Master: Énergie et technologie des matériaux E.T.M

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1 UNIVESIÉ MOHAMMED V - AGDAL FACULÉ DES SCIENCES ABA Maste: Énegie et technologie des matéiaux E..M KAMAL GUEAOUI Poesseu de l Enseignement Supéieu et esponsable de l Equipe de Modélisation en Mécanique des Fluides et en Envionnement ANNÉE UNIVESIAIE : - -

2 INODUCION GÉNEALE - -

3 Le phénomène de tanset de chaleu et de masse pa la convection natuelle, dans des espaces coninés ou semi-coninés, est généalement dû à la pésence des gadients de tempéatue et de concentation. Ces gadients causent une distibution non uniome de la densité du mélange qui povoque à son tou un mouvement convecti sous l eet de la gavité. Le contenu des espaces peut ête un milieu luide ou un milieu poeux satué pa un luide. Dans la plupat des situations, que ce soit dans la natue ou dans l industie, le luide est constitué de deux ou plusieus composants. Ainsi, les écoulements natuels engendés potent le nom de convection natuelle en double diusion losque le luide est binaie ou bien de convection themosolutale losque le luide est composé de deux ou plusieus constituants. Le phénomène de la convection themosolutale est équemment enconté dans la natue. Les exemples sont multiples et nous pouvons en cite quelques-uns : les mouvements convectis dans les océans qui sont dus, d une pat, à la pésence de gadient de tempéatue et, d aute pat, à la distibution non uniome de la concentation du sel, la dispesion des polluants dans l atmosphèe (gaz nocis) et dans le sol (déchets nucléaies) et la migation de l humidité ou des sels minéaux dans les sols. Pa ailleus, les tansets de chaleu et de masse pa convection sont aussi omnipésents. Ces phénomènes inteviennent, pa exemple, los des mécanismes de changement de phase des métaux où la convection aecte diectement la stuctue micogaphique et les popiétés mécaniques et themophysiques des alliages, los des pocédés de séchage de diéents poduits industiels et domestiques, au cous de dives pocédés themochimiques et électochimiques, los des stockage des gaz liquides, dans les pompes à chaleus à absoption ou à adsoption, dans les éacteus chimiques, dans les pocédés d oxydation ou de taitement des suaces métalliques et los de la migation de l humidité dans les ibes destinées à l isolation themique. Ce polycopié pésente la omulation mathématique du poblème de la convection natuelle laminaie d un luide newtonien coniné dans une enceinte cylindique d axe vetical chaué pa le bas. Le luide est considéé incompessible et l appoximation de Boussinesq est intoduite. Les mouvements de convection natuelle sont égis, dans le cas d un milieu luide libe et puement themique pa les équations de Navie-Stocks déduites des bilan de masse et de quantité de mouvement aux quelles il convient d ajoute l équation de l énegie déduite du pemie pincipe de la themodynamique. Ensuite une omulation voticité-onction de couant est intoduite et le nouveau système d équations à ésoude est développé sous la ome divegence et convective

4 Apès pésentation des équations scalaies et des conditions aux limites expimées dans le système cylindique, une adimensionnalisation du système ainsi obtenu est alos eectuée. Ensuite nous abodons la omulation spéciique à la convection themique ; à la magnétoconvection et à la convection themosolutale. Nous pécisons pou chaque poblème la natue des oces extéieues ; les goupements adimensionnels et éventuellement les équations supplémentaies à pende en compte. Pou les milieux poeux deux omulations seont pésentées EBFD et EB dans un volume de contôle. Ce polycopié sea teminé pa la pésentation de paamètes pemettant de quantiie les tansets de chaleu et de masse : Nombe de Nusselt et Nombe de Shewood

