Correction Mines PC 2 : Problème de Waring

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1 Correcton Mnes PC : Problème de Warng Glbert Prmet glbertprmet@9onlnefr 9 ma 6 Merc d adresser vos éventuelles remarques et correctons à l adresse c-dessus A Proprétés élémentares du Wronsken On pose d) = d) k = dd ) d k + ) est un polynôme untare de degré k en d Les polynômes d nconnue d : d k k [, p ] forment donc pour tout enter naturel p, une famlle lbre, donc une base de R p [d] pusque dmr p [d] = p + Pour tout enter naturel p non nul, l exste donc des réels non nuls tels que d p = p k= a k,pd) k Comme d p est untare, on a a p,p = On effectue donc successvement les opératons sur les lgnes : L L + j = a j, L j, pour = n,n,, Ces opératons ne changent pas le détermnant On obtent alors le détermnant de Vandermonde V d,,d n )Donc : Dd,,d n ) = V d,,d n ) On suppose sans doute que d,,d n sont des enters naturels, et d après la sute de l énoncé, on suppose qu ls sont supéreurs ou égaux à n snon, l y aurat des problèmes en x = Pour tout enter naturel k non nul : x I f k) x) = a j j d j d j )d j k + )x d j k où l on a posé f j x) = a j x d j On a donc pour tout enter naturel k, avec les mêmes restrctons sur x et la conventon d) = : x I f k) x) = a j j d j ) k x d j k On peut mettre x d j k en facteur dans la k + éme lgne, et a j dans la j ème colonne Par lnéarté sur les lgnes et les colonnes, on obtent donc : Sot : W,, f n ) = Dd,,d n )x d ++d n n k= k n W,, f n ) = V d,,d n )x d ++d n n ) n a 3 D après le théorème et la formule) de Lebnz, pour tout enter naturel k [,n ], et tout j [,n ] :f j g ) est k fos dérvable et f j g ) k) = n k f ) g k ) On effectue donc, dans le détermnant défnssant W n g,, f n g ) les opératons : L L k k = k g k ) x)l, a

2 successvement pour k =,3,,n On obtent alors : g x) g f x) g f n x) g x)f x IW n g,, f n g )x) = x) g x)f x) g x)f n x) g x)f n ) x) f n ) x)g x) g x)f n n ) x) Et par n lnéarté par rapport aux colonnes, on a : W n g,, f n g ) = g n W n,, f n ) 4 Applquant le résultat précédent aux fonctons : x, f,, f n, la foncton jouant alors le rôle de g, on obtent : W,, f n ) = f n W n, f,, f ) n La premère colonne de ce derner détermnant est En développant par rapport à la premère colonne, on obtent alors ben : W n,, f n ) = f n W n f ),, fn ) ) En effet : f j ) )k) ) f k+) j = B Annulaton du Wronsken Il serat plus correct de noter D n I,R) l espace des fonctons de I dans R qu n fos dérvables 5 Il exste des réels α,,α n non tous nuls tels que : Par lnéarté de la dérvaton, on a donc : n α f = k [,n ] n α f k) = Et donc, s l on appelle C x),,c n x) les colonnes de la matrce défnssant le Wronsken W n,, f n )x) : n α C = Et donc : x I W,, f n )x) = f 6 On a alors Donc f est constant D où le résultat ) f f = f f f 7 Sot c ]a,b[ Donc c R) On défnt, f : I R par : : { { t ]a,c] t ]a,c] t c) n t ]c,b[ t c) n, f t ]a,b[

