Etude de la convection naturelle dans une cavité par une méthode de réanalyse

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1 Etud d la convction naturll dans un cavité par un méthod d réanalys Jan Félix Durastanti, Raouf Khlalfa, Youssf Sfaxi IUT d Sénart- Univrsité d PARIS EST Départmnt Géni Industril t Maintnanc Avnu Pirr Point Liusaint cdx durastanti@univ-paris12.fr ; raouf.khlalfa@univ-paris12.fr; sfaxi@univ-paris12.fr Sction d rattachmnt : 62 Sctur : Scondair RESUME. On s intérss dans ct articl à la convction naturll n régim stationnair dans un cavité carré, pour laqull l influnc du nombr d Rayligh st détrminant. On trait l problèm par un méthod numériqu original basé sur la réanalys ds équations d Navir Stoks. L princip d ctt méthod st d découplr ls équations phénoménologiqus ds conditions aux limits par l intrmédiair d variabls d intrfacs afin d obtnir un systèm d taill réduit prmttant d traitr facilmnt un modification ds conditions aux limits. L nombr d opérations nécssair s trouv alors considérablmnt diminué par rapport à un résolution classiqu. MOTS-CLES : Convction naturll, nombr d Rayligh, réanalys, Navir Stoks 1. Introduction Après avoir validé la méthod d réanalys aux transfrts d chalur (Purux 1995), (Purux t al. 1995), nous présntons ici son application aux équations d Navir Stoks, dont la particularité st d introduir un non-linéarité pour l obtntion du champ ds vitsss inconnu. On rappll qu ll consist à formulr un solution général à un problèm puis d particularisr ctt solution n prnant n compt ls conditions aux limits (Rabarivlo 25). En fait il s agit d découplr lors d la modélisation du systèm physiqu () d surfac (S), la phénoménologi du problèm t ls conditions aux limits. 1

2 2. Réanalys ds équations d Navir Stoks Dans un miliu continu incomprssibl d domain volumiqu () t d frontièr (S), l évolution dynamiqu t thrmiqu st régi par ls équations classiqus d Navir Stoks :. = D ρ = p +.( µ ) + ρ f Dt DT D p ρ cp.( k T ) = β T D t Dt + 2 µ ( D : D) avc 1 ρ β = ρ T p L traitmnt du problèm stationnair [1], par la méthod ds résidus pondérés conduit classiqumnt à la résolution d un systèm d taill important d la form : { Y n } [ K ]{ Y } { F } = [2] n avc : [ K ] = [ K ] { F } = { F } st l vctur ds valurs discrèts d Y aux différnts nœuds d l élémnt obtnu après discrétisation du problèm consistant à divisr l miliu continu ( ) n un crtain nombr d élémnts finis élémntairs ( ) d frontièr ( S ) t à évalur chaqu grandur physiqu d Y t ss variations sur la bas d un approximation nodal linéair. K rprésnt la matric élémntair équivalnt à la matric ds corrspond aux sollicitations sur un élémnt volumiqu ( ). La matric [ ] conductancs n thrmiqu. L vctur { F } La matric [ K ] st décomposé dans un prmir tmps sous la form : [ K ] = [ K ] + [ K ] [3] S [1] 2

3 K st lié à l élémnt d volum t traduit la phénoménologi du problèm. K corrspond quant à ll à l incidnc ds conditions aux limits sur où [ ] La matric [ S ] la frontièr ( S ) du volum ( ). L systèm [2] dvint : [ K ]{ Y } = { F } avc :{ F } = { F } [ K ]{ Y } n G On découpl ls trms non linéairs d la matric [K] n posant : Soit : G S n l n l [ K ] = [ K ] + [ K ] [4] [ K l ]{ Y } = { F } { H } [5] n G G avc : { H } = [ K nl ]{ Y } G n K st singulièr. l rang du systèm. Pour qu l n sous la l L systèm obtnu ci-dssus st singulir puisqu la matric [ ] Soit r l ordr d la singularité t donc n r problèm soit bin posé, p conditions aux limits sont imposés avc p form linéair : [ CL ]{ Y } { δ } n = [6] avc [ CL ] la matric ds conditions aux limits d taill p n t { δ } l vctur dont ls p composants puvnt êtr du point d vu physiqu ds vitsss, ds tmpératurs, ds prssions voir ds flux imposés au miliu continu ( ) à travrs sa frontièr ( S ). L vctur{ FG } ds sollicitations globals comport ds trms connus { d } ds trms inconnus { Fr } au nombr maximal d p. { F } = { F } + { F } [7] G d r { F } [ L ]. { φ } r = [8] La matric [ L ] st obtnu n condnsant { F } n un vctur{ φ } F t r qui prmt d réduir la taill d n à p sans changr la natur physiqu ds composants par supprssion ds composants nulls d{ F r }. 3

4 La matric [ ] [ ] K st régularisé par un méthod (Lordo 1995) faisant intrvnir K α qui st symétriqu t défini positiv n posant : l t [ K ] = [ K ] + α { R }.{ R } [9] α où α st un rél non nul strictmnt positif t{ R } associés à la valur propr null. la matric ds vcturs proprs L traitmnt ds p conditions aux limits prmt d formr l systèm d réanalys non linéair d dimnsion réduit p + r << n { φ } { ω } { Z 1 } { 2 } 1 [ CL ] [ K ] [ L ] [ CL]{ R } α = t { R } [ L] [ ] Z [1] avc : 1 1 { Z 1 } = { δ } [ CL ][ K α ] { Fd } + [ CL ][ K α ] { HG } t { Z 2 } = { R } ( { Fd } + { HG } ) t d obtnir la solution : ( φ ) 1 { Yn } = [ Kα ] { Fd } + [ L] { } + ω 1 { R }{ } [ Kα ] { HG } [11] t avc : { ω } = { R }. { Y n } 1 { R } t [ K α ] sont indépndants ds conditions aux limits t calculés un 1 sul fois. [ K α ] st obtnu par la méthod d décomposition issu d la modification ds méthods d Gauss ou d Cholsky (Rabarivlo 25) afin d consrvr l avantag du stockag profil malgré la structur plin. Lors d un modification d un ou plusiurs conditions aux limits, sul la matric [ CL ] st modifié. 4

