Entrainement DS 1. { u 10 = 240. lim

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1 Enrainemen DS 1 Exercice 1 1) Dériver les foncions définies par : x R, f(x) = 3 x x 9 5 x 10 x R, h(x) = (8x 2 5)(2x + 3) x R, j(x) = 5x 4 8x 3 + 2x 2 7 2) Donner le ablea de variaion des foncionsfe j. x R { 5 }, g(x) = x x+5 x R, k(x) = 2x 3 x 2 +5 Exercice2 Soi (b n ) la sie définie por o n N par b n = 2 3n 1 1) Déerminer b 0, b 1 e b 2 pis conjecrer la nare de la sie. 2) Prover propremen vore conjecre (vos préciserez les paramères de la sie) Exercice 3 Déerminer les sommes sivanes a) { 0 = 240 S= n+1 = 0, S = n b) { 8 = 1 27 n+1 = 3 n S= S = Exercice4 Compléez le ablea sivan : En français Définiion par récrrence Définiion en foncion de n (w n ) es ne sie géomériqe de raison 4 e de premier erme w 0 = 2 3 n = 13 0,85 n 4 { 10 = 240 n+1 = 5 n a n = 2 3 2n+1 Exercice5 Déerminer les ies sivanes : 5( 0,4)n 5(+7)n ( 4)n 5 0,90n Exercice6 Le ax de croissance de la poplaion française es de 0,5% depis 2010, e on pense q il va reser sable jsq en janvier A premier janvier 2010 la France éai peplée de habians Soi la sie ( n ) qi à o n 10 associe l effecif de la poplaion française a premier janvier de l année 2000+n. 1) Donner ne définiion par récrrence de la sie ( n ) 2) A qel ype de sie à--on à faire? Donner ses caracérisiqes. 3) Donner ne valer approchée à l nié près de 11, 12, 13 4) Donner ne expression de n en foncion de n 5) A l aide de la sie prévoir la poplaion a premier janvier ) Allez sr le sie de l INSEE e récpérez la vrai valer, pis donner le porcenage d écar enre la valer réelle (celle de l INSEE, qi même provisoire sera considérée comme jse) e la valer héoriqe. 7) Faire la somme des poplaions d premier janvier 2011 a premier janvier ) En dédire la poplaion moyenne française sr cee période

2 Correcion de l enrainemen a DS1 Exercice 1 1) Dériver les foncions définies par : x R, f(x) = x 8 x 9 x 10 f (x) = x 9 x10 = x 11 x 9 x10 + x R { 5 2 }, g(x) = x2 3 2x + 5 je reconnais ( v v ) avec (x) = x 2 3, v(x) = 2x + 5, (x) = 2x e v (x) = 2 v v 2 ainsig (x) = 2x(2x+5) (x2 3)2 = 4x2 +10x 2x 2 +6 = 2x2 +10x+6 (2x+5) 2 (2x+5) 2 (2x+5) 2 x R, h(x) = (8x 2 5)(2x + 3) je reconnais v v + v avec (x) = 8x 2 5, v(x) = 2x + 3, (x) = 16x e v (x) = 2 ainsih (x) = 16x(2x + 3) + (8x 2 5)2 = 32x x + 16x 2 10 = 48x x 10 x R, k(x) = 2x 3 x je reconnais ( v v ) avec (x) = 2x 3, v(x) = x 2 + 5, (x) = 2 e v (x) = 2x v v 2 ainsig (x) = 2(x2 +5) (2x 3)2x = 2x x 2 +6x = 2x2 +6x+10 x R, j(x) = 5x 4 8x 3 + 2x 2 7 j (x) = 5 4x 3 8 3x x = 20x 3 24x 2 + 4x = 4x(5x 2 6x + 1) 2) Donner le ablea de variaion des foncionsf e j. f (x) = 24x2 63x+50 x 11 cherchons le signe d nméraer 24x 2 63x + 50 = ( 63) 2 4( 24)50 = = 8769 donc le nméraer a dex racines x 1 = ( 24) = ,64 e x 2 = = 24x2 63x+50 x 11 x 11 3,26 ici x 2 < 0 < x 1 j (x) = 4x(5x 2 6x + 1)cherchons le signe de 5x 2 6x + 1 = ( 6) = = 16 donc ce polynôme a dex racines x 1 = = = 1 5 e x 2 = = = 1 ici 0 < x 1 < x 2 Exercice2 Soi (b n ) la sie définie por o n N par b n = 2 3n 1 1) b 0 = = 1 2, b 1 = = 4e b 2 = = 32, b 1 b 0 = 8e b 2 b 1 = 8. La sie semble êre géomériqe de raison 8 e de premier erme b 0 = ) b n+1 b n = 23(n+1) 1 2 3n 1 = 23n n 1 = 2 3n+3 1 (3n 1) = 2 3 = 8 ainsi b n+1 = 8b n la sie es donc bien géomériqe de raison 8 e de premier erme b 0 = 1 2 Exercice 3 Déerminer les sommes sivanes a) { 0 = 240 S= n+1 = 0, = n+1 0 n S n p+1 = = p = ( 0,5)21 1 ( 0,5) = 240( 0,5) 5 1 ( 0,5) ( 0,5) = ( 0,5)21 1,5 160 = 7,5 1 ( 0,5)8 1,5 5,02