5 PAIE A POBLEME DE CONVECION EN MILIEU CONFINE - 5 -

6 Chapite Fomulation mathématique - 6 -

7 - EQUAIONS EN MILIEU FLUIDE LIBE.- Equation de consevation de la masse (Equation de continuité) La consevation de la masse de tout système matéiel est un pincipe ondamental de la mécanique classique il implique que : D où : dm ρ div t Ce qui donne : ρ div t d ( ρv) ( ρv) Pou un luide incompessible, on touve div ( v) ().- Equation de consevation de la quantité de mouvement La vaiation de la quantité de mouvement linéaie de toute patie d un milieu continu qu on suit dans son mouvement est équilibée pa l action des oces de volume (oces à distance) et les oces de contact execées su le contou de. Les oces à distance sont généalement connues (Ex : gavité,.). Les oces de contact execées su le contou de pa la matièe envionnement sont des actions extéieues à mais intéieues au système milieu continu ce sont les eots de cohésion du milieu continu. Cauchy suppose l existence d une densité suacique de oce ( n, X,t) vecteu unitaie n en tout point (X,t) du milieu continu. Donc ( n, X,t) déinit pou tout epésente la oce pa unité de suace execée pa la matièe située du coté positi de n su la matièe située du coté négati de n, les oces de contact execées su sont alos. F cont S F àdis àdis d ( n, X,t) ds O : ( n, X, t) ( X, t)n ; Foces de contact. ; Foces à distance, avec est une densité volumique

8 Avec ( X, t) appelé tenseu des containtes. D où la loi de consevation de la quantité de mouvement linéaie s écit sous la ome suivante : dv ρ d ( X,t) ds d () S O ( X, t) ds div ( X, t) S d D où : Pou un luide visqueux : ( X, t) PI τ( X, t) (4) dv ρ div Σ( X,t) (3) PI : est le tenseu des containtes nomales. τ ( X,t) : est le tenseu des containtes visqueuses. τ 3 ( X, t) ξ µ div ( v) δ µ D (5) D : est appelé tenseu du taux de déomation. [ div ( v) ( div ( v) ) ] D (6) D où : τ [ ] ( ) X, t ξ µ div ( v) δ µ div ( v) ( div ( v) ) 3 est la viscosité dynamique du luide ( èe viscosité) et est appelée ème viscosité. D où l équation inale de consevation de la quantité de mouvement pou un luide incompessible ( div( v) div ) : d v ρ ga d( P) µ v (8).3- Equation de consevation de l énegie (Pemie pincipe de la themodynamique) A chaque instant, la somme de la déivée paticulaie de l énegie intene E int du système D et de la déivée paticulaie de l énegie cinétique E C est égale à la somme de la puissance des eots extéieues execés su D dans le mouvement éel et du taux de chaleu eçu pa le système D. (7) - 8 -

9 d d v ( v ) d ( v ) ρ ed ρ d S qn ds q : est le vecteu lux de chaleu sotant au point M de nomale n ; est la densité volumique de chaleu échangée pa le système pa ayonnement et e est une densité massique de l énegie intene. D apès le théoème de l énegie cinétique on a : d ρ d vd vds v S : Dd (9) () On intoduit l équation () dans l équation (9), on touve : ( : D ) ρ d d de qnds O, d apès le théoème de la divegence, on a : de ρ : D div ( q) () Avec : P δ µ D S () δ : D ta d : D Pδ : D µ D : D PI µφ (3) ( D) I div ( v) d : D µφ δ : Est appelée onction de dissipation visqueuses de ayleigh. L enthalpie massique s écit sous la ome : P h e (4) ρ D où : de dh dp ρ ρ (5) O : h est une onction de la tempéatue et de la pession, d où : dh Ca : C P h d h dp d C P ρ h (6) ; h P ρ ( ) β (7) P β dp ( ) - 9 -

10 β ρ ρ P (8) On intoduit les équations (6) et (7) dans l équation (5), on touve : de d dp ρ ρcp β (9) On intoduit les équations (9) et (3) dans l équation (), on touve : ρc P d div q ( ) µφ β dp () En convection natuelle, losque les vitesses de l écoulement et les pessions mises en jeu sont elativement aibles, on néglige les temes de compessibilité et de dissipation devant les autes temes de l équation de l énegie et on pend (pas d échange à distance). d ρ C P div ( q) q λ gad () c est la loi classique de Fouie. L équation de l énegie s écit inalement sous la ome suivante : d λ K () ρc P K : est la diusivité themique du luide. - APPOXIMAION DE BOUSSINESQ L appoximation de Boussinesq consiste à considée que les vaiations de la masse volumique du luide en onction de la tempéatue sont négligeables sau dans le teme de poussée (gavité). ( ) ρ ρ ( ) ρ [ β ( )] ρ (4) P ρ est la masse volumique du luide à. Sous ces hypothèses, le système d équations à considée qui gouvene le phénomène de la convection natuelle laminaie devient : Equation de continuité : Equations de Navie Stocks : div ( v) (5) - -

