EXERCICES SUR LES COURBES PARAMETREES

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1 EXERCICES SUR LES COURBES PARAMETREES. Eudier les courbes représenaives des foncions f définies ci-dessous. a) f) = cos, sin ) b) f) = sin, ) sin + cos c) f) = sin, cos ) d) f) = 4cos sin, cos )cos ). Eudier localemen les courbes représenaives des foncions f définies ci-dessous. a) lorsque end vers : b) lorsque end vers : f) = + ) ), + + 5) ) ) f) = c) lorsque end vers : f) = sin + d) lorsque end vers l infini : f) = ), + )sh sin ) ) ), + ) ) ), ). Eudier la courbe représenaive des foncions f définies ci-dessous on éudiera soigneusemen le poin singulier). a) f) = cos + ln sin, sin cos ) b) f) = sin, cos ) cos 4. Eudier les courbes représenaives des foncions f définies ci-dessous présence d asympoes). a) f) = an ), sin c) f) = ), ) b) f) =, + 6 ) d) f) = ln, ln + ) )

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3 Corrigé des exercices.a) Période Les foncions x e y son définies sur R. Or cos es de période π e sin/) de période 6π. Comme 6π es un muliple enier de ces deux périodes, on éudie la courbe sur un inervalle de longueur 6π. Réducion du domaine d éude Si l on veu commencer par éudier la parié des foncions, on prend l inervalle I = [ π, π ]. L applicaion : Φ : es une bijecion de I = [, π ] sur I = [ π, ], e l on a x ) = x) e y ) = y). La courbe es symérique par rappor à Ox. On l éudie sur I, e on complèera par la symérie S par rappor à Ox. L applicaion : Φ : π es une bijecion de I = [, π/ ] sur I = [π/, π ], e l on a xπ ) = x) e yπ ) = y). La courbe es symérique par rappor à Oy. On l éudie sur I, e on complèera par la symérie S par rappor à Oy. Dérivées On a de manière immédiae x ) = sin e y ) = cos. Sur l inervalle I, x s annule en e en π, e y en π/. Tableau de variaion x π π/ + x y / y + y /x

4 Inersecion avec Oy L équaion x) = a comme soluions = π/ e = π/. Cee deuxième valeur donne, par symérie, un poin double de coordonnées, ). Tracé de la courbe On race l arc de courbe obenu lorsque varie de à π/, e on complèe par les syméries S, puis S... b) Les foncions x e y son définies sur R e de périodes π. Réducion du domaine d éude Si l on veu commencer par éudier la parié des foncions, on prend l inervalle I = [ π, π ]. L applicaion : Φ : es une bijecion de I = [, π ] sur I = [ π, ], e l on a x ) = x) e y ) = y). La courbe es symérique par rappor à l origine. On l éudie sur I, e on complèera par la symérie S par rappor à O. 4

5 Dérivées e ableau de variaion On obien x ) = cos e y ) = + cos )cos + sin + cos ) = cos + + cos ). La foncion x s annule dans I en π/ e la foncion y en π/. On obien facilemen le ableau de variaion suivan : x π/ π/ π + x y y y /x + + / On remarque que la courbe passe deux fois par l origine avec comme penes / e. Tracé de la courbe On race l arc de courbe obenu lorsque varie de à π, puis on complèe par la symérie S. 5

6 .. c) Période Les foncions x e y son définies sur R. Or sin es de période π donc x es de période π e cos es de période π, donc y es de période π/. Alors π es une période commune aux deux foncions. On éudie la courbe sur un inervalle de longueur π. Réducion du domaine d éude Si l on veu commencer par éudier la parié des foncions, on prend l inervalle I = [ π, π ]. L applicaion : Φ : es une bijecion de I = [, π ] sur I = [ π, ], e l on a x ) = x) e y ) = y). La courbe es symérique par rappor à Oy. On l éudie sur I, e on complèera par la symérie S par rappor à Oy. L applicaion Φ : π es une bijecion de I = [, π/ ] sur I = [π/, π ], e l on a xπ ) = x) e yπ ) = y). La courbe es symérique par rappor à Ox. On l éudie sur I, e on complèera par la symérie S par rappor à Ox. Dérivées On obien x ) = sin cos e y ) = sin. La foncion x s annule en e π/, e y en e π/. 6

7 En zéro, on a y ) sin x = ) sin cos 9 =, e cee expression end vers l infini. On a donc une angene vericale pour =. Tableau de variaion x π/ π/ + x 8 y y + y /x Inersecion avec Ox L équaion y) = a comme soluions = π/) e = π/6. Cee seconde valeur donne, par symérie, un poin double de coordonnées 8,. Tracé de la courbe On race l arc de courbe obenu lorsque varie de à π/, puis on complèe par la symérie S, puis S.

