Mathématiques du signal déterministe

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1 Conservtoire Ntionl des Arts et Métiers MAA17 Mthémtiques du signl déterministe Nelly POINT 11 octobre 211

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3 Tble des mtières 1 Intégrtion Méthodes d intégrtion : rppels Utilistion de l linérité Chngement de vribles Intégrtion pr prties Générlistion de l notion d intégrle Introduction Intégrle générlisée : cs d un domine non borné Intégrle générlisée : cs d une fonction non bornée Intégrles double ou triple Les espces L 1 (I) et L 2 (I) Espce L 1 (I) des fonctions sommbles sur I Espce L 2 (I) des fonctions de crré sommble sur I Reltion entre L 1 (I) et L 2 (I) Compléments Rppels sur les espces vectoriels Les séries de Fourier Introduction et rppels Série de Fourier trigonométrique Série de Fourier complexe Convergence des sommes prtielles de l série de Fourier dns L 2 (, T ) Convergence ponctuelle des sommes prtielles de l série de Fourier Dérivtion terme à terme Vérifiction des résultts, erreurs usuelles Remrques générles Le produit de convolution Définitions Propriétés du produit de convolution

4 2 4.3 Le produit de convolution régulrise Utilité du produit de convolution Intercorréltion, utocorréltion Cs d un signl réel L trnsformtion de Lplce Définition de l trnsformtion de Lplce Propriétés générles Utilistion de l trnsformtion de Lplce L trnsformée de Fourier Introduction Trnsformée de Fourier dns L 1 (IR) Propriétés de l trnsformée de Fourier Trnsformée de Fourier dns L 2 (IR) Trnsformée de Fourier des fonctions usuelles Autocorréltion temporelle et Fourier Fonctions définies pr une intégrle Motivtions Propriétés

5 Chpitre 1 Intégrtion Ce chpitre contient un rppel des méthodes d intégrtion, une présenttion des intégrles générlisées, et les propriétés élémentires des intégrles doubles. 1.1 Méthodes d intégrtion : rppels Utilistion de l linérité 1. trnsformtion de produits en sommes (pr exemple à l ide de formules de trigonométrie) 2. décomposition des frctions rtionnelles en sommes de fonctions simples Chngement de vribles Si on pose x = ϕ(t) où ϕ est une fonction définie sur [α, β], telle que ϕ(α) = et ϕ(β) = b et dérivble et bijective de [α, β] sur [, b] lors on b f(x) dx = β α f(ϕ(t)) ϕ (t) dt vec α = ϕ 1 () et β = ϕ 1 (b) (1.1) Intégrtion pr prties Formule qui découle de l formule bien connue de dérivtion d un produit : (uv) = u v + u v Elle peut s écrire : b u(x) v (x) dx = [u(x) v(x) ] b b 3 u (x) v(x) dx

6 4 Anlyse L nottion différentielle du = u (x)dx et dv = v (x)dx permet une écriture plus synthétique pour les primitives : udv = uv vdu L intégrtion pr prties s utilise dns des cs bien spécifiques : 1. Pour intégrer le produit d un polynôme pr une exponentielle, pr un cosinus, ou pr un sinus. On pose lors u(x) = P (x) pour voir de proche en proche des polynômes de degré de plus en plus petit dns l intégrle à clculer, jusqu à obtenir un polynôme de degré zéro donc constnt. 2. Pour se débrrsser des fonctions trnscendntes qui ont des dérivées de type frctions rtionnelles comme ln(x), tn(x), et plus générlement ln(f (x)) où F est une frction rtionnelle etc.. On pose lors u(x) = f(x) où f est l fonction trnscendnte. 1.2 Générlistion de l notion d intégrle Introduction On sit que si l fonction f est continue sur l intervlle fermé borné [, b] lors elle est bornée sur [, b] et de plus b f(x) dx est définie (définie signifint que si, b sont des nombres connus et si f est connue lors b f(x) dx est un nombre fini). On peut encore définir b f(x) dx si l fonction f est continue pr morceux et si elle reste bornée sur l intervlle [, b] borné. Pr contre si l intervlle d intégrtion est non borné ( ], b], [, + [, ], + [ ) ou si l fonction est non bornée sur l intervlle, l intégrle est prfois définie et prfois elle ne l est ps : dx = [rctn x]+ 1 + x2 = π 2 = π 2 dx x 1 1 définie (1.2) = [ln x ]+ 1 = + ps définie (1.3) dx x = [ln x ]1 = () = + ps définie (1.4) Dns ce chpitre on v essyer de préciser des règles pour svoir priori, sns clculer de primitive, dns quel cs on se trouve.

7 Intégrtion Intégrle générlisée : cs d un domine non borné Définition 1.1 Soit f une fonction définie et continue sur [, + [,on dit que l intégrle f(x) dx converge u voisinge de + ssi l limite de X f(x) dx existe et est finie lorsque X +. Bien sur il y une définition similire dns le cs où =. Exemple 1 : X cos(x) dx = [sin(x)] X = sin X Cette quntité n ps de limite qund X tend vers, d où l divergente de l intégrle cos(x) dx Exemple 2 : L convergence de l intégrle exp(x) dx dépend de. En effet Si, X [ exp(x) exp(x) dx = ] X = 1 (exp(x) 1) Or e X tend vers l infini si > et vers si <. De plus si =, on X dx = X +, donc X + exp(x) dx exp(x) dx diverge pour converge et vut 1 pour < Exemple fondmentl : 1 dx x α D près (1.3) l intégrle diverge pour α = 1. Pour α 1 une primitive est F (X) = X α+1 α+1 or si α > 1 lors X α+1 X + et si α < 1 lors X α On donc X + dx x α converge ssi α > 1 (1.5) diverge ssi α 1 Théorème de comprison : Soient f et g deux fonctions positives telles que pour tout x [, + [, f(x) g(x) lors :

8 6 Anlyse - si f(x) dx diverge lors g(x) dx diverge ussi. - si g(x) dx converge lors f(x) dx converge ussi. Pour lever une indétermintion il est commode d utiliser l notion de fonctions équivlentes pour comprer le comportement de deux fonctions ux voisinge d un point. Définition 1.2 f et g sont deux fonctions équivlentes u voisinge de ( fini f(x) ou infini) si f(x) g(x) lim x g(x) = 1 Proposition 1.1 Soient deux fonctions f et g continues sur [, + [ et équivlentes u voisinge de +, lors f(x) dx et g(x) dx sont de même nture Théorème 1.1 Critère de Riemnn. Soit f une fonction continue sur [, + [ : cste + f(x) lors l intégrle f(x) dx converge ssi α > 1 + x α Qund on peut l utiliser, ce critère permet d éviter de clculer inutilement une primitive dns le cs où une intégrle générlisée diverge. Prfois ce critère n est ps utilisble et dns ce cs on utilise soit l définition, soit une mjortion ( si l on veut prouver l convergence de l intégrle) ou une minortion (dns le cs contrire) Intégrle générlisée : cs d une fonction non bornée Définition 1.3 Soit une fonction f définie et continue sur ], b] et telle que f(x) + x, lors on dit que l intégrle b f(x) dx converge u voisinge de ssi l limite de b +ε f(x) dx existe et est finie lorsque ε Exemple fondmentl en : b dx (x ) α Comme en (1.4), l primitive est en logrithme et l intégrle diverge pour α = 1. Pour α 1, l fonction n est ps définie pour x = et l primitive est F (X) = (X ) α+1 α+1 or si α > 1 lors (X ) α+1 + et si α < 1 lors (X ) α+1. Donc on : X X b dx (x ) α converge ssi α < 1 (1.6) diverge ssi α 1

