Transformation de Laplace.

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Andrée Sévigny
il y a 6 ans
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1 Trasforao de aae. De êe : Théorèe de a vaeur fae : df ( ) f ( ) = ( ) = ( ) I. Défo e roréés. II. Trasforée de aae des foos aoques. Défo : so f ue foo de a varabe réee défe sur R e suosée ue our <, o aee rasforée de aae de f, a foo défe ar : = ( ) = e f ( ) : varabe réee (ou oexe). R e() < σ. bssse de overgee. O se e aux foos ausaes, es à dre es foos f ees que f() = our <. f ( ) ( ) = oo de Dra ou uso : δ() δ() = our < ou > e = = δ ( ) = [ ] oo Eheo ué : u() δ ( ) = u() = s < e u() = s > [ u( ) f() f() Erure : ( ) [ f ( ) ] = où () es age de f(). () es a rasforée de aae de f() e f() es orga de (). Proréés : Ué : à f() () uque. à () f() uque. α f ( ) β f ( ) = α. f ( ) β. f ( ) éaré : [ ] [ ] [ ]. oo réeau : f() = our < < f() = our < e > f ( ) = e [ ] ( ) f() Théorèes gééraux : aeur d éhee : [ f ( a) ] Reard : [ τ ] = a a τ f ( ) = e ( ) oo rae : f() = α.u() α [ f ( ) f() orssee : e f ( ) = ( ) oo : Dérvao : Dérvée reère Dérvée seode df ( ) = ( ) f ( ) ave f() oue sur ] [ d f = ( ) f ( ) ( ) df ( ) ( ) g( ) Iégrao : [ g( ) ave f() oue sur ] [,., e ( ) f ( ) = dg. f() =.u()! f ( ) = [ ] oo sus e osus : f() = s.u() [ f ( ) f() f() = os.u() [ f ( ) Théorèe de a vaeur ae : f ( ) = ( ) SCI Page 3 SCI Page 4

2 Tabeau des rasforées usuees : Das es odos d Heavsde : odos aes ues. III. ao à a résouo des équaos dfféreees éares. METHODE EXEMPE f() () f() () δ() s.u().u() os.u().u() sh.u() e -a.u()!.u() ( e -/τ ).u() ( τ ) e a.u() ( ) a h.u() e -a s e -a os! a.u() ( ) a a.u() ( ) a e sysèe hysque doe ue équao dfféreee éare de a fore : d s( ) ds( ) a... a as( ) d e( ) de( ) = b... b be( ) Trasforao des dfféres eres de équao dfféreee e eurs rasforées de aae ave es odos aes (ues ) : d s( ) a = S( ) d e( ) b = E( ) Erure d équao de aae rasforée: a... a a S( ) = b... b b E( ) b... b b S( ) = E( ) a... a a Trasforao verse de Y(). Déooso e éées ses : k S( ) = = α = α ( ) B ( α ) = ( α ) Où es, e B so déerés ar defao. Trasforao verse de haque ere : k = = S( ) = e u( ) e s. u( ) = B e os. u( ) E R u [ e( ) E( ), [ ] C e( ) = ur ( ) u( ) du ( ) ( ) = C e R( ) = u r ( ). du ( ) e( ) = RC u( ) u ( ) = U ( ) e du ( ) du ( ) RC = RC = RCU ( ) O ose our e() ue foo éheo d aude E : e( ) = Eu( ) e ( ) = E E. e a odo ae: u () =. équao dfféreee deve : E( ) = RCU ( ) U ( ) E do : E( ) U( ) = RC e do: U ( ) = E ( RC ) B U( ) = RC E RCE U( ) = RC E E U( ) = / RC ave u(): éheo ué. RC u ( ) = E e u( ) SCI Page 5 SCI Page 6

