Ch.6 Intégration. k, k IR x ln x x ex x eu(x), u dérivable. x e) x 3 2 x6 x 2. f) x ex x.

Transcription

1 T le ES - progrmme mthémtiques ch6 chier élève Pge sur 7 Rppels : Dérivées des fonctions usuelles Ch6 Intégrtion Fonction n, n Z k, k IR ln e eu(), u dérivble Dérivée nn e u' () eu() Rppels : Dérivées et opértions u et v sont deu fonctions dérivbles sur I Fonction u + v ku uv u Dérivée u' + v' ku' u' v + v' u u v u' u' v v' u u v Questions-tests n pge 49 Clculez l dérivée de l fonction indiquée : ) 4 + b) + ln c) e d) + e) 6 f) e ) 8 b) + c) e + d) ( + ) ( + ) = e) 65 = 95 ( + ) f) e Rppels : Additivité de l'ire f est l fonction définie sur [ ; ] S courbe représenttive est indiquée ci-contre dns un repère orthonormé (unité : cm) Notons A l'ire en cm du domine colorié en rouge A = (Aire du tringle OAB) + (Aire du trpèze OBCD) OA OB OD (OB + DC) A = + A = + 6 A = 9 cm Questions-tests n pge 49 f est l fonction définie sur [ ; 4] de l mnière suivnte : si [ ; ], f () = + ; si [ ; ], f () = ; si [ ; 4], f () = + ) Trcez dns un repère orthonormé (unité : cm) l courbe C f représenttive de f b) Clculez l'ire, en cm, du domine délimité pr C f, l droite des bscisses et les droites d'éqution = et = 4

2 ) T le ES - progrmme mthémtiques ch6 chier élève Pge sur 7 b) = = 6,5 cm Activité n pge 5 Dérivée dns un sens; primitives dns l'utre ) Notion de primitive Un eemple : on sit que si f () =, lors f ' () = On dit lors que l fonction : est une primitive de l fonction : Plus générlement, une primitive d'une fonction f sur un intervlle I est une fonction F telle que F' = f En lisnt «à l'envers» le tbleu donnnt les fonctions dérivées des fonctions usuelles rppelé p 49, indiquez une primitive sur I de chcune des fonctions suivntes : ) f : I = IR c) f : + I = IR b) f : I = IR d) f : + 4 I = ] ; +[ ) Notion de primitive ) b) c) + d) + 4 ) Une seule dérivée, mis une infinité de primitives ) Montrez que si F est une primitive de f sur I, lors, pour toute constnte réelle c, l fonction G : F() + c est ussi une primitive de f sur I ) Indiquez cinq primitives sur IR de l fonction f : + ) Une seule dérivée, mis une infinité de primitives ) En effet, l dérivée de G est F', c est-à-dire f ) +, + +, + 4, + +,, + + π Activité n pge 5 Aires et primitives L'unité de longueur est le cm, l'unité d'ire est le cm et les repères utilisés sont orthonormu Dns chcun des cs ci-contre : ) Clculez l'ire du domine colorié ) Trouvez une primitive F de l fonction f représentée, et vérifiez que l'ire clculée est égle à F(b) F() Rectngle Tringle rectngle Trpèze rectngle ) Rectngle : (b ) ) Tringle rectngle : (b )(b + ) = (b + ) Trpèze rectngle : + + b + b = f () =, donc F() = F(b) F() = b = (b ) cr = (b )(b + + 4) 4

3 T le ES - progrmme mthémtiques ch6 chier élève Pge sur 7 f () = +, donc F() = + F(b) F() = b + b + = (b ) b + + (b + )(b + ) (b + ) Or ici =, donc F(b) F() = = f () = +, donc F() = 4 + F(b) F() = b 4 + b + 4 (b )(b + + 4) et 4 = b + b + 4b b 4 4 = b + 4b 4 4 INTÉGRALE D'UNE FONCTION CONTINUE POSITIVE SUR UN INTERVALLE Définition f est une fonction continue sur un intervlle [ ; b] C f est s courbe représenttive dns un repère orthogonl (O ; OA, OB) L'unité d'ire est l'ire du rectngle OACB Alors : DÉFINITION Si f est positive sur [ ; b], l'ire du domine D délimité pr l courbe C f, l'e des bscisses, les droites d'éqution = et = b est ppelée l'ire sous l courbe C f pour [ ; b] Elle est notée : b f (t) dt Ceci se lit : «intégrle de à b de f (t) dt» Remrques : ) b f (t) dt peut églement être noté b f () d ou b f (u) du ou ) Pr convention, on pose f (t) dt = Théorème fondmentl THÉORÈME Si f est continue et positive sur [ ; b], l fonction F définie sur [ ; b] pr F() = f (t) dt est dérivble sur [ ; b] et pour dérivée f Idée de démonstrtion : Supposons h > Clculons le tu d'ccroissement : T(h) = F( + h) F( ) h F( + h) F( ) est égl à l'ire du domine hchuré Or pour h «petit», f ( + h) est sensiblement égl à f ( ) puisque f est continue D'où cette ire est sensiblement égle à h f ( ) Donc T(h) h f ( ) = f ( h ) D'où lim T(h) = f ( h ) PRIMITIVE D'UNE FONCTION CONTINUE SUR UN INTERVALLE Notion de primitive DÉFINITION f est une fonction continue sur un intervlle I Une primitive de f sur I est une fonction F dérivble sur I et telle que : pour tout de I, F' () = f () THÉORÈME

4 T le ES - progrmme mthémtiques ch6 chier élève Pge 4 sur 7 Toute fonction continue sur un intervlle I dmet une primitive sur I Démonstrtion : On se limite u cs où I = [ ; b] Posons, pour tout de I, F() = f (t) dt D'près le théorème ci-dessus, pour tout de I, F' () = f () Donc F est une primitive de f sur l'intervlle I Ensemble des primitives d'une fonction continue THÉORÈME f est une fonction continue sur un intervlle I F est une primitive de f sur I ) Alors l fonction G définie sur I pr G() = F() + c, où c est un réel, est une primitive de f sur I ) Toute primitive de f sur I est de l forme F + c, où c est un réel Démonstrtion : ) Si F est une primitive de f sur I, lors F est dérivble sur I et F' () = f () Il est clir que l fonction G définie sur I pr G() = F() + c, où c est un réel quelconque, est dérivble sur I et que G' () = F' () = f () pour tout de I Donc G est une primitive de f sur I ) Eiste-t-il d'utres primitives de f sur I que les fonctions F + c, vec c réel? On v utiliser le fit que sur un intervlle, les fonctions constntes sont les seules fonctions ynt une dérivée nulle Supposons que G soit une primitive de f sur I ; lors G est dérivble sur I et G' = f = F' donc G' F' = L fonction G F donc une dérivée nulle sur I et, puisque I est un intervlle, G F est constnte sur I Il eiste donc un réel c tel que sur I, G F = c, c'est-à-dire G = F + c On déduit imméditement de ce théorème que : Sur un intervlle, deu primitives d'une même fonction diffèrent d'une constnte Primitive prennt une vleur donnée en un point donné THÉORÈME 4 f est une fonction continue sur un intervlle I est un réel donné de I et y est un réel donné Alors, il eiste une primitive G de f sur I, et une seule, telle que G( ) = y Démonstrtion : Notons F une primitive de f sur I toute utre primitive G est définie pr : G() = F() + c, vec c réel Pour obtenir l'églité G( ) = y, c'est-à-dire F( ) + c = y, il est nécessire et suffisnt de choisir c = y F( ), et ce choi est unique On dit lors que G est l primitive de f sur I qui prend l vleur y en Reltion entre intégrle et primitive THÉORÈME 4 Soit f une fonction continue et positive sur [ ; b] et soit F une primitive de f Alors : b f (t) dt = F(b) F() Démonstrtion : Posons f (t) dt L reltion : G() = b f (t) dt = F(b) F() est vrie lorsque F = G En effet, G(b) = b f (t) dt et G() = f (t) dt = Si F est une primitive quelconque, il eiste une constnte c telle que F = G+ c Donc : F(b) F() = [G(b) + c] [G() + c] = G(b) G() = b f (t) dt Nottion : Lors du clcul d'une intégrle, si F est une primitive de l fonction f, on utilise prfois l nottion : b f (t) dt = [ ] F(t) b DÉTERMINATION DE PRIMITIVES Primitives de f + g, de kf vec k réel Les propriétés suivntes sont utiles dns l recherche de primitives Elles se déduisent imméditement de l définition d'une primitive et des opértions sur les fonctions dérivbles THÉORÈME 4