11 d v ' ga d( P) ν v [ β ( ) ] g (6) ρ Equation de l énegie : d K (7) - -

12 Chapite FOMULAION VOICIE-FONCION DE COUAN - -

13 - Intoduction Pou les écoulements bidimensionnels cylindiques, il s avèe commode de emplace les vaiables pimitives pession et vitesse pa la composante non nulle du vecteu otationnel de la vitesse et la onction de couant. ot ( v) (8) u (9) z et Avec : v ue w (3) w e z On applique l opéateu otationnel à l équation (6), on touve : v vdiv ( v) gad ( P) ν ( v) β t ρ ' ( ) ( ) g On a les elations suivantes : ot gad (3) ( ( )) et ot.a.o ot (33) ( A) A gad ( ) Les équations (3) et (33) donnent : gad P (34) ( ) (3) et [. v] v. v v ( v). v v. v (35) Vu l identité : v. v v. (36) ( ) On intoduit les équations (34) et (35) dans l équation (3), on obtient :. v v. β g ν t Où : t ( ) ( ) ' ' ( v) β ( ) g ν L équation (37) est la ome convective de l équation du tanspot du otationnel (37) (38)

14 L équation (38) est la ome divegence ou consevative de l équation du tanspot du otationnel. - la ome convective de l équation de l énegie : t v. k - la ome divegence de l équation de l énegie : t ( v) k (39) (4) Ca : et v Eo! Objects cannot be ceated om editing ield codes. La onction de couant est eliée au vecteu otationnel de vitesse pa la elation suivante : e θ (4) - EQUAIONS SCALAIES z F >> C F L g Paoi C z ( ) C F L Ou Paoi C e z e Le système scalaie à ésoude dans le cas de égime stationnaie pou une telle coniguation est le suivant : Equation (38) : we ue β g ν (44) w z ( ) ( ) ' u β z g ν θ z ' ( ) e θ (45) - 4 -

15 D où inalement. u w u β z g ν ( ) e θ ' (46) u w k z (47) (48) 3- CONDIIONS AUX LIMIES 3.- Conditions aux limites themiques 3..- Conditions paiétales Pou on utilise la loi de Fouie : z Paoi γ ( γ) Paoi C ( C F) (49) L γ est appelé coeicient d homotopie égale pou une paoi paaitement conductice et pou une paoi paaitement adiabatique Condition de symétie (5) Conditions d isothemie su les bases pou z (5) C F pou z L (5) 3.- Conditions aux limites dynamiques 3..- Conditions paiétales Les conditions paiétales sont les conditions taduisant l adhéence à la paoi. Si z ou zl on a uw D où : (53) z Si on a aussi uw D où : z 3..- Conditions de symétie de l écoulement Pou (symétie axiale de l écoulement), on a : z (54) On a aussi (aison de continuité de, elle est nulle su les paois)

16 La condition de l axisymétie de l écoulement pemet de éduie le domaine d étude à la moitié du plan vetical contenant l axe de la cavité ; Soit : et z L (55) - 6 -

17 Chapite 3 ADIMENSIONNALISAION - 7 -

18 - Intoduction La convection themique ait inteveni un gand nombe de paamètes pouvant vaie dans des intevalles tès lages. L adimensionnalisation en egoupant ces paamètes dans des combinaisons sans dimensions, pemet d une pat de éduie le nombe des paamètes égissant eectivement le phénomène et d aute pat d applique la desciption mathématique d un poblème donné à une lage classe de poblèmes. Cette opéation se ait pa le choix de cetaines gandeus de ééence. : pou la longueu ; k : pou la vitesse ; C F : pou la tempéatue et : pou la densité de oce de volume. ' Soit : ; z ' ; z ; u k u ; k et w k w ; k -Adimensionnalisation de l équation de consevation da la quantité de mouvement L équation taduisant la consevation de la quantité de mouvement, sous ome adimensionnelle, s écit : θ C F F k u k w..k.k z k k ' ν ( ) e θ où k νk ( u ) ( w ) z ' ( ) e θ u k u β..k g θ β g ( θ ) On gade les mêmes notations des vaiables dimensionnelles pou les vaiables adimensionnelles, on touve : F D - 8 -

