Niveau 7C 05 février Solution. L x y z ( utilisation du théorème de. (x y z) x y z 2xy 2xz 2yz

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1 Olympades Natoales de Mathématques 07 Sélectos régoales er tour Nveau 7C 05 févrer 07 Durée 3 h Exercce (4 pots) ) Vérfer que, pour tous réels x, y, z o a : (x y z) x y z xy xz yz. Soluto ) La somme des ares des faces d u paralléléppède rectagle est cm et la somme des logueurs de ses arêtes est 4cm. Détermer la logueur de ses dagoales téreures. Ue correcto ) O a, pour tous réels x, y, z : (x y z) (x y z)(x y z) E développat o obtet (x y z) x y z xy xz yz. O peut auss utlser l detté remarquable (a b) a b ab avec a x et b y z... ) La somme des ares des faces du paralléléppède rectagle est cm. C est la somme des ares de sx rectagles, d où xy xz yz. Doc xy xz yz. La somme des logueurs de ses arêtes est 4cm d où 4x 4y 4Z 4 doc x y z 6. Détermer la logueur de ses dagoales téreures La logueur L d ue dagoale téreure est telle que : L x y z. Pythagore). Alors Or d après la questo ) o a : (x y z) x y z xy xz yz d où Ef, la logueur des dagoales téreures est L 4. Exercce (4 pots) Soet et deux réels. ) Développer, rédure et factorser l expresso ( ) ( ). ) Soet x, y et z des eters aturels. Le trplet x,y,z est pythagorce s L x y z ( utlsato du théorème de 6 L doc x y z. Utlser ) pour doer tros exemples (o proportoels) de trplets pythagorces. Ue correcto ) Développemet et réducto : 4 4 ( ) ( ) 4 Factorsato : 4 4 ( ) ( ) ( ) ) Utlsos ) pour doer tros exemples (o proportoels) de trplets pythagorces x,y,z : Pour et deux eters aturels quelcoques, o pose et z sot des eters aturels vérfat x y z. Pour et o trouve : x 3, y 4 et z 5 Pour 3 et o trouve : x 5, y et z 3 Pour 4 et o trouve : x 5, y 8 et z 7 Alors les tros trplets 3,4,5, 5,,3 et x, y et 5,8,7 sot pythagorces. L 4 z. D après ) x, y Olympades Natoales de Mathématques 07 Sélectos régoales er tour Nveau 7C Correcto proposée par AMIMATHS

2 Exercce 3 (4 pots) Le pla complexe est rapporté à u repère orthoormé drect (O;u, v). O cosdère le pot A( ) et la sute de pots M d affxes z défe par : z 0 0 et z ( )z. ) Motrer que le tragle AM M est rectagle socèle pour tout. ) Motrer que les pots M restet sur quatre drotes fxes. Sur quelle drote se trouve le pot M 07? 3) O pose : L M0M MM M M. Calculer L e focto de pus lm L. Ue correcto ) O a pour tout : z ( )z z z z za ( )z ( )z z ( )z z z ( )z z z ( )z A (( )z ) ( )z z z z za D où (MA,MM ). MA MM Doc le tragle AM M est rectagle socèle e M pour tout. ) D après l expresso z ( )z o remarque que le pot M est l mage de M par la smltude drecte d expresso complexe z' ( )z. Cette smltude a pour cetre le pot A(,), et d agle. 4 (AO,AM ) 4 et pour tout, (AM,AM ) 4. O e dédut que (AM,AM 4). Doc les pots A,M,M 4 sot algés. Alors pour tout eter aturel k : les pots A,M 0,M 4,M 8,...,M 4k sot algés. les pots A,M,M 5,M 9,...,M4k sot algés. les pots A,M,M 6,M 0,...,M4k sot algés. les pots A,M 3,M 7,M,...,M4k 3 sot algés. E cocluso ; les pots Mrestet sur quatre drotes fxes : (AM 0), (AM ), (AM ) et (AM 3). Le pot M 07 est stué sur la drote (AM ) car du type 4k. Olympades Natoales de Mathématques 07 Sélectos régoales er tour Nveau 7C Correcto proposée par AMIMATHS