5 T le ES - progrmme mthémtiques ch6 chier élève Pge 5 sur 7 Si F et G sont des primitives respectives des fonctions f et g sur I, lors F + G est une primitive de f + g sur I Si F est une primitive de l fonction f sur I, et si k est un réel, lors kf est une primitive de kf sur I Primitives usuelles Le tbleu suivnt est dressé à prtir des résultts connus sur les dérivées Il suffit, en effet, de «lire à l'envers» le tbleu des dérivées Dns ce tbleu, c désigne un réel quelconque Fonction définie pr f () = Primitives définies pr F() = sur k (constnte) k + c IR + c IR + c ] ; [ ou ] ; +[ n (n entier, n ou n ) n + n + + c ], [ ou ], +[ si n IR si n + c ] ; +[ e e + c IR ln + c ] ; +[ u' ()e u() e u() I u' () u() u() Remrque : Il est possible d'epliciter les dérivées de toutes les fonctions Il n'en est ps de même pour les primitives Ainsi pr eemple, l fonction f : e dmet comme dérivée l fonction : e L fonction f est continue sur IR ; elle dmet donc une primitive sur IR Mis il n'est ps possible d'epliciter une telle primitive en utilisnt les fonctions usuelles OBJECTIF : Déterminer des primitives Fonction n, n Z \ {} Dérivée nn k, k IR ln e I eu(), u dérivble e u' () eu() Si F et G sont des primitives respectives des fonctions f et g sur I, lors F + G est une primitive de f + g sur I Si F est une primitive de l fonction f sur I et si k est un réel, lors kf est une primitive de kf sur I Eercice résolu n A pge 57 Trouver une primitive d'un polynôme Trouvez une primitive sur IR du polynôme défini pr : f () = Méthode Solution Pour trouver une primitive d'un polynôme, on utilise les Fonction 5 4 résultts suivnts : 5 Une primitive de «k n» est «kn + Primitive sur IR» (vec k réel et n n + Une primitive de f sur IR est donc l fonction F entier positif) définie pr : Une primitive d'une somme est l somme des primitives de chque terme F() = Eercice résolu n B pge 57 Trouver une primitive de n pour n entier négtif (n ) Trouvez une primitive sur ] ; +[ de l fonction f : Méthode Solution Pour trouver une primitive de l fonction : n (n ), on peut commencer pr écrire : n = n, puis on utilise l formule donnnt une primitive de n, dns le cs où n est entier Remrquons d'bord que l fonction : f : est continue sur ] ; +[ donc dmet une primitive

6 négtif différent de T le ES - progrmme mthémtiques ch6 chier élève Pge 6 sur 7 Eercice résolu n C pge 58 f () peut s'écrire f () = D'où d'près l formule donnnt une primitive de n, on obtient une primitive de f sur ] ; +[ : F() = , c'est-à-dire F() = Trouvez l primitive, sur ] ; +[, de l fonction f : + + e qui s'nnule pour = Méthode Pour trouver l primitive G d'une fonction f telle que G( ) = y : on trouve une primitive F de f sur I ; on écrit toutes les primitives G = F + c de f sur I, vec c réel ; on trouve le réel c tel que G( ) = y Solution Une primitive de f sur ] ; +[ s'écrit : F() = 4 + ln + e Les primitives de f sont les fonctions G définies sur ] ; +[ pr : G() = 4 + ln + e + c Dire que G() = revient à dire que : + ln + e + c = ; G() = 4 + ln + e e Eercice n pge 58 Trouvez une primitive sur IR de l fonction f ) f () = + b) f () = + 4 ) F() = + = + b) F() = + 4 = + 4 Eercice n pge 58 Trouvez une primitive sur IR de l fonction f ) f () = b) f () = ) F() = = b) F() = = Eercice n pge 58 Trouvez une primitive sur IR de l fonction f ) f () = b) f () = ) F() = = 6 6 b) F() = = Eercice n 4 pge 58 Trouvez une primitive sur IR de l fonction f d'où c = e L primitive cherchée est donc l fonction définie sur IR pr :

7 T le ES - progrmme mthémtiques ch6 chier élève Pge 7 sur 7 ) f () = 5 + b) f () = 5 5 ) F() = = b) F() = = 6 Eercice n 5 pge 58 Trouvez une primitive sur IR de l fonction f ) f () =,8, +,5 b) f () =, 4,6 8, ) F() =,8 4 4 b) F() =, 5 5, +,5 =,4,4 +,5, , =,45,9 4 4, Eercice n 6 pge 58 Trouvez une primitive sur ] ; +[ de l fonction f ) f () = b) f () = 4 ) f () =, d où F() = = b) f () = 4, d où F() = = Eercice n 7 pge 58 Trouvez une primitive sur ] ; +[ de l fonction f ) f () = + 5 b) f () = ) f () = + 5, d où F() = + 5 = 5 b) f () = 5 4 7, d où F() = 5 7 = Eercice n 8 pge 58 Trouvez une primitive sur ] ; +[ de l fonction f ) f () = + b) f () = 6 4 ) f () = b) f () = 6 4, d où F() =, d où F() = 6 = Eercice n 9 pge 58 Trouvez une primitive sur ] ; +[ de l fonction f ) f () = b) f () = 4e ) f () =, d où F() = ln b) F() = 4e ln Eercice n pge 58 Trouvez une primitive sur ] ; +[ de l fonction f

8 T le ES - progrmme mthémtiques ch6 chier élève Pge 8 sur 7 ) f () = e e b) f () = + 4 ) F() = e ln b) f () = e + 4, d où F() = e + 4 = e 4 Eercice n pge 58 Trouvez une primitive sur ] ; +[ de l fonction f ) f () = 5 + b) f () = 4 ) f () = +, d où F() = + = 4 + b) f () = 5 4, d où F() = 5 5 ln = 9 ln Eercice n pge 58 Trouvez l primitive de l fonction f qui s'nnule pour = ) f () = + + b) f () = + 5 On note F une primitive de f sur IR, et c un réel ) F() = c Alors F() = c ; or F() =, donc c =, et F() = b) F() = c = c Alors F() = c ; or F() =, donc c =, et F() = Eercice n pge 58 Trouvez l primitive de l fonction f qui s'nnule pour = ) f () = e b) f () = e ) F() = e + c Alors F() = + c ; or F() =, donc c =, et F() = e b) F() = e + c Alors F() = + c ; or F() =, donc c =, et F() = e Eercice n 4 pge 58 Trouvez l primitive, sur ] ; +[, de l fonction f : 6 qui s'nnule pour = F() = 6 ln + c = ln + c Alors F() = + c = + c ; or F() =, donc c =, et F() = ln Eercice n 5 pge 58 Trouvez l primitive, sur ] ; +[, de l fonction f : 5 qui prend l vleur en = e e

9 F() = 5 ln + c T le ES - progrmme mthémtiques ch6 chier élève Pge 9 sur 7 Alors F(e) = e 5 + c ; or F(e) = e, donc c = e e 5 = 7 + e OBJECTIF : Connître une primitive de u' () e u() u est une fonction dérivble sur un intervlle I Une primitive de u' ()eu() sur I est eu() Eercice résolu n D pge 59 ) Trouvez une primitive sur IR de l fonction f : ( + ) e + + ) Trouvez une primitive sur IR de l fonction g : e + Méthode ) On essie de se rmener à une formule de primitive du cours : une primitive de u' e u est e u ) On utilise à nouveu le fit qu'une primitive de u' e u est e u On fit pprître u' () dns l'écriture de g() : g() = e + puis on écrit le coefficient convenble dns l cse Eercice n 6 pge 59 Trouvez une primitive sur IR de l fonction f ) f () = e b) f () = e ) F() = e = e, et F() = 5 ln e Solution ) Posons u() = + + On u' ()= + Une primitive de f sur IR est donc l fonction F définie pr F() = e + + ) Posons u() = + On u' () = g() = e + b) F() = e = e Eercice n 7 pge 59 Trouvez une primitive sur IR de l fonction f ) f () = e b) f () = e ) F() = e b) F() = e Eercice n 8 pge 59 Trouvez une primitive sur IR de l fonction f ) f () = e b) f () = 5 e 6 ) f () = e, d où F() = e Une primitive de g sur IR est donc l fonction G définie pr G() = e + b) f () = 6 65 e 6, d où F() = 6 e6 Eercice n 9 pge 59 Trouvez une primitive sur IR de l fonction f ) f () =,e, b) f () =,6 e, ) F() = e, b) F() = e, Eercice n pge 59