19 ( u ) ( w) u θ P a P ( ) e θ ' z k (56) β a g νk 3 (57) Où : a Est le nombe de ayleigh qui mesue le appot des oces de poussée aux oces visqueuses. P ν (58) k Où : P Est le nombe de Panl qui mesue le appot ente la diusivité de la quantité de mouvement et la diusivité themique. 3-Adimensionnalisation de l équation de l énegie L équation d énegie, sous ome adimensionnelle, s écit : k u.. k w ( θ ).( θ ) F ( θ ) F z F k Même chose, on gade les mêmes notations, on touve : u θ wθ θ z θ (59) 4-Adimensionnalisation des équations (9) ; (3) et (48) Les équations (9), (3) et (48), sous ome adimensionnelle, s écivent : u (6) z w (6) (6) - 9 -

20 Chapite 4 CONVECION HEMIQUE - -

21 - Intoduction Dans le cas de la convection puement themique, on a ', l activation du mécanisme de la convection natuelle se ait pa le gadient de la tempéatue hoizontal. - Conditions aux limites sous leu ome adimensionnelle L : est appelé appot d aspect ou acteu de ome. pou z ; z et z Si la paoi est paaitement conductice (γ) : θ z ( ) F C C F d où L Si la paoi est paaitement adiabatique (γ) : z z θ (64) pou L θ (65) pou θ pou z et θ pou z (66) θ et (67) pou (condition de symétie). - -

22 Chapite 5 MAGNEOCONVECION - -

23 - Intoduction On suppose maintenant le luide est électiquement conducteu soumis d un champ magnétique H, ce luide induit pa son mouvement un couant électique de densité J nomal à v et H J H opposée au mouvement (oce de Loentz).. Ce couant mène à une oce ( ) - Mise en équations On a les équations d induction de Maxwell suivantes : H 4 πj (68) H (69) E (7) J σ E v H (7) Loi d Ohm : ( ( ) φ éléc Les ontièes du système étudié sont considéées électiquement isolantes d où n ce qui implique que gad φ éléc d où E. J σ( v H ) (7) ( J H ) [ ( v H ) H] [ ( v Hb) Hb] ' σ σ ' σh v b (73) D où : [( ) b] L adimensionnalisation de l équation pécédente conduit à : ' σh k σk H ( ) [( ) ] v b b v b b (74) Donc l équation (56) devient : ( u ) ( w) u θ P a P QP [ ( v b ) ) ] b z σ H Q (76) ν Où : Q est le nombe de Chandasekha. σ Ha Q H (77) ν Où : Ha est le nombe de Hatmann. θ (75) - 3 -

24 Chapite 6 DOUBLE DIFFUSION - 4 -

25 Les écoulements de luides généés pa l action simultanée des gadients de tempéatue et de concentation sont dits de type themosolutal. Si les diusivités themique et massique sont diéentes, ces écoulements sont alos dits à double diusion. On suppose maintenant un luide incompessible et newtonien coniné dans la même coniguation et contient une concentation de matièe diusante (polluant), le luide et le polluant sont complément miscibles d où le système étudié est une mixtue luide. Les suaces hoizontales sont maintenant maintenues à des valeus diéentes de tempéatue et de concentation. On néglige l eet Duou et l eet Soet. - Eet Duou : end compte de la contibution du gadient de concentation aux lux de chaleu. - Eet Soet : end compte de la contibution du gadient de tempéatue au lux massique. La densité du luide à pession constante dépend de la tempéatue et de la concentation du polluant. ρ ρ ρ (78) ( ) ( ), C ρ ( C ) D où : ρ C P C P (, C) ρ [ β ( ) β ( C )] Avec : β S C S ρ ρ C P (79) β S est le coeicient d expansion de concentation. La oce de poussée due à la concentation est pise en compte dans ce cas. β est toujous positi sau le cas de l eau ente C et 4 C où si diminue la masse volumique diminue aussi. β S Peut ête positi ou négati, d où les oces de poussées vont s additionne ou s oppose. Quate coniguations peuvent alos ête obsevées

