Limites de la topologie algorithmique

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1 Chapitre 8 Limite de a topoogie agorithmique On montre ici que certain probème topoogique fondamentaux ont indécidabe. C et en particuier e ca pour e probème de a contractibiité d un acet dan un compexe (impicia ou autre) ou pour e probème de équivaence combinatoire de deux compexe. La preuve de tee indécidabiité obtient en deux étape. Dan un premier temp on montre que e probème en quetion et équivaent à un probème de déciion dan e repréentation combinatoire de groupe. Par exempe, une repréentation du π 1 d un compexe obtient aiément à partir de on 2-queette. On obtient tout aui aiément expreion de a cae d homotopie d un acet dan cette repréentation. I uit que e probème de a contractibiité e réduit au probème du mot dan e groupe. Inverement, toute repréentation combinatoire et réaiabe comme e π 1 d un 2-compexe, contructibe par une machine de Turing, dan eque toute combinaion de générateur e réaie comme un acet. Le probème du mot et donc équivaent, au en de a cacuabiité, à ceui de a contractibiité. Dan un deuxième temp, on montre que e grand probème de déciion dan e repréentation combinatoire de groupe, comme e probème du mot, de a conjugaion et de iomorphime, ont indécidabe. La vraie difficuté réide dan cette econde étape, au moin pour e probème du mot et de a conjugaion. L indécidabiité du probème du mot a été prouvée par Novikov (1955) pui grandement impifiée par Boone (1959), grâce à introduction de extenion HNN. Markov (1958) a déduit de réutat de Novikov et Boone indécidabiité du probème de homéomorphime pour e compexe combinatoire. L objet de ce chapitre et de prouver indécidabiité du probème du mot. Je ui a préentation de Stiwe [Sti93, chap. 9]. 8.1 Le probème de arrêt Machine de Turing Une machine de Turing et un modèe mathématique de a notion de cacu ou d agorithme. Ee a été introduite par Aan Turing au miieu de année Seon a thèe de 58

2 8.1. Le probème de arrêt. Franci Lazaru. 31 mai Church, de tee machine modéient toute automatiation imaginabe du cacu. Ee ont d aieur équivaente aux autre approche de formaiation du cacu que ont e fonction (emi-)récurive et e λ-cacu. Formeement, une machine de Turing et un tripet (A, Q, T ) où A et un aphabet comportant un caractère pécia banc, Q et un enembe d éément appeé état, et T A Q A Q {R, L} et une tabe de tranition pécifiant e fonctionnement de a machine. Cee-ci agit ur de configuration, c et-à-dire de éément de a forme uqv A Q A. Une tee configuration modéie a machine dan un état q et munie d une bande inéaire marquée du mot uv, poédant une tête de ecture/écriture poitionnée ur e premier caractère du mot v (e mot vide et interprété comme e caractère banc). Une tranition aqbpd T appique ur toute configuration uqv tee que a et a première ettre de v. La tranition tranforme a configuration en rempaçant cette première ettre a par b, état q par état p et dépace a tête de ecture d une ettre à droite ou à gauche eon que D vaut repectivement R ou L. On ne conidère ici que de machine déterminite, c et-à-dire tee que aqbpd T et aqb p D T impique a = a, p = p et D = D : en iant une ettre dan un état donné on aboutit à une eue nouvee configuration poibe. Une machine et dite à arrêt i aucune tranition ne appique à a configuration courante. Z 2 -machine On peut interpréter une machine de Turing M comme un enembe de tranformation ur Z 2. Pour cea, on poe β = A + Q et on aocie à chaque ettre et état de M un chiffre ditinct entre 0 et β 1 en bae β. On interprète enuite une configuration uqv comme e coupe d entier (B(uq), B( v)) en bae β, où v = v 1 v 2... v k = v k... v 2 v 1 et B(w) déigne e nombre dont e chiffre en bae β ont aocié aux ettre et état de w, dan