10 T le ES - progrmme mthémtiques ch6 chier élève Pge sur 7 Trouvez une primitive sur IR de l fonction f ) f () = e + b) f () = ( )e ) f () = e +, d où F() = e + b) f () = ( 4)e 4 + 5, d où F() = e Eercice n pge 59 Trouvez une primitive sur IR de l fonction f ) f () = (5 )e 5 + b) f () = e ( ) ) f () = ( )e5 +, d où F() = e5 + b) f () = ( ) e, d où F() = e Eercice n pge 59 Trouvez une primitive sur IR de l fonction f ) f () = e b) f () = e e 4 ) f () = e = e, d où F() = e b) f () = e e 4 = e = ( e ), d où F() = e 4 EXTENSION DE LA NOTION D'INTÉGRALE 4 Définition de b f (t) dt lorsque f est de signe quelconque DÉFINITION Soit f une fonction continue sur [ ; b], de signe quelconque, et soit F une primitive de f sur cet intervlle Alors, pr définition : b f (t) dt = F(b) F() 4 Définition de b f (t) dt lorsque b DÉFINITION 4 On pose : b f (t) dt = f (t) dt b Remrque : L reltion b f (t) dt = F(b) F() est églement vrie lorsque est supérieur à b En effet : soit b Alors : b f (t) dt = f (t) dt = [F() F(b)] = F(b) F() b Eercice n 8 pge 6 Clculez les intégrles : A = ( ) d ; B = (4 5 + ) d A = = 8 = 4 B = = 5 + = Eercice n 9 pge 6 Clculez les intégrles : A = ( + + ) d ; B = ( 4 + 5) d

11 T le ES - progrmme mthémtiques ch6 chier élève Pge sur 7 A = = = 6 B = = = 4 6 = = OBJECTIF : Clculer une intégrle Si f est une fonction continue sur [ ; b] et si F est une primitive de f, lors b f () d = F(b) F() Eercice résolu n E pge 6 Clculez l'intégrle A = 4 + d Méthode Pour clculer A = b f () d : On cherche une primitive F de f ; Solution Recherche d'une primitive de f : + L fonction f dmet comme primitive sur l'intervlle l fonction F : + On utilise l formule b f () d = F(b) A = F() 4 + d = F(4) F() = = + 6 = 66 = Eercice n pge 6 Clculez les intégrles : A = d ; B = + 4 d A = + = + + = B = + 4 d = + = = 8 8 Eercice n pge 6 Clculez les intégrles : A = 4 5 d ; B = + d A = [ 5 ] 4 = ( 4) (5 ) = 6 = B = ln + = ( ln + ) = ln + Eercice n pge 6 Clculez les intégrles : A = e + d ; B = e d A = e + = e5 e = (e5 e ) B = e d = [ ] e = ( e 4 ) = ( e 4 ) Eercice n pge 6 ) Clculez l'intégrle A = ( + ) d = ) Retrouvez géométriquement ce résultt en utilisnt l formule donnnt l'ire d'un trpèze ) A = + = ( + ) = 4 = 76 6 = 88 8

12 T le ES - progrmme mthémtiques ch6 chier élève Pge sur 7 ) A est l ire du domine compris entre l droite d éqution y = +, l e des bscisses, l e des ordonnées et l droite d éqution = Ce domine est représenté pr l zone hchurée sur le grphique cicontre Il s git d un trpèze ( + ) A = = 4 Eercice n 5 pge 6 On note C l courbe d'éqution y = dns un repère orthonormé Clculez l'ire du domine coloré en rouge sur l figure Aide Clculez d'bord l'ire du domine délimité pr C, l droite des bscisses et les droites d'équtions = et = 4 4 d = 6 = = 6 = Eercice n 5 pge 66 En utilisnt l définition de b f () d pour f continue et positive sur [ ; b], clculez : ) 4 d b) d c) 4 ( + ) d b f () d est égle à l ire sous l courbe D où : ) 4 d est l ire d un tringle rectngle, soit : 4 4 = 8 Autre méthode : 4 d = = 8 = 8 4 y 4 b) ( + ) d est l ire d un trpèze, soit : = 5 Autre méthode : d = c) 4 ( + 9) ( + ) d est l ire d un trpèze, soit : = 8 Autre méthode : 4 ( + ) d = [ + ] 4 = = 8 y = 9 = 5 4 y

13 T le ES - progrmme mthémtiques ch6 chier élève Pge sur 7 Eercice n pge 7 C est l courbe représenttive de l fonction ) Clculez : J = d ) Donnez lors l vleur de l'ire du domine colorié Epliquez Remrque Attention, une ire s'eprime vec un nombre positif 4 ) J = d = 4 = 4 = 4 ) L ire n est ps égle à l intégrle cr, sur [ ; ], f est négtive L ire est lors égle à l opposé de cette intégrle : A = J = unité d ire 4 Eercice n 4 pge 74 4 C est l courbe représentnt l fonction dns un repère orthonorml (O ; i, j ) (unité grphique : cm) Clculez l'ire, en cm, du domine D colorié L fonction 4 est continue et positive sur [ ; ] D où l ire : A = 4 d = d = 6 = = = 7 6 = 9 unités d ire L unité d ire est égle à = 4 cm D où l ire : A = 4 9 = 8 cm Eercice n 6 pge 67 Donnez une primitive de l fonction f sur l'intervlle I ) f () = + I = IR b) f () = + I = IR ) F() = + b) F() = + Eercice n 6 pge 67 Donnez une primitive de l fonction f sur l'intervlle I ) f () = I = IR b) f () = 5 4 I = IR ) F() = = b) F() = = Eercice n 6 pge 67 Donnez une primitive de l fonction f sur l'intervlle I ) f () = I = ] ; +[ b) f () = I = ] ; +[

14 T le ES - progrmme mthémtiques ch6 chier élève Pge 4 sur 7 On note F une primitive de f sur ] ; +[ ) F() = b) F() = Eercice n 6 pge 67 Donnez une primitive de l fonction f sur l'intervlle I ) f () = I = ] ; +[ b) f () = 4 I = ] ; +[ On note F une primitive de f sur ] ; +[ ) f () =, d où F() = = b) f () = 4, d où F() = = Eercice n 64 pge 67 Donnez une primitive de l fonction f sur l'intervlle I ) f () = I = ] ; +[ b) f () = + 5 I = ] ; +[ On note F une primitive de f sur ] ; +[ ) F() = = 4 + b) f () = + 5, d où F() = + 5 = + 5 Eercice n 65 pge 67 Donnez une primitive de l fonction f sur l'intervlle I ) f () = I = ] ; +[ On note F une primitive de f sur ] ; +[ ) F() = b) f () = I = ] ; +[ b) F() = Eercice n 66 pge 67 Donnez une primitive de l fonction f sur l'intervlle I ) f () = I = ] ; +[ On note F une primitive de f sur ] ; +[ ) F() = b) f () = + 4 I = ] ; +[ b) f () = + 8, d où F() = + 8 = + 8 Eercice n 67 pge 67 Donnez une primitive de l fonction f sur l'intervlle I ) f () = e I = IR b) f () = e I = IR ) F() = e b) F() = e Eercice n 68 pge 67 Donnez une primitive de l fonction f sur l'intervlle I ) f () = I = IR* + b) f () = 4 I = IR* +