26 F C F F C F F C C F CC β S > β S < > < β S β S C C C C C C C C F C C F Foce de poussée themique Foce de poussée solutale On intoduit dans l équation (56) une oce de poussée solutale, on touve : ρ ρ g [ β ( ) β ( C C )]g C C F C C F χ (8) C C C C F où : χ est la concentation adimensionnelle. S Le teme des poussées dans l équation de tanspot du otationnel devient : β C S g β g βs g (8) ( ) g β ( C C ) L adimensionnalisation de (8) donne : β g θ β S gc χ β g θ β β S C χ β g θ N χ (8) Avec : N β C S (83) β N est appelé appot des poussées. N si β S et N si β L équation (56) devient : ( u ) ( w) z u P θ χ a P N (84) L équation adimensionnelle à ésoude concene le tanspot de la concentation

27 Le compotement de la concentation est globalement similaie à celui de la tempéatue. On utilise la loi de Fick qui elie le vecteu lux dispesi massique au gadient de concentation, on touve pa analogie à l équation de la tempéatue l équation suivante : dc D où : k S C K S est la diusivité solutale. ( uc ) ( wc ) z L adimensionnalisation de l'équation (85) donne : k Le (87) Le k S ( u χ) ( wχ) z k S C χ Le Où : Le est le nombe de Lewis, epésente le appot ente les diusivités themique et solutale. ν Sc (88) k S Où : Sc est le nombe de Schmi, analogue au nombe de Panl. Il mesue le appot ente (85) la diusivité de la quantité de mouvement et la diusivité solutale. Le D où : k k S k ν ν k Sc Le (89) P a N Le a S (9) S (86) a S βsgc (9) νk S 3 Où : a S est le nombe de ayleigh solutal. Conditions aux limites elatives à la concentation. χ pou et (9) χ et χ pou z et z (93) - 7 -

28 PAIE B CONVECION EN MILIEUX POEUX - 8 -

29 Intoduction - 9 -

30 Nous allons eteni la même coniguation géométique que celle considéée pou la convection themique d un luide libe à la diéence que la cavité est maintenant emplie d un milieu poeux satué pa un luide incompessible et newtonien

31 Chapite Modèle EBFD : Extension Binkman-Fochheime de la loi de Dacy - 3 -

32 Ces extensions sont poposées pou amélioe la loi de Dacy et étende son champ d application. Fochheime (9) tient compte de l eet non linéaie de la taînée due à la matice solide et Binkman (947) tient compte de l eet des containtes visqueuses adjacentes aux paois. La matice solide et luide convectant sont assimilés à un luide icti isotope de conductivité themique λ et de chaleu volumique ( c ) ( ) ( )( ) P ε ρcp ε ρc P S ρ (94) - L équation du mouvement s écit sous la ome suivante : ρ ε v. v Pρ - L équation de l énegie s écit : ' µ g v ρ K ' ( ρc ) v. λ P b K v v µv (96) (95) ' µ µ est la viscosité appaente ; K la peméabilité du milieu poeux et b une popiété de la stuctue de la matice poeux. L équation (95) devient : v. v P ' µ b [ β ( )] g v v v νv ε ρ Kρ K (97) On applique l opéateu otationnel à l équation (97), on touve : ε Ca : ' µ b b ( v) β ( ) g v v v ν Kρ b b b b b v v v v v v v v v (99) K K K K K D où le système scalaie à ésoude : ε ( u ) ( w) z u β g ν K ' µ ρ K b K K v b K v w v u z (98) () Nous aisons une adimensionnalisation du système () en utilisant les gandeus de ééence suivantes : : pou la longueu ; C F : pou la tempéatue et - 3 -

33 k : pou la vitesse. On gade les mêmes notations, nous touveons le système suivant : ε λ P ( u ) ( w) u z Fs v w Da ε v u z u λ P Da λ a Fs Da P v θ λ P () Avec : b Fs () Où : Fs est le nombe de Fochheime. K Da (3) Où : Da est le nombe de Dacy. λ λ (4) λ Où : λ est le appot des conductivités. a et P sont espectivement le nombe de ayleigh et de Panl pou le luide. D où en ésolvant l équation (59) ; (6) et (), Les nombes de Dacy et de Fochheime, peuvent ête obtenus pa les elations suivantes d apès le modèle d Egun : Da ε d 5( ) P ε (5) Et Fs 75, d ( ) P 5 ε (6)