9 Intégrtion 7 Proposition 1.2 Comprison : Soient 2 fonctions f et g continues sur ], b] lors si x ], b] on f(x) g(x) lors Théorème 1.2 Critère de Riemnn. Soit f une fonction continue sur ], b] vec b fini f(x) cste (x ) α lors l intégrle b b f(x) dx b f(x) dx converge ssi α < 1 g(x) dx. Attention : On ne peux ps écrire y α pour y <, cr si α est non entier on ne peux ps dire que cel signifie le produit de y pr lui même α fois! Pour un réel quelconque α, on défini y α pr : y α = exp(α ln y) Il fut donc impértivement que y soit positif ( ou éventuellement nul). Donc pour < x < b on ne peut ps écrire (x b) α mis plutôt (b x) α. En suivnt l même démrche que ci-dessus on vérifie que : b Théorème 1.3 Critère de Riemnn. Soit f une fonction continue sur [, b[ vec fini f(x) b cste (b x) α lors l intégrle Exemple 1 : Convergence de dx (b x) α converge ssi α < 1 (1.7) diverge ssi α 1 b f(x) dx converge ssi α < 1 f(x) dx vec f(x) = 2x (x + 2)(x 2 + 2x + 2). L fonction f est définie et continue sur IR \{ 2} donc sur [, + [. On f(x) + 2 x 2 A priori l intégrle converge. Une primitive est F (x) = ln(x 2 + 2x + 2) 2 ln x + 2, à l infini ceci donne une forme indéterminée +. Appliquons l définition en essynt de lever cette indétermintion X f(x) dx = F (X) F () = ln X 2 + 2X + 2 (X + 2) 2 (ln 2 2 ln 2) or F (X) ln X2 + X ln 1 = donc f(x) dx converge et vut ln 2. 2 X +

10 8 Anlyse S il n y ps de fonction équivlente mis si f est positive lors F (X) = X f(x) dx est une croissnte de X. On peut lors utiliser une mjortion pour montrer l convergence de l intégrle ou une minortion pr une intégrle divergente pour montrer l divergence grâce à l proposition suivnte. Exemple 2 : exp( x 2 ) dx Sur [1, + [ on x x 2 donc x 2 x et x x 2 donc exp( x 2 ) dx 1 + exp( x) dx = [ exp( x)] = 1 donc exp( x 2 ) dx = 1 e exp( x2 ) dx + exp( x 2 ) dx converge cr sur [, 1] l fonction est continue et sur [1, + [ grce à l 1 mjortion on l convergence. Si f n est ps positive ou de signe constnt, pour montrer l convergence de l intégrle, on essye de mjorer f(x) et on utilise le théorème suivnt. Théorème 1.4 Convergence bsolue b f(x) dx converge = b f(x)dx converge bsoluement donc converge Démonstrtion. Si f + est l prtie positive de f et f l opposé de l prtie négtive lors f = f + + f et f = f + f et l proposition ci-dessus entrine que b f + (x) dx et b f (x) dx convergent, ce qui entrine que b f(x) dx = b f + (x) dx b f (x) dx converge ussi Exemple : sin x x(1 + x) dx. Le domine de f est ], + [. Il y 2 problèmes : l fonction n est ps définie en et le domine est non borné. On = Pour x l fonction est prolongeble pr continuité et reste bornée cr sin x x 1 sin x x donc dx est définie. x(1 + x) x x(1 + x) sin x Comme ne grde ps un signe constnt qund x +, on cherche à mjorer x(1 + x) l vleur bsolue sur [1, + [. sin x x(1 + x) 1 1 x(1 + x) x 3/2 comme α = 3/2 > 1, on en déduit que l intégrle f(x) dx converge et donc + f(x) dx est bsolument convergente. 1.3 Intégrles double ou triple Les sections précédentes ne concernent que les intégrles d une fonction d une seule vrible réelle. Dns ce cours il ser, de temps en temps, nécessire de considérer des intégrles portnt sur des fonctions de plusieurs vribles réelles.

11 Intégrtion 9 Commençons pr un exemple. Soit f(x, y) l fonction nulle sur IR 2 suf pour (x, y) D = [, b] [c, d] IR 2, vec f continue sur D, nous pouvons definir b ( d ) f(x, y) dxdy = f(x, y) dy dx D On verifie que on trouve le même resultt en intégrnt d bord en x puis en y : d ( b ) f(x, y) dxdy = f(x, y) dx dy Remrque 1.1 Si f(x, y) = u(x)v(y) lors D D ( b f(x, y) dxdy == c c ) ( d ) u(x)dx v(y) dy c Dns le cs d intégrles générlisées, on le théorème suivnt : Théorème 1.5 de Fubini : Une fonction f(x, y) est sommble sur IR 2 ssi f(x, y) est sommble sur IR 2 et lors ( ) f(x, y) dxdy = f(x, y) dx dy IR 2 IR IR ( ) = f(x, y) dy dx IR IR

12 1 Anlyse

13 Chpitre 2 Les espces L 1 (I) et L 2 (I) L ensemble des fonctions est muni d une structure d espce vectoriel (on peut dditionner deux fonctions et on peut multiplier une fonction pr un sclire réel ou complexe). Pour pouvoir évluer l précision d une proximtion d une fonction (ou d un signl) pr une utre fonction, il fut disposer d une notion de distnce entre deux fonctions. En fit de nombreux choix sont possibles, mis nous ne présenterons ici que les 2 notions les plus utiles en ce qui concerne les mthémtiques pour l ingénieur. Dns l suite I désigne un intervlle, ce peut être IR, ], + [, ], b[, il peut donc être borné ou non borné. Nous llons introduire pour les fonctions définies sur un intervlle I (borné ou non) deux normes différentes. L première, ssez nturelle, consiste à mesurer l écrt entre 2 fonctions f et g pr l ire qui sépre leur courbe représenttive. Si cette ire est nulle on dit que l norme est nulle. L seconde norme considérée ici consiste à mesurer l ire sous le crré de f g. Elle est plus intéressnte pour l ingénieur cr que ce soit en tritement du signl, en électricité ou en mécnique le crré de cette norme permet de clculer l énergie d un signl ou une puissnce électrique ou une énergie cinétique ou encore une énergie de déformtion, etc. 2.1 Espce L 1 (I) des fonctions sommbles sur I On considère l espce vectoriel sur IR des fonctions définies sur I et à vleurs réelles (I borné ou non). Définition 2.1 Une fonction est dite sommble sur I si et seulement si f(x) dx < + I 11

14 12 Anlyse L ensemble des fonctions sommbles forme un sous espce vectoriel. Si deux fonctions sommbles f et g sont continues sur I lors f(x) g(x) dx = x I, f(x) = g(x). I Mis si f et g sont discontinues sur I, pr exemple si ce sont 2 fonctions portes légèrement différentes : f(x) = { 1 si 1 x 1 sinon g(x) = { 1 si 1 < x < 1 sinon on voit que f(x) g(x) = suf pour x = 1 ou pour x = 1 et que f(x) g(x) dx =. IR cel signifie que si f et g sont seulement continues pr morceux, on peut seulement dire que : f(x) g(x) dx = f(x) = g(x) suf pour x = 1 et x = 1 I Les fonctions f et g sont donc égles suf en ces points. On introduit l notion commode de "presque prtout" notée pp. Définition 2.2 Si deux fonctions sont égles suf en un nombre finis de points ou même sur un ensemble dénombrble de points lors on dit que ces fonctions sont égles presque prtout. On peut lors dire que : I f(x) g(x) dx = f pp = g On peut lors définir une norme sur le sous espce vectoriel des fonctions sommbles sur I pr : f L 1 = f(x) dx et on l propriété I f L 1 = f pp = Définition 2.3 On note L 1 (I) l ensemble des fonctions sommbles sur I où on confond les fonctions égles presque prtout. L 1 (I) est muni de l norme : f L 1 = f(x) dx I