15 T le ES - progrmme mthémtiques ch6 chier élève Pge 5 sur 7 On note F une primitive de f sur IR* + ) F() = ln b) F() = 4 ln Eercice n 69 pge 67 Donnez une primitive de l fonction f sur l'intervlle I ) f () = ( ) I = ] ; +[ b) f () = ( ) I = ] ; +[ On note F une primitive de f sur I ) F() = = b) F() = = Eercice n 7 pge 67 Donnez une primitive de l fonction f sur l'intervlle I ) f () = e I = IR b) f () = 4e, I = IR ) f () = e, d où F() = e b) f () = 4,,e,, d où F() = 4 e, Eercice n 7 pge 67 Donnez une primitive de l fonction f sur l'intervlle I ) f () = e I = IR b) f () = ( + )e I = IR ) f () = e, d où F() = e b) f () = 6 (6 + 6)e + 6 4, d où F() = 6 e Eercice n 7 pge 67 Donnez une primitive de l fonction f sur l'intervlle I ) f () = 4 + Aide Écrire f () sous une utre forme On note F une primitive de f sur ] ; +[ ) f () = 4 + b) f () = I = ] ; +[ b) f () =, d où F() = ln = + ln ( ), d où F() = = Eercice n 7 pge 67 Voici si fonctions Associez trois de ces fonctions à leur primitive respective f () = 5 + f () = ( + ) f () = f 4 () = f ' () = + = f (), donc f pour primitive f f ' () = 4 = f 4 (), donc f 4 pour primitive f f 5 ' () = ( + ) = f 6 (), d où f 6 pour primitive f 5 f 5 () = ( + ) f 6 () = ( + ) I = ] ; +[

16 T le ES - progrmme mthémtiques ch6 chier élève Pge 6 sur 7 Eercice n 98 pge 7 Primitive imposée Pour les fonctions f suivntes, déterminez l primitive F, sur IR, telle que F( ) = y ) f () = + = y = b) f () = e = y = ) F() = + + c, où c où c est un réel D où F() = c = 4 + c Donc F() = si, et seulement si, 4 Finlement F() = + b) F() = e + c, où c où c est un réel D où F() = + c + c =, soit c = Donc F() = si, et seulement si, + c =, soit c = 5 c) f () = e 4 + = 4 y = 5 d) f () = e = y = e Finlement F() = e + 5 c) F() = 4 e c, où c où c est un réel D où F 4 = 4 + c Donc F 4 = 5 si, et seulement si, 4 + c = 5, soit c = 4 Finlement F() = 4 e d) F() = e + c, où c où c est un réel D où F() = e + c Donc F() = e si, et seulement si, e + c = e, soit c = e Finlement F() = e + e Eercice n 99 pge 7 Pour les fonctions f suivntes, déterminez l primitive sur I dont l courbe représenttive psse pr le point A donné ) f () = I = IR A( ; 4) b) f () = 5 c) f () = 6 I = ] ; [ A( ; 4) I = ] ; +[ A( ; ) ) F() = + c, où c où c est un réel D où F() = c = + c Donc F() = 4 si, et seulement si, Finlement F() = + 4 b) F() = 5 ln + c, où c où c est un réel D où F() = c Donc F() = si, et seulement si, c = Finlement F() = F() = 5 ln + + c = 4, soit c = 4

17 T le ES - progrmme mthémtiques ch6 chier élève Pge 7 sur 7 c) F() = 6 + c, où c où c est un réel D où F( ) = + c Donc F( ) = 4 si, et seulement si, + c = 4, soit c = Finlement F() = 6 + Eercice n pge 7 Coût totl Une entreprise fbrique un bien de consommtion Le coût mrginl, en euros, en fonction de l quntité q fbriquée est C m (q) = q q + 5 On pourr ssimiler le coût mrginl à l dérivée du coût totl Clculez le coût totl C(q) schnt que C() = L fonction C est l primitive de l fonction C m qui s nnule pour q = D où C(q) = q 6q + 5 q + Eercice n 75 pge 68, F() = t dt Déterminez F' () F' () = Eercice n 76 pge 68, F() = t ln t dt Déterminez F' () F' () = ln Eercice n 77 pge 68, F() = du u Déterminez F' () F' () = Eercice n 79 pge 68 Donnez le sens de vrition de F sur l'intervlle I F() = t dt I = [ ; +[ F' () =, d où F' () sur I, et donc F est croissnte sur I Eercice n 84 pge 68 Considérons l fonction f, définie sur [ ; +[ pr : et l fonction g, définie sur [ ; +[ pr : ) Clculez g' () ) Déduisez-en une primitive de f sur [ ; +[ ) g' () = ln + = ln + f () = ln g() = ln ) f () = g' (), donc une primitive F de f sur [ ; +[ est définie pr F() = g() = ln Eercice n 9 pge 69 F et G sont des primitives de f sur IR On sit que F() = ; G() = 5 et F() = 4 Clculez G() Comme F et G sont des primitives d une même fonction f, lors G = F + c, soit G F = c, où c est un réel Donc c = G() F() = 5 =, et G() = F() + c = 4 + = 6 Eercice n 9 pge 69 Tngente à l courbe d'une primitive F est une primitive de f sur [ ; 7] On sit que f () = 4 et F() = ) Quel est le coefficient directeur de l tngente à l courbe représenttive de F u point d'bscisse? ) Écrivez une éqution de cette tngente ) F' () = f () = 4 Le coefficient directeur de l tngente à l courbe représenttive de F u point d'bscisse est 4

18 T le ES - progrmme mthémtiques ch6 chier élève Pge 8 sur 7 ) Une éqution de cette tngente est de l forme y = 4 + p Comme F() =, lors l tngente psse pr le point A( ; ), d où = 4 + p, et p = Donc une éqution de l tngente est y = 4 Eercice n 96 pge 69 Ci-contre été dessinée l courbe représenttive d'une fonction F définie sur [ ; 5] L une des trois courbes suivntes représente l fonction f dont F est une primitive Trouvez lquelle en justifint votre réponse F' () = F' (5) = Donc, on doit voir f () = f (5) = Autre méthode : 5 Seule l courbe C convient F() F' () = f () + Eercice n 97 pges 69-7 Cherchez l'intrus ) b) c) Les trois dessins ci-dessus représentent chcun deu fonctions f et g Dns deu d'entre eu, l'une des fonctions est une primitive de l'utre Dites lesquels en justifint votre choi C g étnt, dns chque dessin, une droite non prllèle à (O), ce sont les fonctions g qui sont susceptibles d être des primitives des fonctions f Dns le dessin c), f () > sur ] ; [, lors que sur cet intervlle g est décroissnte D où g n est ps une primitive de f Les dessins corrects sont et b Vérifiction : ),5 + f () + + f () + g() b) + f () + g() g() Eercice n pge 7 ) Epliquez pourquoi l fonction : f : + 4 possède des primitives sur IR ) On désigne pr F l primitive de f sur IR, nulle en ) Étudiez le sens de vrition, puis le signe de F b) Donnez une éqution de l tngente à l'origine à l courbe représenttive de F

19 T le ES - progrmme mthémtiques ch6 chier élève Pge 9 sur 7 ) f est une fonction rtionnelle Le dénominteur + 4 ne s nnule ps sur IR ; donc f est continue sur IR, et donc elle y possède des primitives ) ) F' () = f () =, d où F' () <, donc F est strictement décroissnte sur IR + 4 De plus F() =, d où le signe de F() : b) L tngente psse pr le point O( ; ) et pour coefficient directeur F' () = f () = 4 D où son éqution : y = 4 Eercice n pge 7 C(q), coût totl de fbriction d'une quntité q d'un produit, est l somme du coût vrible C V (q) qui dépend de l quntité de produit fbriqué, et du coût fie C F qui est une constnte (loyer, EDF, ), c'est-à-dire : C(q) = C V (q) + C F Dns une entreprise, le coût mrginl en euros ssimilé à C' (q), est égl à : q q + 5 On sit de plus que C V () = ) Clculez le coût totl C(q) en fonction de l quntité q et du coût fie C F ) Quelle est l vleur du coût fie C F si le coût totl de fbriction de unités est de 9 euros? ) C(q) = q q + 5q + C F = q q + 5q + C F ) C() = C F = 76 + C F C() = 9 si, et seulement si, C F = 9 76 = 4 Eercice n 4 pge 7 Coût mrginl ; coût totl Prtie A Étude d'une fonction ) Soit f l fonction définie sur l'intervlle ] ; 7] pr : 54 f () =,4 + + ) On note f ' l dérivée de l fonction f Vérifiez que : f ' () = ( )( ) 5 b) Étudiez les vritions de l fonction f ) Dessinez l représenttion grphique de l fonction F dns un repère orthogonl (O ; i, j ), où cm représente 5 unités sur l'e des bscisses et cm représente unités sur l'e des ordonnées Prtie A Étude d'une fonction ) ) f ' () =, = 8 5 = 7 ( )( ) 5 = = f ' () b) Pour ; on Δ = 9 6 = f ' () f () 8 49

