Normalisation holomorphe d algèbres de type Cartan de champs de vecteurs holomorphes singuliers

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1 Annals of Mathematcs, 6 25, Normalsaton holomorphe d algèbres de type Cartan de champs de vecteurs holomorphes sngulers By Laurent Stolovtch Abstract Nous montrons un résultat de normalsaton holomorphe d une famlle commutatve de champs de vecteurs holomorphes au vosnage de leur pont snguler commun. Pour ce fare, nous supposons qu une condton dophantenne portant sur une algèbre de Le commutatve de champs lnéares assocée est satsfate. D autre part, nous mposons certanes condtons algébrques sur leur forme normale formelle. Les champs d une telle famlle, sauf un, peuvent ne pas avor de parte lnéare à l orgne. Abstract We consder a commutatve famly of holomorphc vector felds n a neghbourhood of a common sngular pont, say C n. Let g be a commutatve complex Le algebra of dmenson l. Let λ,...,λ n g and let us set Sg = n = λ gx x. We assume that ths Le morphsm s dophantne n some sense. Let X be a holomorphc vector felds n a neghbourhood of C n. We assume that ts lnear part s s regular relatve to S, that t belongs to Sg and has the same formal centralzer as S. Let X 2,...,X l be holomorphc vector felds vanshng at and commutng wth X. Then there exsts a formal dffeomorphsm of C n, such that the famly of vector felds are n normal form n these formal coordnates. Ths means that each element of the famly commutes wth s. We assume that the normal forms of the X s belong to ÔS n Sg ÔS n s the rng of formal frst ntegral of S. We also assume that the famly of lowest order parts of the normal forms s free over Ôn. S Then, we show that there exsts a holomorphc dffeomorphsm of C n, whch transforms the famly nto a normal form. The elements of the famly, but one, may not have a nonzero lnear part.

2 59 LAURENT STOLOVITCH. Introducton Dans cet artcle, nous nous ntéressons au comportement local des trajectores de champs de vecteurs holomorphes au vosnage d un pont snguler ou statonnare commun et plus précsément, nous nous ntéressons au problème de la mse sous forme normale d une famlle commutatve de tels champs par un germe de dfféomorphsme holomorphe au pont snguler. Cette étude fat sute à notre artcle [Stob] auquel nous renvoyons pour une ntroducton et une bblographe plus détallées sur le sujet. Afn d étuder la dynamque d un germe de champ de vecteurs X au vosnage d un pont snguler solé supposé être C n, X =, l dée de Poncaré est de transformer X en un champ de vecteurs plus smple par un dfféomorphsme local φ de C n, fxant l orgne et tangent à l dentté en ce pont. On espère alors pouvor comprendre la dynamque sur le modèle plus smple et en dédure des nformatons sur la dynamque orgnale va la transformaton. L acton de φ sur X est le champ de vecteurs X défn par X φx = DφxXx. On supposera que la parte lnéare de X est un champ de vecteurs dagonal, c est-à-dre s := DXx = n = λ x x où les λ sont des nombres complexes non tous nuls. On montre alors [Arn8], [Cha86] qu l exste un dfféomorphsme formel ˆΦ tel que ˆΦ X = n λ x + x = n a,q x Q, x Q,λ=λ = où la somme porte sur les mult-ndces Q N n, Q 2 et l ndce qu satsfont à une relaton de résonance Q, λ := n j= q jλ j = λ et où les a,q sont des nombres complexes. Comme d habtude, s Q =q,...,q n N n, alors x Q = x q...xqn n et Q := q + + q n. Le champ de vecteurs formel ˆΦ X est appelé forme normale formelle de Poncaré-Dulac. Son developpement formel est caractérsé par le fat qu l commute avec sa parte lnéare s: [s, ˆΦ X]=où[.,.] désgne le crochet de Le des champs de vecteurs. Un tel dfféomorphsme ˆΦ sera appelé dfféomorphsme normalsant. Cette forme normale n est en général pas unque. On passe d une forme normale à une autre par un changement de varables de la forme x = y + Uy où U est un champ de vecteurs formels commutant avec s. Ben que X sot holomorphe au vosnage de l orgne, l se peut qu aucun dfféomorphsme normalsant ne sot holomorphe au vosnage du pont snguler. Ce problème est lé d une part à l absence d ntégrale premère formelle et d autre part à l accumulaton trop rapde vers des nombres Q, λ λ non nuls lorsque Q tend vers l nfn. Ces nombres apparassent au dénomnateur lors du calcul des coeffcents du développement de Taylor d un dfféomorphsme normalsant. C est ce que l on appelle le phénomène de petts dvseurs. Une

3 NORMALISATION HOLOMORPHE D ALGÈBRES DE TYPE CARTAN 59 condton dophantenne est une condton controlant la vtesse d accumulaton des petts dvseurs vers. Dans son mposant mémore [Brn72], A.D. Bruno a donné une condton suffsante assurant l holomorphe d une transformaton normalsante; un de ces résultats est le suvant: Supposons que s, la parte lnéare de X, vérfe la condton dophantenne ω de Bruno. Supposons en outre que X admette une forme normale formelle de la forme â.s, où â C[[x,...,x n ]]. Alors, X admet un dfféomorphsme normalsant holomorphe au vosnage de l orgne dans C n. D autre part, J. Vey démontra le résultat suvant [Vey78]: Soent X,...,X n, n champs de vecteurs holomorphes au vosnage du pont snguler commun C 2n. On suppose qu ls commutent entre eux.e. [X,X j ] =, qu ls sont hamltonens et que la famlle de leur parte lnéare sem-smple à l orgne sot lbre. Alors, ces champs de vecteurs sont smultanément et holomorphquement normalsables. Dans un précédent traval [Stob], nous avons montré que ces résultats ne sont que des faces dfférentes d un même résultat dont nous allons rappeler un des aspects. Commencons par fare quelques rappels et fxer quelques notatons. Nous noterons : P m n resp. Pn m,m l espace des champs de vecteurs de C n homogènes de degré m resp. polynomaux d ordre m et de degré m ; X k n resp. X k n l espace des germes en C n de champs de vecteurs holomorphes resp. formels d ordre k en ; O n resp. Ô n l anneau des germes en C n de fonctons holomorphes resp. formelles; s X X n et k N, J k X désgne le polynôme de Taylor en de degré k. Soent n 2 un enter et g une algèbre de Le commutatve de dmenson fne l sur C. Soent λ,...,λ n des formes lnéares complexes sur g. Elles défnssent le morphsme de Le S : g P n par Sg = n = λ gx x.onle supposera njectf. Pour tout Q N n et n, ondéfnt le pods α Q, S de S comme étant la forme lnéare n j= q jλ j g λ g. Sot. une norme sur g,lec-espace vectorel des formes lnéares sur g. On défnt la sute de réels postfs ω k S = nf{ α Q,, n, 2 Q 2 k },

