Exercices : 08 - Interférences.

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1 1 Eercices : 08 - Interférences. Sciences Physiques MP Eercices : 08 - Interférences. A. Crctéristiques de l figure d interférences 1. Évolutions de l figure d interférences Un système optique, composé de deu lentilles minces convergentes identiques L 1 et L, est écliré pr un fisceu de lumière monochromtique provennt d un point source A 0 plcé u foyer objet de L 1. n plce entre les deu lentilles, à mi-distnce, un écrn opque D percé de deu fentes rectngulires de lrgeur ǫ et de longueur b ǫ. Les deu fentes dont séprées pr l distnce telle que ǫ. n considère que les fentes sont infiniment minces et pr conséquent qu elles diffrctent une mplitude identique dns toutes les directions de l espce. L ensemble du dispositif est représenté sur l figure 1. 0 L 1 D L A 0 1 f f f f A Figure 1 Dispositif des fentes d Young à l infini 1. Clculer l éclirement obtenu sur l écrn en fonction de et décrire le phénomène observé sur ce même écrn situé dns le pln focl imge de l lentille L. n donne λ = 0,5µm, = 0,05mm et f = 1m.. Que se psse-t-il si on fit subir u fentes d Young : une trnsltion suivnt l direction? une rottion dns son propre pln? une dilttion, c est-à-dire qu on ugmente l distnce qui sépre les fentes? 3. Que pensez-vous de l influence de l distnce entre les lentilles L 1 et L et l fente? 4. Les fentes étnt plcées comme l indique l figure 1, que se psse-t-il lorsqu on fit subir à l source A 0 un petit déplcement suivnt l e des 0? 5. n met mintennt u point A 0 une source lumineuse qui n est plus monochromtique. Elle comporte en fit 3 longueurs d ondes vlnt respectivement 0,5µm, 0,6µm et 0,7µm. Epliquer rpidement mis soigneusement ce qu il se produit.. Miroirs de Fresnel Le dispositif des miroirs de Fresnel est constitués de deu miroirs plns formnt un dièdre d ngle α très fible et réglble. Une source ponctuelle S est plcée à fible distnce des deu miroirs selon l géométrie visible sur l figure, cette source est monochromtique. Un écrn d observtion plcé reltivement loin du dispositif n est ps représenté sur l figure. Il est situé à une distnce D telle que D h et D d, D est mesurée à prtir du point. S h d α Figure Miroirs de Fresnel 1. Epliquer pourquoi il y obtention d interférences. n montrer, en outre, que ce dispositif est équivlent à un dispositif d Young, on déterminer l position des deu points sources secondires équivlents insi que l distnce qui les sépre.. Décrire, lors, comment doit-être plcé l écrn pour être dns l sitution des trous d Young. Étblir vec précision ce que l on voit sur l écrn, on clculer en prticulier l interfrnge. Réponses : Dédoublement de l source S 1 imge (symétrique) de S pr M 1 et S imge de S pr M, = α d +h, écrn prllèle à S 1 S, frnges rectilignes, éclirement E = Em (1 + cos π λd ), interfrnge i = λd α h +d.

2 Sciences Physiques MP Eercices : 08 - Interférences. Figure 3 Diffrction pr deu trous 3. Diffrction pr deu trous L photo de l figure 3 représente une figure de diffrction à l infini. Prmi les propositions fites ci-dessous, quelle est l bonne configurtion? Proposition de réponses : ) b) c) d) 4. Trous de Young et frnge chromtique Un fisceu cohérent de longueur d onde λ éclire en incidence normle un écrn opque Π percé de deu fentes fines, rectngulires, de même lrgeur d, dont les centres sont distnts de. n observe l formtion de frnges d interférence sur un écrn E disposé prllèlement à Π, à l distnce D = 1m de Π (cf. fig. 4). Π E y Figure 4 Fentes de Young et frnge chromtique Dns un tel cs de figure, l intensité obtenue en un point de coordonnée y sur l écrn est l conséquence du phénomène d interférences et de celui de l diffrction de l lumière pr chque fente. L epression de l éclirement est donné pr l formule suivnte : E = E m sinc πdy πy (1+cos λ 0 D λ 0 D ) 1. À quelle condition(portnt sur d et ) peut-on considérer que l éclirement des frnges clires est constnt (à 1% près) pour une trentine de frngesu moins de prt et d utre de l frngecentrle? n se plcer dns ce cs dns toute l suite. Déterminer lors l disposition des frnges sur l écrn; clculer numériquement l interfrnge i correspondnt (on prendr λ 0 = 560nm et = 1,0mm).. n interpose sur le trjet de l lumière pssnt pr une des deu fentes seulement une mince lme de verre, d épisseur e = 0,05mm et d indice optique n 0 = 1,5. Comment l spect de l écrn est-il modifié? n clculer le déplcement de l frnge centrle, vnt de le comprer à l interfrnge.