20 ) T le ES - progrmme mthémtiques ch6 chier élève Pge sur 7 Prtie B On rppelle que le coût mrginl C m de l fbriction d'une quntité d'un produit est le coût de fbriction d'une unité supplémentire de ce produit On considère que, dns l sitution étudiée dns cette prtie, le coût mrginl est l dérivée de l fonction coût totl C de l fbriction Une entreprise fbrique u plus 7 unités d'un produit Elle ne peut fbriquer moins de unités : le coût totl de fbriction de ces premières unités est de 6 euros Le coût mrginl C m de fbriction de ce produit est décrit sur l'intervlle [ ; 7] pr l fonction f étudiée dns l prtie A On donc C m () = f () pour [ ; 7] On note C() le coût totl de l fbriction de unités ) Montrez que pour tout [ ; 7] : C() = 6 + C m (t) dt ) Clculez le coût totl C() pour [; 7] Prtie B ) C est l primitive de C m prennt l vleur 6 pour = D où : C() = f (t) dt + 6 ) C() =,t + t t C() =, C() =,

21 T le ES - progrmme mthémtiques ch6 chier élève Pge sur 7 Eercice n 8 pge 7 Aire sous l courbe de deu mnières C est l courbe représenttive de l fonction : + ) Clculez directement l'ire sous l courbe pour pprtennt à [ ; ], c'est-à-dire l'ire du trpèze OABC ) ) Donnez à présent l vleur de cette ire à l'ide d'une intégrle I b) Clculez I ) Comprez les résultts obtenus u questions ) et ) ) ) ( + 5) = 6 unités d ire ) Comme + > sur [ ; ], lors I = ( + ) d b) I = [ + ] = 6 = 6 ) On obtient bien sûr le même résultt Eercice n 9 pge 74 Clculez l'ire sous l courbe de l fonction crré, pour pprtennt à [ ; ] L fonction crré est continue et positive sur [ ; ] D où l ire : A = d = Eercice n 4 pge 74 = = unité d ire 4 C est l courbe représentnt l fonction dns un repère orthonorml (O ; i, j ) (unité grphique : cm) Clculez l'ire, en cm, du domine D colorié L fonction 4 est continue et positive sur [ ; ] D où l ire : A = 4 d = d = 6 = = = 7 6 = 9 unités d ire L unité d ire est égle à = 4 cm D où l ire : A = 4 9 = 8 cm Eercice n 4 pge 74 Trcez l courbe C représentnt l fonction f et clculez l'ire sous l courbe pour pprtennt à l'intervlle I f () = I = [ ; ] Comme > sur [ ; ] ; lors l ire est : d = [ln ] = ln ln = ln unité d ire Eercice n 4 pge 74 Trcez l courbe C représentnt l fonction f et clculez l'ire sous l courbe pour pprtennt à l'intervlle I f () = e I = [ ; ]

22 T le ES - progrmme mthémtiques ch6 chier élève Pge sur 7 Comme e > sur [ ; ] ; lors l ire est : e d = [e ] = e unités d ire Eercice n 4 pge 74 Trcez l courbe C représentnt l fonction f et clculez l'ire sous l courbe pour pprtennt à l'intervlle I f () = e I = [ ; ] Comme e > sur [ ; ] ; lors l ire est : e d = [ e ] = e ( e) = e unités d ire e Eercice n 45 pge 74 Deu courbes pour une ire L figure de guche donne l représenttion grphique d'une fonction f, et l figure de droite, celle d'une primitive de f sur IR Avec ces seuls renseignements, donnez l'ire sous l courbe f pour pprtennt à [ ; ] Notons F l primitive donnée pr l courbe de droite Comme f > sur [A ; ], lors l ire est : f () d = F() F() = 4 = unités d ire 5 LINÉARITÉ, POSITIVITÉ, RELATION DE CHASLES 5 Linérité de l'intégrle THÉORÈME 7 f et g sont des fonctions continues sur l'intervlle [ ; b] Alors : b (f + g)(t) dt = b f (t) dt + b g(t) dt On dit que l'intégrle de l somme est l somme des intégrles Démonstrtion : Notons F et G des primitives respectivement de f et g sur [ ; b] ; lors F + G est une primitive de f + g sur [ ; b] Donc b (f + g)(t) dt = (F + G)(b) (F + G)() = F(b) + G(b) F() G() Or, b f (t) dt + b g(t) dt = F(b) F() + G(b) G() ; d'où le résultt THÉORÈME 7 f est une fonction continue sur l'intervlle [ ; b] et est un réel quelconque Alors : b f (t) dt = b f (t) dt

23 T le ES - progrmme mthémtiques ch6 chier élève Pge sur 7 Démonstrtion : Notons F une primitive de f sur [ ; b] ; lors F est une primitive de f sur [ ; b], donc b f (t) dt = F(b) F() = [F(b) F()] = b f (t) dt Remrque : Si = on obtient : b f (t) dt = b f (t) dt 5 Positivité THÉORÈME 9 f est une fonction continue sur un intervlle [ ; b] si f sur I, lors b f (t) dt ; si f sur I, lors b f (t) dt Démonstrtion : Si f, b f (t) dt est une ire, donc un nombre positif Si f, lors f Donc b f (t) dt Or, b f (t) dt = b f (t) dt (remrque ci-dessus) Donc b f (t) dt peut s'écrire : b f (t) dt, et donc b f (t) dt THÉORÈME f et g sont deu fonctions continues sur un intervlle [ ; b] Si f g sur [ ; b], lors b f (t) dt b g(t) dt Démonstrtion : Dire que f g sur un intervlle [ ; b] signifie que l fonction f g est négtive sur [ ; b], ou que g f est positive sur [ ; b] En ppliqunt le théorème 9 à l fonction g f, et compte tenu de l linérité, nous obtenons ussitôt le théorème Remrque : Interpréttion en termes d'ires Grphiquement, l'interpréttion de l propriété précédente pr des ires, pour des fonctions positives, est illustrée pr l figure ci-contre 5 Reltion de Chsles THÉORÈME f est une fonction continue sur un intervlle I Alors, quels que soient les réels, b et c de I : c f (t) dt = b f (t) dt + bc f (t) dt Démonstrtion : Notons F une primitive de f sur I ; lors : c f (t) dt = F(c) F() et b f (t) dt + c f (t) dt = F(b) F() + F(c) F(b) = F(c) F() b D'où le résultt Remrque : Interpréttion en termes d'ires Lorsque f est positive et lorsque les réels, b, c sont tels que b c, l reltion de Chsles trduit l dditivité des ires : l ire de l réunion de deu domines djcents est l somme des ires de chcun d eu

24 T le ES - progrmme mthémtiques ch6 chier élève Pge 4 sur 7 Eercice n 5 pge 7 Indiquez le signe de chque intégrle sns chercher à clculer cette intégrle ) + d b) d ) + = ( ) < sur [ ; ] et <, donc d est négtive + b) Étudions le polynôme + + On = 4 =, donc + + > sur IR < sur [ ; ] et <, donc 4 d est négtive + + Eercice n 6 pge 7 Indiquez le signe de chque intégrle sns chercher à clculer cette intégrle ) 5 e d b) ) e > sur [ ; 5] et < 5, donc 5 e d est positive b) t + t + + ln t + t ln t + t ln t < sur, 4 et < 4, donc 4 t ln t dt est négtive 4 t ln t dt Eercice n 44 pge 6 QCM Une seule réponse ecte Pour chque ffirmtion, une seule réponse est ecte Identifiez-l en justifint votre réponse ) L intégrle d est égle à : ) ln ) On pose I = ln b) c) d e et J = ln e ln e d Alors le nombre I J = ) ln b) ln c) ) On pose, pour, F() = t e t + dt Alors F' () = ) t e t + b) e + c) e + e ) Réponse ecte : b 4 Cr d = 4 = ) Réponse ecte : Cr I J = ln e ln e d = ln d = ln ln = ln ln ) Réponse ecte : b Voir le théorème fondmentl, prgrphe

