Exercices : 04 - Ondes, diffusion

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1 1 Exeries : 04 - Ondes, diffusion Sienes Physiques MP A. Généraliés Exeries : 04 - Ondes, diffusion 1. Caraérisaion d une onde plane Une onde méanique monohromaique de fréquene f = 5Hz es représenée en un poin M de l espae par l expression omplexe ψ( r,) = Aexpi(ω φ( r)), r éan le veeur posiion siuan M dans un repère Oxyz. 1. Quelle es sa surfae d onde lorsque φ( r) = 3x+4y +5z? 2. Déerminer la élérié de propagaion de ee onde ainsi que sa longueur d onde. 3. Donner l expression de ee même onde lorsqu elle se propage dans une direion normale à l axe Oy en faisan un angle de 30 ave l axe Oz. Réponses : 3x+4y+5z = Ce, k = 5 2m 1, = 4,4m s 1 3, λ = 0,89m, ψ( r,) = Aexpi(ω 5 2 z x). 2. Viesse de phase e viesse de groupe On éudie une onde plane progressivemonohromaiquereprésenéepar la noaion omplexe : f = f 0 expi(ω k r) dans laquelle la pulsaion e le veeur d onde vérifien l équaion de dispersion : k 2 = ω2 ω 2 0 viesse de la lumière dans le vide e ω 0 une eraine onsane posiive. 1. Déerminer la viesse de phase e la viesse de groupe. 2. Vérifier la onformié ave la héorie de la relaivié resreine d Einsein. 3. Traer les ourbes donnan es deux viesses en fonion de la pulsaion ω. Réponses : v ϕ = / 1 ω2 0 ω, v 2 g = 1 ω2 0 ω, v 2 ϕ > ne ranspore pas d informaion, v g <. 2 où es la 3. Onde de Sine-Gordon Un sysème physique es araérisé par une fonion sans dimension ψ(x, ), des variables espae x e emps, qui saisfai à l équaion différenielle suivane appelée équaion de Sine-Gordon : 2 ψ x ψ 2 2 = sinψ λ 2 où e λ son des onsanes; le solion es la réalié dérie par la soluion de ee équaion différenielle. Un solion es une onde pariulière qui profie des non-linéariés du milieu dans lequel il se propage pour ne pas êre affeé par exemple d un amorissemen. Ce phénomène relaivemen rare a ouefois éé observé dès le 19ème sièle. 1. Quelles son les dimensions physiques de e λ? 2. Cherher une soluion approhée de l équaion préédene de la forme : ψ(x,) = ǫos(ω kx) ave ǫ 1. En déduire la relaion enre k e ω. 3. Représener les évoluions de la viesse de phase e de la viesse de groupe en fonion de la pulsaion ω. Réponses : m s 1, m; k 2 = ω2 1 2 λ ; v 2 φ = / 1 2 λ 2 ω, v 2 g = 1 2 λ 2 ω. 2 B. Ondes éleromagnéiques 4. Ondes dans une ligne élerique, impédane araérisique Une ligne élerique à onsanes réparies es modélisée omme sur la figure i-onre, un élémen de longueur dx de ligne omporan une induane propre dl = Λdx e une apaié dc = Γdx. L ensemble es parouru par des ourans harmoniques de pulsaion ω. On noe i(x,) e i(x+dx,) les inensiés dans la ligne aux absisses respeives x e x + dx. L impédane oale de la ligne siuée au-delà de l absisse x, vue depuis le poin d absisse x, sera don Z l (x) = u(x) i(x). On noera enore = 1 ΛΓ e Z 0 = Λ Γ. 1. Érire les relaions différenielles enre u e i. 2. Éablir l équaion de propagaion. dl u(x,) dc u(x+dx,)