3 3 Eercices : 08 - Interférences. Sciences Physiques MP n éclire mintennt le même dispositif en lumière blnche; on doit tenir compte du crctère dispersif du verre utilisé, dont l indice vrie selon dn dλ = 1, 106 m 1 utour de l vleur moyenne n 0 = 1,5 tteinte pour l longueurd onde λ 0 = 560nm, qui correspondu mimum de sensibilité de l œil humin. n ppelle lors frnge chromtique l zone de l écrn dont l ordre d interférence p dépend le moins possible de l longueur d onde. Déterminer l position de l frnge chromtique; comprer à l position de l frnge centrle déterminée à l question précédente. L frnge chromtique est-elle sombre ou brillnte? Réponses : c est l fonction de diffrction qui influence l éclirement des frnges clires sinc πdy dy λ 0D = 0,055, y = 0,055λ0D d = 15i = 15 λ0d supérieur à i, E Em (1+cos π λ (y D hut, 33,6 0,56 = 60, frnge chromtique brillnte., d 0,0037, i = 0,56mm, y = +(n0 1)eD y (n 1)e)), p = λd (n 1)e λ, y c = (n0 1)eD λ 0D = 0,99 impose =,6cm, nettement dn eλ 0D dλ, 3,36cm plus 5. Biprisme de Fresnel en lumière prllèle Un ensemble de deu prismes de verre, à bse tringulire, ccolés pr l bse, d indice n, de même ngle u sommet A, très fible, est écliré à trvers un filtre monochromteur à l longueur d onde λ, sous incidence normle. Le fisceu incident est obtenu u moyen d une lentille sphérique mince convergente u foyer objet de lquelle une source S est plcée derrière une fente fine (non représentée sur l figure 5). n observe l réprtition de l éclirement sur un écrn plcé dns le pln (y) situé à l distnce L du biprisme, choisie pour observer le plus grnd nombre de frnges possibles. n donne A = 1 et n = 1,573. L huteur totle éclirée pour chque prisme est notée h. S = F h A M Figure 5 Biprisme de Fresnel L 1. n donne λ = 580nm, h = cm, L = 1m. En déduire l spect de l écrn.. Quelle est l disposition de l fente source qui ne perturbe ps l observtion des frnges? 3. n retire le filtre de fçon à éclirer le dispositif en lumière blnche. En un point d bscisse de l écrn, on plce l fente d entrée d un spectroscope prllèlement u frnges des questions précédentes et on constte que le spectre lumineu observé est prsemé de cnnelures sombres. Epliquer. Préciser le nombre de cnnelures visibles. n prendr = 0,5mm. 6. Interférences en ondes sonores Deu sources ponctuelles S 1 et S émettent des ondes sonores sinusoïdles à l même fréquence f = 430Hz. L vitesse du son est c = 340m s 1. S 1 et S sont en phse et de même puissnce. n considère que ces sources ryonnent de fçon totlement isotrope dns tout l espce. 1. Quel est le déphsge des ondes provennt des deu sources en un point P situé à l distnce d 1 =,4m de S 1 et d = 3,6m de S?. Si en P, l mplitude de l onde émise pr S est A, quelle est l mplitude de l onde provennt de S 1 (en fonction de A )? 3. Quelle est l mplitude de l onde résultnte en P? 4. L intensité sonore de l onde en P est I =, W m. Que devient cette intensité si on éteint S? 7. Un film de svon Un film de svon est formé entre les fils d un cdre rectngulire. Sous l effet de l grvité, le film est déformé et son épisseur, repérée pr l grndeur e évolue linéirement en fonction de l bscisses (e() est une fonction ffine del forme). néclireen incidencenormlelsurfcedu film de svon(indicede réfrctionn = 1,33). n observe l première frnge d interférence dns le violet (λ = 40nm) à l distnce = 4,00cm du hut du cdre. À quelle distnce observe-t-on l première frnge d interférence dns le vert (λ = 55nm)? Voir le schém de l figure 6.