25 T le ES - progrmme mthémtiques ch6 chier élève Pge 5 sur 7 Eercice n 8 pge 7 En utilisnt l linérité, clculez le nombre A = 4 ( + 5) d 4 ( + ) d A = 4 ( + 5) ( + ) d A = 4 ( + 5 ) d A = 4 6 d A = [ 6] 4 A = 4 A = 4 Eercice n 9 pge 7 En utilisnt l linérité, clculez le nombre A = A = A = A = + d + d + ( + + ) d + + ( + + ) d A = A = (4 + ) d + ( + + ) d A = A = 9 4 Eercice n pge 7 On sit que b f () d = et b g() d = 5 Clculez : b [f () g()] d b [f () g()] d = b f () d b g() d = ( 5) = = Eercice n 4 pge 7 En utilisnt l reltion de Chsles, clculez les nombres suivnts : ) A = e d + e d b) B = dt t + 5 dt t ) A = e d + e d A = e d A = [e ] A = e b) B = dt t + 5 dt t 5 B = t dt B = [ln t] 5 B = ln 5 B = ln 5

26 T le ES - progrmme mthémtiques ch6 chier élève Pge 6 sur 7 Eercice n 9 pge 7 Le grphique ci-contre représente l droite d'éqution y = On se pose l question de svoir si l'ire de l zone hchurée est égle à d ) Clculez cette intégrle ) Clculez géométriquement l'ire de l zone hchurée ) Pourquoi, dns ce cs, l'intégrle n'est-elle ps égle à «l'ire sous l courbe»? ) d = = = ) L'ire de l zone hchurée est : = unité d ire ) Prce que l fonction ne reste ps positive sur [ ; ] Eercice n pge 7 Intégrle d'une fonction ffine pr morceu L fonction f est représentée ci-contre sur l'intervlle [ ; ] Clculez de tête l'intégrle f () d f () d = + + = Eercice n pge 7 Intégrles et suites L suite (u n ) n IN est définie pr : u n = nn + e d ) Clculez l somme S n = u + u + + u n ) Donnez une interpréttion géométrique de S n ) S n = e d + e d + + n + e d = n n + e d = [ e ] n + = e n + ) S n est l ire sous l courbe de l fonction eponentielle, pour [ ; n + ] Eercice n pge 7 Comprison d'intégrles Sns les clculer, comprez les intégrles I et J suivntes : ) I = d J = ( + ) d c) I = b) I = e d J = (e d J = + d ) d ) Pour tout [ ; ], < + et <, donc I < J b) Pour tout [ ; ], e e et <, donc J I c) Pour tout [ ; ], + < et <, donc I < J Eercice n 5 pge 7 ) En utilisnt les inéglités vries pour tout de [ ; ], montrez que : ) Déduisez-en un encdrement de e d e d e d e d ) Comme, lors e e e, cr l fonction ep est croissnte sur IR Puis e d e d = e d cr < ) e d = d = [] = = e d = [e ] = e D où e d e

27 T le ES - progrmme mthémtiques ch6 chier élève Pge 7 sur 7 Eercice n 75 pge 79 Dites si l propriété indiquée est vrie ou fusse en justifint votre réponse f désigne une fonction continue sur IR ) IR, f () d = f () d + f () d ) IR, b IR, b f () d = f () d f () d ) Vrie, en rison de l reltion de Chsles ) Vrie, en rison de l reltion de Chsles et de : f () d = f () d Eercice n 86 pge 8 L courbe C ci-contre représente une fonction f dérivble sur IR L droite (OA) est tngente en A( ; e) à l courbe C On note f ' l fonction dérivée de f et on ppelle F l primitive de f sur IR telle que F() = Pour chcune des ffirmtions suivntes, indiquez si elle est vrie ou fusse Il n'est ps demndé de justifier les réponses ) L'éqution f () =, possède une seule solution dns IR b) f ' () = f () c) 4 f () d < 5 d) f () d < e) f ' () d < f) L fonction F est croissnte sur IR ) Fu, elle en possède u moins deu b) Vri, cr f () = e et f ' () = le coefficient directeur de l droite (OA) = e = e g) F(5) > F(6) h) L fonction f ' est croissnte sur l'intervlle [ ; ] c) Fu, cr 4 f () d = l ire sous l courbe, pour [ ; 4] et que grâce u qudrillge, on peut lire que cette ire est supérieure à 5 d) Non, cr pour tout [ ; ], f () > e) Vri, cr f ' () d = f () f () = f() e qui prît bien être inférieur à f) Vri, cr s dérivée f est positive g) Fu, cr F est croissnte sur IR h) Fu, cr sur [ ; ], f est concve, donc f ' est strictement décroissnte Eercice n 87 pge 8 Indiquez l réponse ecte sns justifiction On donne ci-contre, dns un repère orthonormé l courbe C f représenttive d'une fonction f définie et dérivble sur l'intervlle [ 6 ; 6] L droite (T) d'éqution y = + est tngente à l courbe C f u point I de coordonnées ( ; ) ) Le nombre dérivé de f en est : ) b) c) ) On pose J = f () d On peut ffirmer que : ) < J < b) 4 < J < c) < J < 4 ) On ppelle F une primitive de f sur l'intervlle [ 6 ; 6] ) F est croissnte sur l'intervlle [ ; ] ; c) F est croissnte sur l'intervlle [ ; 5] b) F est décroissnte sur l'intervlle [ ; 5] ; 4) En unités d'ire, l'ire sous l courbe pour pprtennt à [ ; ] est égle à : ) f () d b) f () d c) f () d ) L tngente (T) à l courbe C f u point d bscisse pour coefficient directeur, soit f ' () = Réponse b ) f est positive sur [ ; ], donc f () d Réponse c ) 6 4,5 5,5 6

28 T le ES - progrmme mthémtiques ch6 chier élève Pge 8 sur 7 F' () = f () + + F() Réponse c 4) f est positive sur [ ; ], donc f () d est l'ire sous l courbe pour pprtennt à [ ; ] en unités d'ire Réponse b Eercice n 88 pge 8 Indiquez l réponse ecte sns justifiction On considère l fonction f définie sur IR pr : f () = e L courbe représenttive de f est trcée dns le repère ci-contre : ) Pour tout réel, f ' () est égle à : ) e b) e c) ( )e ) L tngente à l courbe représenttive de f u point d'bscisse pour éqution : ) y = b) y = c) y = ) Une primitive F de f est définie sur IR pr : ) F() = e b) F() = ( + )e c) F() = e 4) L vleur de f () d est : ) négtive b) inférieure à c) supérieure à 5) L vleur de f () d est : ) égle à f () d b) négtive c) égle à 4 ) f = uv vec u() = u' () = v() = e, lors f ' = u' v + v' u vec v' () = e, soit f ' () = e + ( e ) = ( )e Réponse c ) Le coefficient directeur de l tngente à l courbe représenttive de f u point d'bscisse est f ' () = ( )e = Réponse ) Avec F() = ( + )e, on F' () = e + ( e ) ( ( + )) = e + e + e = e = f () Réponse b 4) f est positive sur [ ; ], donc f () d est l ire du domine délimité pr l courbe représenttive de f, l e des bscisses, et les droites d équtions = et = Cette ire est inférieure à 4 crreu, et unité d ire est égle à 4 crreu Réponse b 5) f est négtive sur [ ; ], donc f () d est négtive ussi Réponse b 6 AIRE DU DOMAINE COMPRIS ENTRE DEUX COURBES THÉORÈME Soient f et g deu fonctions continues et positives sur [ ; b], de courbes représenttives C f et C g, telles que f g sur [ ; b] Notons A l'ire du domine compris entre C f et C g Alors A = b [g() f ()] d Démonstrtion : f et g sur [ ; b], donc pr définition de l'intégrle : A = b g() d b f () d, donc A = b [g() f ()] d pr linérité Eercice n 67 pge 77 Les fonctions ffines f et g sont définies pr : f () = + 4 et g() = +