3 Reréseao de a résouo des équaos dfféreees éares ar a rasforao de aae Equao dfféreee éare Trasforao de aae Equao agébrque Mauaos agébrques Souo oae Trasforao de aae verse Déooso e éées ses I. Modèe ou. Sysèes éares, ous e varas. es foos qu araérse u sysèe ou (erées, sores, erurbaos) so des foos oues du es (sysèe aaogque). Mas usao de sysèe foraque ose éude de sysèe éhaoé. De êe, aude du sga eu êre oue ou uérsée. I exse 4 obasos our es sgaux : Coue ude Dsrèe Codos aes Erure de a rasae ou foo de rasfer : So u sysèe do équao dfféreee es : ( ) ( ) d s ds d e... ( ) de ( a ) a as( ) = b... b be( ) Pour des odos aes ues, o a : a... ( ) =... a a S b b b E( ) O aee Trasae ou foo de rasfer : = = = S( ) a E( ) b Sga aaogque. So de dsque vye ou assee audo Sga quafé are de esure à affhage uérque b = b... b b a = S( ) H ( ) = = = E( ) a... a a II. Modèe éare.. éaré. Sga éhaoé Iage de éévso Sga uérque So de dsque audo e() Sysèe éare s() O aque erée de aère quas-saque (rès eee), e a sore es rooroee à erée : SCI Page 7 SCI Page 8

4 s s s() e e e() Pour ue erée osae E, arès u era es (équbre) a sore s ér : S =.E (s =.e e s =.e ) es e ga saque (ee de a droe) E fa, orsque o aque ue erée e() à u sysèe éare, arès u era es (rége rasore), e sysèe es e rége éab e do : s( ) =. e Rége éab. Proréés. s() es a réose à e(), aors λs() es a réose à λe(). Pre de sueroso. 4. éarsao auour d u o d équbre. So u sysèe o éare do a reréseao ere erée e a sore es de a fore -ore : e sysèe es ue réguao auour du o d équbre : (e, s ). e sysèe es as éare, es do éessare de éarser auour de so o d équbre. Chagee de d orge : o déf es ouvee varabes e*() e s*() e que : e*( ) = e( ) e s*( ) = s( ) s 3. Exee de o-éaré. Exee : O souhae défr a reao ere e déaee d ue èe ar raor à eu d ue èe. e o d équbre es aea ofodu ave e o orge. Esue, o éarse e reaça a ourbe ar sa agee à a ouvee orge. x () x () x () x () e ouveau sysèe es éare. x () x () eu Modésao o-éare ave eu. Modésao éare e éggea e eu. III. Modèe vara. Exee :O souhae défr a reao ere aéérao e a fore aquée sur ue èe. x () x () x () U sysèe es vara, s a reao erée-sore e se odfe as das e es (e sysèe e ve as). S s() es a réose à e(). Pour u déaage eore, aors: s() es a réose à e(). IV. Reao dfféreee araérsque. Modésao o-éare ave froee. Modésao éare e éggea e froee. e() Sysèe éare ou e vara s(). Equao dfféreee araérsque. ( ) ( ) d s ds d e... ( ) de ( a ) a as( ) = b... b be( ) a, a,...a e b, b,...b so des osaes (varas). équao s exre e foo de s() e de ses dérvées ar raor au es e de e() e de ses dérvées ar raor au es (éaré). es sysèes rées so ausaux:. a réose à ue erée es oséreure à ee-. es ordre du sysèe. SCI Page 9 SCI Page

5 . Méhode de résouo. d s( ) ds( ) O résou d abord équao sas seod ebre e o déere s () : a... a as( ) = r Résouo ar égrao ou e assa ar s( ) = α. e ave α e r à déerer. O herhe esue ue souo aruère à équao ave seod ebre oée s (). s () orresod au rége rasore e s () orresod au rége éab. Pour u odèe éare, o reherhe s () de a êe fore que erée e(). Esue a souo géérae s ér : s() = s () s () odos aes our a déerao des osaes d égrao. SCI Page

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