Valeur absolue et fonction valeur absolue Cours

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1 Valeur absolue foncton valeur absolue Cours CHAPITRE 1 : Dstance entre deu réels 1) Eemples prélmnares 2) Défnton 3) Proprétés CHAPITRE 2 : Valeur absolue d un réel 1) Défnton 2) Proprétés CHAPITRE 3 : Dstance valeur absolue 1) Relaton entre dstance valeur absolue 2) Epressons équvalentes 3) Centre rayon d un ntervalle CHAPITRE 4 : Valeurs absolues opératons 1) Inégalté trangulare, addton soustracton 2) ultplcaton dvson CHAPITRE 5 : Equatons valeurs absolues 1) Equatons de la forme 2) Equatons de la forme CHAPITRE 6 : Inéquatons valeurs absolues 1) Inéquatons de la forme 2) Inéquatons de la forme CHAPITRE 7 : Encadrements valeurs approchées d un réel 1) Encadrement d un réel 2) Valeurs approchées CHAPITRE 8 : Foncton valeur absolue 1) Défnton 2) Sens de varaton 3) Représentaton graphque 4) Parté symétre 1

2 CHAPITRE 1 : Dstance entre deu réels 1) EXEPLES PRÉLIINAIRES O A B A O B La dstance entre les nombres est la longueur du segment, c est-à-dre la dstance entre le pont d abscsse le pont d abscsse. Pour aller de à (c est-à-dre de à ), on parcourt ans une dstance de untés. Cte dstance est notée ( ) on a : ( ). La dstance entre les nombres est la longueur du segment, c est-à-dre. En eff, pour aller de à (c est-à-dre de à ), on parcourt une dstance de untés : tout d abord une dstance de unté (c est-à-dre de à ) une dstance de untés (c est-à-dre de à ). Cte dstance est notée ( ) on a : ( ). Remarque : La termnologe «dstance entre deu réels» est un abus de langage ; l faudrat en eff parler de «dstance entre les ponts d abscsses respectves». 2) DÉFINITION La DISTANCE entre deu réels est la dstance entre les ponts de la drote numérque, d abscsses respectves. On note cte dstance ( ). Eemples : Soent les ponts ( ), ( ), ( ), ( ) ( ) de la drote numérque (auss appelée drote des réels). A B O C D ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2

3 Remarque : La dstance entre 2 réels est parfos également appelée écart entre les réels. 3) PROPRIÉTÉS Les eemples c-dessus permtent d énoncer quelques proprétés, que nous vellerons cependant à démontrer Proprété 1 : Pour tous réels : Autrement dt, la noton de dstance est symétrque. ( ) ( ) Démonstraton : Soent deu réels. Soent les ponts d abscsse d abscsse de la drote numérque. La dstance entre est notée ( ) la dstance entre est notée ( ). Or, ( ) ( ). Comme, l en résulte l égalté suvante : ( ) ( ). Proprété 2 : Pour tous réels : ( ) Autrement dt, une dstance entre deu réels est toujours postve ou nulle. Démonstraton : Par défnton, la dstance entre deu réels, notée ( ), est la dstance entre les ponts de la drote numérque, d abscsses respectves. Par conséquent, une dstance entre deu ponts étant toujours postve ou nulle, ( ). Proprété 3 : Pour tous réels : Autrement dt, ( ) ( ). ( ) { Démonstraton : Soent les ponts d abscsses respectves. S, ( ) S, ( ) N O O N y y En eff, la dstance entre deu ponts d abscsses dfférentes correspond à la dfférence entre l abscsse la plus grande l abscsse la plus pte de ces ponts. 3