34 Chapite Modèle EB

35 Le modèle EB pat des équations de bilan de masse et de quantité de mouvement écites dans un volume de contôle. - Bilan de masse. εu z εu z εw εw (7) zz z ûˆ εu et ŵˆ εŵˆ (8) D où : ûˆ ŵˆ z (9) - Bilan de quantité de mouvement dans la diection z. ερ ετ u zz w z zz ετ ερ zz z u w ετ z z z ερ w ετ z z zz Dˆ ερ z ε Dˆ z est la taînée due à la matice solide dans la diection z. w τ zz µ () z u w τ z µ () z Dˆ z Aŵˆ B v ŵˆ (3) w z ( ρ ρ ) gz P zz P z () A ( ε) µ 5 (4) 3 ε d P B ( ε) ρ 75, (5) 3 ε d P 3 ε d K P (6) 5( ε) D où : Dˆ z µ 75, ρ ŵˆ v ŵˆ (7) 3 K 5K ε D où nous déduisons l équation de tanspot de la voticité sous la ome adimensionnelle suivante :

36 ( ) ( ) P P P P a a a a z v ûˆ v ŵˆ Da Da Da Da ,75 P P P P P P P P v Da Da Da Da ,75 Da Da Da Da P P P P ûˆ u z ŵˆ ûˆ 3 3 θ ε ε ε ε ε ε (8)

37 Chapite 3 NOMBE DE NUSSEL E NOMBE DE SHEWOOD

38 Le nombe de Nusselt caactéise le tanspot de chaleu au niveau des paois, il est déinit en un point M pis su un élément de suace ds comme suit : Nu l O : t (9) ϕ ϕ cond ϕt ρcp P z z ( ) vnds λ ds ρ c ( ) wds λ ds ϕ λ ds () cond z Adimensionnalisation de () conduit à : θ ϕ t λ wθ ds () z Adimensionnalisation de () conduit à : θ ϕ t λ ds (3) z D où : θ wθ z Nu l (4) θ z - Si la paoi est paaitement conductice (γ) z θ (5) θ Nu l wθ (6) z () De la même manièe, on peut caactéise le tanset de masse pa la déinition du nombe de Shewood. χ Sh l Le wχ (7) z Su les suaces inéieues et supéieues on a w d où : Nu il θ (8) z z Nu sl θ (9) z z

39 Sh il χ Le (3) z Sh sl z χ Le (3) z z D où : θ z z Nu d ig (3) Et ig θ z z Nu sg d (33) sg χ z z Sh Le d ig (34) Et ig χ z z Sh sg Le d (35) sg

40 Chapite 4 ESIMAION DE LA VOICIE AUX FONIEES - 4 -

41 - 4 - Nous pésentons dans cette patie quelques schémas pami les plus utilisés pou l estimation de la voticité aux ontièes. Ces schémas sont basés soit su les conditions aux limites su la onction de couant, soit su les conditions aux limites su le champ des vitesses. L équation de la onction de couant s écit : z (36) Fait inteveni les déivées secondes de celle-ci. Les diéents schémas pou la détemination de la voticité aux ontièes ne diéent, de ait, que pa la manièe adoptée pou appoche ces déivées secondes. - Equations à la paoi latéale En tenant compte des conditions aux limites su la onction de couant à la paoi veticale ( ; v ) l équation (36) devient : (37).- Méthode de hom En eectuant un développement en séie de aylo de la onction de couant à un point de la paoi () : (38) Et comme : l équation pécédente de vient : D où l expession de hom pou la voticité : (39).- Méthode de Jensen Cette pocédue consiste à utilise un schéma décenté en tois points pou appoche la déivée seconde, soit : (4) (4) En multipliant l équation (4) pa 8 et en lui soustayant l équation (4), on touve :

42 (4) Avec les conditions : l équation (4) devient : 8 (43).3- Méthode de Woods On suppose que le otationnel pès de la paoi vaie linéaiement. On peut alos écie : 3 3 (44) En utilisant le développement (4) et en tenant compte de la condition d adhéence à la paoi l équation (44) se éécit : (45) En utilisant un schéma décenté d ode un en deux points pou appoche le pemie membe de (45), celle-ci donne inalement : ( ) 6 (46).4- Méthode de Vitesse L écitue de l équation (36) en utilisant les expessions des déivées de la onction de couant en teme des composantes de la vitesse, donne : w z u (47) Pou la paoi veticale cette équation devient : w (48) La méthode de vitesse consiste à discétise cette elation à l aide d une diéence décentée du deuxième ode en tois points, soit : w 4w w 3 (49) Avec la condition d adhéence à la paoi, cette elation devient : w w 4 (5)