3 et f sont évdemment contnues sur ]a,b[ On vot que et f sont de classe C n sur ]a,c[ et ]c,b[, les dérvées successves ayant une lmte nulle à drote et à gauche en c Plus précsément, pour k [,n ] : { { t ]a,c] t ]a,c] f k) n! n k)! t c)n k : t ]c,b[ n! n k)! t, f c)n k t ]a,b[ En applquant le théorème de la lmte de la dérvée successvement à, f,, f n ), on vot que est de classe C n ) sur ]a,b[, et que les dérvées successves de jusqu à l ordre n sont nulles en c La même proprété est vrae pour f On a donc W, f ) = Par contre, la famlle, f ) est lbre En effet, sot une combnason lnéare nulle de, f ) On a alors α + βf =, c est à dre : x ]a,b[ α x) + βf x) = En prenant y < c, pus z > c, on obtent : { βy c) n = αz c) n =, donc α = β = 8 Montrons la proprété par récurrence sur n N, avec n avec la précson que J est un ntervalle ouvert non vde, ou alors, ce qu revent au même du pont de vue du résultat, que J est un ntervalle ayant au mons deux éléments, snon la queston serat trvale) Soent deux fonctons et f dérvables de I dans R, telles que W, f ) =, c est-à-dre f f f = S est nulle, la famlle, f ) est lée Snon, l exste c ]a,b[ tel que c) Comme est contnue pusque dérvable, l exste ɛ > tel que ne s annule pas sur J =]c ɛ,c +ɛ[ La restrcton de f est alors défne et dérvable sur J, et f = f f Donc f est constante sur J, et donc J,f ) J ) est lée Sot n N, n 3 Supposons la proprété vrae à l ordre n Soent,, f n ) des fonctons n fos dérvables sur un ntervalle I =]a,b[, a < b telles que W n,, f n ) = S =, alors la famlle,, f n ) est lée Snon, en reprenant le même fl que c-dessus : Snon, l exste c ]a,b[ tel que c) Comme est contnue pusque dérvable, l exste ɛ > tel que ne s annule pas sur J =]c ɛ, c + ɛ[ Sur l ntervalle J, on obtent alors : [ ) ) W,, f n ) = = f n W f fn n,, [ ) f fn D après l hypothèse de récurrence pusque les fonctons,, sont n fos dérvables f fn sur K,, l exste un ntervalle ouvert non vde K J tel que les restrctons à K de,, à K forment une famlle lée : α,,α n ) R n f fn \ {,,}, x K α x) + + α n x) = On obtent alors : Et donc sur K I : f = f fn α R x K α x) + + α n x) = α α n α k f k =, ce qu termne la récurrence pusque le n-uplet α,,α n ) est non nul k= 3

4 9 Précsons d abord le sens de l égalté demandée On dot montrer qu l exste une matrce nversble A d ordre n telle que pour tout x I : x),, f n x))a = g x),, g n x)) Remarquons auss que d après les hypothèses, l ntervalle I étant ouvert, les fonctons,, f n sont de classe C Au sens mathématque usuel) Examnons le cas n = Les fonctons, f sont non dentquement nulles elles forment une famlle lbre), et coïncdent avec leurs développements en sére, donc leurs développements en sére entère n ont pas leurs coeffcents tous nuls, et leur ordre exste ben S ces ordres sont dfférents, alors A = I convent Snon, sot q leur ordre commun : + + x I x) = a s x s, f x) = b s x s, a q, b q s=q s=q Alors g = b q a q f est développable en sére entère, non nulle pusque, f ) est lbre), et d ordre strctement supéreur à q On pose g =, et donc A = A est nversble et l on a b q a q ben :, f )A = g, g ) De plus, l ordre de g est strctement supéreur à l ordre de g, donc dfférent Sot la proprété de l énoncé avec la condton supplémentare que le mnmum des ordres de g,, g n est égal au mnmum des ordres de,, f n D après la démonstraton précédente, la proprété est vrae à l ordre Supposons la proprété vrae à l ordre n Sot n + ) fonctons non nulles,, f n+ développables en sére entère au vosnage de, d ordre non nul, formant une famlle lbre On commence par chosr une foncton d ordre mnmal que l on permute avec Cela revent à multpler,, f n+ ) à drote par la matrce de permutaton P d ordre n + obtenue à partr de la matrce dentté I n+ en permutant les lgnes d ndce et on garde I n+ s = ) Appelons d,,d n+ les ordres respectfs des nouvelles fonctons h,,h n+ qu forment encore une famlle lbre), et a,, a n+ les coeffcents non nuls) des termes respectfs de plus bas degré de ces fonctons On procède par "élmnaton gaussenne" sur les développements en sére entère : Pour [, n ], on effectue h x) h x) a a h x) Cec revent à multpler h x),,h n+ x)) à drote par la matrce B obtenue à partr de la matrce dentté I n+ par les mêmes opératons cette matrce est nversble pusque ses éléments dagonaux sont des Le rang de la famlle obtenue est égal au rang de la famlle ntale, ces opératons ne modfant pas le rang La nouvelle famlle h,,h n+ ) est donc lbre, donc également la nouvelle famlle h,,h n+ ) De plus, les ordres de h,,h n+ sont tous strctement supéreurs à l ordre de h Enfn, les nouvelles fonctons sont développables en sére entère au vosnage de et coïncdent avec leur somme sur I D après l hypothèse de récurrence, l exste une matrce carrée C nversble d ordre n, et des fonctons développables en sére entère g,, g n+ d ordres deux à deux dstncts, le mnmum des ordres étant le même que le mnmum des ordres de h,,h n+, telle que : h,,h n+ )C = g,, g n+ ) S l on pose g = h et s l on consdère la matrce par blocs d ordre n + ) :,n D =, n, C alors : h,,h n+ )D = g,, g n+ ) De plus detd) = detc ) Donc D est nversble Les ordres g,, g n+ sont deux à deux dstncts S l on pose alors A = PBD, on obtent : Cec termne la récurrence,, f n+ )A = g,, g n+ 4