15 Espces L 1 et L 2 13 Ainsi on peut écrire que f L 1 = f pp =. Remrque 2.1 Dns l espce vectoriel des fonctions à vleurs complexes f L 1 = f(x) dx vec f(x) égl u module du nombre complexe f(x). 2.2 Espce L 2 (I) des fonctions de crré sommble sur I I On considère d bord l espce vectoriel sur IR des fonctions définies sur I et à vleurs réelles. Définition 2.4 Une fonction est dite de crré sommble sur I si et seulement si f(x) 2 dx < + I Définition 2.5 On note L 2 (I) l ensemble des fonctions de crré sommble sur I où on confond les fonctions égles presque prtout. L 2 (I) est muni du produit sclire : (f, g) = f(x)g(x) dx et de l norme correspondnte : f L 2 = I f(x)2 dx L espce L 2 (I) est plus intéressnt que l espce L 1 (I) pour 2 risons : I 1. l première d ordre physique cr souvent l énergie dissipée sur un intervlle de temps I = [, T ] peut s exprimer comme l intégrle du crré d une fonction (énergie electrique, énergie cinétique, etc ), et l textbfpuissnce dissipée est définie pr 1 T T f(x) 2 dx. 2. l seconde rison est d ordre mthémtique cr l existence d un produit sclire v permettre d utiliser les notions bien connues de géométrie, comme l projection orthogonle, pour trouver l meilleure pproximtion d une fonction sous certines conditions. Comme on ser mené à considérer des fonctions à vleurs complexes, on utiliser une générlistion de l notion de produit sclire, on définir dns ce cs le produit sclire générlisé (ppelé ussi produit hermitien) (f, g) pr : (f, g) = f(x)g(x) dx I

16 14 Anlyse où g(x) représente l vleur complexe conjuguée de g(x). On vérifie bien lors l positivité du produit sclire d une fonction pr elle même : (f, f) = f(x)f(x) dx = f(x) 2 dx I Remrque 2.2 Si f est continue, bornée et à support borné (c est à dire nulle hors de ce support) lors f L 1 (IR) L 2 (IR). Si I est un intervlle borné et si f est bornée et continue pr morceux sur I lors f L 1 (I) L 2 (I). I Exemples : On peut vérifier que les fonctions e x, e x2, sont dns L 1 (IR) L 2 (IR) 1 x 2 + 1, et l fonction gussienne On peut ussi fcilement montrer que l fonction sinus crdinl sin(x) x on montre ussi (plus difficilement!) que sin(x) / L 1 (IR). x Le domine de définition de f(x) = Riemnn en, on montre que pprtient à L 2 (IR), 1 x (x2 + 1) est IR. En ppliqunt le critère de 1 x (x2 + 1) / L2 (IR) ( l fonction se comporte comme 1 u voisinge de ). Mis en ppliqunt le critère de Riemnn en et à l infini, on x montre que f L 1 (IR). On [ 1, 1] on 1 x / L 1 (IR) d près le critère de Riemnn à l infini, mis sur l intervlle borné 1 x L( 1, 1). 2.3 Reltion entre L 1 (I) et L 2 (I) Si l intervlle I est non borné, il n y ps de reltion d inclusion entre L 1 (I) et L 2 (I), comme le montre les exemples ci-dessus. Pr contre dns le cs où l intervlle I = [, b] est borné, lors l inéglité de Schwrz permet de prouver que L 2 (, b) est inclus dns L 1 (, b).

17 Espces L 1 et L 2 15 Inéglité de Schwrz b b f(x)g(x) dx f(x) 2 b dx g(x) 2 dx (2.1) Cette inéglité est seulement l interpréttion dns l espce L 2 (, b) de l propriété générle concernnt les produits sclires et les normes ssociées. Le produit sclire de deux vecteurs est mjoré en module pr le produit des normes de chcun des vecteurs (f, g) f g En choisissnt pour g l fonction constnte égle à 1 sur [, b], et pour f une fonction égle à son module, on obtient b b f(x) dx f(x) 2 dx b et donc si l fonction f est dns L 2 (, b) elle est ussi forcément dns L 1 (, b). 2.4 Compléments L intérêt des espces vectoriels en dimension finie, c est que, pour définir une trnsformtion linéire, il suffit de l définir sur l bse considérée. Mis l ensemble des fonctions de l vrible réelle x est de dimension infini (puisqu il contient l ensemble de toutes les fonctions polynômiles, etc...). L dimension infinie complique l sitution. Mis on montre que l espce L 2 (I) est ce qu on ppelle un espce de Hilbert séprble, c est à dire qu il existe un ensemble infini mis dénombrble de fonctions e n, n N, orthogonles 2 à 2, et telles que toute fonction de l espce soit une combinison linéire infinie unique des éléments de cette bse : f = n e n vec n = (f, e n ) n=1 Cette décomposition est unique et on n N n = f pp =. L exemple le plus importnt en mthémtiques du signl est l décomposition en série de Fourier qui n est rien d utre que l décomposition d une fonction de l espce L 2 (, T )

18 16 Anlyse pr rpport à l bse orthogonle formée pr les fonctions u (x) = 1 u 1 (x) = cos( 2π T x)... u k (x) = cos(k 2π T x)... v 1(x) = sin( 2π T x) v k(x) = sin(k 2π T x) Les séries de Fourier font l objet de l étude de chpitre suivnt. 2.5 Rppels sur les espces vectoriels Un des exemples les plus élémentires d espces vectoriels est l espce IR 3. Si e 1, e 2, e 3 est une bse de IR 3 lors il existe un triplet de nombres réels (x, y, z) tel que : V = x e1 + y e 2 + z e 3 (2.2) Les nombres x, y, z sont les composntes du vecteur V pr rpport à l bse ( e 1, e 2, e 3 ). Dns IR 3 on définit un produit sclire noté ( V, U ) et l norme ssociée, notée V, est définie pr V 2 = ( V, V ). Si deux vecteurs ont un produit sclire nul, ces vecteurs sont dits orthogonux. Si un vecteur une norme égle à 1, on dit qu il est normé. Un sous espce vectoriel est un sous ensemble stble pr l ddition des vecteurs et pr l multipliction pr un nombre réel. Pour trouver l meilleure pproximtion d un vecteur pr un vecteur pprtennt à un sous espce vectoriel on projette orthogonlement le vecteur sur le sous espce vectoriel. Pour fire de l géométrie, on choisit une bse orthonormée. Pour déterminer l composnte x du vecteur V pr rpport à l bse orthonormée ( e 1, e 2, e 3 ), il suffit de fire le produit sclire de V pr le vecteur e 1 : ( V, e 1 ) = (x e 1 + y e 2 + z e 3, e 1 ) = x ( e 1, e 1 ) + y ( e 2, e 1 ) + z ( e 3, e 1 ) linérité du produit sclire = x + + puisque l bse est orthonormée d où x = ( V, e 1 ). En fisnt de même pour i = 2 et 3, on trouve les composntes du vecteur V pr rpport à l bse orthonormée {e 1, e 2, e 3 } : x = ( V, e 1 ), y = ( V, e 2 ), z = ( V, e 3 ). (2.3)