4 592 LAURENT STOLOVITCH et on dt que S est dophanten s la condton suvante est satsfate: ωs k ln ω k S 2 k < +. S Sot X n resp. Ôn S le centralsateur formel de S resp. l anneau des ntégrales premères formelles, c est-à-dre l ensemble des champs de vecteurs formels X resp. séres formelles f tels que [Sg,X] = resp. telles que la dérvée de Le de f, L Sg f =, sot nulle pour tout g g. Une déformaton non lnéare S + ε de S est un morphsme de Le de g dans Xn tel que ε Hom C g, Xn. 2 Sot ˆΦ un dfféomorphsme formel de C n, que l on suppose être tangent à l dentté en. Ondéfnt ˆΦ S + εg := ˆΦ Sg +εg le conjugué des + ε par ˆΦ. Dans notre précédent traval nous avons défn la noton de forme normale formelle de S + ε relatvement à S [Stob, 4.2, p. 52]; elle est unque modulo un groupe de transformatons formelles. Un des résultats prncpaux que nous avons obtenu est le suvant: Théorème. [Stob], [Sto98]. Sous les hypothèses précédentes, supposons que S sot dophanten. Sot S + ε une déformaton non-lnéare holomorphe de S. On suppose qu elle admet un élément de Hom C g, ÔS n C Sg comme forme normale formelle. Alors elle admet un dfféomorphsme normalsant holomorphe au vosnage de C n. Ce résultat admet le résultat de J. Vey et celu de A.D. Bruno comme corollares. Lorsqu l n y a qu un seul champ de vecteur, la condton ωs n est autre que la condton ω de Bruno. Elle est automatquement satsfate dans le cadre du théorème de Vey. Pour une verson C du théorème de Vey, nous renvoyons le lecteur à [El9]. La condton dophantenne ωs est en général ben plus fable que celle de Bruno. Exemple.. Pour l =2,n =4,Sg =x x y y, =, 2. Le morphsme S est dophanten l evaluaton des pods sur la base {g,g 2 } sont des nombres enters. Soent ζ <, =, 2, deux nombres rratonnels louvllens dstncts et posons R = Sg +ζ Sg 2, =, 2. Ces champs lnéares admettent,,ζ, ζ comme valeurs propres respectvement. On peut donc chosr les ζ de sorte qu aucun des R ne vérfe la condton dophantenne de Bruno. Néanmons, le morphsme défn par {R,R 2 } n est autre que S qu, lu, est dophanten. Depus que nous avons écrt cet artcle, un très jol artcle de Nguyen Ten Zung [Zun] est apparu. Il concerne la normalsaton d algèbres commutatves de champs de vecteurs pour lequel l n y a pas de problème de petts dvseurs et englobe les travaux [Ito92], [KKN98]

5 NORMALISATION HOLOMORPHE D ALGÈBRES DE TYPE CARTAN 593 L objectf prncpal de cet artcle est de montrer qu l n est pas nécessare que les champs de vecteurs d une famlle commutatve aent tous une parte lnéare non-nulle pour pouvor normalser holomorphquement cette famlle... Résultat prncpal. Defnton.. Nous drons que s Sg est réguler relatvement à S lorsque X n S = X n s. Nous drons, en outre, qu une déformaton non-lnéare X d un tel s est régulère par rapport à S s elle admet une forme normale formelle dans ÔS n C Sg. Remarque.. S X admet une forme normale formelle dans ÔS n C Sg alors toutes les autres y sont auss. Sot X un champ de vecteurs holomorphe au vosnage de C n,de parte lnéare s et réguler relatvement à S. Comme nous le verrons plus lon, s X 2,...,X l sont des champs de vecteurs commutant avec X, alors l exste un système de coordonnées formelles unque modulo un groupe de transformatons formelles dans lequel les X commutent avec s. Nous drons alors que la famlle {X,...,X l } est normalsée relatvement à s. Nous nous proposons de démontrer le résultat suvant: Théorème.2. Sot S un morphsme de Le dagonal, njectf et dophanten. Sot X un champ de vecteurs holomorphe au vosnage de son pont snguler C n et réguler par rapport à S. Soent X 2,...X l des champs de vecteurs holomorphes au vosnage de et commutants avec X.On suppose que la famlle {X,...,X l } admet une forme normale relatvement à s, consttuée d éléments du ÔS n-module engendré parsg. On suppose, en outre, que la famlle des partes de plus bas degré de cette forme normale est lbre sur Ô S n. Alors la famlle admet un dfféomorphsme normalsant holomorphe au vosnage de C n. Nous appelerons algèbre de type Cartan une telle collecton de champs de vecteurs, dénomnaton que nous explquerons par la sute. Nous montrerons qu un des travaux de H. Ito, concernant les champs hamltonens, est un cas partculer de notre résultat. Remarque.2. Contrarement à la stuaton du théorème., seul X dot avor une parte lnéare non-nulle dans la famlle de champs de vecteurs commutants {X,...,X l }. Remarque.3. Un champ de vecteur lnéare réguler peut être louvllen.e. ne pas vérfer la condton de Bruno alors que l algèbre Sg est