2 Sienes Physiques MP Exeries : 04 - Ondes, diffusion 2 3. Vérifier que les soluions de l équaion de propagaion peuven êre mises sous la forme suivane : i = i 0 expi(ω kx)+i 1 expi(ω+kx) e u = ρi 0 expi(ω kx) ρi 1 expi(ω+kx) Caluler ρ e la viesse de propagaion des signaux dans la ligne. Que représenen haun des deux ermes présens dans les expressions de i e u? 4. L exrémiédelalignedelongueurdesferméesuruneimpédanez.caluleri(x,)e u(x,)en fonion de i 0, ρ, Z, ω, k e d. 5. Caluler Z l (x). Pour quelle valeur pariulière de Z, appelée impédane araérisique, Z l (x) es-elle indépendane de x? Dans e as, que peu-on observer dans les expressions de i(x,) e u(x,)? 5. Éude d une ligne élerique, un aure poin de vue Une ligne élerique à onsanes réparies es modélisée omme sur la figure i-onre, un élémen de longueur dx de ligne omporan une induane propre dl = Λdx e une apaié dc = Γdx. L ensemble es parouru par des ourans harmoniques de pulsaion ω; on noera en pariulier u(x)exp(jω) la ension aux bornes de la ligne, e i(x)exp(jω) le ouran dans elle-i, à l absisse x. L impédane oale de la ligne siuée au-delà de l absisse x, vue depuis le poin d absisse x, sera don Z l (x) = u(x) i(x). On noera enore = 1 Λ e Z 0 = ΛΓ Γ. dl dc 1. Éablir l équaion différenielle (E 1 ) du premier ordre vérifiée par Z l (x). À quelle ondiion Z l(x) es-elle indépendane de x? Commener. 2. Sans néessairemen résoudre (E 1 ), éablir, en onsidéran par exemple un diviseur de ension, une équaion différenielle (E 2 ) du seond ordre vérifiée par u(x). Résoudre, ommener. Réponses : dz l dx = (jω)γ(z2 l Z2 0 ); Z 1 Aexp( j 2ωx l(x) = Z ) 0 1+Aexp( j 2ωx ), Z l(x) = Z 0 ; diviseur de ension pour u(x+dx) u(x) Z enre l (x+dx) 1+jωΓdxZ l (x+dx) Z l(x + dx)(1 jωγdxz l (x +dx)) donne u(x+dx) u(x) = Z l(x+dx) Z l (x) jωγdxz l d où 1 du u dx = 1 dz l Z l dx jωγz l avel équaiondifférenielledez l : 1 du u dx = jωγz2 0 Z l,pardérivaion ( du 1 dx u )2 + 1 d 2 u u dx = jωγ Z2 2 0 dz l Zl 2 dx, 1 d 2 u u dx = ω 2 ΓΛ = ω2 2 d où u(x) = A expi ω 2 x+b exp i ω x. 6. Propagaion dans un âble oaxial Un âble oaxial peu êre le siège de la propagaion d un signal de ension élerique. On envoie une impulsion unique de ension rès oure dans un âble de longueur l. Un osillosope plaé immédiaemen en enrée du âble affihe le signal de ension u(0,) de la figure 1. Quel signal u(l/2,) aurai-il affihé s il avai éé plaé au milieu du âble? u(0, ) 2µs Figure 1 Tension mesurée en débu de âble Proposiion de réponses à la figure 2. Réponses : la première impulsion possède une absisse qui évolue selon x 1 = jusqu au bou du âble, es à dire jusqu à la dae r = l. Après réflexion, on x 1 = l ( l ) = 2l. Le graphique x 1() es un riangle. L impulsion 2 voyage ave une absisse x 2 = ( T e ) jusqu à e qu elle arrive en bou de âble, puis elle évolue ave x 2 = 2l ( T e ). On peu voir sur le graphique que l 2 = 0,5µs e don que l = 1µs. La durée de l aller e reour de l impulsion es don de 