4 CHAPITRE 2 : Valeur absolue d un réel 1) DÉFINITION Sur la drote numérque mune du repère ( ), pour tout réel, l este un unque pont d abscsse. La VALEUR ABSOLUE du nombre, notée, est la dstance, c est-à-dre la dstance entre. Par défnton, on a donc ( ). 1 er cas : s 2 ème cas : s O O Remarque mportante (surtout destnée au élèves de Termnale) : Il n este pas de valeur absolue dans l ensemble des nombres complees, ben que contenne l ensemble des nombres réels. Il ne faut donc pas confondre le module d'un nombre complee, noté, la valeur absolue d'un nombre réel, notée. En eff, s tel que ( réels),. Le module de ne coïncde alors avec la valeur absolue d un réel que lorsque, c est-à-dre que lorsque est un réel pur. Eemples : Dans chacun des cas c-après, on a placé le pont sur la drote numérque mune du repère ( ). ( ) ( ) ( ) O O 2) PROPRIÉTÉS Proprété 1 : Pour tout nombre réel, Autrement dt, la valeur absolue d un nombre est toujours postve ou nulle. Démonstraton : Pour tout réel, ( ). Or, par défnton, une dstance entre deu réels est postve ou nulle donc. 4

5 Proprété 2 : Autrement dt, un nombre dont la valeur absolue est nulle est nul, récproquement. Démonstraton : ( ) { { Eemple : Proprété 3 : Autrement dt, ( ). { Démonstraton : S, S, O O Eemples : car est postf ( ) car est négatf car ( ) Remarque : On peut également noter que ( ) où désgne la foncton sgne défne par ( ) { Proprété 4 : Pour tout nombre réel, Autrement dt, un réel son opposé ont même valeur absolue. 5

6 Démonstraton : Soent les ponts, d abscsses respectves, sur une drote mune du repère ( ). sont O symétrques par rapport à l orgne du repère donc. C est-à-dre. Eemples : ( ) Proprété 5 : Pour tout nombre réel, Autrement dt, la racne carrée du carré d un réel n est pas égale à ce réel mas à sa valeur absolue. Démonstraton : Tros cas se présentent, selon les valeurs de. 1 er cas : donc (d après la décrossance sur de la foncton ). On sat que est à la fos le carré de de. Or, par défnton, la racne carrée d un nombre est le réel postf dont ce nombre est le carré, donc le réel est la racne carrée du nombre. C est-à-dre., donc. Par conséquent, on a ben l égalté. 2 ème cas : donc, par contnuté de la composée des fonctons en,., donc. Par conséquent, on a ben l égalté. 3 ème cas :. La racne carrée d un nombre étant le réel postf dont ce nombre est le carré, le réel est la racne carrée du nombre. C est-à-dre., donc. Par conséquent, on a ben l égalté. 6

7 Concluson : Chacun des cas vérfe ben l égalté. Remarque mportante : Ne pas confondre (qu este pour tout ) (qu n este que s ). 7

8 CHAPITRE 3 : Dstance valeur absolue 1) RELATION ENTRE DISTANCE ET VALEUR ABSOLUE Pour tous réels, ( ) S, alors ( ) S, alors ( ) 2) EXPRESSIONS EQUIVALENTES Egalté ou Intervalle / Réunon Valeur absolue Dstance Encadrement négalté d ntervalles ( ) ou { } 2 ( ) ( ) ou 3) CENTRE ET RAYON D UN INTERVALLE Sot un ntervalle tel que, sot son CENTRE sot son RAYON. Alors : r r a c b 8

9 CHAPITRE 4 : Valeurs absolues opératons 1) ADDITION, SOUSTRACTION ET INÉGALITÉ TRIANGULAIRE Pour tous nombres réels, Autrement, dt, la valeur absolue d'une somme de termes est nféreure ou égale à la somme des valeurs absolues des termes. Remarque mportante : Cte proprété est appelée INÉGALITÉ TRIANGULAIRE. Démonstraton 1 : Rasonnons par dsjoncton des cas (selon les sgnes respectfs des réels ) consgnons ces dfférents cas dans un tableau. donc est la somme de deu termes postfs est postf est postf donc est postf donc Par conséquent, donc donc donc donc est la somme d un terme négatf d un terme postf Donc 3 cas sont à envsager : S, alors ( ) S, alors ( ) S, alors Par conséquent, l négalté est vrae est la somme de deu termes négatfs donc est négatf est la somme d un terme postf d un terme négatf ( ) Donc 3 cas sont à envsager : S, alors est négatf donc ( ) est négatf donc S, alors ( ) ( ) S, alors Par conséquent, est la somme d un terme nul d un terme postf donc est postf est nul donc est postf donc Par conséquent, est la somme d un terme nul d un terme négatf donc est négatf ( ) est nul donc est négatf donc ( ) Par conséquent, 9