6 594 LAURENT STOLOVITCH dophantenne. Reprenons l exemple précédent; les champs lnéares R, =, 2, sont régulers par rapport à S. En effet, chacun des champs x Q y P / x, x Q y P / y est un vecteur propre des [S j,.] de valeur propre entère. Donc, [R,x Q y P / x ]=n + ζ n 2 x Q y P / x pour certans enters n,n 2.Orζ est rratonel, donc n + ζ n 2 = mplque n = n 2 =. Les résultats sur les autres coordonnées sont smlares. Les R ne sont pourtant pas dophantens. Ans, le caractère dophanten du problème ne se lt pas drectement sur la parte lnéare d un élément réguler non-lnéare. La preuve du résultat prncpal est basée sur une méthode de Newton : on normalse X jusqu à un ordre m, pus on le normalse jusqu à l ordre 2m et ans de sute. La dffculté prncpale résde dans l estmaton de la soluton des équatons cohomologques, c est-à-dre de l équaton lnéarsée de l équaton de conjugason. Une fos obtenue la bonne majoraton, la procédure condusant à la convergence est désormas classque et nous renverrons le lecteur à l artcle [Stob] pour le détal des preuves..2. Remarques sur la dénomnaton. La dénomnaton que nous avons adoptée repose essentellement sur une analoge. Sot g une algèbre de Le complexe de dmenson fne. Un élément g g est réguler s la dmenson du sousespace caractérstque assocé à la valeur propre de ad g est mnmale dans g. Une sous-algèbre de Cartan de g est l ensemble {g g n N,ad n g g =} où g est un élément réguler de g. En partculer, s ad g est sem-smple, l algèbre de Cartan assocée n est autre que le centralsateur de g. D autre part, un théorème mportant [Ser87] stpule que les sous-algèbres de Cartan sont conjuguées entre elles. Dans notre stuaton, g est dt réguler relatvement à S s Sg alemême centralsateur formel que S; a pror le commuteur d un élément quelconque de Sg qu est sem-smple le content. Sot X un élément réguler nonlnéare relatvement à S. Sa forme normale ˆX appartent au ÔS n-module engendré par Sg. Elle peut-être vue comme un élément sem-smple sur Ôn. S Sot {X,...,X l } une algèbre de type Cartan relatvement à S. Alors, leurs formes normales formelles commutent à ˆX. Comme corollare de notre résultat, nous pouvons dre que s deux algèbres de type Cartan assocées à un morphsme dophanten S sont formellement conjuguées alors elles le sont holomorphquement. Dans le cadre des dfféomorphsmes C et en l absence de petts dvseurs, F. Bruhat donne une telle analoge [Brh95] en se basant sur les travaux de S. Sternberg [Ste58], [Ste59]. Il est très peu problable que l on pusse défnr, pour les champs de vecteurs sngulers, une noton d algèbres de Cartan ne portant que sur des défnton

7 NORMALISATION HOLOMORPHE D ALGÈBRES DE TYPE CARTAN 595 algébrques auss smplement que pour celle d algèbre de Le standard; en effet, l faut tenr compte, entre autres, des problèmes de petts dvseurs. Ce résultat a été anoncé dans [Stoa]. Je remerce B. Malgrange et J.-P. Rams pour leurs encouragements ans que le rapporteur qu m a perms d amélorer mon texte. 2. Notatons Sot R =r,...,r n R + n; le polydsque ouvert centré en C n et de polyrayon R sera noté D R = {z C n z <r }.Sr> alors D r désgnera le polydsque D r,...,r. La frontère dstnguée de D R sera notée C R ; c est le tore C R = {z C n n, z = R }. Soent R =r,...,r n R + n, R =r,...,r n R + n;onécrra R R lorsque n, r r. S Q =q,...,q n Z n, on notera Q = q + + q n ; cette applcaton, restrente à N n, sera appelée norme. S f OD R est une foncton holomorphe au vosnage du polydsque fermé D R, nous poserons f R = sup x DR fx. 2.. Normes. Sot f un élément de C[[x,...,x n ]][ x,..., x n ] que l on écrra f = Q Z f Qx Q ; on pose alors f := n Q Z f Q x Q. L ordre ordf n d un tel élément f est le plus pett enter relatf k Z tel que f Q pour Q Z n de norme égal à k. On dra qu un tel élément g domne f, s Q Z n, f Q g Q ; dans ce cas, on écrra f g. Sot R =r,...,r n R n; + on pose f R := f Q R Q = fr,...,r n. Q Z n On a alors les proprétés suvantes: fg fḡ, s f g alors f R g R, f x k = f x k lorsque f C[[x,...,x n ]]. Soent v = v,...,v n R + n, < r < r, R = r.v, R = r.v et f = Q N n f Qx Q une foncton holomorphe au vosnage de D R, on a alors: 2 3 f R f R, r m f R f R r s ordf m, f z d f R s f est un polynôme de degré d. R rv

8 596 LAURENT STOLOVITCH Lemme 2.. Soent g une foncton holomorphe au vosnage de D R et f = ax Q un monôme. On suppose f g R <. Alors, R f + g R f R g R R f Preuve. On a /f + g=/f./ + g/f. En tout pont z de la frontère dstnguée C R,ona gz/fz = /f R gz /f R g R <. Donc, en tout pont z de C R,ona +gz/fz = k g k z/f k z. k Or, k g k z/f k z g k R k f k k R R ce qu permet de conclure. = g R / f R, On posera H n R ={f C[[x,...,x n ]] f R < + }. 3. Premères proprétés et normalsaton Sot S un morphsme d algèbre de Le comme défnt plus haut. Il défnt une représentaton ρ k de g dans Pn k par ρ k gp =[Sg,p]k 2. Pour tout Q N n, Q = k, n, les formes lnéares α Q, := Q, λ λ sont les pods de cette représentaton. On a une décomposton de Fttng de Pn k en sommes drectes de espaces de pods de cette représentaton: Pn k = Pn k αs α où Pn k αs = {p Pk n g g, [Sg,p]=αgp} {}. Nous renvoyons le lecteur au chaptre de 5, pp , de [Stob] pour de plus amples détals. Je dos l énoncé suvant à Marc Chaperon. Lemme 3.. Sg admet un élément réguler relatvement à S. Preuve. Condsérons l ensemble P des pods non-nuls de S dans X 2 n. Il est consttué d une nfnté dénombrable de formes lnéares non nulle de g. Chacune de ces formes lnéares défnt un hyperplan lnéare de g. Ce derner