e même ordre. Toute tranition de M peut aini interpréter comme une tranformation partiee ur Z 2. Pu préciément, on aocie à toute tranition aqbpl e -tranformation : (β 2 U + B(cq), βv + B(a)) (βu + B(p), β 2 V + B(bc)) correpondant aux tranition B 1 (U)cqaB 1 (V ) B 1 (U)pcbB 1 (V ) ur e configuration. Ce tranformation ont encore de a forme (β 2 U + A, βv + B ) (βu + C, β 2 V + D ) pour de nombre A, B, C, D approprié. Ce 4 nombre déterminent aini une -tranformation. Noton qu une tranition donne naiance à A tranformation poibe, une pour chaque vaeur de a ettre c. On aocie de même à toute tranition aqbpr e r-tranformation : qui prennent a forme (βu + B(q), β 2 V + B(ca)) r (β 2 U + B(bp), βv + B(c)) (βu + A r, β 2 V + B r ) r (β 2 U + C r, βv + D r )

3 8.1. Le probème de arrêt. Franci Lazaru. 31 mai pour de nombre A r, B r, C r, D r approprié. Pour de coupe (X, Y ), (X, Y ) Z 2, on écrit (X, Y ) (X, Y ) i (X, Y ) e déduit de (X, Y ) par appication d une -tranformation, {, r}. Pu généraement on écrit (X, Y ) (X, Y ) i (X, Y ) e déduit de (X, Y ) par appication d une ucceion de tranformation. Aini, a machine M pae d une configuration donnée à une autre par une ucceion de tranition i et euement (X, Y ) (X, Y ) pour e coupe correpondant. On écrit finaement (X, Y ) (X, Y ) i exite de coupe (X, Y ) = (X 0, Y 0 ), (X 1, Y 1 ),..., (X n, Y n ) = (X, Y ) te que (X i, Y i ) i (X i+1, Y i+1 ) ou (X i+1, Y i+1 ) i (X i, Y i ) pour 0 i < n et i {, r}. Codage tandard de machine de Turing On dit qu une machine de Turing M et ou forme tandard i ee a pour aphabet un ou-enembe fini de Σ = {banc, 1, 1, 1, 1,...} et pour état un ou-enembe fini de {q, q, q, q,...}. On peut aor coder a tabe de tranition de a machine ur aphabet à 6 ettre {banc, 1, q,, R, L} en concaténant e tranition (de a forme 1 q 1 q D) de M où e ymboe et conidéré comme une ettre. Finaement en rempaçant e ettre q,, R, L par e ettre repective 1, 1, 1, 1, on obtient un codage de a tabe de tranition ur aphabet Σ. Une tee decription de M contitue on code tandard, et et noté M Indécidabiité du probème de arrêt Un enembe de mot W A et dit décidabe (ou récurif) par une machine de Turing M = (A, Q, T ) i on peut ditinguer troi état q i, q a, q r Q, repectivement appeé initia, acceptant et rejetant, te que pour tout mot w A, partant de a configuration q i w, a machine M atteint une configuration d arrêt dan état q a i w W et dan état q r inon. On exige en particuier que M atteint une configuration d arrêt pour tou e mot w. Un probème de déciion et un enembe de quetion à répone binaire (oui ou non). Par extenion, on dira qu un probème de déciion et décidabe par une machine de Turing, i et poibe de coder e quetion par de mot d un aphabet et i enembe de mot codant e quetion à répone poitive et décidabe. Soit M une machine de Turing ou forme tandard et M on code tandard. On conidère e probème de déciion uivant : a machine M atteint-ee, à partir de a configuration q M, une configuration d arrêt dan état q? Théorème Le probème de déciion précédent et indécidabe. Preuve : Suppoon e probème décidabe et oit S une machine de Turing ou forme tandard e décidant. Quitte à renommer e état de S, on peut uppoer que e état