5 On peut écrre, pour tout [,n ], g x) = a x d + h x), où h est ndéfnment dérvable et h x) = o x d ) et a ) On a alors pour tout,k) [,n ] : g k ) x) = a d ) k x d k+ + h k ) x) D après son développement en sére entère, au vosnage de : h k ) x) = x d k+ u,k x), où u,k x) = o ) Donc : Deux rédactons possbles :,k) [,n ] g k ) x) = a x d k+ d ) k + o )) a) En MP ou PSI, on pourrat rédger de la façon suvante : W n g,, g n )x) = σ S n ) εσ) = σ S n ) εσ) [,n ] g σ ) ) x) ) x d σ )+ d ) k + o )) [,n ] = ) ) εσ) x d σ )+ d ) k + ) σ S n [,n ] ) Au total, le détermnant s écrra C x d + +d n n ) + )) Il reste à montrer que C est non nul Or, C x d + +d n n ) est le détermnant obtenu en ne gardant que le terme a x d k+ d ) k dans x) g k) au vosnage de n C x d + +d n n ) ) = a )W n x x d,, x x d n ) n W n g,, g n )x) = a )W n x x d,, x x d n ) + o)) Donc, d après la queston : Pusque les d sont deux à deux dstncts) D où : n C = V d,,d n ) a n W n g,, g n ) = Dd,,d n ) a x d + +d n n ) + )) b) Pour montrer cette queston avec les outls de PC, l faut fare une récurrence sur n La proprété est vrae au rang n = En effet, s et f sont deux fonctons développables en sére entère, avec des ordres dstncts et supéreurs ou égaux à, on a, en reprenant les notatons c-dessus : W n g, g ) = a x d +O))d a x d +O)) a d x d +O))a x d +O)) 5

6 Sot : W n g, g ) = a a d d )x d +d +O)) = a a Dd,d )x d +d ) + ) La formule à montrer est vrae à l ordre Sot n nn, n Supposons la proprété vara à l ordre n, pour tout n upl et de fonctons développables en sére entère d ordres supéreurs ou égaux à n Soent g,, g n+ des fonctons développables en sére entère au vosnage de et d ordres à dstncts supéreurs ou égaux à n Alors,on peut écrre, en développant W n+ g,, g n+ ) par rapport à la dernère lgne : n+ W n+ g,, g n )x) = ) n++ g n) x)w n g x),, ĝ x), g n+ x)) La notaton ĝ x) sgnfe que l on omet g x) dans les arguments, y comprs s = ou = n + D après l hypothèse de récurrence : W n+ g,, g n+ )x) ) n++ d ) n x d n )a n+ = = n+ j [,n+ ],j a j )Dd,, d,,d n+ )x ) n+ a j ) n+ d ) n Dd,, d,,d n+ ) x j = = n+ j = n+ a j )Dd,,d n+ )x j = j [,n+ ],j d j ) n+ ) + )) n+ j = d j ) n ) +O)) d j ) n+ ) + )) ) Ce qu termne la récurrence En effet Dd,,d n+ ) = V d,,d n+ ), pusque le détermnant de Vandermonde est nul s et seulement s deux des d sont égaux Sot a N tel que [,n ]d +a n Les fonctons g g, g g n satsfont aux mêmes hypothèses que g,, g n : elles sont développables en sére entère avec des ordres a +d deux à deux dstncts, cette fos-c tous supéreurs ou égaux à n On a alors au vosnage de : n W n g g,, g g n )x) = V d + a,,d n + a) a x d + +d n +na n ) + )) Or d après la queston 3 : W n g g,, g g n )x) = g n x)w n g,, g n )x) = x n aw n g,, g n )x) Et donc, on obtent : n W n g,, g n )x) = V d + a,,d n + a) a x d + +d n n ) + )) Or V d + a,,d n + a) = <j n d j + a d + a)) = <j n d j d ) = V d,,d n ) Donc, on a à nouveau : n W n g,, g n ) = V d,,d n ) a x d + +d n n ) + )) 6