9 NORMALISATION HOLOMORPHE D ALGÈBRES DE TYPE CARTAN 597 étant un espace vectorel de dmenson fne, l ne saurat être égal à l unon de l nfnté dénombrable d hyperplans défns par P. Il exste donc un élément g g, non nul, qu n appartent pas à cette unon d hyperplans. On a donc X n Sg X n S. D où lerésultat. Défnton 3.. Sot X X n un champ de vecteur formel de C n. On dra que X est normalsé resp. à l ordre k 2 relatvement à S s l appartent à X n S resp. X n S mod X k+ n. Lemme 3.2. Sot X un champ de vecteurs non-lnéare réguler relatvement à S. Sot Y un champ de vecteur commutant avec X et s annulant en. S X est normalsé àl ordre k alors Y est normalsé àl ordre OrdY +k. Preuve. Sot s la parte lnéare de X. Pusque X et Y commutent, chaque composante homogène l k de degré k de [X,Y] est nulle. Notons r l ordre de Y en. On a, pour tout j N, j+ l r+j = [X p,y r+j p+ ] p= où X p désgne la parte homogène de degré p de X. En partculer = l r = [S, Y r ]. On montre le résultat par récurrence sur k j. Pour j =, c est la remarque précédente. Supposons que le résultat est vra à l ordre j. Grâce à l dentté de Jacob, on a j+ =[s, l r+j ]= [s, [X p,y r+j p+ ]] p= j+ = p= [X p, [Y r+j p+,s]] [Y r+j p+, [s, X p ]]. Par hypothèse de récurrence, on a alors =[s, l r+j ]=[s, [Y r+j,s]]; on obtent le résultat car [s,.] est nversble sur son mage on rappel que s est dagonal. Corollare 3.. Il exste un dfféomorphsme formel ˆφ tel que [ ˆφ X, s] = [ ˆφ Y,s]=. Défnton 3.2. Sot X un élément réguler relatvement à S. Soent X 2,...,X l une famlle de champs commutant avec X. On dra que la famlle {X,...,X l } est une algèbre de type Cartan relatvement à S, s la forme normale formelle de chaque X appartent au ÔS n-module engendré par Sg ets leur parte plus bas degré forment famlle lbre sur ÔS n.

10 598 LAURENT STOLOVITCH On dra que l algèbre de type Cartan est normalsée à l ordre k s son élément réguler l est. Lemme 3.3. Soent X un élément réguler relatvement à S et X 2,...,X l des champs holomorphes commutant avec X. Sot ˆΦ un dfféomorphsme normalsant de X. Supposons que les ˆΦ X appartennent au ÔS n-module engendré parsg et qu ls sont lbres sur ÔS n. Posons ˆΦ X = l = a,jsg j avec a,j ÔS n et A =a,j,j l. Alors det A. Preuve. L équaton l = b ˆΦ X = avec b ÔS n est équvalente à l ensemble d équatons l = b a,j =,j =,...,l; ce que l on peut écrre A t B =aveca t =a j,,j l et B =b l. L applcaton ÔS n-lnéare l A t du ÔS n-module lbre ÔS n dans lu-même est njectve s et seulement s son determnant det A t = det A n est pas un dvseur de zéro dans ÔS n.orce derner est un sous-anneau de l anneau Ôn qu est ntègre. Par conséquent, la famlle {ˆΦ X } =,...,l est lbre sur Ôn s et seulement s det A O dans Ôn. Remarque 3.. En partculer, s {X,...,X l } est une algèbre de type Cartan, alors orddet A = l = ordx. 4. Méthode de Newton dfférencée Soent X un élément réguler relatvement à S et s sa parte lnéare. Soent {X,...,X l } une algèbre de type Cartan relatvement à S et {S,...,S l } une base de Sg; on note d := OrdX ; on a d =. Dans un bon système de coordonnées formel ˆΦ, on a ˆΦ X = l = â,js j oùâ,j ÔS n. Par hypothèses, la famlle de leur parte de plus bas degré est lbre sur ÔS n. On pose  := â,j,j l et pour tout enter p>, on pose A p := J p+d 2 â,j,j l. Par le lemme 3.3, on a det A. Supposons l algèbre de type Cartan normalsée à l ordre m. On peut donc écrre, pour =,...,l, X = NF m+d + R m+d où NF m+d est un champ de vecteurs polynomal, d ordre d et de degré nféreur ou égal à m + d, vérfant [s, NF m+d ]=;R m+d est un champ holomorphe d ordre m + d. Par hypothèse, on a, pour =,...,l, 4 NF m+d = a,j S j j= où a,j := J m+d 2 â,j On S est un polynôme de degré nféreur ou égal à m + d 2. Pour smplfer, on posera A := a,j,j l = A m M l O S. Sot U Pn m+,2m un champ de vecteurs d ordre m + et de degré 2m tel que exp U X sot normalsé à l ordre 2m. D après le lemme 3.2, le

