Techniques Mathématiques de Base UCBL L1 PCSI UE TMB. Programme du cours. Partie I : Algèbre linéaire et géométrie cartesienne

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1 UCBL L PCSI UE Techniques Mthémtiques de Bse Alessndr Frbetti Institut Cmille Jordn, Déprtement de Mthémtiques frbetti// Progrmme du cours Prtie I : Algèbre linéire et géométrie crtesienne Ch. Nombres complees, fctoristion de polynômes Ch. Espces vectoriels et vecteurs Ch. 3 Trnsformtions linéires et mtrices Ch. 4 Géométrie crtésienne dns le pln et dns l espce Prtie II : Fonctions d une vrible réelle Ch. 5 Fonctions, grphes, réciproques Ch. 6 Dérivées, etrem locu, pproimtion de Tylor Ch. 7 et intégrles Ch. 8 Équtions différentielles A. Frbetti 7 Intégrles Intégrles Reltion Prim/Int Clculs Pr prties Chmt vrible Fcts circulires Frctions

2 Chpitre 7 Intégrles Dns ce chpitre:.. Intégrle de Riemnn et ire 3. Reltion entre primitives et intégrles 4. Techinques d intégrtion: pr prties et pr chngement de vrible. Cs des fonctions circulires et des frctions rtionnelles.. Définition: Soit f : r, bs Ñ R une fonction. Une primitive de f sur r, bs est une fonction F : r, bs Ñ R dérivble, telle que On note F pq F pq f pq pour tout P r, bs. f pq d, mis ttention! (voir l suite) Remrque: Toute utre primitive de f diffère de F pr une constnte. Eemples: cf. le tbleu des dérivées lu u contrire: n d n ` n` d n pn q n? d? `? d rctn d rcsin d ln sin d cos cos d sin cos d tn e d e sh d ch ch d sh ch d th A. Frbetti 7 Intégrles Intégrles Reltion Prim/Int Clculs Pr prties Chmt vrible Fcts circulires Frctions A. Frbetti 7 Intégrles Intégrles Reltion Prim/Int Clculs Pr prties Chmt vrible Fcts circulires Frctions

3 . Somme de Riemnn d une fonction Définition Soit f : r, bs Ñ R une fonction. Une subdivision Sn de r, bs est une prtition de l intervlle I r, bs en n intervlles Ii ri, is (pour i,..., n) de longueur δ b n, vec et n b. δ n b R Pour tout choi de n points i P Ii n b R on ppelle somme de Riemnn de f l somme nÿ Rnpf ; tiuq f pq b f piq δ i ` Chque terme f piq δ est l ire lgébrique (= ire) du rectngle de bse Ii et huteur f piq. Intégrle de Riemnn Définition: Si l limite lim R npf ; tiuq eiste, c est un nombre réel (ps 8), nñ8 et elle est indépendnte du choi des points i, on l ppelle intégrle de Riemnn de f sur r, bs: b f pq d lim nñ8 tout i Rnpf ; tiuq f pq b et on dit que f est intégrble selon Riemnn sur r, bs. Toujours pour ă b, on pose ussi b f pq d b f pq d Not: Le symbol ş rppelle l somme, et d représente l vrition infinitesimle de et s ppelle différentielle de. Eemples: Les fonctions continues et celles à forme d esclier sont intégrbles. L fonction de Dirichlet f pq " si P Q si P RzQ n est ps intégrble selon Riemnn, cr l limite de Rnpf ; tiuq dépend du choi des points i. A. Frbetti 7 Intégrles Intégrles Reltion Prim/Int Clculs Pr prties Chmt vrible Fcts circulires Frctions A. Frbetti 7 Intégrles Intégrles Reltion Prim/Int Clculs Pr prties Chmt vrible Fcts circulires Frctions

