Deuxième problème : Électrocinétique

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1 MP Physique-chimie. Devoir surveillé DS n - : corrigé Deuxième problème : Élecrocinéique A - égime sinusoïdal permanen xpression de l ampliude complexe de la ension u ( ) : // Z Nous obenons u par division de ension : u = = + Z // + Z + ω ω ela correspond à la formule proposée, en posan x = ω : u = + x x - Donner l expression liérale en foncion de e, de A( ω ) e ϕ( ω ). u A( ω ) = = - Pour une valeur 9 + ω ω ω ϕ ω = = arcan ω e ( ) arg ( u) ω de la pulsaion, le faceur d amplificaion ( ) A( ω ) es maximal quand le dénominaeur es minimal, soi pour c es-à-dire : ω =. Pour les valeurs = kω e =, µf, nous avons ϕ( ω ) = A ω passe par un maximum ω el que ω =, ω ω = = rad s Déerminer les valeurs numériques des pulsaions ω e ω pour lesquelles déphasages ϕ = ϕ( ω ) e ( ) A( ω ) ϕ = ϕ ω. ( ω ), ( ) A ω = e A A = e calculer les A = = pour x = ± soi x x =. x doi êre la racine posiive de l une de ces x + x + x = x = soi ω = rad s deux équaions du second degré : + + x x = x = soi ω = rad s π ϕ ( ω ) = arcan ( ) = + 4 Nous avons alors : π ϕ ( ω ) = arcan ( + ) = 4 Jean Le Hir, 8 ocobre 7 Page sur 5

2 LYÉ D KIHN MP-Physique-chimie Devoir surveillé n eprésener graphiquemen l allure des foncions A( ω ) e ϕ( ω ). A( ω) ω ( rad s ) π + ϕ( ω) ω ( rad s ) B - Éablissemen d un régime coninu 6 - À parir de considéraions physiques, préciser les valeurs de la ension u ( ) lorsque = e lorsque. Pour π =, le condensaeur es nécessairemen déchargé e l on a ( ) u = Lorsque, les deux condensaeurs seron déchargés, si bien que u ( ) = 7 - Éablir l équaion différenielle du second ordre don la ension u ( ) es soluion. du Avec les noaions du schéma ci-dessous, nous avons i = +, d v = u + = u + i. dv d =, u ( i) = + e enfin v( ) i i u ( ) JLH 8//7 Page sur 5

3 LYÉ D KIHN MP-Physique-chimie Devoir surveillé n - Nous en déduisons : dv du d ( u + i) du d u du u = + ( i) = + = + = + d d d d d d d u du Soi, en ordonnan : + + u = d d 8 - Démonrer que, dans le cas le plus général, quelles que soien les valeurs de e, la foncion u ( ) es une combinaison linéaire de deux exponenielles décroissanes. L équaion caracérisique s écri : r + r + = Il s agi d une équaion du second degré ayan pour déerminan : = 9 4 = 5 e déerminan es ouours posiif, les racines son donc réelles. De plus, leur produi es égal à e leur somme a pour valeur, ouours négaive. Nous en déduisons que les deux racines u es une combinaison linéaire de deux son réelles e négaives, c es-à-dire que la foncion ( ) exponenielles décroissanes. 9 - Déerminer l expression liérale de u ( ) en foncion de U e de la consane de emps =. Les racines de l équaion caracérisique avec = e = r + r + = son ± 5. Nous les noerons e u ( ) es donc de la forme u ( ) = K e + K e. La condiion iniiale u ( ) K K la relaion K = K = K. du D aure par v = u + = K e e d = + = implique La condiion iniiale v( ) = U implique v( ) = K + = K 5 = U e finalemen : U u ( ) = e e Pour les valeurs = kω e =, µf, calculer le emps au bou duquel ( ) maximum e calculer ce maximum. La dérivée de u a pour expression : ee dérivée s annule au emps max el que : + 5 Soi : max = ln =,86 s 5 5 du U = e + d max 5 5 e = + 5 e u u ( ) max = max =, 75 V e u passe par un. JLH 8//7 Page sur 5

4 LYÉ D KIHN MP-Physique-chimie Devoir surveillé n - Pour ces mêmes valeurs de e, représener le graphe de la foncion u ( ). u ( ) ( vols) ( s) - Éablissemen d un régime sinusoïdal Touours à l aide des élémens e, on réalise le monage de la figure ci-dessous. On ferme l inerrupeur à l insan =, les deux condensaeurs éan déchargés. cos ω u ( ) - Préciser les valeurs de la ension u ( ) lorsque = e de la foncion du emps u ( ) La ension aux bornes du condensaeur éan coninue, nous avons u ( ) =. Au bou d un emps suffisammen long, le régime sinusoïdal permanen es insallé, conformémen à lorsque. la parie A du problème : ω u ( ) A( ) cos( ( )) cos arcan = ω ω + ϕ ω = ω ω 9 + ω ω - Éablir l équaion différenielle du second ordre don la ension u ( ) es soluion. Le premier membre es le même e le second membre s écri ( ω ) d d d u du sin + + u = ω ω d d u ( ) u ( ) 4 - Le graphe suivan représene les rappors e pour les valeurs = kω, =, µf e ω = = rad s. Idenifier chacune des deux courbes e commener sur ce graphe ou ce qui l êre. cos JLH 8//7 Page 4 sur 5

5 LYÉ D KIHN MP-Physique-chimie Devoir surveillé n - u ( ) ( ) u ( s) Les courbes ci-dessus on éé racées à l aide du logiciel MAPL. On remarque que la foncion u ( ) es coninue en =. Nous consaons que le régime permanen sinusoïdal es quasimen éabli après une ou deux périodes. ela se comprend aisémen : la plus grande des consanes de emps du régime ransioire exponeniel es =,6 ms. Après un emps égal à rois ou quare fois cee consane de emps 5 (ypiquemen ms), l écar enre la valeur réelle de u ( ) e la valeur asympoique u ( ) n aein même plus l épaisseur du rai JLH 8//7 Page 5 sur 5