11 NORMALISATION HOLOMORPHE D ALGÈBRES DE TYPE CARTAN 599 2m + d -ème-jet de exp U X commute avec s. Pusque l on a exp U X = X +[U, X ]+ 2 [U, [U, X ]] +..., l vent que le champ polynomal J R 2m+d m+d +[U, NF m+d ] commute avec s. Rappelons que l on a une décomposton de Fttng de Pn m+d,2m+d : + Pn m+d,2m+d = Pn m+d,2m+d S Pn m+d,2m+d S + où Pn m+d,2m+d S resp. Pn m+d,2m+d S désgne la somme drecte des espaces de pods non nuls resp. l espace de pods nul de S dans Pn m+d,2m+d. Pardéfnton d un élément réguler, on a Pn m+d,2m+d S = Pn m+d,2m+d s. On en dédut que la projecton de J 2m+d R m+d +[U, NF m+d ] sur P m+d,2m+d n + S est nulle. Décomposons U selon les sous-espaces de pods de S dans Pn m+,2m. On peut supposer que sa composante U, selon l espace de pods nul, est nulle; en effet, on a [U, NF m+d, U α la composante de U le long du sous-espace assocé. Un calcul smple, utlsant ] =. Sot α un pods non nul de S dans P m+,2m n la formule de Jacob, permet de montrer que [U α,nf m+d ] appartent à l espace pods de S dans X 2m+d n assocé à α. Onendédut que, pour tout pods non nul α de S dans Pn m+,2m,ona 5 J 2m+d R m+d,α +[U α,nf m+d ] =; et s β est un pods de S dans Pn m+d,2m+d qu n est pas un pods de S dans Pn m+,2m, alors J 2m+d R m+d,β =. Les équatons 5 seront appelées équatons cohomologques. Pour tout pods α non nul de S dans Pn m+,2m, on a donc 6 [NF m+d,u α ]=F m+d,2m+d,α où l on a posé F m+d,2m+d,α = J 2m+d R 2m+d,α R m+d,α + R 2m+d,α et =[NF m+d,u α ] J 2m+d [NF m+d,u α ] Ce derner est un champ polynomal d ordre supéreur ou égal à m + d..

12 6 LAURENT STOLOVITCH Réécrvons les équatons 6 en utlsant les expressons 4 des formes normales partelles. Il vent F m+d,2m+d,α + R 2m+d,α =[NF m+d =,U α ] a,j [S j,u α ]+U α a,j S j. j= Ic, U α a,j désgne la dérvée de Le de a,j le long de U α.pardéfnton, on a[s j,u α ]=αg j U α ;onréécrt donc ces équatons sous la forme matrcelle suvante: F m+d,2m+d α + R 2m+d,α. F m+dl,2m+dl l,α + R 2m+dl l,α αg U α D U α = Ax. +. αg l U α D l U α où A =a,j,j l et D est l applcaton O n -lnéare défne par D : U Xn 2 l j= Ua,jS j Xn. 2 On écrra pour smplfer F pour F m+d,2m+d,α et R pour R 2m+d,α. La matrce A est formellement nversble et elle l est holomorphquement sur un ouvert V dense de C n. Sot C =c,j,j l la matrce transposée des cofacteurs de A; onac M l On. S En multplant l équaton précédente par C, on obtent: où l on a noté F = F + R αg U α D U α. = det Ax. +. F l + R l αg l U α D l U α c,p F p, R = p= c,p R p et D U = p=,, c,p D p U. Les opérateurs D sont nlpotents; on a D D =. En effet, pour tout j l, ona D j D j U = = c j,k D k D j U = k= p= c j, D U c j,k D k k= = c j,k c j, D k D U par O n -lnéarté des opérateurs D.,k=

13 NORMALISATION HOLOMORPHE D ALGÈBRES DE TYPE CARTAN 6 Montrons alors que, pour tout couple d enters, k l, D k D =. En effet, D k D U = D Ua k,p S p = p= p= q= U α a,q S q a k,p S p. Or, a k,p On S donc S q a k,p = ; l s en sut que D k D = et donc que D j D j = comme annoncé. En se plaçant dans le corps des fractons de Ôn, on obtent, pour tout l, 7 U α = ce que l on peut écrre 8 avec 9 U α x = G = F + R = Id αg det Ax αg det Ax D c,p F p + R p p= H = D F + R = = p,q,r= G x c,q D q F + R = q= c,p c,q F p + R p a q,r S r. F + R αg det Ax ; αg det Ax H x p,q= c,p c,q D q F p + R p Le second membre de l équaton 8 défnt une applcaton holomorphe sur l ouvert V, qu est dense dans C n et où la matrce A est holomorphquement nversble. L applcaton U α est holomorphe dans C n.l équaton 8 a donc un sens dans C n et le second membre est un polynôme de degré 2m et d ordre m Domnaton de la soluton des équatons cohomologques. Sot t une varable complexe et x C n ; on pose t.x =tx,...,tx n. Sot M n le corps de fractons de C[x,...,x n ]. Les équatons 8 ndusent, dans M n n [[t]], les équatons U α t.x = G t.x αg det At.x αg det At.x H t.x. L ordre d un élément f = p a pt p M n n [[t]] est le plus pett enter k tel que a k ; on le note ord t f etsf =f,...,f l M n [[t]] l.

14 62 LAURENT STOLOVITCH Lemme 4.. Avec les notatons précédentes, on a ord l t det A p= c,pr p t.x 2m +, ord l t det A 2 p,q,r= c,pc,q R p a q,r S r t.x 2m +. Preuve. Sot D = +j d,j,j l la matrce des cofacteurs de A. Par défnton, d,j est le détermnant de la matrce obtenue à partr de A en enlevant la -ème lgne et la j-ème colonne. Par hypothèse, le coeffcent a,j de A est d ordre supéreur ou égal à d. La formule du détermnant montre alors clarement que l ordre de d,j est supéreur ou égal à p d p. On en dédut que l ordre de c,j,où C =c,j,j l est la transposée de D, est supéreur ou égal à p j d p. On rappelle que R j est d ordre supéreur ou égal à2m+d j ; donc, c,j R j est d ordre supéreur ou égal à2m++ l p= d p. D autre part, cette même formule du détermnant montre que l ordre de det A est égal à l p= d p car les termes de plus bas degré sont lbres sur On. S On en dédut que ord t c,p R p t.x 2m ++ d p d p 2m +. det A p= De même, l ordre de det A 2 l p,q,r= c,pc,q R p a q,r S r t.x est supéreur ou égal à p= j + j pd d k +2m + d p + d q 2 k q p= d p 2m +. p= Pusque U α t.x est un polynôme de degré 2m, ce lemme montre que U α se calcul unquement à partr des F ; et nous allons donner une estmaton de U α en foncton de celles des F. Par conséquent, U α = J 2m F x αg det Ax On obtent alors la relaton de domnaton suvante: 2 U α x αg det Ax F x αg det Ax D F x αg det Ax D F x. Sot t ], ] et =,..., n R n. + On pose t.x := t x,..., t n x n. Soent f C[[x,...,x n ]] une sére formelle et g C[[x,...,x n, x,..., x n ]] telles que f g; alors on a ft.x gt.x..

