3) Action proportionnelle

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3 e sysème s 3/6 Un sysème dynamique, coninu, linéaire, invarian, monovariable es décri par une équaion différenielle linéaire, à coefficiens consans de la forme suivane : a n n d s d s ds... a a a s n d d d m d e d e de bm... b b b e m d d d a..a n e b..b m son des consanes n es l du sysème pour les sysèmes physiques on a oujours : m < n

4 4/6 a n n d s d s ds... a a a s n d d d m d e d e de bm... b b b e m d d d La foncion de ransfer du sysème dans le domaine de Laplace, en se plaçan dans les condiions de Heaviside condiions iniiales nulles, es alors : FT p S p E p b a m n p p m n... b... a p b p a

5 Caracérisaion d un signal sinusoïdal 5/6 L analyse harmonique d un sysème consise à lui appliquer une enrée e sinusoïdale, noée : e E sin. E es l ampliude du signal nombre posiif de même unié que e es la pulsaion du signal en rad/s Rappel : π f π T pulsaion rad/s fréquence Hz ou s - période s

6 Pour un sysème sable e une fois le régime permanen aein la sorie s es égalemen sinusoïdale e de même pulsaion. Elle es plus ou moins amplifiée e plus ou moins reardée. 6/6 E e S s Régime ransioire Régime éabli ou permanen e E sin. s S sin. ϕ Ampliude du signal de sorie de même unié que s Reard exprimé en ou rad avec ϕ rad rad/s

7 Analyse harmonique du régime permanen L analyse harmonique d un sysème sable s inéresse à l évoluion du rappor des ampliudes e du déphasage reard enre la sorie e l enrée en régime éabli en foncion de la pulsaion. Pour «plus de simplicié» comme en physique nous allons uiliser les foncions complexes suivanes : 7/6 e E e j e i cos i sin s S e j ϕ sin Noaion mahémaique avec e e Im s s Im cos

8 8/6 e s E S e e j j ϕ e e Im s s Im L analyse harmonique s inéresse aux deux quaniés : rappor des ampliudes : S E s e déphasage reard de la sorie avec l enrée : ϕ Arg s e

9 Foncion de ransfer harmonique Foncion de ransfer harmonique Il es nécessaire de définir, d après les résulas précédens, l expression de : j j e E e S e s ϕ Pour cela, injecons e dans l équaion différenielle s e emporelle iniiale :... s a d ds a d s d a d s d a n n n... e b de b e d b e d b m 9/6... e b d b d b d b m m... s a s j a s j a s j a n n... e b e j b e j b e j b m m a j a j a b j b j b e s j FT n n m m

10 On appelle foncion de ransfer harmonique la valeur prise par la foncion de ransfer FTp dans le cas pariculier où la variable symbolique de Laplace p es un imaginaire pur : p j S p b FT p E p a m n p p m n... b... a p b p a /6 FT j b m j n... b a n j... a a n m j b j Le rappor des ampliudes es le module de la foncion de ransfer harmonique : Le déphasage reard de la sorie par rappor à l enrée es l argumen de la foncion de ransfer harmonique : ϕ S FT j E Arg FT j

11 Lieux ou diagrammes de /6 Les diagrammes de son une représenaion graphique de la foncion de ransfer harmonique FTj Ils son présenés sur deux courbes disinces en correspondance vericale : la courbe de gain en décibel: db en foncion de la pulsaion G db log FT j la courbe de phase en ou rad en foncion de la pulsaion ϕ Arg FT j

12 Le diagramme des phases es dessiné dessous celui des gains en correspondance vericale. /6 Gain endb en rad/s Gain endb décade en rad/s Échelle linéaire Échelle semi-logarihmique Phase en deg Fores variaions pour les pulsaions faibles Echelle abscisses mal adapée en rad/s Phase en deg!!! en rad/s

13 Propriéés des lieux diagrammes de 3/6 Une décade correspond à la muliplicaion par de la pulsaion Une ocave correspond à la muliplicaion par de la pulsaion Produi de foncions de ransfer Supposons que l on ai : H j F j G j log H j log F j G j Arg log F j log G j H j Arg F j G j Arg F j Arg G j Les courbes de gain s addiionnen Les courbes de phase s addiionnen

14 db db db - db G db - db -3 db!!!!!! ϕ -9 Courbe des gains Tracé asympoique rad/s Exemple de racé rad/s Courbe des phases 4/6-8

15 à savoir faire 5/6 graduer l axe horizonal log 5,7 5 placer 5 rad/s

16 3 gain G db log /7 FTp, db en rad/s >!!! ϕ log < Ep Sp,

17 4 G db rad/s /7 log en rad/s FT p p, db - db/décade Ep p Sp ϕ, -9

18 G db rad/s 3/7 FT p p log en rad/s, db Pour rad/s on a : G db - db/décade log j log G db log

19 FT p Gain nul en db pour : log j j p db log, db G db - db/décade rad/s en rad/s 4/7

20 FT p p Pene : calculons la valeur pour une décade G G log, db G db - db/décade rad/s en rad/s 5/7 log log j j log log j G G db