3 b) { 8 = 1 27 n+1 = 3 n S= = n p+1 p = = = , S = = = = = ,33 6 Exercice4 Compléez le ablea sivan : En français Définiion par récrrence Définiion en foncion de n (w n ) es ne sie géomériqe de raison 4 e de premier erme w 0 = 2 3 ( n ) es ne sie géomériqe de raison 0,85 e de premier erme 4 = 13 o de premier erme 0 = 13/0,85 4 ( n ) es ne sie géomériqe de raison -5 e de premier erme 10 = 240 (a n ) es ne sie géomériqe de raison 9 e de premier erme a 0 = 6 w { 0 = 2 2 w 3 n = 3 4n w n+1 = 4w n { 4 = 13 n = 13 0,85 n 4 n+1 = 0,85 n { 10 = 240 n+1 = 5 n a { 0 = 6 a n+1 = 9a n n = 240( 5) n 10 a n = 2 3 2n+1 = 6 (3 2 ) n Exercice5 5( 0,4)n Soi ( n ) la sie définie por o n de N par n = 5( 0,4) n la sie es géomériqe de raison - 0,4 comprise sricemen enre -1 e 1 e de premier erme 0 = 5 posiif donc 5( 0,4)n = n = 0 5(+7)n Soi (v n ) la sie définie por o n de N par v n = 5 7 n la sie es géomériqe de raison 7 sricemen pls grande qe 1 e de premier erme 0 = 5 posiif donc 5(+7)n = v n = v n = + ainsi : ( 4)n On es confroné à ne sie géomériqe de raison -4 sricemen pls peie qe -1 donc il n y a pas de ie. 5 0,90n Soi (w n ) la sie définie por o n de N par w n = 1 (0,9) n la sie es géomériqe de raison 0,9 comprise sricemen enre -1 e 1 e de premier erme w 0 = 1 posiif donc 0,90n = w n = 0 e donc 5 x + 0,90n = 5 par différence. Exercice6. { 10 = n+1 = n (1 + 0,5 100 ) 2) C es ne sie géomériqe de raison q = (1 + 0,5 100 ) = 1,005 e de premier erme 10 = ) , , ) D après la qesion 2) on a n = 10 q n 10 = ,005 n 10 5) a premier janvier 2016 la poplaion sera , ) sr le sie de l INSEE la vrai valer es de , évalons l écar relaif enre les dex valers : e = ) S 11,30 = = , ,077 l écar enre la valer héoriqe e la valer réelle es de 0,0077% 1 1,005 8) la poplaion moyenne française sr cee période sera = 10 1, , ,005(1 1,00520 ) 1 1,005 0,005 S 11,30 = S 11,