19 Espces L 1 et L 2 17 Si U est un vecteur de composntes (x, y, z ) dns l bse { e 1, e 2, e 3 } lors, en utilisnt l linérité du produit sclire et l orthogonlité de l bse, on obtient : ( V, U ) = (x e 1 + y e 2 + z e 3, x e 1 + y e 2 + z e 3 ) = (x e 1 + y e 2 + z e 3, x e 1 ) + (x e 1 + y e 2 + z e 3, y e 2 ) + (x e 1 + y e 2 + z e 3, z e 3 ) = xx ( e 1, e 1 ) + yy ( e 2, e 2 ) + zz ( e 3, e 3 ) orthogonlité de l bse Si de plus l bse est normée, le produit sclire est égl à : ( V, U ) = xx + yy + zz (2.4) Et donc l norme u crré de V s exprime en fonction de ses composntes pr : V 2 = ( V, V ) = x 2 + y 2 + z 2 (2.5) Si l bse est seulement orthogonle sns être normée, on lors : ( V, e 1 ) = x ( e 1, e 1 ) + y ( e 2, e 1 ) + z ( e 3, e 1 ) = x e Donc : x = ( V, e 1 ) e 1 2, y = ( V, e2 ) e 2 2, z = ( V, e3 ) e 3 2. (2.6) et V 2 = ( V, V ) = x 2 e y 2 e z 2 e 3 2 (2.7) Pour que l expression de l norme en fonction des composntes soit simple, il est essentiel que l bse soit u moins orthogonle. Ces propriétés bien connues dns l espce IR 3, peuvent être étendues à des espces vectoriels plus générux. Pour pouvoir prler d espce vectoriel il fut voir un ensemble d éléments que l on peut dditionner et que l on peut multiplier pr un nombre (ici réel ou complexe). Un élément de l espce vectoriel est ppelé vecteur pr opposition u mot sclire qui désigne un nombre de IR ou C. Exemples : 1. L ensemble des fonctions réelles de l vrible réelle x forme un espce vectoriel sur IR cr on peut dditionner 2 fonctions et on peut multiplier une fonction pr un nombre réel et ces 2 opértions vérifient les propriétés qui donnent à l ensemble une structure d espce vectoriel sur IR. 2. De même l ensemble des fonctions à vleurs complexes de l vrible réelle x forme un espce vectoriel sur C.

20 18 Anlyse 3. L ensemble des fonctions polynômiles de degré n forment un sous espce vectoriel. 4. Les mtrices à m lignes et n colonnes forment un espce vectoriel sur C. Les notions bien connues dns IR 3 de norme de vecteur et de produit sclire de 2 vecteurs s étendent ux espces vectoriels bstrits. Comme les espces vectoriels qui vont nous intéresser dns ce cours sont des espces dont les vecteurs sont des fonctions. Nous noterons f ou g deux élements quelconque d un espce vectoriel E. Définition 2.6 Une norme sur un espce vectoriel E réel ou complexe (i.e. les sclires sont dns IR ou C) est une ppliction de E dns IR + telle que : f f f = f = (2.8) λf = λ f λ K (2.9) f + g f + g (2.1) Définition 2.7 Un produit sclire dns un espce vectoriel E réel est une ppliction de E E dns l ensemble des sclires IR. (d où le nom!) Si on note (f, g) le produit sclire de f et g, on doit voir : (f, g) = (g, f) symétrie (2.11) (λf + µg, h) = λ(f, h) + µ(g, h) linérité (2.12) (f, f) positivité (2.13) (f, f) = f = (2.14) Remrque 2.3 Connissnt le produit sclire, l norme ssociée est définie pr f = (f, f).

21 Chpitre 3 Les séries de Fourier 3.1 Introduction et rppels L idée fondmentle de Leonhrd Euler ( ), utilisée vec brio pr Joseph Fourier ( ) pour résoudre le problème de l diffusion de l chleur, été de décomposer toute fonction périodique en une somme infinie d hrmoniques. Une série trigonométrique S(x) s écrit formellement : S(x) = + 1 cos( 2πx T ) + b 1 = + ( n n N sin( 2πx T ) n cos( n2πx T ) + b n sin( n2πx T ) cos( n2πx T ) + b n sin( n2πx T ) +... ) Les coefficients n et b n sont des nombres réels et T est un nombre réel positif, qui représente l période de l somme S(x), si cette somme est définie. Cette série dmet une formultion complexe équivlente : S(x) = n Z vec c n exp( in2πx ) T c = et pour n N c n = n ib n 2 et c n = n + ib n 2 Une série trigonométrique quelconque ne converge ps nécessirement vers une fonction. Les séries trigonométriques ont l prticulrité de pouvoir converger vers des fonctions discontinues (ce qui n est ps le cs pour les séries entières). Une fonction de période T est prfitement définie pr son comportement sur un intervlle de longueur T. En tritement du signl 1. l énergie totle sur un intervlle [, T ] est, à une constnte près, T f(t) 2 dt 2. l puissnce d un signl périodique est 1 T T f(t) 2 dt. 19

22 2 Anlyse Ces deux notions font intervenir l norme dns L 2 (, T ). Si on considère l somme de 2 signux f et g lors l énergie de l somme est f + g 2 = (f + g, f + g) = f (f, g) + g 2. Pour que l énergie de l somme soit l somme des énergies, il fut que le produit sclire (f, g) soit nul, donc que les signux f et g soient orthogonux. L importnce des séries trigonométrique provient de ce que les fonctions 1, cos( 2πx T ), sin(2πx T ),..., cos(n2πx T ), sin(n2πx ),... T sont 2 à 2 orthogonles et que, de plus, elles forment une bse de l espce L 2 (, T ). 3.2 Série de Fourier trigonométrique L ensemble des fonctions à vleurs réelles définies sur un intervlle [, T ] et de crré sommble forme un espce vectoriel sur IR. Si on convient de confondre les fonctions qui sont égles presque prtout, lors on peut munir cet espce, noté L 2 (, T ), d une norme définie pr : et d un produit sclire : f L 2 (,T ) = T (f, g) = T f(x) 2 dx f(x)g(x) dx Théorème 3.1 Les fonctions 1, cos( 2πx 2πx n2πx n2πx ), sin( ),..., cos( ), sin( ),... forment T T T T une bse orthogonle de l espce de Hilbert L 2 (, T ). C est-à-dire que toute fonction de crré sommble sur [,T], peut s écrire comme une combinison linéire infinie de ces fonctions de bse : f(x) pp = + 1 cos( 2πx T ) + b 1 sin( 2πx T ) n cos( n2πx T ) + b n sin( n2πx T ) +... L églité n lieu que presque prtout puisque c est une églité dns L 2 (, T ). On peut isément vérifier que les fonctions 1, cos( 2πx 2πx n2πx n2πx ), sin( ),..., cos( ), sin( ), T T T T... sont deux à deux orthogonles. On peut démontrer, et nous l dmettrons, que ces fonctions forment ce qu on ppelle une bse de l espce L 2 (, T ). Les coefficients de l série de Fourier S f de l fonction f dépendent bien sûr de f. Pour les définir, on utilise les propriétés vues u chpitre 1. Théorème 3.2 Les coefficients de l série de Fourier S f pr : de l fonction f sont définis