4 L intégrle donne l ire sous le grphe Corollire: b b f pq d ire lgébrique sous le grphe de f f pq d ire sous le grphe de f (positive) y f pq f f f f ` ` ` Eemple: L ire du disque D p, yq P R ` y ď ( D` se clcule comme une intégrle: AirepDq AirepD`q d D utres proprietés des intégrles Proprietés: b b b d d b longueur de r, bs f pq d c f pq d ` b Si f pq ď gpq pour tout P r, bs: ˇˇˇˇ ˇ b f pq dˇˇˇˇ ˇ ď b f pq d c f pq d b f pq d ď b b y gpq d A. Frbetti 7 Intégrles Intégrles Reltion Prim/Int Clculs Pr prties Chmt vrible Fcts circulires Frctions A. Frbetti 7 Intégrles Intégrles Reltion Prim/Int Clculs Pr prties Chmt vrible Fcts circulires Frctions

5 3. Reltion entre intégrle et primitives Théorème fondmentl du clcul intégrl: Soit f une fonction intégrble selon Riemnn sur r, bs. Alors, pour tout c P R, l fonction F : r, bs Ñ R définie en tout P r, bs pr F pq f pq F pq f ptq dt ` c b est une primitive de f (i.e. F pq f pq) telle que F pq c. En mots: l ire sous le grphe de f entre et donne une primitive F pq. Corollire: On peut donc clculer l intégrle de f si on connit une primitive F de f, vec l formule b f pq d b F pq d F pbq F pq F pq b Il ne reste plus qu à pprendre les techniques d intégrtion pour trouver l primitive. 4. Clcul de primitives et intégrles Pour clculer les primitives et les intégrles, on prt des cs connus et on modifie l fonction à intégrer en utilisnt les théorèmes suivnts. ) Si l intégrnd est une somme de fonctions Théorème: primitive: pλ f pq ` µ gpqq d λ f pq d ` µ gpq d intégrle: Eemple: b b pλ f pq ` µ gpqq d λ f pq d ` µ p3 cos ` 5 sin q d 3 cos d ` 5 sin d b gpq d Pr conséquent: π{ p3 cos ` 5 sin q d 3 sin 5 cos. 3 sin 5 cos ı π{ `3 sinpπ{q 5 cospπ{q `3 sin 5 cos p3 q p 5q 8 A. Frbetti 7 Intégrles Intégrles Reltion Prim/Int Clculs Pr prties Chmt vrible Fcts circulires Frctions A. Frbetti 7 Intégrles Intégrles Reltion Prim/Int Clculs Pr prties Chmt vrible Fcts circulires Frctions

6 Intégrtion pr prties ) Si l intégrnd est un produit de fonctions Théorème (Intégrtion pr prties): primitive: f pq g pq d f pq gpq f pq gpq d b ı b intégrle: f pq g pq d f pq gpq f pq gpq d Eemple: Pour clculer l primitive sin d, on pose b et on clcule On lors: f pq et g pq sin f pq et gpq sin d cos. sin d cos ` cos d cos ` sin. Pr conséquent: π sin d cos ` sin π π cos π ` sin π ` sin π. Eercice Eercice: Clculer l primitive cos d pr prties. Réponse: Posons f pq cos et g pq cos. On lors f pq sin et gpq cos d sin, et donc cos d sin cos ` sin d. Puisque sin cos, on cos d sin cos ` p cos q d sin cos ` d cos d sin cos ` cos d d où suit cos d ` sin cos et pr conséquent cos d p ` sin cos q. A. Frbetti 7 Intégrles Intégrles Reltion Prim/Int Clculs Pr prties Chmt vrible Fcts circulires Frctions A. Frbetti 7 Intégrles Intégrles Reltion Prim/Int Clculs Pr prties Chmt vrible Fcts circulires Frctions