15 NORMALISATION HOLOMORPHE D ALGÈBRES DE TYPE CARTAN 63 On peut donc écrre, d après la relaton de domnaton 2, la relaton de domnaton suvante: 3 U α t.x αg det At.x F t.x+ αg det At.x D F t.x Estmaton de la soluton des équatons cohomologques. On écrt A = A p + R où comme précédemment A p = J p+d 2 â,j et R :=,j l r,j,j l p =!. On écrra NF p S. := A p x., NF p+dl S l l de sorte que pour tout =,...,l, NF m+d p + d. NF p+d est d ordre Lemme 4.2. Soent =,..., n R + l un vecteur ncommensurable, c est-à-dre que les sont lnéarement ndépendants sur Q et r>. Il exste alors <t et η> tels que, s R t <ηalors on a c det Ax on rappelle que t = t r,...,tl r. En outre, on a det Ax t M A p l t + 2c rs t d, où M est une constante unverselle. Les constantes postves c, d, t et η ans que l enter s ne dépendent que de, de la matrce A p et du morphsme S. Preuve. Sot S l le groupe des permutatons de {,...,l}. Sσ S l, εσ désgne la sgnature de σ. On rappelle l expresson du détermnant de A: detax = l εσ a,σ x σ S l t = = det A p + P R t d rs où P Z O n [Z,...,Z l 2] est un polynôme de l 2 varables sans terme constant et de degré l. Ces coeffcents d Q A p sont des polynômes de degré nféreur ou égal à l en les coeffcents de A p. On peut donc écrre P Z = d Q N l2 Q A p Z Q ans que det A p = T N n p T x T on rappelle < Q l S =N que det A est un polynôme homogène.

16 64 LAURENT STOLOVITCH Sot =,..., n R + n un n-uplet ncommensurable. On a alors det A p t.x = n p T t,t x T où, T = t et T =t,...,t n. T N n T =N Posons d = mn, T. T N n p T, T =N Grâce à l ncommensurablté de, ce mnmum ne peut être attent qu une seule fos sur l ensemble {T N n,p T T = N}. Sot T l élément qu le réalse. On en dédut que det A p t.x =p T x T t d + t d qx, t où qx, t est un polynôme en x de degré N et dont les coeffcents sont des fonctons de la varable t et s annulant en t =. Par conséquent, l exste <t on peut supposer t plus pett que tel que, t d qx, t r pt 4 r T t d. Sot P Z C[Z,...,Z l 2] le polynôme défn par P z = d Q A p x Z Q. Q N l2 < Q l En tant que foncton de Z, onap P. Pusque P =, l exste η> tel que P Z η pt 4 r T t d ; c, nous avons écrt P Z η = d Q A p x η Q. Q N l2 Q l Par conséquent, s Rx t <ηalors, pusque P Rt.x P Rt.x, on a P Rx t ps 4 r S t d. Il s ensut, d après le lemme 2., det At.x r p S x S t d r p S x S t t d d qx, t +P Rt.x r r p S r S t d p S t r S t d d qx, t r + P Rt.x r 2 p S r S t d. De plus, on a = det At.x r det A P t.x r + P Rt.x r M A P l t + p S 4 r S t d où M est une constante unverselle on peut prendre S l.

17 NORMALISATION HOLOMORPHE D ALGÈBRES DE TYPE CARTAN 65 L dée de consdérer des polydsques asymétrques est due à H. Ito. Le résultat suvant est fondamental pour la sute. Théorème 4.. Sot =,..., n R + n un vecteur ncommensurable et t comme dans le lemme 4.2 et on pose m =2 k. Il exste des constantes η > et c > telles que, s /2 <r, et max max NF m+d NF p+d t <η D NF m+d J NF m+d t <η, alors, pour tout pods non nul de S dans Pn m+,2m, on a U α t < c ω k+ S 2 max R m+d,α t. Preuve. En utlsant la relaton de domnaton 3 ans que les proprété de la norme. t K,r, sous l hypothèse R t <η, on obtent grâce au lemme U α t αg det At.x c 2 2 r αg det A t F t + D F αg 2 t 2d r2s αg M A p l t + p S 4 r S t d F + D F. t t Il nous reste à majorer F t et D F en foncton des données; les fonctons F et D F étant défnes respectvement par 9 et. On rappelle que chaque foncton c,j élément de la matrce transposée des cofacteurs s exprme comme polynôme unversel de degré l en les a,j. Il y a donc une constante unverselle M> telle que c,j t M A l t. On obtent alors les négaltés suvantes: F t lm A l t F t, D F t l 3 M 2 A 2l t Or, on a F p a q,r t majoraton suvante: D F t nl 3 M 2 A 2l t t,r max S j t j l max p,q,r l F pa q,r t. t n F p t a max q,r t l x. Onendédut la max S j DA t j l F t,