23 Séries de Fourier 21 = 1 T n = 2 T T T f(x) dx f(x) cos( n2πx T ) dx et b n = 2 T T (3.1) f(x) sin( n2πx ) dx (3.2) T Et on l identité de Prsevl : T f(t) 2 dt = f 2 L 2 (,T ) = T ( n=1 ( ) ) 2 n + b 2 n (3.3) Démonstrtion : L bse ci-dessus est orthogonle mis ps normée. En introduisnt l pulstion ω = 2π T on : 1 2 L 2 (,T ) = T, cos(nωx) 2 L 2 (,T ) = sin(nωx) 2 L 2 (,T ) = T 2 Grâce à l orthogonlité de l bse, on déduit que : = (f, 1) (1, 1), n = (f, cos(nωx)) cos(nωx) 2 L 2, n = (f, sin(nωx)) sin(nωx) 2 L 2. En utilisnt (3.2) on obtient les formules donnnt les coefficients de l série de Fourier de f (3.1), (3.2). L générlistion de l formule de Pythgore donne : f 2 L 2 (,T ) = L 2 + ( 2 n cos(nωx) 2 L + b 2 2 n sin(nωx) 2 ) L 2 n=1 ce qui entrîne l identité de Prsevl (3.3). Cette identité de Prsevl exprime que l énergie totle sur une période est égle à l somme des énergies de chque hrmonique ou que l puissnce est l somme des puissnces de chque hrmonique : 1 T T f(t) 2 dt = Série de Fourier complexe ( 2 n + bn) 2 L ensemble des fonctions à vleurs complexes, définies sur un intervlle [, T ] et de module u crré sommble forme un espce vectoriel sur C. Si on convient de confondre les n=1

24 22 Anlyse fonctions qui sont égles presque prtout, lors on peut munir cet espce, noté L 2 (, T ), d une norme définie pr : et d un produit sclire générlisé : f L 2 (,T ) = T f(x) 2 dx (f, g) = T f(x)g(x) dx Théorème 3.3 Les fonctions exponentielles complexes exp(inωx), où n Z et où ω = 2π T est l pulstion, forment une bse orthogonle de l espce de Hilbert L 2 (, T ) sur C. C està-dire que toute fonction de module u crré sommble sur [,T], peut s écrire comme une combinison linéire infinie de ces fonctions de bse : f(x) pp = n Z c n exp( in2πx ). T Encore un fois l églité n lieu que presque prtout puisque c est une églité dns L 2 (, T ). On peut isément vérifier que les fonctions exp(inωx) où n Z sont deux à deux orthogonles dns L 2 (, T ). On peut démontrer, et nous l dmettrons encore, que ces fonctions forment une bse de l espce L 2 (, T ) sur C. Théorème 3.4 Les coefficients de l série de Fourier complexe S f de l fonction f sont définis pr : c n = 1 T f(x) exp( in2πx ) dx T T Et on l identité de Prsevl : T f(t) 2 dt = f 2 L 2 (,T ) = T n= c n 2 (3.4) Démonstrtion : L bse ci-dessus est orthogonle mis ps normée. On : T exp(inωx) 2 L 2 (,T ) = exp(inωx) 2 dx = T Grâce à l orthogonlité de l bse, on déduit que : 1 dx = T c n = (f, exp(inωx)) exp( in2πx) 2 = 1 T T L 2 T f(x)exp(inωx) dx 1 T = T f(x) exp( inωx) dx

25 Séries de Fourier 23 D où les formules donnnt les coefficients de l série de Fourier de f. L identité de Prsevl (3.4) signifie que le crré de l norme du vecteur f est u coefficient T près l somme des crrés des modules des composntes c n de ce vecteur : f 2 L 2 (,T ) = T n= c n c n = T n= c n Convergence des sommes prtielles de l série de Fourier dns L 2 (, T ) Soit f une fonction de L 2 (, T ). Définition 3.1 L somme de l vleur moyenne et des hrmoniques d ordre inférieur ou égl à n, s ppelle l somme prtielle d ordre n de l série de Fourier S f de f et se note S n : S n (x) = + 1 cos( 2πx T ) + b 1 sin( 2πx T ) n cos( n2πx T ) + b n sin( n2πx T ). Remrque 3.1 Cette somme prtielle peut ussi s exprimer à l ide des c n : S n (x) = k=n k= n c k exp( ik2πx T ). Théorème 3.5 Les sommes prtielles S n convergent u sens de l norme L 2 (, T ) vers l fonction f c est à dire que : S n f L 2 n De plus on peut clculer l erreur commise en pproximnt f pr S n cr on : S n f 2 L 2 = f 2 L 2 S n 2 L 2 Lorsque n le rpport de l énergie du signl pproché sur l énergie du signl initil f, tend vers 1% : S n 2 L 2 f 2 1% n L 2 Démonstrtion : Comme les fonctions S n f et S n sont orthogonles et que l on f = (f S n ) + S n, on en déduit pr Pythgore que : f 2 L 2 = S n f 2 L 2 + S n 2 L 2

26 24 Anlyse 3.5 Convergence ponctuelle des sommes prtielles de l série de Fourier Théorème 3.6 (de Dirichlet) Soit f une fonction continue et dérivble pr morceux sur [, T ], telle qu en tout point de discontinuité x il y ît une limite finie à guche f(x ) et une limite finie à droite f(x + ), lors l suite de fonctions formée pr les sommes prtielles S n (x) converge ponctuellement sur [, T ] et on : S n (x) n S f (x) = f(x) pour tout x où f est continue S n (x ) n S f (x ) = f(x ) + f(x + ) 2 pour tout x où f est discontinue L suite des sommes prtielles S n (x) converge presque prtout vers l fonction f(x). Remrque 3.2 Il est clir que sous les hypothèses du théorème ci-dessus l fonction f est ussi une fonction de L 2 (, T ). 3.6 Dérivtion terme à terme Théorème 3.7 Si l série de Fourier S f de f est bsolument convergente, c-à-d si : + ousi n= ( n + b n ) < n=1 c n < lors on peut dériver cette série terme à terme et l série dérivée converge presque prtout vers l fonction dérivée f. 3.7 Vérifiction des résultts, erreurs usuelles Tout d bord, il est importnt de noter que si une fonction g est périodique de période T, son intégrle sur [, T ] est égle à son intégrle sur n importe quel intervlle de longueur T : α T g(x) dx = α+t α g(x) dx En prticulier si f est de période T et pire (resp. impire) lors il ser judicieux d intégrer sur [ T, T ] pour clculer ses coefficients de Fourier plutôt que sur [, T ]. Il est lors fcile 2 2