2 µs. Le seond signal enregisré par l osillosope plaé au milieu orrespond don au reour de l impulsion 1. Elle revien à la dae = 3l 2 = 1,5µs. Elle revien ave un hangemen de signe ar sur le graphique u(,0), on noe un hangemen de signe. La réponse es don le graphique a). Commen expliquer la quesion du signe de l impulsion. Il fau don savoir e qu il se passe en bou de âble. Comme on ne nous di rien, on peu supposer que l exrémié du âble n es pas branhée. La ondiion aux limies es don un nœud de ouran. La ondiion aux limies es i iniden,x=l +i réfléhi,x=l = 0. C es l ampliude du ouran

3 3 Exeries : 04 - Ondes, diffusion Sienes Physiques MP u(l/2, ) a 1,5µs u(l/2, ) b 0,5µs 0,5µs 2,5µs u(l/2, ) 2,5µs u(l/2, ) d 0,5µs 0,5µs 1,5µs Figure 2 Impulsions enregisrées u(l/2, ) qui hange de signe pas elle de la ension. Le graphique de la bonne réponse es a) e don ela ne va pas ave le onsa prééden. On peu aussi raisonner en onnaissan le oeffiien de réflexion en ension lorsque l on hange de milieu du milieu 1 vers le milieu 2 : r = Z2 Z1 Z 2+Z 1 ave, ii, une impédane araérisique du âble vraisemblablemen Z 1 = 50Ω ou Z 1 = 75Ω e une impédane Z 2 puisqu il n y a rien de branhé en bou de âble. On a don r +1. Si on our-iruiai le bou du âble, on réaliseraialors Z 2 = 0 e alors r = 1. il y aurai alors hangemen de signe de l impulsion de ension. On peu aussi omprendre le hangemen de signe en sahan que l on réalise mainenan un nœud de ension en bou de âble : u iniden,x=l + u réfléhi,x=l = 0. L énoné n indique pas que le âble es our-iruié à l exrémié. 7. Transmission de l influx nerveux Cee ransmission es assoiée à la propagaion d une onde élerique le long de l axone qui es modélisé par un ylindre infini de rayon a don une porion infiniésimale dx es représenée par le shéma de la figure 3. V(x,) I(x, ) dg Na E Na dg K E K I(x+dx,) dr V(x+dx,) dc Figure 3 Modèle d un axone La résisane axiale es dr = 1 dx où κ es la onduivié élerique de l axone. En première approximaion, κπa2 l impédane ransmembranaire se ompose d une apaié dc = γ2πadx où γ es la apaié surfaique de la membrane, plaée en parallèle ave un ensemble de anaux ioniques. Chaque anal ionique es araérisé par sa onduane dg NA = g Na 2πadx e dg K = g K 2πadx ainsi que par la fore éleromorie ENa e E K de la pile qui modélise son poeniel ransmembranaire en l absene de ouran. On pose g = g Na +g K. On suppose que l axone oupe l espae x [0,+ ]. 1. Éablir l équaion différenielle : λ 2 2 v x 2 = v + v aκ où on a posé λ = 2g e = γ, v la différene de poeniel ransmembranaire elle que v = V + g g Na ENa +g KEK. Expliquer physiquemen la forme de l équaion définissan v en fonion de V. g Na +g K 2. Supposons qu en x = 0, l axone subi une exiaion élerique permanene de la forme v 0 () = A 0 osω ave A 0 > 0. On reherhe alors une soluion pariulière de l équaion différenielle sous forme omplexe v = Aexpi(kx ω). Teser ee forme de soluion e en déduire une relaion lian k e ω.

