Exercices sur les coniques

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1 xercices sur les coniques ; l coure plne C es le suppor de l coure x i j où, pour ou nomre réel, x() = 3 sin + cos e () = sin Le pln es rpporé à un repère orhonormé O, i, j prmérée : OM ) Soi le réel de l inervlle ; el que n = Clculer cos, sin, cos, sin ) Soi I e J les veceurs définis pr I sin i cos j e J cos i sin j OM cos I sin J Vérifier que, pour ou nomre réel, on : n déduire l nure de C e ses élémens crcérisiques 3 ) Consruire l coure C Le pln es rpporé à un repère orhonormé O, i, j ) Déerminer l nure de l coure C d équion crésienne 9x 6 e préciser ses élémens crcérisiques Trcer C ) Donner l définiion ifocle de C 3 ) Donner un ssème d équions prmériques de C ) Déerminer les poins de C d ordonnée 5 ) Déerminer un crré inscri dns C, de cenre O don les côés son prllèles ux xes du repère 3 Le pln es rpporé à un repère orhonormé O, i, j Consruire l prole C de foer ( ; ) e dmen l droie D d équion x = pour direcrice Donner une équion crésienne de C Le pln es rpporé à un repère orhonormé O, i, j Consruire l prole C de foer ( ; 3) e dmen l droie D d équion = pour direcrice Donner une équion crésienne de C 5 Dns le pln rpporé à un repère orhonormé O, i, j x Démonrer que C es une prole Déerminer son somme, son foer e s direcrice 6 Dns le pln muni d un repère orhonormé direc O, i, j cos sin 7 ) Dns le pln muni d un repère orhonormé direc O, i, j, on considère l coure C d équion crésienne, rcer l coure C d équion polire, rcer l coure C d équion polire Quelle es s nure? cos ) Déerminer l ngle formé pr l ngene e l xe des scisses u poin de prmère 8 ) Éudier l coure C définie pr les équions prmériques x e muni d un repère orhonormé O, i, j ) Déerminer l nure de C 9 Dns le pln muni d un repère orhonormé O, i, j x d équions prmériques ) Éudier e rcer C ) Déerminer l nure de C ( ) 0 Dns le pln rpporé à un repère orhonormé R = O, i, j dns le pln, on considère l coure C définie pr le ssème, on considère l coure C d équion crésienne x x x 0 ) Clculer le discriminn de C ; en déduire le genre de l conique ) Soi un réel Soi I e J les veceurs définis pr I cos i sin j e J sin i cos j O, I, J ; en déduire une vleur de elle que Déerminer une équion crésienne de C dns le repère R C dmee une équion de l forme X Y cx dy f 0 dns le repère R Déerminer l nure de C e préciser ses élémens crcérisiques Soi A e deux poins fixés disincs du pln e une ellipse don un foer es e A le somme de l xe focl le plus proche de ) Déerminer l ensemle des cenres O des ellipses ) Soi B e B les sommes du pei xe de On noe l perpendiculire en A à (A) Démonrer que B BH où H es le projeé orhogonl de B sur ; en déduire l ensemle des poins B e B Dns le pln rpporé à un repère orhonormé O, i, j, on considère l ellipse d équion crésienne x ( e son deux réels sricemen posiifs fixés) ) Soi M un poin quelconque de On noe l écr ngulire des veceurs i e OM (0 Clculer OM en foncion de ) Soi M e M deux poins quelconques de els que l ngle M OM soi droi Clculer ; en déduire que l droie MM rese ngene à un cercle fixe (on pourr uiliser l OM OM relion mérique pour un ringle ABC recngle en A de hueur [AH]) AH AB AC 3 Le pln es rpporé à un repère orhonormé O, i, j 3 On considère le polnôme P c d Déerminer l ensemle des poins M(x, ) els que P x P