4 8.2. Indécidabiité du probème du mot. Franci Lazaru. 31 mai initiaux, acceptant et rejetant ont repectivement q, q et q. Partant de a configuration q S, a machine S ne peut aboutir à état acceptant q car cea ignifierait de manière contradictoire que S, partant de q S aboutit à q. De même, S ne peut aboutir à état q, car cea ignifierait de manière contradictoire que S n aboutit pa à q. Pu généraement, Coroaire Le probème qui demande pour toute machine M et toute configuration initiae C, i M atteint une configuration d arrêt à partir de C et indécidabe. En effet, e probème précédent e réduit aiément 1 à ce probème généra de arrêt. I et en fait poibe de contruire une machine M expicite pour aquee e probème de arrêt à partir d une configuration initiae queconque et indécidabe. Le paragraphe uivant indique une contruction reativement impe. Machine de Turing univeree On peut contruire une machine de Turing T, dite univeree, tee que pour toute machine M ou forme tandard et toute configuration initiae C, a machine T, partant de a configuration q M C, imue e cacu de M à partir de C et arrête dan état q i et euement i e cacu de M à partir de C finit par arrêter. Une tee machine erait fatidieue à décrire dan e détai mai on peut aiément concevoir un programme dan un angage de haut niveau, te que e angage C++, qui réaie cette imuation. Ceci indique à fortiori exitence d une machine de Turing univeree. Le principe et de parcourir a configuration initiae q M C pour ire état et e ymboe courant de C. I faut enuite parcourir M pour déterminer quee tranition de M appique. Cette tranition tranforme C en une configuration C, et on aboutit finaement à une configuration q M C de T. On peut aini recommencer juqu à éventueement atteindre une configuration q M C tee que C et une configuration d arrêt pour M et paer enuite dan état d arrêt q pour M. Théorème Le probème de arrêt pour a machine univeree T et indécidabe. Autrement dit, i n exite pa de machine de Turing qui décide pour toute configuration C i a machine T, partant de C, aboutit à arrêt. En effet, exitence d une tee machine de Turing permettrait de décider e probème généra de arrêt, en contradiction avec e coroaire Indécidabiité du probème du mot Soit G un groupe de repréentation combinatoire E R et oit w une expreion ur e générateur E de G. Le probème du mot conite à déterminer i w = G 1, i.e. i w et une 1. par une petite modification cacuabe par une machine de Turing.

5 8.2. Indécidabiité du probème du mot. Franci Lazaru. 31 mai conéquence de reation R de G. Par extenion, e probème du mot généraié conite à déterminer i une certaine expreion w appartient à un certain ou-groupe de G pécifié par de générateur dan G. Pour montrer que de te probème ont indécidabe on va montrer que e probème de arrêt pour e machine de Turing e réduit, au en de Turing, au probème du mot généraié, pui au probème du mot. Pour cea on conidère e probème de arrêt pour une machine de Turing queconque, ou pu préciément pour a Z 2 -machine Z équivaente (cf. ection 8.1.1). On contruit enuite un groupe K Z et une injection p : Z 2 K Z, de orte que arrêt de Z partant d un éément queconque (u, v) Z 2 correponde à appartenance de p(u, v) à un certain ou-groupe de K Z. On commence par rappeer une contruction fondamentae de théorie combinatoire de groupe Extenion HNN et emme de Britton Partant du groupe G = S R et d un iomorphime ϕ : A B entre deux ou-groupe A et B de G, Graham Higman, Bernhard Neumann et Hanna Neumann ont étabi en 1949 exitence d un groupe G ϕ contenant G et dan eque A et B ont conjugué. Pu préciément, Définition L extenion HNN de G reativement à ϕ et e groupe G ϕ := S, t R, {t 1 at = ϕ(a)} a A où t et un nouveau générateur quaifié de tabe. Une propriété eentiee de extenion HNN et un théorème de forme normae iu du Lemme (de Britton) Si un produit g 0 t ɛ 1 g 1 t ɛ 2... t ɛn g n vaut éément neutre dan G ϕ, où g i G et ɛ i { 1, 1}, i [0, n], aor ou bien n = 0 et g 0 = G 1, ou bien pour un certain i [1, n 1] on a oit ɛ i = 1, ɛ i+1 = 1 et g i A oit ɛ i = 1, ɛ i+1 = 1 et g i B Indécidabiité du probème du mot généraié On poe K = x, y, z [x, y] = Z 2 Z et on conidère appication p : Z 2 K, (u, v) (x u y v ) 1 zx u y v Lemme L image de appication p forme une bae d un ou-groupe ibre de K. En particuier, p et injective.