27 Séries de Fourier 25 de vérifier que : si f est pire, lors b n = pour n 1 si f est impire, lors n = pour n Il est fcile de vérifier sur un grphe que les vleurs clculées sont risonnbles. - doit être le vleur moyenne de l fonction - l prité de l série doit être celle de l fonction - si T est l période lors ω = 2π T. Les erreurs les plus usuelles sont les suivntes : - si en intégrnt on doit, pr exemple, diviser pr n 1, (resp. n k ), lors il fut triter à prt le cs n = 1 (resp. n = k ). - si pr exemple l fonction est définie pr f(x) = x 3 pour x [, T/2], et est pire et de période T, lors il est fux d écrire : n = 2 T T x 3 cos( n2πx T ) dx cr l fonction n est plus égle à x 3 sur [T/2, T ]. Il fut utiliser l périodicité et intégrer sur [ T/2, T/2], puis utiliser l prité de f et du cosinus. - il est fux ensuite de dire que l série de Fourier converge pp vers x 3. En fit, elle ne converge vers x 3 que sur [, T/2[, sur ] T/2, ] c est vers x 3 et sur ]T/2, T ] c est vers (x T ) Remrques générles Toute fonction f définie sur un intervlle borné peut être prolongée sur IR pr une fonction périodique f, mis il y une infinité de fçon de fire ce prolongement. Dns le cs d une fonction définie sur [, ], on peut pr exemple : - l prolonger pr périodicité de période T = - l rendre pire puis l prolonger pr périodicité de période T = 2 - l rendre impire puis l prolonger pr périodicité de période T = 2 Il y bien d utres choix possibles. Mis il est importnt de noter que si on veut que l somme prtielle converge le plus rpidement possible vers f, il vut mieux, si on le peut, choisir le prolongement sur IR qui est le plus régulier (c est-à-dire continu et le plus dérivble possible sur IR ). L question qui se pose nturellement est de svoir si on ne pourrit ps obtenir un outil similire à l décomposition en série de Fourier pour des fonctions définie sur IR et non périodiques. L outil correspondnt est l trnsformtion de Fourier.

28 26 Anlyse

29 Chpitre 4 Le produit de convolution 4.1 Définitions Le produit de convolution de deux fonctions f et g, est une fonction notée h = f g vec h(x) = f(y)g(x y) dy (4.1) Le produit de convolution n est défini que si cette intégrle générlisée est convergente. L intégrle ci-dessus fit intervenir 2 vribles : l vrible d intégrtion ou vrible muette (ici y ) et une utre qui permet de décrire l fonction h produit de convolution des 2 fonctions f et g. Une fonction est dite cusle si elle est définie sur [, [ et prolongée pr sur ], [. Si les fonctions f et g sont cusles lors (4.1) peut être simplifié. Comme f et g sont nulles sur ], [, on f(y) = sur ], [ et g(x y) = pour x y <. Ici il est très importnt de comprendre que l on veut clculer l vleur de h en x et donc x est imposé, pr contre ici l vrible d intégrtion (muette) est y et elle doit prcourir IR. Donc on g(x y) = pour x < y c..d. pour y ]x, + [. Si x, comme l intégrle porte sur les y >, on x < y donc g(x y) = et h(x) =. h(x) = Si x >, on peut écrire f(y)g(x y) dy = + f(y)g(x y) dy h(x) = = + x f(y)g(x y) dy + x f(y)g(x y) dy + f(y)g(x y) dy + x f(y)g(x y) dy 27

30 28 Anlyse Proposition 4.1 Si les fonctions f et g sont cusles lors le produit de convolution h = f g est ussi cusl et il est défini pr : si x > si x h(x) = h(x) = x f(y)g(x y) dy (4.2) 4.2 Propriétés du produit de convolution Proposition 4.2 Le produit de convolution est commuttif : f g = g f (4.3) Démonstrtion. En fisnt dns (4.1) le chngement de vrible z = x y où x est un prmètre fixé, on obtient dz = dy et donc : (f g)(x) = f(y)g(x y) dy = + f(x z)g(z) ( dz) or d près l définition du produit de convolution (4.1) ceci est bien le produit de convolution g f : (g f)(x) = g(z)f(x z) dz Proposition 4.3 Si f et g ont même prité lors l fonction f g est pire. Si f et g ont des prités différentes lors l fonction f g est impire. Démonstrtion. Selon que, pour tout x, f( x) = f(x) ou que f( x) = f(x) on dit que f est pire ou impire. Pour étudier l prité du produit de convolution, clculons (f g)( x), (f g)( x) = f(y)g( x y) dy si f et g ont même prité, on f(y)g( x y) = f( y)g(x + y), or en posnt z = y : f( y)g(x + y) dy = + f(z)g(x z) ( dz) Comme z est une vrible muette, cette dernière intégrle vut (f g)(x). Si f et g ont des prités différentes lors on f(y)g( x y) = f( y)g(x + y) On obtient lors (f g)( x) = (f g)(x).

31 Le produit de convolution 29 Proposition 4.4 Si f est nulle en dehors de [, b] et si g est nulle en dehors de [c, d], lors f g est nulle en dehors de [ + c, b + d]. Démonstrtion. Montrons que si x / [ + c, b + d] lors en ce point (f g)(x) = + f(y)g(x y) dy est nul. En fit il suffit de vérifier que pour un x de ce type le produit f(y)g(x y) est nul quelle que soit l vleur de y. ) si y / [, b], f(y) = cr f est nulle en dehors de [, b], b) si y [, b], il suffit de voir si g(x y) est nulle qund x / [ + c, b + d]. Pr hypothèse g(x y) est nulle si (x y) n est ps dns [c, d] c est à dire si x / [y + c, y + d] mis comme y [, b], si on x / [ + c, b + d] lors on forcément x / [y + c, y + d] et donc g(x y) =. Corollire 4.1 Si f et g sont nulles hors de IR + lors f g est ussi nulle hors de IR +. L ensemble des y tels que f(y) permet de définir le support de l fonction f (c est le plus petit fermée de IR contennt ces y tels que f(y) ). 4.3 Le produit de convolution régulrise Définition 4.1 L fonction f est dite de clsse C n sur IR si elle pprtient à C n (IR) c.à d. si f est n fois dérivble et si l dérivée n ième, notée f (n), est continue sur IR. Une fonction de clsse C n+1 est plus régulière qu une fonction de clsse C n. Proposition 4.5 Si f est continue, bornée sur IR, et si g est dns L 1 (IR) lors f g est continue sur IR Si de plus l dérivée f existe sur IR tout entier et est bornée lors f g est dérivble sur IR tout entier et : (f g) = f g (4.4) Démonstrtion. On est dns le cdre d ppliction du théorème de convergence dominée vu dns le chpitre précédnt. En effet (f g)(x) = et puisque f est bornée, on l mjortion : f(x y)g(y) dy f(x y)g(y) M g(y) or g est sommble donc le théorème s pplique. Si f est continue, f(x y)g(y) est continue pr rpport à x et donc l intégrle ussi. Même démrche pour l dérivtion. L dérivée de f(x y)g(y) pr rpport à x est f (x y)g(y) donc comme f (x y)g(y) N g(y)

32 3 Anlyse et que g est dns L 1 (IR), on en déduit que x IR (f g) (x) = f (x y)g(y) dy = (f g)(x) Attention si les hypothèses de l proposition ne sont ps vérifiées. Exemple : Produit de convolution d une fonction porte pr elle même : h = P 1 P 1 h(x) = P 1 (y)p 1 (x y) dy = +1/2 1/2 1.P 1 (x y) dy Or P 1 (x y) = 1 ssi x y [ 1/2, 1/2] c est à dire 1/2 x y 1/2 ou encore x 1/2 y x + 1/2 et P 1 (y) = 1 ssi y [ 1/2, 1/2] donc le produit vut 1 ssi y [ 1/2, 1/2] [x 1/2, x + 1/2] et zéro sinon. Toute l question est d étudier l intersection de ces 2 intervlles selon l vleur donnée à l vrible x où on veut clculer l fonction produit de convolution. Il y en générl 5 cs : l intervlle mobile peut être soit à guche de l intervlle fixe, soit à guche mis vec une intersection, soit l un des intervlle contient l utre, soit l intervlle mobile une intersection vec le fixe mis il est à droite du fixe et enfin il peut ussi être complètement à droite. 1) [x 1/2, x + 1/2] est à guche et extérieur à [ 1/2, 1/2] lors x + 1/2 < 1/2 x < 1 et h(x) =. 2) [x 1/2, x + 1/2] est à guche et une intersection non vide vec [ 1/2, 1/2] lors x 1/2 1/2 x + 1/2 1 x et h(x) = x+1/2 1/2 1 dy = x + 1/2 ( 1/2) = x + 1 3) [x 1/2, x + 1/2] est dns [ 1/2, 1/2] ici comme les deux intervlles ont l même longueur cel correspond seulement à x = et lors h(x) = 1/2 1/2 1 dy = 1/2 ( 1/2) = 1 4) [x 1/2, x + 1/2] est à droite et une intersection non vide vec [ 1/2, 1/2] lors x 1/2 1/2 x 1/2 < x 1 et h(x) = +1/2 x 1/2 1 dy = 1/2 (x 1/2) = 1 x 5) [x 1/2, x + 1/2] est à droite et extérieur à [ 1/2, 1/2] lors 1/2 < x 1/2 < 1 < x et h(x) =. Le grphe de l fonction h, produit de convolution de P 1 pr P 1 est :