7 D après l expresson précédente, w n g,, g n ) est non nulle au vosnage de Or, par lnéarté de la dérvaton, on a pour tout enter k, k n : Donc : Donc f k) x) f x) f n x) f x) f x) f n x) f n ) x) f n ) x),, f n [k) k) k) x))a = g x),, g n x)) A = x) f n n ) x) g x) g x) g n x) g x) g x) g n x) g n ) x) g n ) W n,, f n )deta) = W n g,, g n ) x) g n n ) x) Comme deta) pusque A est nversble), la wronskenne W n,, f n ) est donc non nulle au vosnage de Remarque A GL n R) On ne vot pas, snon en lsant la sute, la nécessté de C C Problème de Warng sur C[X ] Ic, le corps devent C, alors qu auparavant, c état R Il va fallor adapter les résultats précédents s on veut les utlser Il y a là une ncohérence 3 est un endomorphsme de C[X ], et s P est un polynôme non constant, deg P) = degp) Ces deux proprétés forment un exercce classque On montre alors par un récurrence mmédate que s P est un polynôme de degré n, et k un enter naturel comprs entre et n : En partculer : deg k P) = degp) k deg n X n )) = Cec répond à la premère parte de la queston On magne que dans l énoncé, a et b sont des réels) On exprme ensute n : S T est l applcaton lnéare P PX + ) dans lu-même, alors = T Id, où Id est l applcaton lnéare) dentté de C[X ] Id commute pour la lo avec T, donc : n = Or T k est le polynôme PX + k) Donc : n P)X ) = n k= n k= n ) n k T k k n ) n k PX + k) k Et en partculer, avec tous les abus de notaton : n X n n n ) = ) n k X + k) n = ax + b k k= Cec est valable pour toute valeur de X En partculer, en posant Y = ax + b, comme a, Y peut prendre toute valeur complexe, on obtent donc : n Y Y C ) n k n b n + k) = Y k a k= L égalté précédente peut être consdérée comme une égalté polynômale S l on pose, pour k [,n ] : Y b f k Y ) = ω k + k a 7

