ A sin θ φ A ) φ) u θ + Aθ ) A ) u φ θ. Le fil, initialement non hagé et à l équilibe est paouu à pati de t pa un ouant It) vaiable au ous du temps. Explique qualitativement pouquoi le fil devient assimilable à un dipôle vaiable et expime le moment dipolaie pt) oespondant. Un ouant qui s établit pendant un etain temps onduit néessaiement à un déplaement des hages libes, qui se etouvent en exès à une extémité et en défaut à l aute. Losque le ouant

2 hange de sens, le mouvement invese poduit l effet invese ; le fil se ompote don omme un dipôle ave des hages opposées et vaiables aux extémités. Ce dipôle vaut pa définition : pt) a qt) u z. On se plae en un point P, θ, φ) de l espae tel que d. Expime le potentiel életique V, θ, φ, t) éé en e point pa le dipôle, en fontion de p t ) et de sa déivée p en onsidéant que p est une fontion d une seule vaiable, u t ). Comment pouvez-vous explique qualitativement que le teme fateu de p soit en omme pou le potentiel életostatique d un dipôle) alos que le teme fateu de p soit en? On appelle que le potentiel éé pa une hage pontuelle vaiable qt) située à l oigine s éit : V, θ, φ, t) V, t) q t 4πɛ Le potentiel est la somme des potentiels éés pa les deux hages pontuelles poduites aux extémités du fil pa l existene du ouant. La hage en z + d point A) et la hage située en z d point B) sont néessaiement opposées au même instant t en aison de la neutalité du fil. On peut don gade une seule notation qt) qui désigne pa exemple la hage en z + d et note dietement qt) pou l aute. Ces deux hages ne se situent pas, en généal, à la même distane du point P onsidéé : appelons + la distane AP et la distane BP. Le potentiel en P vaut alos : V, t) q t ) + q t ) 4πɛ + 4πɛ [ q t + ) q t )] 4πɛ + [ )] q t + ) 4πɛ Les distanes + et étant peu difféentes de distane OP ), on fait à la denièe ligne l appoximation onsistant à linéaise la fontion qt ). N.B. : Nous laisseons tombe povisoiement la notation q t ) pou gade seulement q dans quelques lignes suivantes pou allége la notation. Calulons la déivée patielle : [ q ] q q Il faut effetue un alul intemédiaie : q q u u q u q. On obtient don : [ q ] q q )

3 Pa ailleus si θ est la deuxième oodonnée sphéique du point P, θ, φ), alos + a os θ e qui donne finalement : V, t) a os θ 4πɛ q os θ 4πɛ p t t ) ) q t ) ) ) p t ) Le teme fateu de p est en omme le potentiel d une hage pontuelle : ei laisse pense que le point P «voit» une hage globale non nulle au lieu d un fil életiquement neute. C est le as! Comme le potentiel se popage à la vitesse finie, et que les distanes + et sont en généal difféentes, si le moment dipolaie don la hage q) est vaiable dans le temps, alos le point P «voit» les hages aux extémités du fil à deux instants difféents t + et t, e qui fait une somme non nulle. Cet effet n existe pas pou un dipôle statique, est pouquoi est uniquement le teme en p qui se ompote omme le potentiel d une hage. 3. Expime le potentiel veteu A au point P. On appelle que pou un élément de iuit de longueu d l paouu pa un ouant vaiable It) et situé à l oigine, il vaut en P : A, θ, φ, t) A, t) µ I t ) d l 4π Le alul est ii plus simple, puisqu on s intéesse à l effet d un ouant le long du fil et non à un effet difféentiel ente les deux extémités du fil poteuses de hages vaiables. La vaiation tempoelle est déjà inluse dans l existene même du ouant! D ailleus, si on devait teni ompte d un effet difféentiel, il faudait teni ompte de la vaiation du ouant peçu en P en fontion de la position de l élément de fil onsidéé, e qui onduiait à un alul intégal et non à une simple difféene ente deux points omme dans la question péédente. On éit ii dietement : A, t) µ I t ) a uz 4π On peut également expime e potentiel veteu en fontion de p : sahant que I dq dt, Ia dqa) dt dp dt dp du du dt p. p. Don on a également : A, t) µ p t ) uz 4π 4. Calule les omposantes du hamp életique à pati de la elation E gad V A t, en fontion de p et de ses déivées. Le potentiel salaie V ne dépend que des oodonnées spatiale et θ pas de φ) et du temps t. La fomule du gadient se simplifie don, mais attention : le veteu unitaie u z utilisé pou A n est pas un veteu de la base sphéique, il faut don le pojete su ette base : u z os θ u sin θ u θ 3