29 T le ES - progrmme mthémtiques ch6 chier élève Pge 9 sur 7 ) Trcez les droites D f et D g représentnt f et g ) Coloriez le domine limité pr D f, D g et les droites d'éqution = et = ) Clculez l'ire de ce domine 4) Retrouvez grphiquement le résultt précédent ) ) ) Pour tout [ ; ], f () g() = +, lors f () g() >, soit f () > g() D où l ire demndée : A = [ f () g()] d = ( + ) d = [ + ] = (9 + 9) ( + ) = 4 unités d ire 4) Le domine est un trpèze, d où A = = 4 unités d ire Eercice n 68 pges Les fonctions f et g sont définies sur IR pr : f () = et g() ) Dns le même repère, dessinez les courbes représentnt f et g ) Déterminez les bscisses et b des points d'intersection de ces courbes insi que l position reltive des deu courbes sur l'intervlle [ ; b] ) Clculez l'ire du domine compris entre les deu courbes ) ) f () = g() équivut à : =, soit =, soit encore = ou = f () > g() équivut à : >, soit >, soit encore < ou > Pour tout [ ; ], g() > f () ) D où l ire demndée : A = [g() f ()] d = ( ) d = = + = 4 4 = 8 unités d ire OBJECTIF 4 : Clculer l'ire du domine délimité pr deu courbes Soient f et g deu fonctions continues et positives sur [ ; b], de courbes représenttives C f et C g telles que f g sur [ ; b] Notons A l'ire du domine compris entre C f et C g Alors A = b [g() f ()] d

30 T le ES - progrmme mthémtiques ch6 chier élève Pge sur 7 Eercice résolu n F pge 6 (O ; i, j ) est un repère orthonorml (unité grphique,5 cm) f est l fonction g est l fonction C f et C g désignent les courbes représenttives de ces fonctions Clculez l'ire A en cm, du domine colorié Méthode Pour clculer l'ire de D, on vérifie que g f et on pplique l formule donnnt l'ire du domine délimité pr deu courbes On donne d'bord le résultt en unités d'ire, puis en cm en tennt compte des unités grphiques Eercice n 6 pge 6 (O ; i, j ) est un repère orthonorml (unité grphique cm) Clculez l'ire, en cm, du domine colorié vec f () = et g() = Solution Sur l'intervlle [ ; ], on : g f Donc, en unités d'ire, on : A = [f () g()] d = d D'où A = = 8 4 = 5 = 9 unités d ire Or une unité d'ire égle (,5,5) cm =,5 cm, donc A = 9,5 =,56 5 cm Sur l'intervlle [ ; ], on : g f Donc l'ire, en unités d'ire, du domine colorié est : ( ) d = = = 6 L'unité d'ire vut = 4 cm, donc l'ire du domine colorié est : 4 6 = cm,67 cm Eercice n 7 pge 6 Clculez, en unités d'ire, l'ire du domine colorié vec f () = et g() = ( + ) Cherchons les bscisses des points d intersection de C f et C g Pour cel, résolvons l éqution f () = g() qui équivut u suivntes : = ( + ) + =

31 + = T le ES - progrmme mthémtiques ch6 chier élève Pge sur 7 = + 8 = 9 ; il y deu rcines : = et Sur l'intervlle [ ; ], on : g f Donc l'ire, en unités d'ire, du domine colorié est : d = 9 6 d = = 4 + Eercice n 8 pge 6 Clculez, en unités d'ire, l'ire du domine colorié vec f () = et g() = = = = 7 48 = Sur l'intervlle [ ; ], on : f g Donc l'ire, en unités d'ire, du domine colorié est : d = ln = ln 4 = ln 7 4,4 Eercice n 9 pge 6 On considère dns un repère orthonorml l droite d d'éqution y = et l droite d' d'éqution y = + Clculez de deu mnières, en unités d'ire, l'ire du domine D colorié sur l figure : ) En utilisnt le clcul intégrl ; ) En utilisnt l formule donnnt l'ire d'un trpèze ) Sur l'intervlle [ ; ], on : + Donc l'ire, en unités d'ire, du domine D colorié est : + d = + d = 4 + = ( + ) = ( + ) ) = Eercice n 4 pge 6 (O ; i, j ) est un repère orthonorml, unité cm On considère l courbe C d'éqution y = + et l courbe C' d'éqution y = 4 ) Clculez les bscisses des points d'intersection de ces deu courbes ) Clculez l'ire du domine délimité pr ces deu courbes (colorié en rouge sur l figure) ) Clculez l'ire du domine délimité pr les courbes C et C' les droites d'équtions = et = (colorié en bleu sur l figure)

32 T le ES - progrmme mthémtiques ch6 chier élève Pge sur 7 ) Résolvons l éqution + = 4 qui équivut u suivntes : = = = ou = Les bscisses des points d'intersection de ces deu courbes sont et ) Sur l'intervlle [ ; ], on : + 4 Donc l'ire, en unités d'ire, du domine colorié en rouge est : (4 ) ( ) d = = 4 = 4 6 = d = L'unité d'ire vut = cm, donc l'ire du domine colorié en rouge est : cm = = = 6 ) Cherchons l bscisse du point de C d ordonnée 7 Pour cel, résolvons l éqution + = 7 qui équivut u suivntes : = 4 = ou = Sur l'intervlle [ ; ], on : 4 + Donc l'ire, en unités d'ire, du domine colorié en bleu est : [ ( )] d = ( ) d = = 6 = + = L'unité d'ire vut = cm, donc l'ire du domine colorié en bleu est : cm Eercice n 4 pge 6 On considère, dns un repère orthonorml (unité : cm), l courbe C d'éqution y = et l courbe C' d'éqution y =, pour > Clculez l'ire du domine D coloré en rouge Aide Décomposez D en deu domines convenblement choisis Sur l'intervlle [ ; ], on :, et sur l'intervlle [ ; ], on : Donc l'ire, en unités d'ire, du domine colorié en rouge est : d + d = ln ln = ln ( ln ) 8 = 8 + ln + ln = ln 5 8 L'unité d'ire vut = cm, donc l'ire du domine colorié en rouge est : ln 5 8 cm Eercice n 4 pge6 Vri ou fu Les ffirmtions suivntes sont-elles vries ou fusses? Justifiez votre réponse ) Si f est une fonction continue, lorsque l'on connît une primitive de f sur un intervlle, toutes les utres s'en déduisent pr jout d'une constnte ) Si f est continue sur [ ; b], lors : b f () d = b f (t) dt ) Si f est continue et positive sur [ ; b], lors : b f () d 4) Le nombre b f () d n'est jmis négtif puisque c'est une ire

33 T le ES - progrmme mthémtiques ch6 chier élève Pge sur 7 5) f et g sont continues sur [ ; ], vec f g Alors l'ire entre les courbes C f et C g, pour [ ; ], est égle à (f () g()) d ) Vri Voir le théorème ) Vri Voir l remrque du prgrphe ) Vri, cr, dns ce cs, b f () d est une ire, donc un nombre positif ou nul 4) Fu, cr b f () d n'est ps toujours une ire : pr eemple, lorsque < b et f strictement négtive sur [ ; b] ; on lors : b f () d < 5) Fu, cr lorsque f g, l'ire est égle à : ( g() f ()) d Eercice n 69 pge 78 On considère l fonction f définie sur ] ; +[ pr : f () = + 8 C est l courbe représenttive de f dns un repère orthonorml et D est l droite d'éqution y = ) Étudiez l position de C pr rpport à D sur ] ; +[ ) Clculez l'ire du domine hchuré ) Pour tout ] ; + [, f () ( ) = 8 > Donc sur ] ; + [, C est u-dessus de D ) C étnt u-dessus de D sur [ ; 5], l ire entre les deu courbes est égle à : 5 [ f () ( )] d = 8 7 VALEUR MOYENNE DÉFINITION 5 d = = 8 5 = = = unités d ire 5 f est une fonction continue sur l'intervlle [ ; b] (vec < b) L vleur moyenne de f sur [ ; b] est le réel b b f (t) dt Nous dmettrons que, f étnt une fonction continue sur l'intervlle [ ; b], il eiste un réel c de [ ; b] tel que f (c) est égl à l vleur moyenne de f sur [ ; b] On lors : b f (t) dt = (b ) f (c) Remrque : Interpréttion en termes d'ires Supposons que f soit positive sur [ ; b] L'églité ci-dessus signifie que l'ire sous l courbe entre et b est égle à l'ire du rectngle colorié en bleu Eercice n 49 pge 75 Clculez l vleur moyenne de l fonction f sur l'intervlle I ) f () =, I = [ ; ] b) f () =, I = [ ; ] ) = ( ) d = [ ] = (4 ) =