8 .. d) Période Les foncions x e y son définies sur R. Or cos es de période π donc y es de période π e sin es de période π, donc égalemen x. On éudie la courbe sur un inervalle de longueur π. Réducion du domaine d éude Si l on veu commencer par éudier la parié des foncions, on prend l inervalle I = [ π, π ]. L applicaion : Φ : es une bijecion de I = [, π ] sur I = [ π, ], e l on a x ) = x) e y ) = y). La courbe es symérique par rappor à Oy. On l éudie sur I, e on complèera par la symérie S par rappor à Ox. L applicaion Φ : π es une bijecion de I = [, π/ ] sur I = [π/, π ], e l on a xπ ) = x) e yπ ) = y). La courbe es la même lorsque l on parcour I e I. Il suffi de l éudier sur I. Dérivées On obien x ) = 4 cos sin 4 +sin cos ) = 4sin cos cos sin ) = 4sin cos 5sin ), e y ) = sin6cos 8cos ) = sin cos 4cos ). 8

9 Dans l inervalle I, la foncion x s annule en, π/ e T = arcsin /5, e y en, π/6 e π/. En e π/, on a donc des poins singuliers. Par ailleurs y ) x ) = 4cos sin 5sin, end vers l infini en, e vers /4 en π/, ce qui donne la pene des angenes en ces poins singuliers. Calculons les coordonnées du poin de paramère T. On a cos T = 5 = 5, donc e On a égalemen xt) = 4 5 yt) = 5 π x = 4 6) 4 8 = = 4 5 5,4, e ) = 5 5. π y = 6) ) = Tableau de variaion x π/6 T π/ + + x y y y /x + /4 9

10 Tracé de la courbe On race l arc de courbe obenu lorsque varie de à π/, puis on complèe par la symérie S.,4..a) En posan u =, on obien x + u) = + u + )u )u = u + u 5 y + u) = + u + 4)u = + 4u + u 5 Ceci s écri vecoriellemen OM + u) = OM) + u U + u 5 U 5, où U = i + 4 j e U 5 = i + j. Les veceurs U e U 5 ne son pas colinéaires e formen donc une base du plan. La courbe adme un poin d inflexion au poin M) =, ) p = e q = 5 son impairs). La angene à la courbe a comme veceur direceur le veceur U.

11 y U > M) U 5 x <. b) En effecuan un développemen limié en zéro : x) = + 4 )) + )) = + )) + )) = + )) = ) e y) = + ) ) ) ) ) ) ) = + ) ) = + ) + ), e donc y = + + ) ) = ) Ceci s écri vecoriellemen OM) = OM) + U + 4 U ), où U = i + j e U4 = i + j. Les veceurs U e U 4 ne son pas colinéaires e formen donc une base du plan. La courbe adme un poin ordinaire au poin M) =, ) p = es impair e q = 4 es pair). La angene à la courbe a comme veceur direceur le veceur U.

12 y U 4 > < M) U x. c) En posan u =, on a x + u) = + u) u)u = u u u 4, e Donc où y + u) = u + + u = + u u + u 4 + u 4 ). OM + u) = OM) + u U + u U + u 4 U 4 + u 4 ), U = U = i + j e U 4 = i + j. Les veceurs U e U 4 ne son pas colinéaires e formen donc une base du plan. Par conre U e U son colinéaires. On a donc OM) = OM) + u u) U + u 4 U 4 + u 4 ), La courbe adme un poin de rebroussemen de deuxième espèce au poin M) =, ) p = e q = 4 son pairs). La angene à la courbe a comme veceur direceur le veceur U

13 y U 4 M) U x. d) Vu le rôle joué par +, on a inérê à se ramener en zéro en posan u = +, e puisque = + ) + e = + ) +, on obien Donc où x) = + u 5 + u e y) = u 5 u. OM) = OM ) + u 5 U 5 + u U, U 5 = i j e U = i j. Les veceurs U 5 e U ne son pas colinéaires e formen donc une base du plan. La courbe adme un poin d inflexion au poin M ) =, ) p = 5 e q = son impairs). La angene à la courbe a comme veceur direceur le veceur U 5. y M ) U U 5 x