4 Sienes Physiques MP Exeries : 04 - Ondes, diffusion 4 3. Exprimer k(ω) dans les deux as ω 1 e ω On pose k = k +ik. Préiser la onséquene de l exisene de k. Disuer le signe de k. Quelle es la onséquene sur la ransmission de l influx nerveux sur de longues disanes? Il s avère que le modèle linéaire prééden ne rend pas bien ompe de la propagaion de l influx nerveux. En onsidéran eraines spéifiiés du omporemen éleriques des anaux ioniques, e noammen du fai que la onduane des anaux à sodium dépend du poeniel auquel elle es soumise, l équaion différenielle vérifiée par le poeniel ransmembranaire devien : λ 2 2 v x 2 = v + H(v) où a e b son des onsanes posiives. e H(v) = v( v a 1)(v b 1) 5. Préiser la dimension de a e b. À Quelle ondiion rerouve--on l équaion de la parie préédene? 6. On souhaie déerminer si l équaion adme des soluions propagaives de la forme v(x,) = F(Y) ave Y = αx β. Pour des raisons d ordre dimensionnel, nous nous proposons d adoper α = 1/λ e β = 1/. Éablir l équaion différenielle don F es soluion. 7. On pose enfin w = F/b e s = b/a. Éablir finalemen que l équaion différenielle don w es soluion s éri : 8. À quelle ondiion poran sur s e K la fonion : d 2 w dy 2 + dw dy = sw3 (1+s)w 2 +w w(y) = 1 1+expKY es-elle soluion de l équaion différenielle préédene? Déerminer alors K e s. 9. Représener graphiquemen la fonion w = w(y) en supposan K > Traer, sur un même graphe la variaion spaiale de la différene de poeniel v(x, ) pour rois daes fixées 1 < 2 < 3. Commener. Réponses : di dx = 2πa[ γ V +g Na(ENa +V)+g K(EK +V)], V x = I κa κπa, 2 V 2 2 x = γ V 2 + gv qui donne bien λ2 2 v x = v 2 + v, v prend en ompe la mise en parallèle des deux anaux ioniques; k2 λ 2 = 1 + iω, ω 1 k 2 λ 2 = iω d où k = ± [ (1+i) ] ω 2λ, si ω 1 alors k 2 λ 2 = 1 e k imaginaire pur k = ± i 2 λ pas de propagaion;k provoqueun amorissemen k > 0 sinon il y auraidivergenepour x, ii l influx nerveux s amori rès vie; a e b en V, on rerouve le as prééden si a v e b v; d2 F dy + df 2 dy = v3 ab v2( 1 a + b) 1 +v; d 2 w dy + dw 2 dy = sw3 (1+s)w 2 +w; après aluls, on arrive à l équaion exp2ky[1+k K 2 ]+expky[k(1+ K) (1+s)] = 0 vraie Y, d où K 2 K 1 = 0 e s = 1+K(1+K), la résoluion ondui à K = 1± 5 2 e s = 3± 5; voir les raés sur le shéma de la figure 4 ave x i = λ i. v b b/2 0 x 1 x 2 x 3 Figure 4 Propagaion de l influx nerveux x

5 5 Exeries : 04 - Ondes, diffusion Sienes Physiques MP C. Cordes vibranes 8. Ondes ransverses dans une orde vibrane On éudie (fig. 5) les osillaions ransverses d une orde élasique endue, de masse linéique λ. Au repos, ee orde es onfondue ave l axe (Ox). On éudie des osillaions dans le plan (Oxy) en négligean le poids. À l insan, on noe T(x,) la ension de la orde à l absisse x e α(x,) l angle fai par la orde ave l axe (Ox). On supposera α(x,) π. Les osillaions d un brin de orde d absisse x son déries par y(x,). y x x+dx x T(x,) T(x+dx,) α(x, ) Figure 5 Corde vibrane 1. Relier α(x,) e une dérivée de y(x,). Par projeion du prinipe fondamenal de la dynamique, monrer que T(x,) ne dépend pas de x. Cee foreesdonégaleàlaensiont 0 imposéeàlaordeàsesdeuxexrémiés;onlasupposeraindépendane du emps dans la suie. y 2. Quelles son l unié de mesure e l inerpréaion physique de la grandeur f(x,) = T 0 x? y y Mêmes quesions pour la grandeur p(x,) = T 0 x. 3. Monrerl équaion de propagaion 2 y 2 = y 2 2 x 2 e éablir l expressionde en fonion de λ e T 0. Quelle es la forme générale des soluions de ee équaion? 