10 Par conséquent, l négalté est vrae est la somme d un terme postf d un terme nul donc est postf est postf donc est nul donc Par conséquent, est la somme d un terme négatf d un terme nul donc est négatf ( ) est négatf donc est nul donc Par conséquent, est la somme de deu termes nuls donc est nul est nul donc est nul donc Par conséquent, Concluson : Il résulte dans tous les cas que, quels que soent les réels,. Remarque : D après le tableau c-dessus, sont de même sgne (ou nuls). Démonstraton 2 (plus rapde mons fastdeuse!) : Comparons ( ) pour tous réels pour aboutr à une comparason de. Quels que soent les réels, ( ) Remarque : On fat c appel à un résultat démontré ultéreurement : { ( ) ( ( )) { ( ) ( ) ( ) Or, pour tous réels, d où. Comme, par alleurs,, l s ensut que, c est-à-dre ( ). Enfn, la foncton racne carrée étant crossante sur,. Pour tous nombres réels, Autrement, dt, la valeur absolue d'une dfférence de deu termes est nféreure ou égale à la somme des valeurs absolues de chaque terme. Démonstraton : Il sufft de remplacer par dans l négalté trangulare. En eff, d après l négalté trangulare, pour tous réels,. Or, donc. 10

11 2) ULTIPLICATION ET DIVISION Pour tous nombres réels, Autrement dt, la valeur absolue d un produt de facteurs est égale au produt des valeurs absolues de chaque facteur. Démonstraton : Rasonnons par dsjoncton des cas (selon les sgnes respectfs des réels ces dfférents cas dans un tableau. ) consgnons est le produt de deu facteurs postfs donc est postf est postf donc est postf donc Par conséquent, l égalté est vrae est le produt d un facteur postf par un facteur négatf donc est négatf est postf donc est négatf donc ( ) Par conséquent, l égalté est vrae est le produt d un facteur postf par un facteur nul est le produt d un facteur négatf par un facteur postf donc est négatf est négatf donc est postf donc Par conséquent, l égalté est vrae est le produt de deu facteurs négatfs donc est postf est négatf donc est négatf donc ( ) Par conséquent, l égalté est vrae est le produt d un facteur négatf par un facteur nul donc est nul donc est nul est postf donc est négatf donc est nul donc est nul donc est le produt d un facteur nul par un facteur postf donc est nul est nul donc est postf donc Par conséquent, l égalté est vrae est le produt d un facteur nul par un facteur négatf donc est nul est nul donc est négatf donc ( ) Par conséquent, l égalté est vrae est le produt de deu facteurs nuls donc est nul est nul donc est nul donc 11

12 Par conséquent, l égalté est vrae Par conséquent, l égalté est vrae Par conséquent, l égalté est vrae Concluson : Il résulte dans tous les cas que, quels que soent les réels,. Pour tous nombres réels tels que, Autrement dt, la valeur absolue d un quotent est égale au quotent des valeurs absolues. Démonstraton 1 : D après la proprété précédente sur la multplcaton, pour tous nombres réels tels que, Or, en dvsant dans chaque membre par : Démonstraton 2 : Pour tous nombres réels tels que, ( ) 12

13 CHAPITRE 5 : Equatons valeurs absolues 1) ÉQUATIONS DE LA FORE Pour tout réel, (avec ) Remarque : L équaton n adm pas de soluton s. Eemples : Eemple 1 : Résolvons dans l équaton L équaton est de la forme avec. Ic, donc l équaton n adm pas de soluton dans. L ensemble des solutons est. Eemple 2 : Résolvons dans l équaton L équaton est de la forme avec. Ic, donc, pour tout réel,. L ensemble des solutons est { }. Eemple 3 : Résolvons dans l équaton L équaton est de la forme avec. Ic, donc, pour tout réel,. L ensemble des solutons, noté, est { }. Eemple 4 : Résolvons dans l équaton L équaton est de la forme avec. ATTENTION! Ic, on gnore le sgne de, qu dépend de. Pour que l équaton at un sens, l faut que car. { ( ) { { {. L ensemble des solutons, noté, est { }. 13