21 FT p Pene : calculons la valeur pour une ocave G G p log, db G db - db/décade rad/s en rad/s 6/7 log log j j -6 db/ocave log log j G G 6 db

22 7/7 FT p ϕ p, Phases: -9 Arg Arg Arg j 9 j ϕ 9

23 5 G db log - db/décade 8/7 3 db FT Ep p τ. p τ Sp.p Tracé asympoique Courbe réelle db, cassure /τ rad/s ϕ, en rad/s

24 FT p τ.p G db log 3 db - db/décade 9/7 Eude aux pulsaions faibles : Aux basses pulsaions on a : db, cassure /τ rad/s en rad/s τ j Pour les pulsaions faibles un premier se compore comme une acion

25 FT p τ.p G db log 3 db - db/décade /7, Eude aux pulsaions élevées : Aux grandes pulsaions on a : τ j db cassure /τ rad/s en rad/s τ j " " τ j Pour les pulsaions élevées un premier se compore comme un inégraeur

26 FT p τ.p G db log 3 db - db/décade /7 Cassure des asympoes : La cassure se produi à l inersecion des deux asympoes soi : log log τ j log logτ j, db cassure /τ rad/s log τ τ en rad/s cassure τ

27 FT p τ.p G db log 3 db - db/décade 3/7 Pere en db à la cassure : Calculons la valeur de la courbe à la cassure : log τ j τ, log db cassure /τ rad/s log log log log log j en rad/s 3dB

28 FT p τ Eude des phases :.p, cassure /τ rad/s ϕ 4/ Pour les pulsaions faibles un premier se compore comme une acion Asympoe horizonale à

29 FT p τ.p cassure /τ rad/s ϕ 5/7 Eude des phases :, Pour les pulsaions élevées un premier se compore comme un inégraeur Asympoe horizonale à -9

30 FT p τ.p cassure /τ rad/s ϕ 6/7 ϕ Eude des phases : Poin pariculier Calculons la valeur de la courbe à la cassure : Arg τ j τ, Arg Arg j Arc an ϕ 45

31 6 log G db -4 db/déc /5 FT p Ep z. p z p p. p Sp,, db ϕ cassure en rad/s Tracé asympoique -9-8

32 Tracé asympoique FT p z. p. p log db G db -4 db/déc, en rad/s /5 Eude aux pulsaions faibles : cassure Aux basses pulsaions on a : z. j. j Pour les pulsaions faibles un deuxième se compore comme une acion

33 Tracé asympoique FT p z. p. p Eude aux pulsaions élevées : Aux grandes pulsaions on a : z. j. j log, db j j " " j G db -4 db/déc cassure en rad/s Pour les pulsaions élevées un deuxième se compore comme un double inégraeur 3/5

34 Tracé asympoique FT p z. p. p Cassure des asympoes : log db G db -4 db/déc, en rad/s 4/5 La cassure se produi à l inersecion des deux asympoes soi : log log Double inégraeur j cassure log log j cassure

35 Tracé asympoique FT p z. p. p ϕ cassure, 5/5-9 Eude des phases : -8 Pour les pulsaions faibles un deuxième se compore comme une acion Asympoe horizonale à

36 Tracé asympoique ϕ cassure 6/5 FT p z. p. p, -9 Eude des phases : -8 Pour les pulsaions élevées un deuxième se compore comme un double inégraeur Asympoe horizonale à -8

37 FT p Tracé réel z. p. p log db G db -4 db/déc, en rad/s 7/5 cassure La courbe réelle va s appuyer sur les asympoes dessus ou dessous?

38 .. p p z p FT Calculons le module de la foncion de ransfer harmonique : en rad/s, G db db cassure log -4 db/déc Tracé réel Tracé réel 8/5.. j j z j FT z j 4 z 4 4 z

39 ' ' ' x g x f x g x f x f 4 4 z j FT Cee foncion présene un exrémum si sa dérivée s annule. On sai que : 9/5 x g x g On sai que : donc ' x g x g j FT 4 4 z cee dérivée s annule lorsque g x s annule.

40 g x 4 4 z ' x h x h x h On sai que hx qui s annule quand h x 4 4 z / z 4 z 4 4 z Expression qui ne peu s annuler en dehors de que si : < z < z < z

41 Tracé réel courbe des gains log G db résonance -4 db/déc /5 FT p z. p. p, db en rad/s z pas d exrémum courbe dessous les asympoes cassure z exrémum courbe dessus les asympoes résonance

42 Tracé réel courbe des phases FT p z. p. p, -9 ϕ cassure /5-8 La courbe «s appuie» sur les asympoes avec une symérie Pour : Arg FT j Arg z.j j Arg Arg z j Arg z j. ϕ 9

43 Synhèse log G db résonance -4 db/déc 3/5 FT p z. p. p, db en rad/s z, ϕ cassure z -9-8

44 Influence de z sur la résonance 4/5 z diminue z diminue

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