18 66 LAURENT STOLOVITCH où DA désgne la dérvée de Ax. Ans, sous l hypothèse R t <η,ona U α t c2 lm A l t F t αg 2 t 2d αg M A r2s p l t + 2c rs t d j= + nl 2 M A l t max j l S j DA t Il nous reste à majorer les normes de A et DA en foncton de celles des formes normales partelles. Par défnton, on a, pour tout enter l, n S j = λ j,k x k, x k k= n NF m+d = a,j S j := x k g,k avec g,k = λ j,k a,j, x k NF p+d = := k= J p+d 2 a,j S j j= n x k g,k,p x k avec g,k,p = k= j=. λ j,k J p+d 2 a,j ; j= ce que l on peut réécrre sous la forme g, λ,... λ l, a,.. =..... a,l g,n λ,n... λ l,n g,,p λ,... λ l, J p+d a,.. =..... J p+d a,l g,n,p λ,n... λ l,n où l n, et où l n. Pusque les S sont lnéarement ndépendants sur C, la matrce λ j, n j l est de rang l. Sans nure àlagénéralté, on peut supposer que la matrce L := λ j,,j l est nversble d nverse L := λ,j,j l. On peut alors écrre, pour, j l, a,j x J p+d 2 a,j = λ j,k g,k x g,k,p k= λ j,k g,k x g,k,p. k=

19 NORMALISATION HOLOMORPHE D ALGÈBRES DE TYPE CARTAN 67 Pusque /2 <r,ona g,k g,k,p t 2 Par conséquent, on a t k t k r g,k g,k,p t = 2 x t k k g,k g,k,p t 2 mn k t k A A p t 2l L 5 mn k t k D autre part, pour tout k n, ona max NF m+d max NF m+d NF p+d t. NF p+d t. x k g,k x g,k g,k x g,k = δ k,p g,k x g,k + x k ; x p x p c est-à-dre g,k x g,k x k = x kg,k x g,k δ k,p g,k x g,k. x p x p g Or x,kx g,k k x p, xkg,kx g,k x p et g,k x g,k sont des séres formelles à coeffcents postfs; par conséquent, on a g,k x g,k x k x kg,k x g,k. x p x p Pusque /2 <r,ona g,k x g,k 2 t k x p t k r g,k x g,k t x p t 2 mn k t k x g,k x g,k k x p t 2 x k g,k x g,k. mn k t k x p t On en dédut que, pour tout, j l, a,j x a,j g,k x g,k λ x p j,k x t p k= t 2 x k g,k x g,k λ mn k t k j,k x p k= t 2l L max D NF m+d J NF m+d t mn k t ; k

20 68 LAURENT STOLOVITCH c est-à-dre 6 DA t 2l L mn k t k max D NF m+d J NF m+d t Posons η = mnk t k 2l L η; s max NF m+d NF p+d t < η et max D NF m+d J NF m+d t <η, alors A A p t <ηet DA t η. Posons C = A p ; on a alors A t C + η. De plus, α étant un pods de S d ordre 2m =2 k+, sot l tel que αg = max j αg j = α ; on a alors ω k+ S αg. De plus, la présence de petts dvseurs nous permet de supposer que ω k S. Posons alors c = 22s c 2 lmc + η l t 2d. M C l + + l 2 MC + η l nη max 2c S j j l avec η = 2l L mn k t k. En concluson, l exste η > tel que s /2 <r, m =2 k, max NF m+d NF p+d t <η et max D NF m+d J NF m+d t <η, alors 7 U α t On peut supposer que pour c, on peut donc écrre précédente devent alors 8 c ω k+s 2 c ω k+ S 2 max c ω k+s 2 U α t γ m k R m+d,α t. qutte à prendre une plus grande valeur := γ m k avec γ k. La majoraton max 5. La récurrence R m+d,α t. Soent /2 <r un nombre réel et η > leréel postf défn par le théorème 4.. Pour tout enter m max[8n/ mn k t k η ]+,p, max d, on pose { NF,m r= X Pn d,m X J p+d 8n X t <η m d +, DX J X t <η B m+ r= { X X m+ n X t < }. 8n mn k t k m d + },

21 NORMALISATION HOLOMORPHE D ALGÈBRES DE TYPE CARTAN 69 S m =2 k pour un enter k, on défnt où le nombre γ k = ρ := m /m r et R := γ k m 2/m r c ω k+s 2 /m est défn par 8. Il est clar que m /m. On peut supposer que les nombres ω k sont plus petts que ; par conséquent, on alnω k < /m ln m de sorte que ln ω k 2/m ln m< /m ln m<, c est-à-dre R<ρ<r. Sot {X,...X l } une algèbre de type Cartan relatvement à S, de champs de vecteurs holomorphes. On suppose que X est réguler par rapport à S et on suppose X normalsé à l ordre m + d. On écrt alors X = NF m+d + R m+d où NF m+d est une forme normale de degré m + d relatvement à s, la parte lnéare de X,etR m+d Xn m+d. Sot U = α U α la soluton des équatons 5, la somme portant sur les pods non-nuls de S dans Pn m+,2m. La proposton clé est alors le résultat suvant: Proposton 5.. Avec les notatons c-dessus, supposons que, pour tout =,...,l, on at NF m+d,r,m+d NF,m+d r B m+d r. S m est suffsamment grand dsons m>m ndépendant de r, alors Φ := Id + U Dff C n, est un dffeomorphsme tel que D t.r ΦD t.ρ, 2 Φ X = NF 2m+d 3 NF 2m+d,R 2m+d + R 2m+d est normalsé àl ordre 2m + d, NF,2m+d R B 2m+d R. La démonstraton est dentque à celle de [Stob, p. 95-2]. Néanmons, on vellera, d une part, à estmer les objets sur les polydsques asymétrques; d autre part, pour chaque l, B est de degré 2m + d et d ordre m + d et sont a pror dstncts les uns des autres respectvement. 6. Preuve du théorème prncpal Nous reprenons l argument classque qu permet de conclure, par récurrence. Soent /2 <r et la sute {R k } k N de réels postfs défne par R = r, R k+ = γ k m 2/m R k avec m =2 k.onale Lemme 6. [Brn72], [Stob]. La sute {R k } k N converge et l exste un enter k tel que k k, R k >R k /2. Soent alors X,...,X l comme dans l énoncé. On peux supposer que l algèbre de type Cartan est normalsée à un ordre m 2 =2 k2 suffsamment