4. On noe ǫ (x,) = 1 ( ) 2 y 2 λ e ǫ p (x,) = 1 ( ) 2 y 2 T 0. Dans quelles uniés se mesuren es grandeurs? x Monrer une relaion simple enre p x, ǫ e ǫ p. Proposer une inerpréaion physique. 5. On onsidère une onde ransverse de représenaion omplexe y(x,) = y 0 exp[i(ω kx)], ave k > 0. Exprimer k e les valeurs moyennes p, ǫ e ǫ p. En déduire une expression de la viesse de ranspor de l énergie méanique le long de la orde; ommener. Réponses : anα sinα α y x, f(x,) en N, p(x,) en W; 2 = T0 λ, y(x,) = f(x ) + g(x + ); ǫ (x,) e ǫ p (x,) en N ou bien J m 1, ǫ+ǫp = 2T 2 y y p 0 x 2 e x = 2T 0 2 y y x 2 T 0( y x )2 2 x x ave 2 x 2 = 0 2 d où p x + ǫ + ǫp = 0, puissane des fores égale à la variaion d énergie par unié de emps; k 2 = ω2, 2 < p >= 1 2 T 0y0 2ωk < ǫ >=< ǫ p >= 1 4 T 0y0 2ω2, < p >= vénergie < ǫ +ǫ p > d où vénergie = = v groupe = v phase, siuaion idéale de D Alember. 9. Ondes saionnaires La orde vibrane de l exerie 8, de longueur L, es fixée à ses deux exrémiés en un poin de l axe (Ox), de sore que y(x = 0,) = y(x = L,) = 0 à ou insan. 1. Monrer l exisene de soluions harmoniques de la forme y(x, ) = f(x) exp(iω). Quelles son les pulsaions permises? On monrera l exisene d une pulsaion minimale ω La orde es abandonnée sans viesse iniiale à parir d une posiion iniiale donnée par y(x, = 0) = y 0 (x).onherhedessoluionsdel équaiondepropagaiondelaformey(x,) = y n exp(inω 1 )sin nπx L. Exprimer les y n, sous forme inégrale, en fonion de y 0 (x). 3. La orde es iniialemen pinée en son milieu : y 0 (x) es affine dans haun des deux inervalles [0, L/2] e [L/2, L] ave y 0 (0) = y 0 (L) = 0 e y 0 (L/2) = y m. Déerminer l ampliude relaive du premier harmonique relaivemen au fondamenal, η = y 3 /y 1. Réponses : f(x) vérifie d2 f 1 L 2L L y 0(x)sin nπx L dx; y 1 = 2 L dx 2 + ω2 f(x) = 0, f(x) = Asin ω 2 x ave sin ω 2y m L xsin πx 4ym L dx = π, y3 2 y 1 = 1 9. L/2 0 n=1 L = 0 d où ω = nπ L, ω 1 = π L ; y n =

6 Sienes Physiques MP Exeries : 04 - Ondes, diffusion 6 D. Ondes aousiques 10. Tuyau sonore On onsidère un uyau sonore, onsiué par un ylindre homogène, ouver à ses deux exrémiés. On donne l expression de la viesse des ondes sonores dans un gaz onsidéré omme parfai : γrt = M où γ = p / V e M es la masse molaire du gaz dans lequel se propage le son. La fréquene du son que le uyau peu émere dans l air diminue si : Proposiion de réponses : a) On remplae l air par de l hélium. b) On augmene la empéraure de la pièe. ) On bouhe l une des exrémiés du uyau. d) On pere le uyau à sa moiié. 11. Ondes sonores dans un pavillon aousique On onsidère un pavillon d ondes aousiques, d axe de révoluion Ox e de seion irulaire variable S(x). La pression dans le fluide a pour expression : p(x,) = p 0 1 (Sψ) où p 0 es la pression moyenne e χ le oeffiien χs(x) x de ompressibilié isenropique. L équaion différenielle à laquelle saisfai le déplaemen [ ψ(x,) ] d une ranhe de fluide, omprise enre x e x+dx es : 1 (Sψ) = 1 2 ψ x S x v 2 2 où v2 = 1/ρχ, ρ éan la masse volumique de l air. La seion S(x) varie selon : S(x) = S 0 expαx. S(x) O x x+dx x 1. Par une analyse dimensionnelle poran sur le produi ρχ, jusifier l expression de la élérié v des ondes aousiques. 2. Cherher des soluions de la forme omplexe : ψ(x,) = Aexpi(ω kx). 