33 Le produit de convolution 31 On peut clculer l dérivée de l fonction h en tout point x 1,, 1 et on : 1 pour x ] 1, [ h (x) = 1 pour x ], +1[ pour x ], 1[ ]1, + [ or l dérivée de l fonction P 1 est suf en x = ±1/2, on donc P 1 P 1 = et ce n est donc ps (P 1 P 1 ) ( en effet P 1 n est ps dérivble sur tout IR ). On verr que grâce à l utilistion de l notion de dérivtion u sens des distributions et à l utilistion de distributions de Dirc, on pourr vérifier que, u sens des distributions, (P 1 P 1 ) = P 1 P 1 et que dns ce cdre l formule (f g) = f g est vrie sns ucune restriction! 4.4 Utilité du produit de convolution Considérons l éqution différentielle suivnte : y (t) + y(t) = f(t) pour t > (4.5) y() = y (4.6) En multiplint l éqution pr e t, le premier membre devient (y (t) + y(t)) e t qui est l dérivée de y(t)e t. En clculnt l intégrle, entre et x, des 2 membres de l églité (4.5) on obtient : on obtient l solution : [ ] x y(t)e t x = f(t)e t dt x y(x) = y e x + e x f(t)e t dt Le premier terme est l solution générle de l éqution différentielle linéire sns second membre reltive à (4.5) (dite ussi éqution homogène). Le second terme est l solution prticulière qui s nnule en de (4.5). En fisnt psser l quntité e x, constnte pr rpport à t, dns l intégrle, on obtient : x e x f(t)e t dt = x f(t)e t x dt = x f(t)e (x t) dt

34 32 Anlyse Cette intégrle n est utre que le produit de convolution de 2 fonctions cusles : f(x)u(x) et e x u(x) où u(x) désigne l fonction échelon. On constte qu une solution prticulière de l éqution complète est obtenue en fisnt le produit de convolution du second membre vec l solution de l éqution homogène. En résumé l solution de (4.5) vec l donnée initile (4.6) est y(x) = y e x + (f h)(x) où h(x) = e x u(x) Lorsque (4.5) est l éqution lint l entrée f d un filtre linéire à l sortie y, on constte que pour y =, l sortie correspondnte y est le produit de convolution de l entrée f pr h qu on ppelle réponse impulsionnelle (on verr pourquoi lors de l étude des distributions). Le produit de convolution intervient nturellement pour résoudre les systèmes différentiels linéires à coefficients constnts. L quntité (f h)(x) représente un effet mémoire de f qui décroit u fur et à mesure que x ugmente (c. à d. plus le temps x psse plus l effet du pssé devient petit ). 4.5 Intercorréltion, utocorréltion En tritment du signl, l utocorréltion est souvent une fonction d un temps dont l vrible est notée τ. C est donc cette nottion que nous utilisons ici. Définition 4.2 L intercorréltion de deux fonctions f et g est définie pr : K f,g (τ) = = = K g,f ( τ) f(u + τ)g(u) du f(v)g(v τ) dv Définition 4.3 L utocorréltion de f est définie pr : K(τ) = f(u + τ)f(u) du (4.7) Proposition 4.6 L utocorréltion de f est toujours mjorée en module pr le crré de l norme de f dns L 2 (IR) (utrement dit l utocorréltion est mjorée pr l énergie du signl) et il y églité pour τ =. τ IR K(τ) f 2 L 2 et K() = f 2 L 2 (4.8)

35 Le produit de convolution 33 Démonstrtion. D près l inéglité de Schwrz, on f(u + τ)f(u) du f(. + τ) L L f(.) 2 2 or f(. + τ) 2 L 2 = f(u + τ) 2 du = f(y) 2 dy = f 2 L 2 cr l énergie d un signl est invrinte pr trnsltion (y = u + τ d où dy = du ) et f(.) 2 = f 2 L 2 L cr f(t) 2 = f(t) 2 donc on pour toute vleur de τ, K(τ) f 2 2 L 2 pr illeurs l églité lieu pour τ = Cs d un signl réel Proposition 4.7 Si f est un signl réel, l utocorréltion de f est une fonction pire. C est le produit de convolution de f pr f où f est l fonction retournée définie pr f(t) = f( t) : Démonstrtion. On : K(τ) = K( τ) et K = f f (4.9) K(τ) = f(u + τ)f(u) du = f(v)f(v τ) dv = (f f)(τ) (4.1)

36 34 Anlyse

37 Chpitre 5 L trnsformtion de Lplce L trnsformtion de Fourier est très utile cr elle remplce une dérivtion pr une simple multipliction pr 2iπν et un produit de convolution pr un produit de deux fonctions. Mlheureusement elle ne peut être utilisée que pour des fonctions sommbles ou de crré sommble ; cel exclut pr exemple les polynômes et les exponentielles croissntes. Pour pouvoir trviller de l même fçon vec ces fonctions là, on introduit l trnsformtion de Lplce. Les propriétés générles de l trnsformtion de Lplce sont similires ux propriétés de l trnsformtion de Fourier. L trnsformtion de Fourier s pplique ux fonctions définies sur IR mis à condition qu elles soient dns L 1 (IR) ou dns L 2 (IR). L trnsformtion de Lplce ne s pplique qu à des fonctions définies sur IR + et prolongées pr sur IR mis qui peuvent éventuellement tendre vers une constnte ou vers à l infini. 5.1 Définition de l trnsformtion de Lplce Définition 5.1 L trnsformée de Lplce d une fonction f est l fonction L(f) définie pr : L(f)(p) = où p est une vrible réelle ou complexe. f(t) exp( pt) dt (5.1) L trnsformée de Lplce d une fonction f n existe que si l intégrle ci-dessus est définie. Il suffit pour cel que f soit - continue pr morceux sur [, + [ - à croissnce u plus exponentielle à l infini, c est à dire que pour t ssez grnd, pr exemple t > A, il existe M > et α tels que : f(t) < M exp(αt) 35