8 où ω k est une racne nème de ) n k n k ), on obtent donc ben : Y = f n Y ) + + f n n Y ) Le problème de Warng admet donc des solutons, et kn) n 4 Supposons que : X = kn) j = f n X ) Cec étant valable pour toute valeur de X, on obtent alors : kn) X C g X ) = f n g X )) La composée de deux fonctons polynômes est une foncton polynôme En posant : g = f g, on obtent donc : g X ) = g n X ) + + g n kn) X ), où g,, g n sont des fonctons polynômes 5 D après la queston 3 : k) S l on avat k) =, l exsterat un polynôme X ) tel que X ) = X On aurat alors deg = degx ) =,ce qu est mpossble, donc k) = 6 On déborde le cadre ntal de défnton du Wronsken, qu état défn pour des fonctons de varables réelles à valeurs réelles Ic, la seule dérvaton que l on connasse pour des polynômes quelconques de varable complexe est la dérvaton formelle Par lnéarté de la dérvaton, et la n-lnéarté d une matrce carrée d ordre n par rapport à ses colonnes, le wronsken est n-lnéare et ben sûr) alterné en ses arguments On a donc : W kn) f n,, f n kn) ) = W kn)f n + + f n kn), f n,, f n kn) ) = W kn)x, f n,, f n kn) Z est un polynôme, pusque tous les termes du détermnant le défnssant sont des polynômes S Z état le polynôme nul, Z le serat également On peut magner qu l faut utlser les résultats de la premère parte, mas ce résultats ont été a pror établs pour des fonctons de varable réelle à valeur réelle Pour rester dans la lmte du programme, on peut supposer qu on les a établs pour des fonctons de varable réelle à valeurs complexes et s l on regarde en détal les démonstratons, elles convennent encore, entout cas pour les polynômes) S Z état le polynôme nul, l exsterat un ntervalle réel J non vde et non rédut à un sngleton, tel que les restrctons de X, f n,, f n à J forment une famlle lée : l exsterat des complexes kn) α,α, α n non tous nuls tels que : j = kn) x J αx + α k f n k x) = Un polynôme nul pour une nfnté de valeurs étant nul, on en dédurat que k= kn) αx + α k f n k k= x) = S α, et s ω k est une racne n-ème de α k α, pour k =,,kn), on obtendrat alors : kn) X = ω k f k ) n, k= ce qu contredrat la défnton de kn) Pusqu on aurat trouvé une soluton avec un nombre de termes nféreur) S α =, la famlle f n,, f n est lée, l exste donc un de ses éléments qu s exprme comme combnason lnéare des autres, et à nouveau, cec contredrat la mnmalté de kn) Z = Z n est donc kn) pas le polynôme nul 8

9 7 Montrons de façon plus générale que s Q est un polynôme, dvsble au sens des polynômes par P n, P étant un polynôme et n un enter naturel non nul, Q est dvsble par P n Il exste un polynôme R tel que Q = RP n On a alors Q = R P n + nrp P n = P n R P + nr) Comme R P + nr est un polynôme, on obtent ben que P n dvse Q Par une récurrence trvale, on obtent alors que pour tout enter naturel k n, P n k dvse Q k) Par conséquent, on peut mettre en facteur f n kn)+ rappel : kn) < n + ) dans la ème colonne de Z, le facteur restant étant un polynôme On obtent donc :Z = kn) f n kn)+ D, où D est un détermnant dont les coeffcents sont des polynômes, donc est un polynôme Donc Z est dvsble par kn) f n kn)+ X 8 Dans le détermnant défnssant Z, la premère colonne est On effectue l opératon sur les lgnes L X L L, qu transforme la premère colonne en La premère lgne du détermnant devent alors, f n nx f f n,, f n kn) nx f kn) f n n ) On a degf nx f kn) f n ) n deg f D autre part, pour k, on a : degf n ) k) ) = n deg f k Le polynôme Z est le cofacteur de dans le développement C est une somme de produts de kn) termes prs sur des lgnes et des colonnes dfférentes la deuxème lgne et la premère colonne exclues), donc de degré au plus kn) kn) kn)kn) ) + n degf ) + + kn) ) = + n degf ) = = On obtent donc l négalté demandée : degz ) + n kn) degf ) = kn)kn) ) 9 D après la queston 7, on a d autre part, comme Z n est pas le polynôme nul : Donc : kn) degz ) deg kn) n kn) + ) kn) = n kn) + ) f n kn)+ degf ) + n kn) degf ) = degf ) kn)kn) ) D où l négalté demandée en gardant le terme n deg dans le premer membre Les polynômes,, f n jouent le même rôle On a donc, pour tout [,kn) ] : kn) n deg f kn) ) deg f kn)kn) ) + S l on prend f de degré maxmal, donc non nul pusque X = kn) f n ), on obtent : kn) n degf ) kn) ) deg f kn)kn) ) + kn)kn) ) kn)kn) )degf ) + kn)kn) )degf ) 9

10 En effet kn), donc kn)kn) ) On obtent donc, comme degf ) : Mas alors, nécessarement : Et donc, en reprenant les calculs c-dessus : n k n) kn) k n) kn) > n < k n) kn)