7 Chngement de vrible 3) Si l intégrnd contient une composée de fonctions Définition: Un chngement de vrible de P r, bs en t P rα, βs est l epression de comme fonction de t: hptq où h :rα, βsñr, bs est un difféomorphisme, c est-à-dire une fonction dérivble (suf en α et β) vec réciproque h :r, bsñrα, βs ussi dérivble (suf en et b), qui eprime t comme fonction de : t h pq. On lors: d h ptq dt et dt `h pq d. Eemples: t 3 est un chngement de vrible de P r, 8s en t P r, s, vec t 3?, d 3t dt et dt 3 3? d. t 3 n est ps un chngement de vrible de Pr, s en t Pr, s, cr l réciproque t 3? n est ps dérivble en (cf. dt). Intégrtion pr chngement de vrible Théorème (Intégrtion pr chngement de vrible I): primitive: f pq d f `hptq h ptq dt ˇˇˇt h pq intégrle: b f pq d h pbq h pq f `hptq h ptq dt Eemple: Pour clculer l primitive? ` d, on pose t? ` h pq donc t hptq. On lors d t dt et pr conséquent? ` d t dt? ˇˇˇt ` 3 t3ˇˇˇt? ` 3 p ` q? `. Pour l intégrle? ` d on lors? ` d? `? ` t dt 3 t3ı? 3 p? q. A. Frbetti 7 Intégrles Intégrles Reltion Prim/Int Clculs Pr prties Chmt vrible Fcts circulires Frctions A. Frbetti 7 Intégrles Intégrles Reltion Prim/Int Clculs Pr prties Chmt vrible Fcts circulires Frctions

8 Intégrtion pr chngement de vrible Théorème (Intégrtion pr chngement de vrible II): primitive: f `hpq h pq d f puq du ˇˇˇu hpq intégrle: b f `hpq h pq d hpbq hpq f puq du Eemple: Pour clculer l primitive ln d, on pose u ln hpq donc du d. On lors Pour l intégrle ln ln d ln u du d, on d ln ln ˇˇˇu ln u du 3 u3ˇˇˇu ln 3 ln3. 3 u3ı ln 3 ln3. Eercice: ire d un disque Eercice: Clculer l ire du disque D p, yq P R ` y ď ( Réponse: Comme on déjà observé, l ire du disque se trouve comme l intégrle AirepDq AirepD`q d D` y b Celui-ci se clcule pr chngement de vrible: on pose sin t vec t P r π{, π{s, cr t rcsin donne rcsinp q π{ et rcsinpq π{. Alors? cos t et d cos t dt, donc AirepDq π{ π{ cos t dt t ` sin t cos t `π{ ` ` π{ π. ı π{ π{ A. Frbetti 7 Intégrles Intégrles Reltion Prim/Int Clculs Pr prties Chmt vrible Fcts circulires Frctions A. Frbetti 7 Intégrles Intégrles Reltion Prim/Int Clculs Pr prties Chmt vrible Fcts circulires Frctions

9 Chngement de vrible pour fonctions circulires 4) Si l intégrnd contient seulement des fonctions circulires Règle : f psin q cos d f pcos q sin d f ptq dt f ptq dt ˇˇˇt sin ˇˇˇt cos vec vec t sin dt cos d t cos dt sin d Eemple: sin cos d t dtˇˇˇt cos t ˇˇˇt cos cos. Règle : Dns les utres cs, on pose t tnp{q, et on : cos t `t, sin t `t et d `t dt. Eemple: sin d ` t lnptq t ˇˇˇt tnp{q ` t dtˇˇˇt tnp{q lnptnp{qq. t dtˇˇˇt tnp{q Eercice Eercice: Clculer les primitives suivntes: sin 3 d Réponse: sin 3 d p cos q sin d sin d cos sin d cos ` t dt ˇˇˇt cos cos ` 3 t3ˇˇˇt cos cos ` 3 cos3. A. Frbetti 7 Intégrles Intégrles Reltion Prim/Int Clculs Pr prties Chmt vrible Fcts circulires Frctions A. Frbetti 7 Intégrles Intégrles Reltion Prim/Int Clculs Pr prties Chmt vrible Fcts circulires Frctions

