2/15 1) R appe 2) M odélisation on l ocale de s actions on m écani an que qu s 3) M odélisation on gl obale de s ac

Transcription

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2 2/15 1) 2) des actions mécaniques 3) des actions mécaniques 4) ction mécanique de la pesanteu 5) Cente de gavité 6) ction mécanique de

3 1) 3/15 Une action mécanique peut ête à distance ou de. Une action mécanique peut ête modélisée pa : un glisseu un couple pu une action mécanique généale Pesanteu Cente de ction de gavité

4 2) des actions mécaniques 4/15 Ce modèle pemet de epésente ment toutes les actions mécaniques pa un champ vectoiel. Ce modèle est utilisé losqu on étudie notamment les pessions de ente deux solides ou les défomations de solides (hos pogamme). Pesanteu Cente de ction de gavité

5 Pemièe étape On définit, à pati du modèle généal ci-dessous, les actions mécaniques élémentaies su chaque élément du domaine. 5/15 Exemple : supposons que l action mécanique est popotionnelle à la mesue de l élément de domaine dω. f ( M ) d Ω u ( M ) M dω u (M ) Vecteu unitaie quelconque - Volume élémentaie dv pou une action à distance ( poids) - Suface élémentaie ds pou une action de ( liaison) - Densité volumique (N/m 3 ) pou une action mécanique à distance. - Densité sufacique (N/m 2 ) pou une action mécanique de sufacique. - Densité linéïque (N/m) pou une action mécanique de linéïque. Pesanteu Cente de ction de gavité

6 Deuxième étape 6/15 On considèe que l on a une infinité d actions mécaniques élémentaies su le domaine étudié. La épatition de ces actions mécaniques élémentaies pemet d obteni un champ vectoiel coespondant à la modélisation des actions mécaniques. Pesanteu Cente de ction de gavité

7 Exemple : soit l un des deux doigts d une pince de bas manipulateu. 7/15 Modélisons ment l action mécanique de l objet en appui su le doigt en supposant un champ de pession unifome. Pesanteu Cente de ction de gavité

8 de l action mécanique de l objet su un doigt 8/15 f ( M ) d Ω u ( M ) M 1 èe étape : dω de l action mécanique élémentaie 2 ème étape : u (M ) Nomal à ds p( M ) d S u ( M ) Densité sufacique de l effot (pession de ) M u (M ) x z Suface de y Un doigt Suface élémentaie ds Pesanteu Cente de ction de gavité

9 de l action mécanique de l objet su un doigt 9/15 z u (M ) x y 1 èe étape : de l action mécanique élémentaie 2 ème étape : On considèe que l on a une infinité d actions mécaniques élémentaies agissant su la suface S. on obtient ainsi un champ de pession unifome comme modèle d action mécanique. Pesanteu Cente de ction de gavité

10 3) des actions mécaniques Losque l on étudie un ensemble de solides indéfomables, il est suffisant d utilise un modèle global pou les actions mécaniques. Ce modèle global, plus simple à utilise, va pemette de epésente ment l ensemble (infini) de toutes les actions mécaniques élémentaies pa un simple vecteu. Une foce (ésultante) est alos obtenue à pati de l intégation de l ensemble (infini) de toutes ces actions mécaniques élémentaies su le domaine du modèle local. 10/15 f ( M ) d Ω u ( M ) u (M ) - Volume dv intégale tiple - Suface ds intégale double - Ligne dl intégale simple M F( M ) = f ( M ) d Ω u ( M ) Ω Pesanteu Cente de ction de gavité

11 Exemple : epenons le cas de l un des deux doigts d une pince de bas manipulateu. F objet doigt = p( M ) d S n Ω ( ) 11/15 Densité sufacique de l effot (pession de ) Nomale à S n F objet doigt intégation P Suface de S z Suface de S Milieu de S Modèle local x y Modèle global Pesanteu Cente de ction de gavité

12 Nomale à S n F objet doigt 12/15 P Suface de S Milieu de S La notion de foce sous fome d un simple vecteu lié (P, F ) est cependant insuffisante pou modélise complètement cette action mécanique. Notamment pa appot au fait que cette foce a tendance à modifie le mouvement de otation du système su lequel elle agit. notion de moment d une foce. Pesanteu Cente de ction de gavité

13 Le moment d une foce en (point quelconque) est obtenu pa intégation de l ensemble (infini) des actions mécaniques élémentaies su le domaine du modèle local. M ( F) = M f ( M ) d Ω u( M ) Ω Volume dv Suface ds Ligne dl 13/15 Cas du doigt du bas manipulateu : p ( M ) d S n n M ( F) = S M Intégale double (suface) p( M ) d S ( n) Densité sufacique de l effot (pession de ) M Pesanteu Cente de ction de gavité

14 Modèle local n p( M ) d S n M M ( F) = S M p( M ) d S ( n) 14/15 Densité sufacique de l effot (pession de ) Nomale à S Suface de S Modèle global n P Fobjet doigt Milieu de S M ( F ) = P F L association des deux vecteus F et M (F ) pemet de défini complètement toute action mécanique. utilisation de l outil toseu Pesanteu Cente de ction de gavité