14 .a) Période On a y) = sin. Donc y es une foncion de période π. De même, cos e sin son de période π. Il en es donc de même de x. On éudie la courbe sur un inervalle de longueur π. De plus la foncion x n es pas définie lorsque sin es nul, c es-à-dire pour = kπ où k es enier. Réducion du domaine d éude Si l on veu commencer par éudier la parié des foncions, on prend l inervalle I = [ π/, π/ ]. L applicaion : Φ : es une bijecion de I = [, π/ ] sur I = [ π/, ], e l on a x ) = x) e y ) = y). La courbe es symérique par rappor à Ox. On l éudie sur I, e on complèera par la symérie S par rappor à Ox. Dérivées On a e x ) = sin cos + cos sin = cos sin ) cos cos = sin sin y ) = cos. La première foncion s annule dans I aux poins π/4 e π/, e la seconde, en π/4. On aura donc un poin singulier pour = π/4. Poin singulier On effecuan un d.l. d ordre de x e de y au voisinage de π/4. Posons u = π/4. On a Donc Par ailleurs cos = cos u + π ) = 4 cos = sin = sin u + π ) = 4 [ + cos u + π )] = sin u). ) u + 4u + u u ) = u + + u ). sin u + cos u) = ) + u u u 6 + u ),, 4

15 alors Donc ln sin Mais on a égalemen [ ) = ln ] + u u u 6 + u ) = ln ) + ln + u u u 6 + u ) = ln ) u + u u u u 6 u 6 = ln u + u u 6 = ln + u u + u + u ). Cela s écri vecoriellemen ) u u ) + u + u ) x) = ln ) u + 4u + u ). y) = sin = sin u + π ) OM) = OM ) + ) u u u + u ) 6 = cos u = u + u ). π 4) + u U + u U + u ), où U = i j e U = 4 i. Les veceurs U e U n éan pas colinéaires, on obien un poin de rebroussemen de première espèce. La pene de la angene en ce poin vau. Tableau de variaion x π/4 π/ + x ln y y y /x + 5

16 La courbe possède l axe des x comme asympoe horizonale lorsque end vers. Tracé de la courbe On race l arc de courbe obenu lorsque varie de à π/, puis on complèe par la symérie S... b) Les foncions x e y son définies sur R e de périodes π. Réducion du domaine d éude Si l on veu commencer par éudier la parié des foncions, on prend l inervalle I = [ π, π ]. L applicaion : Φ : es une bijecion de I = [, π ] sur I = [ π, ], e l on a x ) = x) e y ) = y). La courbe es symérique par rappor à Oy. On l éudie sur I, e on complèera par la symérie S par rappor à Oy. Dérivées On obien x ) = cos e y ) = cos ) sin cos ) sin cos cos = sin cos cos 4) cos ). La foncion x s annule dans I en π/ e la foncion y en, π/ e π. On obien facilemen le ableau de variaion suivan : 6

17 Tableau de variaion x π/ π + x y y y /x + Poin singulier La courbe présene un poin singulier en = π/. Pour éudier sa naure, on pose u = π/. Alors x) = cos u = u + u ), e y) = sin u + sin u = u + u ) + u + u) = u + u) + u = u u ) + u) + u) = u u 4 + u ). On a donc OM) = OM π + ) π U + ) π ) U + π ) ), où U = i + j e U = j. 4 La courbe adme un poin de rebroussemen de espèce, au poin,).

18 Tracé de la courbe On race l arc de courbe obenu lorsque varie de à π, puis on complèe par la symérie S.. 4. a) Période Comme an es de période π, on en dédui que x es de période π. Par ailleurs y es de période π. Alors 6π es un muliple enier de ces deux périodes, On éudie la courbe sur un inervalle de longueur 6π. Réducion du domaine d éude Si l on veu commencer par éudier la parié des foncions, on prend l inervalle I = [ π, π ]. Dans ce inervalle, x n es pas défini si = π/. L applicaion : Φ : es une bijecion de I = [, π ] sur I = [ π, ], e l on a x ) = x) e y ) = y). La courbe es symérique par rappor à l origine. On l éudie sur I, e on complèera par la symérie S par rappor à Ox. L applicaion : Φ : π es une bijecion de I = [, π/ ] sur I = [π/, π ], e l on a xπ ) = x) e yπ ) = y). La courbe es symérique par rappor à Oy. On l éudie sur I, e on complèera par la symérie S par rappor à Oy. 8