2 Le pln es muni d un repère orhonormé O, i, j (unié grphique 3 cm) Soi C l coure don une représenion prmérique es : cos x( ) cos sin ( ) cos ) ) Comprer les poins M de prmères e Quelle conclusion peu on en irer pour C? xpliquer 0 ; lors commen on peu oenir C à prir de l consrucion de C correspondn à ) Éudier les vriions des foncions x e sur 0 ; n déduire que C dme une ngene en chcun de ses poins Préciser les poins de C où l ngene es prllèle à l un des xes de coordonnées c) Préciser les poins d inersecion de C vec l xe vericl e donner une équion crésienne de l ngene en ce poin d) Trcer l coure C en fisn pprîre les élémens précédens ) M désignn le poin de prmère, exprimer en foncion de l disnce OM e l disnce de M à l droie d équion x = n déduire que M pprien à une conique don on préciser le foer, l direcrice e l excenricié Préciser son cenre, ses sommes, ses xes de smérie Donner une équion crésienne de dns le repère O, i, j 5 Soi P le pln complexe rpporé à un repère orhonormé direc O, u, v poin A d ffixe On noe P * le pln privé du On considère l'pplicion f de P * dns P qui, à ou poin M d'ffixe z, ssocie le poin M d'ffixe z ' On noe C le cercle de cenre O e de ron Déerminer l imge du cercle C privé du poin A pr f 6 Le pln es muni d un repère orhonormé O, i, j z Déerminer l'ensemle des cenres, des sommes e des foers des ellipses d'équions x x 0 où décri * 7 Le pln es rpporé à un repère orhonormé O, i, j Soi I( ; 0) e I( ; 0) Soi un réel quelconque de l inervlle ]0 ; [ On noe l coure d équion x x 0 ) Démonrer que es une ellipse Déerminer les coordonnées de son cenre, des sommes A e A du grnd xe, des sommes B e B du pei xe, des foers e ) Quels son qund décri ]0 ; [ l ensemle des poins l ensemle des sommes A e A? l ensemle 3 des sommes B e B? l ensemle des foers e? Trcer vec précision, sur une même figure,,, 3, puis l ellipse 3 ) Soi K e K les pieds des direcrices Après une éude convenle rcer l ensemle des poins K e K qund décri l inervlle ]0 ; [ 8 Dns le pln es rpporé à un repère orhonormé O, i, j Soi M un poin quelconque de C L normle à C en M recoupe C en un poin N, on noe C l prole d équion x L normle en un poin M à C es l droie pssn pr M perpendiculire à l ngene Déerminer l longueur MN minimle 9 Soi une ellipse de foers e On noe D l direcrice ssociée à Une droie non prllèle à l droie D coupe l ellipse en deux poins M e M e l droie D en P Démonrer que l droie (P) es l issecrice exérieure de l ngle géomérique M M 0 Résoudre l équion différenielle ' Démonrer que les représenions grphiques des soluions dns le pln muni d un repère orhonormé son consiuées de morceux de coniques On considère une ellipse C dns le pln ) On coupe cee ellipse pr des droies qui on oues l même direcion Démonrer que le lieu des milieux des segmens formés pr les poins d inersecion de ces droies es une droie L ) Soi l un des poins d inersecion de l droie L vec l ellipse C e l un des poins d inersecion de l droie pssn pr O de direcion vec l ellipse C Clculer O O Dns le pln es rpporé à un repère orhonormé O, i, j x 0 ) Déerminer une équion de C dns le repère O, i, i j, on noe C l coure d équion n déduire l nure de C ) Déerminer une équion de l coure C imge de C, dns l smérie orhogonle pr rppor à l droie d équion = x 3 Le pln complexe es muni d un repère orhonormé direc O, i, j On noe A le poin d ffixe Pour ou nomre complexe z, on noe M le poin d ffixe z e M le poin d ffixe Déerminer l ensemle des poins M els que A, M e M soien lignés z

3 , 3, c 7, 0x 5 3 x 5 X Y On chnge de repère p p X oer Y 0 p Direcrice X e 7 x x Corrigé Dns le repère iniil : somme S;, direcrice (O), ; 7 ) n v ; v ' ) L ensemle des poins O es (A) \ [A) ) Chcun des poins es siué sur une demi-prole de foer e de direcrice Le somme de l prole es A 3 0 ) ) OM X I Y J x X cos Y sin X sin Y cos X Y XY X Y cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin 0 On peu choisir 3 Y X Y 0 3 Tou psser dns le premier memre e fcoriser On rouve l réunion de l droie : = x e d une conique i e 5 On pose n i z i sin e i sin Aure fçon de fire les clculs : z ' ico sin On uilise l relion co x sin x z ' co ico co ico co ico u co u z ' iu u x u x 6 = es un cs priculier Si le cenre exise ien, e si ous les poins son des sommes, l noion de foer es hors de propos pour équion réduie x Le cenre es ; 0 ; il décri le demi-xe posiif des scisses Les sommes sur (Ox) son O e A ; 0 Le somme décri le demi-xe posiif des scisses Les sommes de l'xe vericl son B ; e B' ; Ils décriven l prole d'équion x, privée de O Pour <, on e l'xe focl es (Ox) X Y On une équion réduie de l forme, vec > > O Les foers e on pour scisses c e c, vec c

4 Alors décri ]BC[ vec B ; 0 e C( ; 0) L'scisse de es L'scisse de es Alors décri l demi-droie ]Cx) Pour >, on e l'xe focl es () x 7 ) Donc X = x l e Y = X Y ) On dme : (O) (O) O = O = x On donc : x ' ' x x ' O O x x ' x ' x x x x x x x x ' ' x (l ; 0) ; ; c ; A' ; A ; ; B' 0 ; 0 B ; 0 ; ' ; ; ) L ensemle es le segmen ]OI[ L ensemle es un rc de prole L ensemle 3 es le segmen [OI[ L ensemle es le cercle de dimère [OI] privé de O e I O 3 ) K ; ; K' ; 9 Oriener le pln Considérer un repère polire d origine p L équion polire de l prole es r ecos On noe e ssociés à M e M On exprime ensuie que P pprien à l direcrice On considère les veceurs uniires u e u colinéires e de même sens que M e que M On vérifie que P es colinéire à u u Les clculs son ssez lourds 3 3x x 0 x x c dx e f 0 = 0 3 ( ) = > 0 hperole 8 x Soluion (le ) éé rédigé inégrlemen pr Thoms Le Héric nnée scolire 00-0 u lcée Hoche) : Dimère d Appolonius ) On risonne pr ffinié orhogonle en uilisn un cercle

5 Quesions de cours x llipse d équion dns le pln muni d un repère orhonormé Coordonnées des sommes e des foers ; équions crésiennes des direcrices Prmérision rigonomérique d une ellipse e d une hperole dns le pln muni d un repère 3 Définiion ifocle d une ellipse e d une hperole Prole d équion crésienne px dns le pln muni d un repère orhonormé Coordonnées du foer e équion de l direcrice 5 quion en coordonnées polires d une conique 6 Définiion monofocle d une conique 7 Cercles direceurs d une ellipse : cercle principl, cercle secondire, consrucion poin pr poin d une ellipse