4 Méhodes savoir déerminer n erme précis d ne sie (par exemple 5 ) si la sie es définie en foncion de n, rover 5 correspond à remplacer n par 5 dans la formle de définiion si la sie es définie par récrrence, il fadra calcler sccessivemen os les ermes jsq à 5 o on pe iliser la calclarice renrer le premier erme appyer sr Exe pis renrer la formle en remplaçan os les n par des Rep (o des Ans si vore calclarice es en anglais) savoir créer e comprendre l algorihme e le programme por les dex siaions ype por déerminer le erme d ne sie, par exemple : { 10 = 64 n+1 = 0.5 n 3 : Algorihme en français TI Casio demander N le rang d erme cherché Promp N «N=»? N Renrer dans la mémoire 64 U 64 U la valer d premier erme faire ne bocle por i allan de l indice d second erme (généralemen 1 mais qi ici va 10) jsq à N for(i,10,n) for 10 I o N Calcler le novea U 0,5U 3 U 0,5U 3 U Fermer la bocle End Nex Afficher la valer d bon erme U Disp U U Por savoir qand es ce q ne sie dépasse n seil, par exemple qand es ce qe ( n )définie par { 10 = 64 passe sos -1? n+1 = 0.5 n 3 Algorihme en français TI Casio Renrer dans la mémoire 64 U 64 U la valer d premier erme faire ne bocle qi ornera an qe l objecif n es pas aein While U -1 While U -1 Calcler le novea U 0,5U 3 U 0,5U 3 U Agmener le rang de 1 N + 1 N N + 1 N Fermer la bocle End WhileEnd Afficher le rang Disp N N Edier les variaions d ne sie (1ES) On édie les signe de n+1 n s il es posiif la sie es croissane, s il es négaif la sie es décroissane Cas de la sie géomériqe de posiif : q > 1 la sie es croissane Bons sa ie ends vers + q = 1 consane sa ie es 0 0 < q < 1 la sie es décroissane sa ie es 0 (si le premier erme es négaif alors l ordre es inversé) Savoir prover q ne sie es géomériqe Prover qe n+1 n es consan (la consane es la raison) Trover q el qe n+1 = q n Si la définiion de n es de la forme n = a b n le premier erme es 0 = a e la raison es b. Si elle es de la forme a b n p alors elle es de raison b e de premier erme p = a. Si (v n ) es ne sie axiliaire dans le cadre d n ravail sr ne sie arihméico-géomériqe : on par de v n+1 on exprime ça en foncion de n+1 pis à l aide de la formle de définiion de ( n ) par récrrence on exprime ça en foncion de n e là avec la formle lian n e v n on rove qv n Savoir prover q ne sie es arihméiqe (1ES) Prover qe n+1 n es consan (la consane es la raison) Trover r el qe n+1 = n + r Si la définiion de n es de la forme n = a + b n le premier erme es 0 = a e la raison es b. savoir calcler la somme des ermes

5 p + p n = p n p+1 de ermes nombres = premier erme ies de sies Cas de la sie géomériqe de posiif : q > 1 n = + q = 1 1 < q < 1 n = 0 n = 0 sinon pas de ie. Consrcion graphiqe des ermes d ne sie p = Si on a ne sie définie par récrrence par { on race dans n repère (D)la droie d éqaion y = x e n+1 = f( n ) C f la corbe représenaive de f pis en paran de p sr l axe des abscisse on alerne : Porcenages Trai verical vers C f Trai horizonal vers (D) Por la lecre des ermes on prolonge les rais vericax en poinillé jsq à l axe des abscisses e on li sr ce axe les valers des ermes sccessifs. Agmener ne qanié de % c es la mliplier par (1 + Diminer ne qanié de % c es la mliplier par (1 Prendre % d ne qanié c es la mliplier par Déerminer n porcenage : Tablea de variaion (par l exemple) 100 Valer édiée valer de référence valer de référence ) 100 ) Edier les variaions de f la foncion définie sr R par f(x) = x 8 x 9 x 10 1) Premièremen on dérive la foncion e on la facorise a maximm f (x) = x 9 x10 = x 11 x 9 x10 + = 24x2 63x+50 x 11 x 11 2) Pis on cherche les valers d annlaion de chaqe facer de la dérivée Racines de : 24x 2 63x + 50 = ( 63) 2 4( 24)50 = = 8769 > 0donc le nméraer a dex racines : x 1 = ( 24) = ,64 e x 2 = ,26 3) On crée n ablea : a. première ligne : les x allan de - à + e passan par oes les valers d annlaions repérées. b. Une ligne par facer c. Une ligne por f remplie avec la règle des signes, on descend les 0 o on me des dobles barres si la valer d annlaion annle le dénominaer d. Une ligne por la foncion, ça mone qand la dérivée es posiive sinon ça descend. Aenion la si la dérivée a des dobles barres alors on les ires jsq en bas.