14 2) ÉQUATIONS DE LA FORE Pour tous réels non nuls, Remarque : S ou, l équaton est de la forme ou (vor c-dessus). Eemples : Eemple 1 : Résolvons dans l équaton L équaton est de la forme avec. Pour tout réel, ( ) Eemple 2 : Résolvons dans l équaton. L ensemble des solutons, noté, est { }. L équaton est de la forme avec. Pour tout réel, ( ) ( ). L ensemble des solutons, noté, est { }. Remarque mportante : L équaton est équvalente à ( ) ( ). Par conséquent, est le mleu de l ntervalle. Donc. L ensemble des solutons, noté, est { }. 14

15 CHAPITRE 6 : Inéquatons valeurs absolues 1) INÉQUATIONS DE LA FORE Pour tout réel pour tout réel postf ou nul, Remarques : Les négaltés c-dessus restent vraes s on remplace par. S, l néquaton n est jamas vérfée (une dstance étant toujours postve ou nulle). Eemples : Eemple 1 : Résolvons dans l néquaton L néquaton est de la forme avec. donc l néquaton n adm pas de soluton. L ensemble des solutons, noté, est. Eemple 2 : Résolvons dans l néquaton L néquaton est de la forme avec. Pour tout réel, L ensemble des solutons, noté, est. Eemple 3 : Résolvons dans l néquaton L néquaton est de la forme avec. Pour tout réel, { ( ) { { { { L ensemble des solutons, noté, est. 15

16 2) INÉQUATIONS DE LA FORE Pour tout réel pour tout réel postf ou nul, Remarques : Les négaltés c-dessus restent vraes s on remplace par. S, l néquaton est toujours vérfée (une dstance étant toujours postve ou nulle). Eemples : Eemple 1 : Résolvons dans l néquaton L équaton est de la forme avec. donc l néquaton est toujours vérfée. L ensemble des solutons, noté, est. Eemple 2 : Résolvons dans l néquaton L équaton est de la forme avec. Pour tout réel, L ensemble des solutons, noté, est. Eemple 3 : Résolvons dans l néquaton L néquaton est de la forme avec. Pour tout réel, ( ) L ensemble des solutons, noté, est. 16

17 CHAPITRE 7 : Encadrements valeurs approchées d un réel 1) ENCADREENT D UN RÉEL Sot un réel. Réalser un ENCADREENT de consste à trouver deu réels tels que. Le nombre est appelé l APLITUDE de l encadrement. Eemples : Proposons pluseurs encadrements de dont l affchage des 8 premères décmales à la calculatrce donne :. Encadrement Ampltude Calcul de l ampltude 1 2) VALEURS APPROCHÉES Soent deu réels dstncts un réel strctement postf. Lorsque, on dt que est une VALEUR APPROCHÉE de à près. ε a ε a ε Lorsque, on dt que est une valeur approchée de à près PAR DÉFAUT. Valeur approchée de par défaut a ε a ε Lorsque, on dt que est une valeur approchée de à près PAR EXCÈS. a ε ε a Valeur approchée de par ecès Le réel postf s appelle la PRÉCISION. Remarques : est une autre notaton de la valeur approchée de à près. 17

18 Eemples : On a vu dans les précédents eemples pluseurs encadrements de d ampltudes dfférentes : est un encadrement de d ampltude 1. Or,. Par conséquent, est une valeur approchée de à près. est un encadrement de d ampltude. Or,. Par conséquent, est une valeur approchée de à près par défaut. est un encadrement de d ampltude. Or,. Il résulte de cte double négalté que est une valeur approchée de à près par ecès. 18