43 .5- Méthode de Vitesse Pou cette méthode, la elation (48) est appoximée pa une diéence décentée du pemie ode en deux points, soit : w w (5) Ou encoe en tenant compte du ait que la vitesse est nulle à la paoi : w (5) - Equations su les suaces hoizontales En tenant compte des conditions aux limites su la onction de couant aux suaces hoizontales l équation (48) devient : z, (53) pou. z, D aute pat, la condition de non glissement écite pou les suaces hoizontales donne les expessions : (54) Pou la suace inéieue et z z z (55) pou la suace supéieue. z z z.- Méthode de hom En utilisant le développement : z zz z z (56) pou la suace inéieue et le z z développement z z z z z z z z (57) pou la suace supéieue. z z z On obtient les expessions de hom : z zz z (58) pou et. z z z z (59) pou

44 .- Méthode de Jensen On utilise les développements : 3 3 z z zz z z (6) 3 z z 6 z z z 8z 3 3 z z z z z (6) pou la suace 3 z z z 6 z z z inéieue et 3 3 z z z z z z (6) 3 z z 6 z z z z z z z z z z z z z z 8z z z (63) Pou la suace supéieue. En pocédant comme dans le cas de la paoi latéale, on touve : 7 8 z zz z z (64) pou z 7 z 8 z z z z z (65) pou z z.3- Méthode de Woods Les développements utilisés sont ceux des expessions (6) et (6). En utilisant les elations (54) et (55) et en appochant la déivée pemièe de la voticité pa une diéence d ode un en deux points, on obtient : 3 (66) pou z zz z z 3 (67) pou z z z z z.4- Méthode de vitesse L équation (47) s écit pou les suaces hoizontales : u z, (68) z z, On appoche la déivée de la vitesse pa une diéence d ode deux en tois points, d où : z 3 u 4u u z zz z z (69) pou la suace inéieue. z (avec une diéenciation à doite)

45 z 3 u 4u u z z z z z (7) pou la suace supéieue z (avec une diéenciation à gauche)..5- Méthode de vitesse La déivée de la vitesse dans la elation (68) est appochée pa une diéence d ode un en deux points. On obtient alos : z u u zz z (7) z u u z z z (7) z z

46 ÉFÉENCES BIBLIOGAPHIQUES

47 OMAIN DELAHAYE. Inluence de l eet Soet su la convection natuelle au sein d une couche de luide binaie. Mémoie pésenté en vue de l obtention du Diplôme de Maîtise ès Sciences Appliquées Dépatement de Génie Mécanique de l Ecole Polytechnique de Montéal,. au MOHAMMED NABIL BOUANA. Convection natuelle dans un milieu poeux Soumis à l eet Soet. Mémoie pésenté en vue de l obtention du Diplôme de Maîtise ès Sciences Appliquées Dépatement de Génie Mécanique de l Ecole Polytechnique de Montéal,. au PHILIPPE-EMMANUEL OCHE. Convection themique tubulente en cellule de ayleigh-bénad cyogénique. hèse pésentée pou l obtention du tite de Docteu de l Univesité Genoble I - Joseph Fouie, janvie. LAMINE KALLA. Convection themosolutale au sein d une cavité poeuse Satuée pa un luide binaie. hèse pésentée en vue de l obtention du Diplôme de Philosophiae Docto au dépatement de Génie Mécanique de l Ecole Polytechnique de Montéal, 4. A.BAHLOUL, P.VASSEU, M.A.YAHIAOUI and L.OBILLAD. hemogavitational Sepaation in a Vetical Annula Poous Laye. Int.Comm.Heat Mass anse, Vol.3,No.6,pp ,4..BENNACE, A.OBBAL et H.BEJI. Convection Natuelle hemosolutale dans une Cavité Poeuse Anisotope : Fomulation de Dacy-Binkman. ev.eneg.en.vol.5()-. K.BENHADJI, L.OBILLAD and P.VASSEU. Convection in a Poous Cavity Satued With Wate Nea 4 c and Subject to Diichlet-Neumann hemal Bounday Conditions. Int.Comm.Heat Mass anse, Vol.9,No.7,pp ,

48 A.BENKHELIFA et M.BELHAMEL. Simulation de la Convection Natuelle en égime Pemanent dans une Cuve Cylindique : Cas de l Hydogène Liquide. ev.eneg.en : Jounnées de hemique ()