34 b) = d = 4 T le ES - progrmme mthémtiques ch6 chier élève Pge 4 sur 7 4 = 4 = 4 Eercice n 5 pge 75 Clculez l vleur moyenne de l fonction f sur l'intervlle I ) f () = ) = I = [ ; 4] 4 4 d = [ 6 ] 4 = ( 6) = b) f () = I =, b) = d = [ln ] = ln ln = ln = ln Eercice n 4 pge 6 Questions sur le cours Complétez comme il convient ) Si f est une fonction continue et positive sur [ ; b], en unités d'ire, l'ire sous l courbe pour [ ; b] est égle à ) Toute fonction continue sur un intervlle I dmet une sur I ) Si F et G sont des primitives de f sur l'intervlle I, lors il eiste un réel c tel que, pour tout de I, G() = 4) Si u est une fonction dérivble sur un intervlle I, lors une primitive sur I de u' () eu() est 5) Si f est continue sur [ ; b] et si F est une primitive de f sur [ ; b], lors b f (t) dt = 6) Si f et g sont continues sur [ ; b] et si : [ ; b], f () g(), lors b f () d b g() d 7) L fonction f est continue sur [ ; b] Alors s vleur moyenne sur [ ; b] est égle à ) Si f est une fonction continue et positive sur [ ; b], en unités d'ire, l'ire sous l courbe pour [ ; b] est égle à : b f () d ) Toute fonction continue sur un intervlle I dmet une primitive sur I ) Si F et G sont des primitives de f sur l'intervlle I, lors il eiste un réel c tel que, pour tout de I, G() = F() + c 4) Si u est une fonction dérivble sur un intervlle I, lors une primitive sur I de u' () eu() est eu() 5) Si f est continue sur [ ; b] et si F est une primitive de f sur [ ; b], lors : b f (t) dt = F(b) F() 6) Si f et g sont continues sur [ ; b] et si : [ ; b], f () g(), lors : b f () d b g() d 7) L fonction f est continue sur [ ; b] Alors s vleur moyenne sur [ ; b] est égle à : b b f () d Eercice n 45 pge 6 QCM Au moins une réponse ecte Pour chque ffirmtion, plusieurs réponses peuvent être ectes Identifiez-les en justifint votre réponse ) Une primitive sur IR de e est : ) e b) e c) e ) L'intégrle e + d est égle à : ) e b) e e c),5(e )(e + e) ) L vleur moyenne sur [ ; ] de l fonction : est égle à : ) ln b) ln c) ln 4) d d = ) d b) c) 6 ) Réponses ectes : b et c Cr une primitive de e est e =

35 ) Réponses ectes : b et c Cr e + d = T le ES - progrmme mthémtiques ch6 chier élève Pge 5 sur 7 e + ) Réponses ectes : et c Cr l vleur moyenne est : 4) Réponses ectes : b et c = (e e) =,5e (e ) =,5e (e )(e + ) =,5 (e )(e + e) d = ln = ln Cr d d = = = 6, lors que d = 4 = 4 Eercice n 5 pge 75 Clculez l vleur moyenne de l fonction f sur l'intervlle I ) f () = e I = [ ; ] b) f () = ( I = [ ; ] + 9) ) = ( ) e d = [ e ] = ( + e ) = e b) = ( ) ( + 9) d = + 9 Eercice n 5 pge 75 ) Clculez l vleur moyenne V m de l fonction f : ) ) Trouvez un réel c tel que f (c) = V m = = f : + sur [ ; ] b) Retrouvez c grphiquement ) V m = ( + ) d = [ + ] = ( ) = 5 ) ) f (c) = 5 équivut à : c + = 5, soit à : c = b) On cherche l bscisse c du point d ordonnée 5 de l droite d éqution y = + 4 Eercice n 54 pge 75 f est l fonction définie sur IR pr f () = + Trouvez c dns [ ; ] tel que f (c) soit l vleur moyenne de f sur [ ; ] Vleur moyenne de f sur [ ; ] : ( + ) d = [ + ] = f (c) = 6 équivut : c + c = 6, soit c + c 6 =, ou : c = 76 6 = 9 Or c [ ; ], donc c = ou c = vec = = 76 ( ) = 6 Eercice n 58 pge 75 Pri moyen Une entreprise chète une mchine 5 euros ; elle peut l revendre u bout de t nnées u pri de : 5 V(t) = pour t 8,,5t + où t est eprimé en nnées, et V(t) en milliers d'euros ) ) Au bout de combien d'nnées l mchine ur-t-elle perdu 5 % de s vleur à l'cht? b) Quelle est s vleur de revente u bout de 4 ns?

36 T le ES - progrmme mthémtiques ch6 chier élève Pge 6 sur 7 ) Clculez l vleur moyenne du pri de revente dns l période [ ; 4] ) ) L mchine ne vudr plus que 5 euros, c est-à-dire,5 milliers d euros 5 =,5 équivut à :,5(,5t + ) = 5, soit à :,5t + =, soit encore à : t =,5t + ) L mchine ur perdu 5 % de s vleur à l'cht u bout de nnées b) V(4) = 5,5 4 + = 5,667 L vleur de revente ser donc d environ V(t) dt = 4 5 4,5t + dt = 5 4 [ ln (,5t + )] 4 = 5 4 ( ln ) = 5 ln,747 L vleur moyenne du pri de revente dns l période [ ; 4] est environ 747 Eercice n 6 pge 76 Des chocolts Un rtisn propose des chocolts «fits mison» Il en fbrique de à 8 kg pr jour Le coût de fbriction des chocolts eprimé en euros est modélisé pr l fonction f définie sur [ ;8] pr : f () = + e, Pour l'rtisn, l vleur moyenne du coût de fbriction d'un kilogrmme de chocolts est donnée pr l vleur moyenne de f sur [ ; 8] Déterminez une vleur pprochée, rrondie à un euro près, de ce coût moyen m = 8 8 ( + e, ) d = 7 [, 5e ] 8 4 Le coût moyen est environ 4 Eercice n 64 pge Vleur moyenne d'une ction Le cours d'une ction cotée en bourse, eprimé en dizines d'euros, est modélisé pr une fonction f définie sur [ ; ] pr f () = ln où représente le nombre de mois écoulés à prtir du er décembre ) Étudiez les vritions de f sur [ ; ] ) Au cours de l'nnée, qund ser-t-il judicieu pour un investisseur d'cheter des ctions? Clculez s dépense rrondie à un euro près ) ) Vérifiez que l fonction F définie sur [ ; ] pr F() = + 8 ln est une primitive de f b) Clculez l vleur moyenne de f sur [ ; ] (donnez s vleur ecte puis s vleur pprochée à euro près) Commentire En économie, on prend souvent cette vleur moyenne comme pproimtion de l vleur moyenne de l'ction u cours de l'nnée ) Pour tout [ ; ], f ' () = 8 ( 4) = f ' () + 6 f ' (),9 9,48 ) Lorsque le cours ser minimum, c est-à-dire lorsque = 4, le er vril f () = 6 f (4) = 8 ln 4 = 6 ln,9 f () = 8 ln 9,48 ) L vleur ser lors de f (4),9 dizines d euros, soit environ : 9, ) Pour tout [ ; ], F' () = + 8 ln + = + 8 ln 8 = ln = f () b) m = f () d = ( F() F() ) 5 4 ln 4 ln 6 ( ln ) = = =,77 L vleur moyenne de f sur [ ; ] est environ 8 Eercice n 66 pge 77 Évolution des eporttions Soit f l fonction de l vrible réelle définie sur [ ; ] pr : 9 f () = + e Prtie A ) Montrez que l fonction f est strictement croissnte sur [ ; ]