22 6 LAURENT STOLOVITCH grand maxm, 2 k etonécrt X = NF m2+d + R m2+d Qutte à fare agr une homothéte, on peut supposer que NF m2+d NF,m2 B m2+d. On redéfnt la sute {R k } par R k2, =,...,l.,r m2+d =. En vertu du lemme 6., on a pour tout k k, R k > /2. On montre alors, comme dans [Stob, p. 2 23], par récurrence sur k k 2, qu l exste un dfféomorphsme Ψ k de C n, tel que pour tout =,...,l, Ψ k NFm2+d + R m2+d 2 k+ +d, NF 2k+ +d :=NF 2k 2+ +d + R 2k+ +d sot normalsé à l ordre NF,2 k+ +d R k+ B 2 k+ +d R k+,r 2k+ +d et Id Ψ k t.r k+ k p=k 2 2p. Pusque D t./2 D t.r k pour tout enter k k 2, la sute { Ψ k est unformément bornée. De plus, la sute {Ψ t./2} k k2 k } k k 2 converge vers le dfféomorphsme formel ˆΨ l nverse du dfféomorphsme normalsant dans l espace des séres formelles. Par conséquent, cette sute converge dans Hnt n pour tout r</2 vers ˆΨ. Cela sgnfe que la transformaton normalsante est holomorphe au vosnage de C n. 7. Applcatons Sot H = n k= λ kx k y k + H une foncton holomorphe au vosnage de C 2n ; λ C, H étant d ordre 3 en. On suppose que n m,...,m n Z n \{}, λ k m k. On consdère le système d équatons dfférentelles dx k = H dy k, dt y k dt = H 9, k =,...,n. x k H. Ito a démontré lerésultat suvant, qu généralse le traval de J. Vey dans le cadre hamltonen [Vey78]: Théorème 7. [Ito89]. Sous les hypothèses précédentes, on suppose que le système 9 admet n autres ntégrales premères H 2,...,H n holomorphes au vosnage de C 2n ; et on suppose que H,...,H n sont fonctonnellement ndépendantes. Il exste alors une transformaton φ canonque.e. hamltonenne et holomorphe au vosnage de C 2n telle que H k φ soent une foncton holomorphe des n monômes x k y k. Preuve. Soent g une algèbre de Le complexe commutatve de dmenson n, B := {g,...,g n } une base de g et S le morphsme de Le défn par Sg =x y. x y Le morphsme S est dophanten car les pods de S dans les espaces de champs de vecteurs homogènes prennent des valeurs entères sur la base B. Sot X le k=

23 NORMALISATION HOLOMORPHE D ALGÈBRES DE TYPE CARTAN 6 champ de vecteurs hamltonen défn par la foncton H. Grâce à la condton la parte lnéare de X est régulère par rapport à S. Le fat qu l sot hamltonen mplque que X est réguler par rapport à S. D autre part, en fasant un changement de coordonnées formel symplectque ˆΨ, on met X sous forme normale. Pusque ˆΨ X est hamltonen, sa forme normale appartent au ÔS n-module engendré par Sg. Grâce au lemme de Zgln [Zg82] [Ito89, lemma 2. et appendx], on peut chosr éventuellement d autres ntégrales premères de sorte que leur ndépendance fonctonelle mplque l ndépendance fonctonnelle de leur parte de plus bas degré et donc la lberté des partes de plus bas degré de leurs champs assocés sur ÔS n. Or les champs X, 2, commutent avec X et sont hamltonens. Donc, dans ces mêmes coordonnées, les ˆΨ X appartennent auss au ÔS n-module engendré par Sg. On remarquera que ÔS n = C[[x y,...,x n y n ]]. D après le théorème.2, on peut trouver un dfféomorphsme normalsant Φ qu sot holomorphe au vosnage de C 2n. Un argument du à J. Vey [Vey78, fn pp. 69 6] mas le plus clar est dans [Vey79, pp ] qu concerne la verson sochore, permet alors de modfer Φ en un dfféomorphsme symplectque holomorphe tout en restant sous une forme normale. Laboratore Emle Pcard, Unverste Paul Sabater, Toulouse, France E-mal address: stolo@pcard.ups-tlse.fr References [Arn8] V. I. Arnold, Chaptres Supplémentares de la Théore des Équatons Dfférentelles ordnares, Mr, 98. [Brn72] A. D. Bruno, Analytcal form of dfferental equatons, Trans. Moscow Math. Soc , 3 288; , , [Brh95] F. Bruhat, Travaux de Sternberg, n Sémnare Bourbak 6, Exp. No. 27, pages 79 96, Soc. Math. France, Pars, 995. [Cha86] M. Chaperon, Géométre Dfférentelle et Sngulartés de Systèmes Dynamques, Astérsque, 38-39, 986. [El9] L. H. Elasson, Normal forms for Hamltonan systems wth Posson commutng ntegrals-ellptc case, Comment. Math. Helv ,4 35. [Ito89] H. Ito, Convergence of Brkhoff normal forms for ntegrable systems, Comment. Math. Helv , [Ito92], Integrablty of Hamltonan systems and Brkhoff normal forms n the smple resonance case, Math. Ann , [KKN98] T. Kappeler, Y. Kodama, and A. Németh, On the Brkhoff normal form of a completely ntegrable Hamltonan system near a fxed pont wth resonance, Ann. Scuola Norm. Sup. Psa Cl. Sc , [Ser87] J-P. Serre, Complex Semsmple Le Algebras, Sprnger-Verlag, New York, 987. [Ste58] S. Sternberg, On the structure of local homeomorphsms of eucldean n-space. II, Amer. J. Math ,

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