19 CHAPITRE 8 : Foncton valeur absolue 1) DÉFINITION La FONCTION VALEUR ABSOLUE est la foncton défne sur qu, à tout réel, assoce sa valeur absolue. La foncton valeur absolue est donc ans défne : 2) SENS DE VARIATION La foncton valeur absolue est : DECROISSANTE sur CROISSANTE sur Rappel : Dre qu une foncton f est crossante sur un ntervalle I sgnfe que pour tous nombres a b de l ntervalle I, s a b alors f(a) f(b). Démonstraton : Soent deu nombres réels tels que sot la foncton valeur absolue. Comparons alors ( ) ( ), c est-à-dre étudons le sgne de ( ) ( ). Pour tous réels, on a ( ) ( ). 1 er cas : donc donc. Par conséquent,. Or, donc, en soustrayant dans chaque membre,, c est-à-dre. Ans,, c est-à-dre ( ) ( ) Par conséquent, s, alors ( ) ( ) donc la foncton est strctement crossante sur. 2 ème cas : donc donc. Par conséquent, ( ) ( ). Or, donc, en soustrayant dans chaque membre,, c est-à-dre. Ans, ( ), c est-à-dre ( ) ( ) 19

20 Par conséquent, s, alors ( ) ( ) donc la foncton est strctement décrossante sur. Remarque pouvant fare offce de deuème démonstraton : Pour tout, pour tout, donc la foncton valeur absolue est l unon de la foncton défne sur l ntervalle de la foncton défne sur l ntervalle. Or, sur, la foncton est décrossante comme étant une foncton affne (lnéare) de coeffcent drecteur négatf. En outre, sur, la foncton est crossante comme étant une foncton affne (lnéare) de coeffcent drecteur postf. Ans, la foncton valeur absolue est décrossante sur crossante sur. On dt que la foncton valeur absolue est une foncton affne par morceau. TABLEAU DE VARIATION : La foncton valeur absolue adm un INIU en égal à. Autrement dt, pour tout réel,. Remarque : On peut renr que : Deu nombres postfs sont rangés dans le même ordre que leur valeur absolue (ou ben que s sont deu nombres postfs tels que alors ) Deu nombres négatfs sont rangés dans l ordre nverse de celu de leur valeur absolue (ou ben que s sont deu nombres négatfs tels que alors ) 3) REPRÉSENTATION GRAPHIQUE La foncton valeur absolue est une FONCTION AFFINE PAR ORCEAUX. Sa représentaton graphque dans un repère ( ) du plan est la réunon de deu dem-drotes d orgne, l une d équaton sur, l autre d équaton sur. Pont méthode : Pour tracer la représentaton graphque de la foncton valeur absolue, on établt un tableau de valeurs, on place dans un repère les ponts de coordonnées ( ) on les rele. 20

21 Représentaton graphque de la foncton dans un repère ( ) du plan Dem-drote d équaton y ( ) Dem-drote d équaton y ( ) j O Remarque : La représentaton graphque de la foncton est en forme de «V». Plus généralement, toutes les fonctons ont une représentaton graphque en forme de «V» (vor plus bas). 4) PARITÉ ET SYÉTRIE La foncton valeur absolue est une FONCTION PAIRE. Démonstraton : Tout d abord, la foncton valeur absolue est défne sur donc elle est centrée en. En outre, pour tout réel, donc la foncton est une foncton pare. Dans un repère orthogonal ( ) du plan, la courbe représentatve de la foncton valeur absolue est SYÉTRIQUE PAR RAPPORT À L AXE DES ORDONNÉES d équaton. Démonstraton : Soent deu réels. Le pont ( ) appartent à la courbe représentatve de la foncton valeur absolue s, seulement s,. Or, pour tout réel, donc. Le pont ( ) appartent également à la courbe représentatve de la foncton valeur absolue. Donc les ponts sont symétrques par rapport à l ae d équaton. 21

22 Représentaton graphque de la foncton de son ae de symétre Ae de symétre d équaton Dem-drote d équaton y ( ) y Dem-drote d équaton y ( ) O Représentaton graphque de la foncton de son ae de symétre Ae de symétre d équaton a y a a O a Remarques : La courbe représentatve de la foncton est obtenue par translaton. Il s agt de la courbe représentatve de la foncton ayant sub une translaton de vecteur. La courbe représentatve de la foncton est symétrque par rapport à un ae parallèle à l ae des ordonnées. C ae de symétre a pour équaton. 22

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