6 8.2. Indécidabiité du probème du mot. Franci Lazaru. 31 mai Preuve : Soit w = p(u 1, v 1 ) j1 p(u 2, v 2 ) j 2... p(u n, v n ) jn un produit réduit ur e p(u, v), i.e. avec (u i, v i ) (u i+1, v i+1 ) et avec j i 0. En déveoppant et en utiiant a commutation de x et y on obtient w = K x u 1 y v 1 z j 1 x u 1 u 2 y v 1 v 2 z j 2... x u n 1 u n y v n 1 v n z jn x un y vn D aprè e théorème de forme normae pour e produit ibre de groupe, i ce produit vaut 1 dan K = x, y [x, y] z aor i contient un facteur x u i u i+1 y v i v i+1 vaant 1 dan x, y [x, y] pour un certain entier i [1, n 1]. Mai ceci contredit hypothèe (u i, v i ) (u i+1, v i+1 ). On aocie à toute -tranformation e morphime φ :< x β2, y β, p(a, B ) > < x β, y β2, p(c, D ) >, entre deux ou-groupe de K, défini par x β2 x β, y β y β2, p(a, B ) p(c, D ). Noton que exitence d un te morphime n et a priori pa évidente. On aocie de même à toute r-tranformation e morphime φ :< x β, y β2, p(a r, B r ) > < x β2, y β, p(c r, D r ) > défini par x β x β2, y β2 y β, p(a r, B r ) p(c r, D r ). Lemme Le morphime φ et φ r exitent et ont de iomorphime. Preuve : Soit ρ e morphime intérieur de K qui conjugue par x A y B. Ce morphime envoie < x β2, y β, p(a, B ) > iomorphiquement ur < x β2, y β, z >. On envoie de même < x β, y β2, p(c, D ) > ur < x β, y β2, z > par un morphime intérieur θ. I uffit de montrer que θ φ ρ 1 exite et et un iomorphime. Mai ceci réute du fait que < x β2, y β, z > et éga à < x β2, y β > < z > dan K (montrer incuion dan e deux en) et que < x β, y β2, z > et éga à < x β, y β2 > < z > dan K. En effet, appication x β2 x β, y β y β2 induit cairement un iomorphime < x β2, y β > < x β, y β2 > entre deux ou-groupe eux-même iomorphe à Z 2. Le produit ibre de cet iomorphime avec identité ur < z > fournit un iomorphime qui vaut préciément θ φ ρ 1. On peut donc conidérer extenion HNN K φ de cette extenion. de K par φ. Soit t e générateur tabe Lemme (u, v) (u, v ) i et euement i t 1 p(u, v)t = p(u, v ) dan K φ. De même, (u, v) r (u, v ) i et euement i t 1 r p(u, v)t r = p(u, v ) dan K φr. Preuve : Si (u, v) (u, v ) aor on a pour certain U, V : u = β 2 U + A, v = βv + B, u = βu + C, v = β 2 V + D. On en déduit aiément que t 1 p(u, v)t = p(u, v ) en utiiant e reation de K φ. Réciproquement, uppoon t 1 p(u, v)t p(u, v ) 1 = 1. Par e emme de Britton appiqué à K φ, on a p(u, v) < x β2, y β, p(a, B ) >. Soit encore p(u, v) = x β2 j 1 y βj 2 p(a, B ) j 3 x β2 j 4... p(a, B ) jn pour de entier j 1, j 2,..., j n. Par de tranformation triviae e membre de droite peut écrire ou a forme p(β 2 U 1 + A, βv 1 + B ) j3 p(β 2 U 2 + A, βv 2 + B ) j 6... p(β 2 U k + A, βv k + B ) jn x β2p y βq

7 8.2. Indécidabiité du probème du mot. Franci Lazaru. 31 mai pour certain entier U 1, V 1, U 2, V 2,... U k, V k, p, q. En abéianiant K φ (ou pu impement K, puique t n intervient pa), égaité ci-deu impoe p = q = 0. Le emme permet de concure que e membre de droite e réduit à un eu terme p(β 2 U +A, βv +B ) pour eque u = β 2 U + A et v = βv + B. On peut donc appiquer a -tranformation à (u, v), d où p(u, v ) = t 1 p(u, v)t = p(βu + C, β 2 V + D ) et finaement u = βu + C et v = β 2 V + C par e emme 8.2.3, oit encore (u, v) (u, v ). Le ca d une tranformation droite e traite de a même manière. On note K Z e