38 36 Anlyse Sous ces hypothèses, l trnsformée de Lplce L(f)(p) est dé finie pour tout p > α, si p est réel, ou, si p est complexe, pour Re(p) > α. L plus petite vleur de α telle que L(f)(p) soit définie pour tout p vérifint Re(p) > α, est ppelée bscisse de convergence de l trnsformée de Lplce de f. Il est importnt de noter que l trnsformtion de Lplce ne dépend que des vleurs de l fonction sur IR +. Sur IR on suppose que f est identiquement nulle. Exemples 1. Soit u(t) l fonction échelon définie pr u(t) = 1 pour t et u(t) = pour t <. Alors [ ] + exp( pt) L(u(t))(p) = exp( pt) dt = p L exponentielle exp( pt) est un nombre complexe de module égl à exp( pt) = exp( Re(p)t). Si Re(p) > lors exp( Re(p)t), exp( pt) est donc sommble sur IR + et t + on : exp( pt) dt = 1 p = 1 p Si Re(p) <, exp( pt) n est ps sommble sur IR + et L(u(t))(p) n est ps définie. On donc : pour Re(p) > L(u(t))(p) = 1 p 2. Soit l exponentielle cusle définie pr u(t) exp(t). On : L(u(t) exp(t))(p) = = exp(t) exp( pt) dt [ exp(( p)t) p L intégrle ne converge que pour Re(p ) >. Donc ] + pour Re(p ) > L(u(t) exp(t))(p) = 1 p 3. Si = iω vec ω réel, Re(p iϖ) = Re(p) on déduit de ce qui précède : pour Re(p) > L(u(t) exp(iωt))(p) = 1 p iω (5.2) de même : pour Re(p) > L(u(t) exp( iωt))(p) = 1 p + iω (5.3)

39 L trnsformtion de Lplce 37 d où en utilisnt les formules d Euler : 5.2 Propriétés générles pour Re(p) > L(u(t) cos(ωt))(p) = pour Re(p) > L(u(t) sin(ωt))(p) = p p 2 + ω 2 (5.4) ω p 2 + ω 2 (5.5) Comme l trnsformtion de Fourier, l trnsformtion de Lplce est une ppliction linéire, c est à dire que pour tous λ et µ réels ou complexes : L(λf + µg) = λl(f) + µl(g) (5.6) On retrouve pour l trnsformtion de Lplce le même type de proprié tés que pour trnsformtion de Fourier. Dns ce qui suit, l constnte est supposée strictement positive. Théorème 5.1 du retrd : L(u(t )f(t ))(p) = e p L(f(t))(p) (5.7) Démonstrtion. L(u(t )f(t ))(p) = = f(t ) exp( pt) dt f(x) exp( p(x + )) dx = e p f(x) exp( px) dx et on l propriété réciproque : Théorème 5.2 de chngement d échelle : L(e t f(t))(p) = L(f)(p ) (5.8) L(f(t))(p) = 1 L(f(t))(p ) (5.9)

40 38 Anlyse en effet : L(f(t))(p) = = f(t) exp( pt) dt f(x) exp( p x ) dx = 1 L(f(t))(p ) Théorème 5.3 de l dérivée : si f est dérivble sur IR + tout entier et si f et f sont à croissnce u plus exponentielle à l infini, lors : en effet en fisnt une intégrtion pr prtie : L(f )(p) = L(f )(p) = pl(f)(p) f( + ) (5.1) f (t) exp( pt) dt = [f(t) exp( pt)] + pf(t) exp( pt) dt Comme f est à croissnce u plus exponentielle à l infini, pour t grnd il existe M > et α tels que : f(t) exp( pt) < M exp(αt) exp( Re(p)t) donc pour Re(p) > α, f(t) exp( pt) et donc en notnt f( + ) l limite à droite t + de f(t) qund t, on obtient le résultt nnoncé. Plus générlement, si f, f, f..., f (n) sont définies sur IR + tout entier et si elles sont à croissnce u plus exponentielle à l infini, on : L(f )(p) = p 2 L(f)(p) pf( + ) f ( + ) (5.11) L(f (n) )(p) = p n L(f)(p) p n 1 f( + ) p n 2 f ( + )... f (n 1) ( + ) (5.12) On l propriété réciproque : dl(f)(p) dp = L( tf(t))(p) (5.13) en effet il suffit de dériver sous le signe intégrl : ( d + ) f (t) exp( pt) dt = dp d où l formule générle : tf (t) exp( pt) dt d n L(f)(p) dp n = ( 1) n L(t n f(t))(p) (5.14)

41 L trnsformtion de Lplce 39 Corollire 5.1 L trnsformée de Lplce de l fonction polynomile u(t)t n est : L(u(t)t n )(p) = n! p n+1 (5.15) En effet d près (5.14) et connissnt l trnsformée de l échelon (5.2) on : et L(u(t)t n )(p) = ( 1) n dn L(u)(p) dp n ( ) d n 1 = ( 1)( 2)...( n) dp n p 1 p n+1 Théorème 5.4 Trnsformée de Lplce et convolution L(f g) = L(f)L(g) (5.16) Théorème 5.5 de l vleur initile lim pl(f)(p) = p + f(+ ) (5.17) Théorème 5.6 de l vleur finle lim p +pl(f)(p) = lim f(t) (5.18) t + Remrque : Contrirement à ce qui ce psse pour l trnsformtion de Fourier, il n existe ps pour l trnsformtion de Lplce, une trnsformtion inverse simple. Cependnt, on doit remrquer que si deux fonctions ont même trnsformée de Lplce, elles sont égles presque prtout sur IR +. Si, de plus, ces fonctions sont continues sur IR +, elles sont égles prtout. Conséquence prtique : Si une trnsformée de Lplce est une frction rtionnelle, pour trouver son ntécédnt, il suffit donc de décomposer cette frction rtionnelle en éléments simples, de lire à l envers un tbleu des trnsformées de Lplce usuelles et d utiliser l linérité. 5.3 Utilistion de l trnsformtion de Lplce L trnsformtion de Lplce est prfitement dptée pour résoudre les équtions différentielles linéires et les systèmes différentiels linéires. L formule (5.12) permet de prendre en compte directement les données initiles, ce qui évite de devoir déterminer les n constntes rbitrires de l solution générle d une éqution différentielle d ordre n à l ide des conditions initiles.

42 4 Anlyse Exemple 5.1 Résoudre l éqution différentielle linéire, c est à dire trouver les fonctions deux fois dérivbles sur IR + qui vérifient pour tout t > : ty + 2y + ty = vec y() = 1 On peut s étonner qu il n y it qu une condition initile lors que l éqution différentielle est d ordre 2, mis en fit l éqution différentielle impose que, pour t =, y () =. En notnt Y (p) = L(y(t))(p), on obtient en utilisnt (5.12) et (5.13) : d où (p 2 + 1)Y (p) 1 = et d ( p 2 Y (p) p ) + 2(pY (p) 1) d (Y (p)) = dp dp D près les formules (5.13) et (5.5) on d dp Y (p) = p 2. (5.19) L(ty(t)) = L(sin t) Cel entine l églité presque prtout des fonctions ty(t) et sin t ; mis comme ces fonctions sont continues sur IR + elle sont donc égles prtout : y(t) = sin t t pour t > Qunt à l trnsformée de Lplce de y, on d près (5.13) et en intégrnt (5.19) : Y (p) = rctn p + Cste or rctn p + rctn 1 = π et donc on peut ussi écrire : Y (p) = rctn 1 + K vec p 2 p K = Cste π. En utilisnt (5.17) on sit que 2 or p(rctn 1 p ) lim pl(f)(p) = p + f(+ ) = 1 1 (cr rctn u u pour u voisin de ), on obtient : p + lim pl(f)(p) = lim p(rctn 1 + K) = + lim p + p + p pk = p + f(+ ) = 1 ce qui impose K =. Donc : Y (p) = rctn 1 p (= rctn p + π 2 )

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