4 M 1 G oculire Sciences Physiques MP Eercices : 08 - Interférences. 4 Figure 6 Lme de svon déformée sous l effet de l grvité e Proposition de réponses : ) = 5,0cm b) = 3,cm c) = 6,cm d) =,0cm B. Applictions des interférences à l mesure 8. Mesure de l indice d un gz n veut mesurer l indice de l ir en utilisnt un montge de fentes d Young écliré en lumière monochromtique de longueur d onde λ = 549nm. n utilise le montge de l figure 7 où on remrque l présence de deu tubes trnsprents à l lumière incidente. 0 L 1 L ir A 0 1 ir puis vide A Figure 7 Dispositif de mesure de l indice d un gz Dns un des deu tubes, on rélise progressivementun vide poussé en retirnt de l ir grâce à une pompe à vide. L utre conserve l ir présent u déprt. n observe entre l étt initil et l étt finl un défilement de N = 107 frnges u point focl de l lentille d observtion. L longueur des deu tubes est L = 0cm. 1. Déterminer l vleur de l indice n de l ir.. Évluer l précision de l mesure. Réponse : n = 1,00094, on peut se tromper d une frnge d où n Mesure de petits ngles n considère l interféromètre de Mch-Zender représenté sur l figure 8. S est une source monochromtique de longueur d onde λ plcé u foyer d une lentille mince convergente.g 1 et G sont deu lmes semi-réfléchissntes introduisnt les mêmes déphsges.elles sontinclinées à 45 pr rpportàl e S. M 1 et M sontdeu miroirs plns prllèles u lmes. L figure d interférences est observée u moyen d un oculire. F S G 1 M Figure 8 Interféromètre de Mch-Zender 1. Dns l configurtion du dessin, qu observe-t-on dns l oculire?. Même question si on interpose une lme à fces prllèles, non bsorbnte, d indice N et d épisseur e sur le trjet M 1 G. L lme est disposée perpendiculirement u fisceu lumineu. Clculer l vrition d ordre pour λ = 0,5µm, e = 0,1mm et N = 1,5. 3. Que se psse-t-il si on incline l lme d un ngle petit θ? Quel est l ngle θ le plus petit détectble vec un récepteur cpble de mettre en évidence une vrition de l ordre d interférence de p = 0,05?

5 5 Eercices : 08 - Interférences. Sciences Physiques MP (N 1)e Réponses:Éclirementuniformem,idem p = λ θ min = N λ p (N 1)(N 1)e = 3,4 10 rd. = 100,δ = (N 1)e[1+ N 1 N θ ], δ = (N 1)(N 1) N eθ, 10. Epérience de Fizeu n considère le dispositif interférentiel des trous d Young distnts de = 10 mm, percés dns un écrn opque écliré sous incidence normle pr une onde plne progressive de longueur d onde λ = 585nm. Un écrn est situé à D = 0m. 1. Montrer que, compte tenu des ordres de grndeurs, l différence de mrche en un point M de l écrn situé dns le pln de l écrn et repéré pr son bscisse est δ = D.. Dns l epérience de Fizeu, on plce derrière les deu trous du dispositif d Young deu tubes prllèles à l e du système, de même longueur L = 5m, trversés pr l lumière sous incidence qusi-normle. Voir l figure 9. n crée dns ces tubes un cournt d eu de même vitesse v eu = 7m s 1 en sens opposé dns les deu tubes. L indice de l eu u repos étnt égl à n = 1,337, l célérité de l lumière dns le référentiel de l eu est égle à c 0 /n. Si on suppose que l célérité de l lumière dns l eu en mouvement vut c 0 n ±v eu, c est à dire résulte d une loi de composition fmilière,eprimer l vritionde l différence de mrche δ u point M de l écrn, lorsqu on étblit le cournt d eu, en limitnt les clculs à l ordre 1 en v eu c Schntque l étblissementdu courntd eu déplce les frngesde = 0,37mm±0,05mm, que fut-il penser de l hypothèse fite qunt à l loi de