15 FIN DE L PREMIERE PRTIE

16 4) ction mécanique de la pesanteu Hypothèses : 1/18 les solides sont supposés homogènes. l accéléation de la pesanteu (notée g, expimée en m/s 2 ) est supposée unifome, constante et de diection veticale descendante. g = 9,81 m/s 2 ou 9,8 m/s 2 ou 10 m/s 2 Champ de pesanteu : la pesanteu exece une action mécanique à distance, elle se manifeste pa un champ d accéléation (unifome et constant). Pesanteu Cente de gavité ction de

17 Modèle local : le champ de pesanteu poduit en tout point M du solide S de volume V une foce élémentaie dp appliquée en M et popotionnelle à la masse dm du volume élémentaie dv entouant M. d P = dm g Solide S z 2/18 Volume élémentaie dv Masse volumique M d P g d P = dm g = ρ dv g ( z) Pesanteu Cente de gavité ction de

18 On a une infinité d éléments de volume dv : Solide S z 3/18 d P = ρ dv g ( z) Foce ésultante : F pesanteu solide S = P = d dv g ( z) P = ρ Vol Vol Moment ésultant écit en (point quelconque) : M pesanteu solide S = Vol M d P = Vol M ρ dv g ( z) Pesanteu Cente de gavité ction de

19 On a une infinité d éléments de volume dv : Solide S z 4/18 d P = ρ dv g ( z) Toseu de l action mécanique de la pesanteu écit en : F pes S = R M pes S pes S = ρ Vol Vol dv g ( z) M ρ dv g ( z) Pesanteu Cente de gavité ction de

20 Modèle global : faisons l intégation de l ensemble (infini) des actions mécaniques élémentaies agissant su tout le solide S. 5/18 Solide S z Solide S z G intégation P = M S g z Modèle local Modèle global Pesanteu Cente de gavité ction de

21 Modèle global Solide S z 6/18 G P = M S g z Toseu de l action mécanique de la pesanteu écit en : F pes S = R pes S M pes = P = M S S = G P g z Pesanteu Cente de gavité ction de

22 5) Cente de gavité Solide S z 7/18 G Modèle global P = M S g z Il est possible de défini un point paticulie (noté G et appelé cente de gavité) tel que : F pes S = G R pes S G M pes = P = M S = 0 S g z G Pesanteu Cente de gavité ction de

23 Définition : on appelle cente de gavité d un solide S, le point G (unique et fixe dans S) tel que : 8/18 M : point couant décivant complètement le solide S Volume élémentaie dv z (S) G M s GM dm = 0 x y d P Masse volumique = dm g = ρ dv g z ρ dv si solide homogène : si g est constant : cente de masse = cente de volume cente de masse = cente de gavité Pesanteu Cente de gavité ction de

24 9/18 Popiétés : Symétie matéielle : s il existe, pou un solide S, un élément de symétie (plan, axe), d un point de vue épatition des masses, le cente de gavité G appatient alos à cet élément de symétie. Pesanteu Cente de gavité ction de

25 Position : soit un point quelconque : 10/18 z (S) G M x O y d P = g dm z S ( ) GM dm = G + M S dm 0 = G M S dm + M S S dm On peut aussi pende l oigine O du epèe G = M S Ms dm Pesanteu Cente de gavité ction de

26 ssociativité : pou un ensemble de n solides S i de masse espective m i et de cente d inetie G i, on a : 11/18 G n ( ) m i G i 1 = n 1 m i On peut aussi pende l oigine O du epèe masse totale M S Pesanteu Cente de gavité ction de

27 Calcul d intégales tiples : 12/18 Coodonnées catésiennes : dz dy dx z x O y dv = dx dy dz Pesanteu Cente de gavité ction de

28 Calcul d intégales tiples : 13/18 Coodonnées cylindiques : z dθ dv = dθ d dz dz O x y Pesanteu Cente de gavité ction de

29 Calcul d intégales tiples : 14/18 Coodonnées sphéiques : z ρ = x cosϕ dϕ O dϕϕ ϕ d x θ dθ y dv = dϕ ρ dθ d 2 dv = cosϕ dϕ dθ d Pesanteu Cente de gavité ction de

30 6) ction mécanique de 15/18 Hypothèses : Le est supposé sans fottement. La «suface» de peut ête un point, une ligne (quelconque) ou une suface. Pesanteu Cente de gavité ction de

31 et : on suppose isole un solide 1 et étudie l action mécanique de d un solide 2 su ce solide 1. 16/18 Suface de Solide 1 z O 2 1 M 2 1 x y R Modèle global Modèle local z Solide 1 x O y Pesanteu Cente de gavité ction de

32 Modèle local F 2 1 = suf suf d F2 1 M d F2 1 17/18 Point couant de la suface de Modèle global Suface de R 2 1 M 2 1 F 2 1 = R 2 1 M 2 1 Solide 1 x O z y Pesanteu Cente de gavité ction de

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