groupe obtenu par extenion HNN ucceive par tou e morphime φ et φ r aocié aux et r-tranformation de Z. Cairement, ce groupe ne dépend pa de ordre de extenion effectuée. Puiqu un groupe e ponge dan chacune de e extenion HNN, e emme précédent rete vrai dan K Z. Coroaire p(u, v ) p(u, v) i et euement i p(u, v ) < p(u, v), {t r }, {t } > K Z, où {t } et {t r } déignent e enembe de générateur tabe aocié aux extenion HNN reative repectivement aux ϕ et ϕ r. Preuve : D aprè e emme précédent, i p(u, v ) p(u, v) aor i exite un éément w < {t }, {t r } > K Z te que p(u, v ) = w 1 p(u, v)w. En particuier p(u, v ) < p(u, v), {t r }, {t } >. Réciproquement, uppoon p(u, v ) < p(u, v), {t r }, {t } >. Donc p(u, v ) écrit T 0 p(u, v) j 1 T 1 p(u, v) j 2... p(u, v) j k T k pour de entier j 1, j 2,..., j k et de mot T 0, T 1,..., T k de < {t r }, {t } >. Puiqu une tee expreion vaut un éément dan K, i et facie de voir par récurrence ur e nombre d extenion HNN pour paer de K à K Z et en utiiant e emme de Britton, que cette expreion contient un ou-mot de a forme t ±1 wt 1 où w et une expreion dan e domaine ou codomaine de φ. Mai un te w étant néceairement de a forme p(u, v) j, on a t ±1 wt 1 = t ±1 p(u, v) j t 1 = (t ±1 p(u, v)t 1 ) j = p(u, v ) j où on a oit (u, v) (u, v ) oit (u, v) (u, v ) uivant e igne de puiance de t. En particuier, e fait que p(u, v) j oit dan e (co)domaine de φ impique que a -tranformation correpondant à t appique à (u, v). En ubtituant p(u, v ) j à t ±1 p(u, v) j t 1 dan expreion de p(u, v ) ci-deu, on obtient une nouvee expreion en e T i, p(u, v) et p(u, v ). En itérant ce procédé, on obtient finaement p(u, v ) = p(u 1, v 1 ) j 1 p(u 2, v 2 ) j 2... p(u k, v k ) j k où pour chaque i, on a (u i, v i ) (u, v). Le emme impique finaement que e membre de droite de égaité e réduit à p(u, v ). En particuier (u, v ) (u, v). Lemme Soit (u 0, v 0 ) Z 2 correpondant à une configuration d arrêt de Z. Aor (u, v) (u 0, v 0 ) i et euement i (u, v) (u 0, v 0 )

8 8.2. Indécidabiité du probème du mot. Franci Lazaru. 31 mai Preuve : On ne peut avoir (u, v) (u 0, v 0 ) par hypothèe ur (u 0, v 0 ). Par aieur i (u, v) (u, v ) (u, v ) aor (u, v) = (u, v ) car Z correpond à une machine déterminite. On peut donc uppoer qu un te motif n exite pa dan a équence (u, v) (u 0, v 0 ). La conjonction de ce deux propriété impique que cette équence et de a forme (u, v) (u 0, v 0 ). Théorème Le probème du mot généraié et indécidabe. Preuve : Soit Z a Z 2 -machine correpondant à une machine de Turing univeree T. Quitte à ajouter queque tranition à T, on peut uppoer que cette machine univeree poède une unique configuration d arrêt interprétée comme un certain (u 0, v 0 ) par Z. Le emme et corroaire précédent montrent aor que T atteint a configuration d arrêt partant d une configuration initiae donnée de code (u, v) i et euement i p(u, v) appartient au ou-groupe < p(u 0, v 0 ), {t r }, {t } > de K Z. Le théorème permet de concure. Coroaire (Boone) Le probème du mot et indécidabe. Preuve : On note H e ou-groupe < p(u 0, v 0 ), {t r }, {t } > de K Z. On conidère extenion L = K Z IdH et oit k e générateur tabe de cette extenion. Aor p(u, v) H i et euement i [p(u, v), k] = L 1. En effet, par e emme de Britton p(u, v)kp(u, v) 1 k 1 = L 1 i et euement i p(u, v) H.