10 Eercice (suite) cos p ` cos q sin d Réponse: On pose t tnp{q, lors cos p ` cos q sin d t `t ` t `t ` ` t t ` ` t ` t p ` t ` t q t dt ˇˇˇt tnp{q p ` t q dtˇˇˇt tnp{q t dtˇˇˇt tnp{q tˇˇˇt tnp{q 3 tn p{q. Chngement de vrible pour frctions rtionnelles 5) Si l intégrnd contient seulement des frctions rtionnelles ) Définition: Une frction rtionnelle est le quotient f pq Ppq Qpq de deu polynômes Ppq et Qpq. Pour clculer l primitive d une frction rtionnelle, on se rmène u qutre cs qu on connit: d ln b) si n ě : n d pn q n Ppq Qpq d, c) ` d) si n ě : d rctn p ` q d n pn qp ` q (intégrtion pr prties, à prtir de p ` q n ` pn 3q n d). pn q p ` q n d A. Frbetti 7 Intégrles Intégrles Reltion Prim/Int Clculs Pr prties Chmt vrible Fcts circulires Frctions A. Frbetti 7 Intégrles Intégrles Reltion Prim/Int Clculs Pr prties Chmt vrible Fcts circulires Frctions

11 er cs: deg P ă deg Q ) Règle : Dns les cs suivnts, qu on ppelle éléments simples, on pose t upq et dt u pq d: u pq d ln upq upq Eemple: 3 3 ` d lnp 3 ` q b) si n ě : c) Eemple: u pq ` upq Eemple: u pq n upq d pn q upq n p ` q d ` d rctn upq 3 6 ` d rctnp 3 q d) si n ě : u pq p ` upq q n d trop long, on l omet. er cs: décomposition en éléments simples Dns tout utre cs où deg P ă deg Q, le dénominteur Qpq n est ps irréductible, cr les polynômes réels irréductibles sont: de degré de l forme `b upq vec u pq ñ cs ), de degré de l forme c`p `bq ` c`upq ` ñ cs b). Règle : On fctorise Qpq en polynômes irréductibles: Qpq Qpq n Qpq n Qr pq n r. Ppq L priitive d s écrit lors comme somme d éléments simples, Qpq de l forme ), b), c) ou d), qui ont u dénominteur les polynômes Qipq, Qipq,..., Qipq n i, pour tout i,..., r vec Qipq `b upq ou bien Qipq c``upq, et u numérteur des polynômes de l forme K u pq, où K P R est une constnte. A. Frbetti 7 Intégrles Intégrles Reltion Prim/Int Clculs Pr prties Chmt vrible Fcts circulires Frctions A. Frbetti 7 Intégrles Intégrles Reltion Prim/Int Clculs Pr prties Chmt vrible Fcts circulires Frctions

12 Eemple Eemple: 4 ` d Le dénominteur Qpq 4 ` se fctorise comme p ` q. Pr conséquent, il eiste trois constntes, b et c telles que p q 4 ` ` b ` c `, cherchons-les. On ` b ` c ` p ` q ` bp ` q ` c p ` q 3 ` pb ` cq ` ` b 4 ` donc p q est vérifiée si et seulement si $ & b ` c ðñ % b Alors p ` q d ˆ ` $ & % b c d rctn. ème cs: deg P ě deg Q Règle 3: En utilisnt l lgorithme de division euclidienne pour les polynômes, on divise Ppq pr Qpq et on trouve une solution de l division Spq et un reste Rpq tel que deg R ă deg Q. On peut donc écrire Ppq QpqSpq ` Rpq et Ppq Qpq Pr conséquent, on QpqSpq ` Rpq Qpq Ppq Qpq d Spq d ` Spq ` Rpq Qpq. Rpq Qpq d, où Spq d est fcile à clculer cr Spq est un polynôme. Rpq Qpq d est du er cs et se clcule vec les règles ou. A. Frbetti 7 Intégrles Intégrles Reltion Prim/Int Clculs Pr prties Chmt vrible Fcts circulires Frctions A. Frbetti 7 Intégrles Intégrles Reltion Prim/Int Clculs Pr prties Chmt vrible Fcts circulires Frctions

13 Eemple 3 Eemple: 4 ` 6 ` d On divise Ppq 4 3 ` 6 ` pr Qpq : 4 3 ` 6 ` ` ` ` ` 4 3 ` 4 ` Alors Spq ` 4 ` et Rpq 3. Pr conséquent, on 4 3 ` 6 ` d p ` 4 ` q d ` 3 d 3 3 ` ` ` 3 lnp q. A. Frbetti 7 Intégrles Intégrles Reltion Prim/Int Clculs Pr prties Chmt vrible Fcts circulires Frctions