3. Monrerqu il exise une pulsaion de oupure ω en deçà de laquelle il n y a pas de propagaion.exprimer ω en fonion de v e α. Réponses : ρ en kg m 3, χ = 1 V ( V p ) S en Pa 1, Pa = kg m 1 s 2 don ρχ en m 2 s 2, v es une élérié; k 2 +iαk ω2 = 0, k = a+ib, b = α 2 2, a2 = ω2 v α2 2 4, ω = αv Ondes aousiques dans un risal On déri un modèle de risal ubique omme un alignemen d aomes le long d un axe (Ox). Les aomes son, au repos, disposés régulièremen aux absisses x 0 p = pa (p Z); on éudie ii des ondes méaniques longiudinales au ours desquelles l aome d ordre p aquier une posiion x p () = x 0 p +u p (). On noe m la masse ommune à ous les aomes; de plus, l aome numéro k es soumis à une ineraion poenielle ave le rese du réseau risallin qu on déri par l énergie poenielle U k = U k1 +U k2 formée de la somme de deux ermes, l un d ineraion ave les deux plus prohes voisins, U k1 = mω0 2 [u k u k+1 ] 2 +[u k u k 1 ] 2 2 andis que l aure déri l ineraion ave le rese du réseau risallin, U k2 = mω2 1 2 u2 k. 1. Par appliaion du prinipe fondamenal de la dynamique, déerminer d2 u k d 2 = ü k en fonion de u k, u k+1, u k 1 e de ω 0 e ω 1 : es l équaion (E). 2. On néglige le erme en ω 1, mais on ne fai auune hypohèse pariulière relaive à la grandeur a. On herhe des soluions de (E) sous la forme u k = u 0 exp[i(ω kϕ)]. Monrer une relaion enre ω, ω 0 e ϕ. Quel es l inervalle de fréquene permis pour e ype d ondes? 3. Quelle es la signifiaion de la grandeur K = ϕ/a? Même quesion pour V = ω/k. 4. La relaion qui donne ω = ω(k) es périodique. Monrer qu on peu, sans pere de généralié, se resreindre à l éude d une demi-période de ee fonion, es-à-dire à l inervalle K [0,K max ]. 5. On onsidère une onde de ompression elle que K K max. Quelle es la relaion enre les mouvemens de deux aomes adjaens? De quel ype d onde s agi-il?

7 7 Exeries : 04 - Ondes, diffusion Sienes Physiques MP On onsidère au onraire une onde de ompression elle que K K max. Quelle es la viesse de propagaion de l onde? Quelle es la viesse de propagaion de l énergie assoiée à l onde? E. Phénomènes de diffusion 13. Diffusion radioaive dans un barreau de grande longueur Un barreau de grande longueur, parallèle à l axe (Ox) peu omporer des marqueurs radioaifs. On éudie ii la diffusion de es marqueurs dans le maériau qui onsiue le barreau, à parir d une siuaion iniiale où es marqueurs son inroduis au enre x = 0 du barreau. On noe n(x,) la densié pariulaire des marqueurs radioaifs (nombre de pariules par unié de volume) e s la seion droie, onsane, du barreau. On adme que le ranspor des marqueurs dans le volume du barreau es régi par la loi de Fik : le nombre de marqueurs qui, à l insan, franhi la seion droie s d absisse x dans le sens de l axe (Ox) pendan la durée d es donné par Ds n d, où le oeffiien D es une onsane qui pore le nom de oeffiien de diffusion. x 1. Quelle es l unié de mesure de D? On suppose de plus que la onsane radioaive des marqueurs es rès longue, es-à-dire qu on néglige le nombre de eux qui disparaissen par désinégraion radioaive au ours de l expériene. Monrer la loi (E) de onservaion de la maière, n = n D 2 x On herhe des soluions de(e) sous la forme n(x, ) = f(x) g(). Déerminer les équaions différenielles vérifiées par f e g séparémen; on inroduira une onsane k homogène à l inverse d une longueur. 