19 Dérivées e ableau de variaion On a x ) = + an ) e y ) = cos. On a immédiaemen le ableau de variaion : x π/ π/ + x y y y /x + Asympoe - Inersecion avec Ox Quand end vers π/ la courbe adme comme asymoe horizonale la droie d équaion y =. Les poins d inersecion avec l axe des x es obenu pour =, e = π. Le premier donne l origine O, le second le poin,). Ces deux poins son, par symérie, des poins doubles. Tracé de la courbe On race l arc de courbe obenu lorsque varie de à π/, puis on complèe successivemen par les syméries S, puis S. 9

20 . 4. b) Les foncions x e y son définies sauf en =. On éudie la courbe sur ], [. Dérivées e ableau de variaion On a x ) = + = + e y ) = 6 = 8. La première foncion s annule pour = e la seconde pour =. On a le ableau de variaion suivan : x + + x y 5 y + y /x

21 Asympoes Lorsque end vers ±, on a y) x) = 8, e cee expression end vers zéro à l infini. La courbe adme donc une asympoe oblique d équaion y = x. La différence y) x) es du signe de /. La courbe es au-dessus de l asymppe à e en dessous à. Lorsque end vers zéro, on a y) + 8x) = 9, e cee expression end vers zéro lorsque end vers zéro. La courbe adme donc une asympoe oblique d équaion y = 8x. La différence y) + 8x) es du signe de /. La courbe es au-dessus de l asymppe à lorsque x end vers + e vers..

22 Poins d inersecion avec les axes On peu déerminer les poins d inersecion avec les axes. L équaion x = a pour soluion =, e l on obien y = 8 4,. L équaion y = a pour soluion =, e l on obien x = c) La foncion x n es pas définie en =, e =. La foncion y n es pas définie en =. On éudie la courbe sur ], [. Réducion du domaine d éude L applicaion : Φ : / es une bijecion de I = [, ] {} sur I = ], ] [, [, e l on a ) x = ) = = y), e donc égalemen y ) = x). La courbe es symérique par rappor à la première bissecrice. On l éudie sur I, e on complèera par la symérie S par rappor à la première bissecrice. Dérivées On a x ) = [ )] e y ) + ) = ) = ) ). Dans I, La première foncion s annule pour = / e la seconde pour =. Tableau de variaion x / + + x y 4 y y /x +

23 Asympoes La courbe possède l axe des x comme asympoe horizonale lorsque end vers zéro. Lorsque end vers, on a y) x) = e cee quanié end vers, puis y) + x) = + + ) end vers -. Alors ) y) + x) + =, es du signe de. La courbe es au-dessus de l asympoe si <, e en dessous si >, en pariculier, quand end vers, elle es en dessous. Tracé de la courbe On race l arc de courbe obenu lorsque varie de à, puis on complèe par la symérie S.,.

24 4. d) La foncion x n es pas définie en =. La foncion y n es pas définie en = e =. On éudie la courbe sur ], [. Dérivées e ableau de variaion On a immédiaemen x ) = On en dédui le ableau de variaion suivan : e y ) = + + = + + ), x / + x ln y ln 4 y y /x + + Asympoes Lorsque end vers, la courbe adme l axe des y comme asympoe vericale. Elle coupe l asympoe lorsque =, donc au poin de coordonnées,ln ). Lorsque end vers zéro, on a y) = ln + ln + = x + ln +. e ln + end vers zéro. La première bissecrice es asympoe, e y) x) = ln + es du signe de au voisinage de zéro. La courbe es au-dessus de l asympoe lorsque end vers + e en dessous lorsque end vers. Elle coupe l asympoe lorsque + =, c es-à-dire si =, donc au poin de coordonnées ln,ln ) Lorsque end vers ±, on a y) = ln + ) = ln + ln + = x + ln +. 4

25 La courbe adme comme asympoe la droie d équaion y = x, e y) x) = ln + / es du signe de au voisinage de l infini. La courbe es au-dessus de l asympoe à e en dessous à. Elle coupe l asympoe lorsque + / = c es-à-dire si = /, donc au poin de coordonnées ln, ln ). Inersecion avec Ox La foncion y s annule si + ) = ±. On obien des soluions uniquemen dans le cas +, qui son = ± 5)/. Ces valeurs de son, en valeur absolue, inverses l une de l aure. On a donc deux poins d abscisses opposées : 5 + x = ± ln.48. 5