4 Le gadient du potentiel salaie donne en laissant tombe les t pou allége les notations, et en se appelant que u u u ) : gad V 4πɛ V V θ os θ 4πɛ os θ 4πɛ [ ] p p p p sin θ p + p p ) p p 4 p p) sin θ et A t s obtient immédiatement puisque t u u t u : A t µ p 4π os θ sin θ D où finalement le hamp életique en emplaçant µ pa ɛ à la deuxième ligne) : E os θ p + p +p 3 4πɛ p p sin θ µ 3 4π os θ p + p ) ) 4πɛ 3 p + p + p sin θ p os θ sin θ 5. Calule les omposantes du hamp magnétique donné pa B ot A. Les hamps E et B sont-ils othoadiaux? Le hamp magnétique est plus faile à alule pou une fois!) ; en effet on peut le alule pa la fomule B ot A en expimant dietement A selon u z, gâe à la fomule d analyse vetoielle : ot αv ) α ot V + gadα V 4

5 Ce qui nous donne ii : B ot µ 4π µ ot 4π p µ 4π [ p p ) u z ) u z ) ] ot u z + gad p u z O ot u z, il este don : B µ [ 4π µ 4π [ p ) ] u u z p p u u z ] Comme u u z u os θ u sin θ u θ ) sin θ u u θ sin θ u φ, on a finalement : B µ sin θ 4π p + p ) On emaque que le hamp E a une omposante adiale non nulle ; il n est don pas othoadial. Pa onte le hamp magnétique l est. 6. Losqu on se touve loin de l oigine, quelles sont les omposantes de E et de B qu on peut néglige? Donne les expessions simplifiées de E et de B et monte que B peut s expime dietement sous fome vetoielle en fontion de E, u et. Comment est polaisée l onde életomagnétique? Comment vaient les nomes des hamps en fontion de la distane au dipôle? Compae au as statique. Loin de l oigine, on néglige les temes de puissane les plus basses en. Il este don pou le hamp életique : E 4πɛ 3 p sin θ 4πɛ p sin θ u θ qui est ette fois othoadial ; pou le hamp magnétique il este : B µ sin θ 4π p sin θ u φ En utilisant la popiété ɛ µ, on peut tansfome l éitue de B et les deux hamps appaaissent alos eliés tès simplement : 5

6 E B p sin θ 4πɛ u θ p sin θ 4πɛ 3 u φ Sahant que u u θ u φ, on peut éie la elation : B u E en emaquant que u onstitue ii le veteu unitaie de la dietion de popagation du hamp életomagnétique. On etouve la stutue de l onde plane. L onde életomagnétique est polaisée suivant u θ puisque la polaisation est définie pa la dietion du hamp életique. Les nomes des hamps vaient en ontaiement au as statique où elles vaient en. Cette vaiation est endue néessaie pa la onsevation de l énegie : puisque elle-i est tanspotée l onde, et qu elle est popotionnelle au aé des hamps E ɛ E + µ B ), il est néessaie que les hamps vaient en pou qu en intégant su la sufae de la sphèe de ayon don su une sufae vaiant omme ), l énegie este onstante. 7. Dans le ade de ette denièe appoximation, alule le veteu de Poynting R E B µ et appele sa signifiation ainsi que son unité. Quelle est sa dietion? De quelle oodonnée aute que sa nome dépend-elle? Tae la vaiation de R en fontion de ette vaiable et en examine les onséquenes pou l émission et la éeption d ondes adio. Le alul donne dietement : R ) p sin θ 6π ɛ µ 5 u θ u φ ) p sin θ 6π ɛ 3 u Sa dietion est adiale, est la dietion de popagation. Sa nome ne dépend que de et de θ pas de φ) ; le ayonnement est don à symétie ylindique autou de l axe Oz. La nome de R est nulle selon l axe Oz sin θ ), et maximale dans le plan othogonal au dipôle. Ce qui signifie qu une antenne émettie vetiale émet son maximum de puissane dans le plan hoizontal qui passe pa elle ; et symétiquement, puisque le hamp életique émis dans les dietions de e plan a une polaisation vetiale, une antenne éeptie sea plus effiae si elle est vetiale, la difféene de potentiel à ses extémités étant povoquée pa l entaînement des hages libes pa le hamp életique. L aspet de la vaiation de R en fontion de θ, en oodonnées polaies, est le suivant le dipôle est vetial su la figue) : 6