3. On adme que la soluion générale de (E) s éri n(x,) = A(k)exp ( ikx k 2 D ) dk. On noe aussi n 0 (x) = n(x, = 0) la répariion iniiale du nombre de marqueurs radioaifs. Enfin, on rappelle que si Ω(ω) = u()exp( iω)d alors u() = 1 Ω(ω)exp(iω)dω. 2π En déduire l expression de n(x, ) sous forme d une inégrale. 4. À l insan iniial, les marqueurs radioaifs son onenrés dans le plan x = 0, e qu on noera sous la forme n 0 (x) = N 0 δ(x) où la disribuion de Dira δ vérifie δ(x)f(x)dx = f(0) pour oue fonion f. Monrer que n(x,) = N ) 0 ( 2 πd exp x2 ; représener l allure de ee disribuion n(x, ) à deux 4D insans 1 e 2 > 1. Peu-ondéfinir une viesse du ranspordes marqueursradioaifsdans e barreau? On donne exp ( jαu βu 2) ) π du = ( β exp α2. 4β Réponses : D en m 2 s 1, 1 n(x,) = 1 2 πd 1 dg D g d = 1 f n 0(x )exp (x x ) 2 4D dx, non. 14. Élerisaion d un je liquide d 2 f dx 2 = k 2, n(x,) = 1 2π n 0(x )exp[ik(x x ) k 2 D]dkdx, Dans une imprimane à je d enre, le liquide éjeé par les buses d impression i(x+dx,) es assimilé à un long ylindre, de longueur L; un élémen de dr longueur dx de ylindre es (f. i-onre) assimilé à une résisane (en série) dr = ρdx e à un ondensaeur (en parallèle) dc = γdx; la ension u(x,) dc u(x+dx,) aux bornes de l ensemble es noée u(x,) à l insan en un poin du je liquide d absisse x (0 x L). Iniialemen ( < 0), l ensemble es déhargé e u(x,) = 0 pour ou x. À parir de l insan = 0, on élerise le je pour permere ensuie sa déflexion par un hamp élerique adapé afin de diriger le je vers la posiion adapée du papier. Pour ela, on adme qu un disposiif adapé impose u(x = 0,) = E 0 > 0 pour ou 0 andis que u(x, = 0) rese nul pour x Éablir l équaion différenielle (E), oeffiien de diffusion D. u = D 2 u e déerminer l expression e l unié de mesure du x2 2. On pose θ(x,) = u(x,) E 0. Monrer que θ(x,) vérifie l équaion différenielle (E) e déerminer θ(x = 0,) ainsi que θ(x 0, = 0). ( 3. Monrer que (E) présene des soluions (S) de la forme θ(x,) = (Aoskx+Bsinkx)exp ), sous réserve d une relaion que l on éablira enre k e. 4. Le je de liquide arrive sur le papier onsidéré omme un isolan. On en dédui que i(x = L,) = 0 à ou insan. À l aide des ondiions aux limies, préiser la forme de (S).

8 Sienes Physiques MP Exeries : 04 - Ondes, diffusion 8 5. Vérifier que les soluions (C), prenan en ompe les ondiions (C), ne peuven pas saisfaire aux ondiions iniiales pour = On herhe mainenan la soluion de (E) sous la forme θ(x,) = B n sin(2n + 1) πx ( 2L exp ). n=0 n Déerminer les n e u n pour que ee ension vérifie l ensemble des ondiions, aux limies e iniiales, imposées à θ(x, ). 7. Donner l expression de u(x,). En déduire, en fonion de L e D seulemen, un ordre de grandeur de la durée néessaire à l élerisaion omplèe du je ylindrique. Commener. Réponses : D = 1 ργ en m2 s 1, θ(x = 0,) = 0 e θ(x 0, = 0) = E 0, Dk 2 = 1, A = 0 e k = (2n+1) π 2L, θ(x,) = Bsin(2n + 1) πx 2L exp, on voi que θ(x 0, = 0) = Bsin(2n + 1)πx 2L E 4L 0, n = 2 D(2n+1) 2 π, 2 θ(x,) = n=0 B nsin(2n + 1) πx 2L de période 4L, la fonion es impaire e prolongée sur [ L,0] par +E 0, de plus on remarque qu elle ne ompore que les rangs impairs e qui radui θ(x, = 0) = θ(x + 2L, = 0), par onséquen la fonion doi êre prolongée par E 0 sur [L,2L] e par +E 0 sur [ 2L, L], l inégrale sur [ 2L,2L] es don 4 fois l inégrale sur [0,L] B n = 2E0 L L sin(2n + 1)πx 0 2L dx, B n = 4E0 [ (2n+1)π, u(x,) = E 0 1 ( )] 4 n=0 (2n+1)π sin(2n+1)πx π 2 D 2L exp (2n+1)2 4L, emps de l ordre de 4L2 2 Dπ, augmene vie ave L. 2