5 3. Application à la convction naturll dans un cavité carré 3.1. Ecritur ds équations Afin d validr la théori xposé précédmmnt, on trait par la réanalys l cas connu n mécaniqu ds fluids d l écoulmnt d convction naturll dans un cavité carré n régim stationnair ngndré par un faibl écart d tmpératurs, c qui justifi l hypothès d Boussinsq. Considérons un cavité carré d coté L, rmpli d un fluid nwtonin où un gradint d tmpératur TH TC > st imposé ntr ls dux parois vrticals. Ls parois haut t bass sont adiabatiqus ( q = ) (Fig.1). u = v = q = u = v = T = T H L y u = v = T = T C x u = v = q = Fig.1: Convction naturll dans un cavité En négligant partout ls variations d la mass volumiqu sauf dans l trm d gravité, on obtint n variabl sans dimnsion [12] : 5

6 x y u v p ρ = x = y = u = v = p = ρ L L U U p ρ T TC µ cp k = T = 1 = 1 = 1 T T µ c k H C p [12] ls équations d Boussinsq [13] modélisant l écoulmnt : u v + = x y u u P u u R v + u = + + y x x x y v v P v v G r R v + u = T T y x y x y R T T 1 T T v + u + = y x P x y avc ls conditions aux limits suivants : ( ) [13] u ( x ;1) = v ( x ;1) = u (1 ; y ) = v (1 ; y ) = T ( ; y ) = 1 T ( x ; 1) T ( x ; ) T (1 ; y ) = = = y y [14] On a pris comm échll rspctiv pour la vitss t la prssion : tlls qu : α U = Ra Pr L p = U µ L Pr = P R g β ( TH TC ) L Ra = Gr Pr = 2 ν 3 Pr 6

7 3.2. Résultats On a résolu l problèm d la cavité [13]-[14] à partir d la méthod ds élémnts finis n résolvant l systèm d réanalys [1] avc ds élémnts rctangulairs à 8 nœuds pour ds Rayligh compris ntr 1 3 t 1 5, pour un nombr d Prandtl Pr =.72. On compar nos résultats à cux proposés par différnts auturs (ahl davis 1983), (Grsho 198), (Wintrs 198) dans l tablau suivant où sont rportés ls valurs d u max (maximum d la vitss horizontal sans dimnsion sur la sction vrtical situé au miliu d la cavité) à la hautur adimnsionnll où ctt vitss st obtnu ainsi qu ls valurs d v max Nombr d Rayligh Autur umax ( 1/ 2 ; y ) vmax ( x ; 1/ 2 ) Grsho à y = à x =.166 Wintrs 3.64 à y = à x =.1 ahl Davis à y = à x =.178 Réanalys 3.93 à y = à x =.1 Grsho à à y =.822 x =.1187 Wintrs 16.2 à y = à x =.12 ahl Davis à y = à x =.119 Réanalys à y = à x =.1 Grsho à à y =.856 x =.663 Wintrs 34.8 à y = à x =.66 ahl Davis à y = à x =.66 Réanalys 39.9 à y = à x =.1 Ls résultats obtnus prmttnt d validr la méthod. Ls différncs obsrvés sont dus n grand parti à l option qui a été pris d consrvr l mêm nombr d maills compt tnu ds faibls nombrs d Rayligh nvisagés ici. 4. Conclusion On a montré dans ct articl, qu un méthod d réanalys basé sur l découplag ds trms phénoménologiqu t ds conditions aux limits ainsi qu un pris n 7

8 compt ds non linéarités, était adaptabl aux équations d Navir Stoks n régim stationnair t conduisait à la résolution d un systèm d taill réduit facilitant la pris n compt d un modification à la frontièr du volum étudié. Ls résultats obtnus par ctt méthod pour l cas particulir d un écoulmnt n convction naturll dans un cavité carré où un faibl gradint d tmpératur st imposé ntr dux parois vrticals, sont satisfaisants. Référncs Grsho P. M., Upson C. D., L R. L., Finit lmnt simulations of thrmally inducd convction in nclosd cavity, Lawrnc Livrmor Laboratory Rport UCID-1862 (198). Lordo A., Calcul numériqu d la quasi-invrs d un matric réll symétriqu smi - défini positiv, C. R. Acad. Sci. Paris, t. 321, séri I (1995), Purux B., La réanalys n thrmiqu, Thès d doctorat d l univrsité d Bourgogn (1995). Purux B., Durastanti J. F., Martin B., Lordo A., La réanalys d l équilibr.thrmiqu, Rvu Général d Thrmiqu (1995), Rabarivlo P. M., Contribution à la résolution ds équations d Navir Stoks par un méthod d réanalys, Thès d doctorat d l univrsité d Paris XII (25). ahl Davis G., Natural convction in squar cavity. A bnchmark solution, Intrnational journal for numrical mthods in fluids, 3 (1983), Wintrs K. H., A numrical study of natural convction in a squar cavity, Unitd Kingdom Atomic Enrgy Authority, AERE-R9747 (198). 8