7 On peut tae e diagamme dans l espae pou faie joli, mais ça ne set pas à gand-hose puisque la puissane ne dépend pas de φ : 8. En intégant su la sufae d une sphèe entée à l oigine, alule la puissane moyenne ayonnée pa un dipôle osillant à la pulsation ω, défini pa pt) p os ωt). Le poblème étant à symétie ylindique, l élément de sphèe pou l intégation est une ouonne sphéique de lageu dθ située à la ote θ ; son aie vaut ds π sin θ) dθ) π sin θ dθ. Le veteu de Poynting est en tout point othogonal à la sphèe ; le poduit salaie R d S vaut don simplement R ds et l intégale se alule failement : P π p 6π ɛ 3 ω 4 p 8πɛ 3 sin 3 θ dθ sin 3 θ dθ Le alul de l intégale peut se faie moyennant une petite tansfomation : sin 3 θ dθ sin θ sin θ dθ sin θ os θ ) dθ sin θ dθ [ os θ] π + [ 3 os3 θ + + ) 3 sin θ os θ dθ ] π 4 3 7

8 Ce qui donne finalement : P ω4 p πɛ 3 3) 9. Examine omment ette puissane vaie en fontion de la pulsation ou de la longueu d onde). Sahant que toute moléule est omposée d un noyau et d un nuage d életons, pouvez-vous en déduie qualitativement l effet poduit su un faiseau de lumièe blanhe pa la tavesée d un gaz non absobant pa exemple l ai)? Pouvez-vous applique e aisonnement à un nuage de patiules solides ou liquides) au lieu des moléules, et si oui dans quelles limites? Si la puissane vaie omme ω 4, elle vaie également omme λ 4 puisque λ f π ω. Don, si le moment dipolaie p ne dépend pas de la longueu d onde, la puissane ayonnée augmente tès fotement losque la longueu d onde diminue. Si une lumièe blanhe tavese un gaz omme l ai de l atmosphèe, haque moléule de e gaz va se tansfome en dipôle vaiable sous l ation du hamp életique de l onde. La polaisabilité de la moléule vaie en généal ave la féquene ou ave la longueu d onde), il n est don pas tout à fait justifié de onsidée que le moment dipolaie p est indépendant de la longueu d onde. Cependant, si ette vaiation n est pas top fote, l effet donné pa la elation 3 domine, et la lumièe qui est diffusée pa les moléules dans difféentes dietions de l espae ontient davantage d énegie dans les outes longueus d onde violet, bleu) que dans les gandes ouge, jaune). On peut de ette façon explique la dominante bleue du iel de jou : en effet losqu on egade le iel, on peçoit la lumièe du soleil qui a été diffusée pa l atmosphèe. Comme de plus l oeil a une sensibilité tès faible aux plus outes longueus d onde du visible violet), on vea une dominante bleue et non violette. Bien entendu, ette expliation est simplifiée et la vaie ouleu du iel doit teni ompte d autes subtilités omme la pésene d eau liquide bume), de polluants, et. Pou des patiules de plus gande taille que les moléules de gaz, le même aisonnement peut ête tenu ; une patiule isolante peut en effet se ompote en dipôle vaiable losqu elle est soumise au hamp életique. Mais il faut pende gade à sa taille : en effet, si elle est ompaable à ou plus gande que la longueu d onde de la lumièe, le hamp életique n est plus homogène dans le volume de la patiule ; il en ésulte qu on ne peut plus la onsidée omme un dipôle vaiable mais omme une supeposition de dipôles vaiables déphasés ente eux. Le poblème est alos beauoup plus omplexe et la dépendane du ayonnement en fontion des dietions de l espae l est également. 8