composition des vitesses? eu eu M D Figure 9 Epérience de Fizeu Réponses : δ = D + (n n )L, n n = n v eu c 0, = n v euld c 0 constté, loi de composition reltiviste des vitesses nécessire. = 0,83mm, le double de ce qui est 11. Mesure de l vitesse d écoulement d un fluide Lorsque l source de lumière utilisée est un lser comme c est le cs ici, on prle lors de vélocimétrie-lser. Une trnche de fluide homogène d indice n comprise entre deu plns d équtions z = ±e/ est illuminée pr deu ondes plnes de même mplitude A 0, issues d un même lser à impulsions de longueur d onde λ 0 = 503,0nm, de directions e 1 = sinθ e +cosθ e y et e = sinθ e +cosθ e y. 1. Étblir l epression de l éclirement E(P) dû u lser.. Le fluide contient des prticules diffusntes P qui diffusent dns tout l espce un éclirement E proportionnel à E(P). Le fluide est en mouvement vec un chmp de vitesse uniforme v = v e + v y e y. n supposer pour simplifier que l indice n du fluide reste le même. n convertit l éclirement E en une tension électrique. Montrer que l mesure de s fréquence f permet d ccéder à une composnte de v. Comment ccéder à l utre composnte? 3. Pour ugmenter le signl détecté, on disperse un grnd nombre N de prticules diffusntes dns tout le fluide. Que détecte-t-on si leurs positions initiles sont létoires? Quelle précution fut-il prendre si on veut pouvoir ccéder à une composnte de v? Réponses : E = E 0 (1 + cos πnsinθ λ 0 ), = v t, f = nsinθv λ 0, rottion de π/ des deu lsers, éclirement uniforme ps de signl, dispersées dns un espce petit devnt l interfrnge i = λ0 nsinθ.

6 Sciences Physiques MP Eercices : 08 - Interférences Mesure du dimètre pprent d une étoile double n considère le dispositif de l figure 10 : deu miroirs sphériques de même distnce focle f ont leurs es prllèles à et leur foyers F 1 et F distnts de D. Les deu composntes d une étoile double, ssimilées à deu sources ponctuelles S et S de même longueur d onde λ, situées à l infini dns les directions fisnt vec e les ngles ±α/, émettent en F 1 des mplitudes instntnées : (F 1,t) = Acos(ωt ϕ ) et (F,t) = Acos(ωt ϕ ) où ϕ et ϕ prennent en compte l incohérence mutuelle des deu sources. ϕ et ϕ restent constntes pendnt une durée de l ordre de τ π/ω et ϕ ϕ fluctue létoirement dns l intervlle [0,π] sur des durées grndes devnt τ. α S S α S S F 1 D F Figure 10 Télescope double Au voisinge de F 1 et F, deu photomultiplicteurs délivrent des cournts respectifs : i 1 (t) = k 1(t) et i (t) = k (t) proportionnels u crré des mplitudes instntnées totles reçues en chcun de ces points. Ces cournts sont filtrés pr un filtre bsse fréquence de coupure f c inférieure à ω/π et très supérieure à 1/τ. Puis on forme leur produit et enfin on en prend l vleur moyenne temporelle. 1. Eprimer l différence de mrche δ entre les ondes provennt de S et prvennt en F 1 et en F. Même question pour les ondes provennt de S, on noter l différence de mrche δ.. Montrer que le signl détecté est une fonction ffine de cos(πdα/λ). En déduire une méthode de mesure de α et préciser ce qui limite le pouvoir séprteur de l méthode, c est-à-dire l plus petite vleur de α ccessible. Réponses : δ = δ = αd/; les pulstions ω sont filtrées mis on conserve les fluctutions de ϕ et ϕ, i 1 = ka [1 +cos(ϕ ϕ )] et i = ka [1+cos(ϕ ϕ + πdα/λ)], dns l moyenne du produit, il ne reste qu un terme constnt et un terme en cosπdα/λ, fire vrier D et on ccède à α, encombrement si D trop petit et ussi si D trop grnd.