3 E d autres termes : 0 4 M (AM 0) 4 M (AM ) 4 M (AM ) 3 4 M (AM 3) M (AM ) et 07 car O a z0 0 et d après la relato de récurrece z ( )z o obtet : z0 0 M0 O(0,0) z M (0,) 3 3 z ( ) M (, ) z 3 ( )( ) ( 3 3) M 3(, ). 4 A partr de ces coordoées o peut trouver les équatos de ces quatre drotes. 3) L M0M MM M M est la somme de termes cosécutfs d ue sute géométrque (U ) de terme gééral U M M ; ; de premer terme U M0M et de raso q (rapport de la smltude drecte). Alors lm L q L U q car d où L q lm 0. Doc lm L. Ef lm L. Exercce 4 (4 pots) ) Sot PQRS u trapèze de bases PQE et RSEsot de même are. PS et QRdot les dagoales se coupet e E. Motrer que les tragles ) Sot ABCu tragle acutagle (à agles agus). La bssectrce téreure de l agle A coupe BC el et recoupe le cercle crcoscrt au tragle ABCe N. Les projetés orthogoaux de L sur AB et sur otés respectvemet F etd. La parallèle à NC meée de Dcoupe BC ei. a) Motrer que FI est parallèle à BN. AC sot b) Motrer que le tragle ABCet le quadrlatère AFNDsot de même are. Ue correcto ) PQRS u trapèze de bases PS et QRdot les dagoales se coupet e E. d (P;(QR) d (S;(QR) PS QR ( les bases trapèze sot parallèles), d où les tragles O a car car PQR et QRS sot de même hauteur par rapport à la base (QR), doc les tragles PQE et RSE sot de même are. O a alors : are(pqr) are(pqe) are(qer) are(rse) are(qer) are(qrs) d où are(pqe) are(rse). Olympades Natoales de Mathématques 07 Sélectos régoales er tour Nveau 7C Correcto proposée par AMIMATHS 3

4 .a) Les pots A, F, L et D sot cocyclques (tragles rectagles de même hypotéuse). Motros que I est sur le cercle passat par les pots A, F, L et D. O a : (IL;ID) (CB;CN) (algemet et parallélsme) d où (IL;ID) (AB;AN) (cocyclcté) doc (IL;ID) (AN;AC) (bssectrce) o e dédut que (IL;ID) (AL;AD), le pot est be sur le cercle crcoscrt au tragle ADL. (FI;BN) (IF;IL) (BC;BN) (AF;AL) (AC;AN) (AB;AN) (AC;AN) 0 car AN est la bssectrce de (AB;AC). FI Alors est parallèle à BN. b) Motrer que le tragle ABCet le quadrlatère AFNDsot de même are. E CI DN E FN BI O ote et La parte AFE EDest commue au tragle ABC et au quadrlatère AFND. Das le trapèze DINC o sat d après la questo ) que les tragles INE et DCE sot de même are. Das le trapèze FBNI o sat d après la questo ) que les tragles FBE et INE sot de même are. Alors les partes o commues des deux fgures sot de même are. Doc le tragle ABCet le quadrlatère AFNDsot de même are. Olympades Natoales de Mathématques 07 Sélectos régoales er tour Nveau 7C Correcto proposée par AMIMATHS 4

5 Exercce 5 (4 pots) Sot ABCD u carré de coté a. U cercle téreur au carré est taget à AB et AD. U secod cercle ', téreur au carré, est taget extéreuremet à as qu aux drotes CB et CD. Sot S la somme des ares des cercles et ' : qu elles sot les valeurs maxmale et mmale de S? Ue correcto Les cetres O et O des cercles état à égale dstace des côtés AB et AD pour l u et des côté CB et CD pour l autre, les cetres des deux cercles sot stués sur la dagoale AC et les rayos r et r des cercles vérfet : AO r r OC AC a or OA=r et OC=r e remplaçat o trouve : (r r )( ) a d où r r a(- ) Les cercles état stués à l téreur d u carré de coté a, leurs rayos restet féreurs à a. a a a Lorsque r est maxmal, r est mmal. S r o a r a( - ), doc r a( - ) d où 3 3 a r a( - ). O e dédut que chaque rayo appartet à l tervalle a( );.La somme des ares des deux cercles est : S (r r ) ((r r ) (r - r ) ) Comme r r a(- ), S (a (6-4 ) (r - r ) ). a O e dédut mmédatemet que cette are est mmale lorsque r r 0 sot r r (- ) a(- ), o a alors S m (3- )a. O e dédut auss que cette are est maxmale quad r est maxmal et r mmal (ou versemet) c'est-àdre quad : r et r 9 a 3 a( ) o a doc S max (a (6-4 ) (- ) a ) d où Smax 3 a. F. Olympades Natoales de Mathématques 07 Sélectos régoales er tour Nveau 7C Correcto proposée par AMIMATHS 5