Coniques. Plan du chapitre

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1 Coniques Pln du chpitre Introduction pge Les coniques pr foyer, directrice et excentricité......pge. Définition.... pge. Intersection d une conique vec son xe focl.... pge 3 L prbole (e = ).... pge 3 3. Définition d une prbole pge 3 3. Eqution réduite d une prbole pge Prmétristion d une prbole....pge Tngente en un point de l prbole «et» et «ou»....pge Construction de l prbole pr points et tngentes...pge 5 4 L ellipse (0 < e < ) et l hyperbole (e > )....pge 6 4. Nottions et clculs communs à l ellipse et à l hyperbole.... pge Position reltive des points O, A, F et K......pge Eqution réduite de l ellipse et de l hyperbole.... pge 6 4. L ellipse pge L hyperbole... pge Prmétristion de l ellipse et de l hyperbole.... pge Définition bifocle de l ellipse et de l hyperbole... pge Tnegente en un point d une ellipse ou d une hyperbole...pge 4 5 Les coniques en polires.... pge 5 6 Les courbes du second degré pge 8 c Jen-Louis Rouget, 007. Tous droits réservés. http ://

2 Introduction C est Menechme qui découvert les sections coniques. Il d bord étudié l intersection d un cône circulire droit (c est-à-dire un cône de révolution dont l ngle u sommet est droit) vec un pln perpendiculire à une génértrice de ce cône. L courbe obtenue est une prbole (mot imginé pr Archimède). Puis, Menechme fit vrier l ngle u sommet du cône (en coupnt toujours pr un pln perpendiculire à une génértrice) et obtenu tntôt une ellipse qund l ngle u sommet étit igu, et tntôt une hyperbole, qund l ngle u sommet étit obtus. C est semble-t-il Apollonius de Perge qui donné leurs noms à l ellipse, l prbole et l hyperbole, mis ce n est ps lui qui les imginés. Il systémtisé l étude des sections coniques en coupnt un cône de révolution quelconque pr un pln quelconque, dns n importe quelle direction. Il déggé les notions d excentricité et de directrice. Le suffixe grec bole utilisé dns les mots prbole et hyperbole est le même que celui des mots discobole et symbole. Il signifie «lncer, jeter». C est clir pour le discobole mis moins pour le symbole : on jeté (bole) ensemble (sym) deux objets (l colombe et l pix pr exemple). Le mot prbole se trduit qunt à lui littérlement pr «jeter à côté» ou un peu plus clir «plcer l un à côté de l utre pour comprer». Ce que l on compre, c est, comme on v le voir plus loin, les distnces d un point M à un point F et à une droite (D). Il y de multiples présenttions des coniques. Dns ce chpitre, on commence pr l description à prtir d un foyer, d une directrice et d une excentricité. Cette description ne fournit ps toutes les sections coniques. On voit ensuite que l ellipse et l hyperbole peuvent être construites à prtir de deux foyers et deux sommets pr exemple. Nous étudions en fin de chpitre les courbes du second degré, qui fournissent toutes les sections possibles d un cône de révolution pr un pln et même un peu plus. Mis vous devrez dmettre ce dernier résultt, cr nous ne fer ps l étude des sections coniques en dimension 3. Un des intérêts mjeurs des coniques est que les équtions différentielles du second ordre régissnt les trjectoires des plnètes ont pour solutions des courbes du second degré, et une nlyse plus fine montre que ces plnètes, comètes,... doivent se déplcer, soit sur des ellipses, soit sur des prboles, soit sur des brnches d hyperboles. Les coniques pr foyer, directrice et excentricité. Définition (D) M H On se donne un point F, une droite (D) ne pssnt ps pr F et un réel strictement positif e. L conique de foyer F, de directrice (D) et d excentricité e est l ensemble MF (Γ) des points du pln tel que = e. Ainsi, en notnt H le projeté orthogonl d(m, (D)) du point M sur l directrice (D), F K ( ) M P, (M (Γ) MF = emh). L droite perpendiculire à (D) et pssnt pr F s ppelle l xe focl de l conique (Γ). On le noter dorénvnt ( ). L xe focl est un xe de symétrie de l conique (Γ). En effet, si M est un point du pln, en notnt M son symétrique pr rpport à ( ), H son projeté sur (D) et H le projeté de M sur (D), H est lors le symétrique de H pr rpport à ( ) de sorte que M H = MH (une symétrie orthogonle conservnt les distnces). D utre prt, F est son propre symétrique. Pr suite, M (Γ) MF = emh M F = em H M (Γ). Le point d intersection de l directrice (D) et de l xe focl ( ) ser dorénvnt noté K.. Intersection d une conique vec son xe focl On cherche mintennt les points du pln qui sont à l fois sur l conique (Γ) et sur l xe focl ( ). On note que le projeté d un point de ( ) sur (D) est systémtiquement le point K. Dns cette sitution prticulière, les points M, F et K étnt lignés, les églités de distnce vont se trduire pr des églités de vecteurs. Soit M un point du pln. M (Γ) ( ) M ( ) et MF = emk MF = e MK ou MF = e MK MF + e MK = 0 ou MF e MK = 0. c Jen-Louis Rouget, 007. Tous droits réservés. http ://

3 Les deux dernières églités s interprètent en termes de brycentre, pour utnt que l somme des coefficients considérés soit non nulle. L somme + e l est systémtiquement, mis l somme e est non nulle si et seulement si e. Il se dégge donc deux cs : Si e, (Γ) ( ) est constituée de deux points, les points A = br(f(), K(e)) et A = br(f(), K( e)). Le point A pprtient u segment [F, K] contrirement u point A. Nous verrons deux prgrphes plus loin que c est le cs de l ellipse et de l hyperbole. Les points A et A sont les futurs sommets de l ellipse ou de l hyperbole. Si e =, l éqution MF + e MK = 0 (d inconnue M) s écrit plus précisément MF + MK = 0 et dmet une et une seule solution, le milieu S de [F, K] (S pour sommet de l prbole que nous llons étudier u prgrphe suivnt). L éqution MF e MK = 0 s écrit qunt à elle MF MK = 0 ou encore KF = 0. Cette éqution n ps de solution cr F / (D). 3 L prbole (e = ) 3. Définition d une prbole Définition. Soient F un point et (D) une droite ne pssnt ps pr F. L prbole (P) de foyer F et de directrice (D) est l conique de foyer F, de directrice (D) et d excentricité ou encore l ensemble des points à égle distnce de F et de (D). L prbole ser notée (P). L xe focl de l prbole ser comme précédemment noté ( ) : c est l droite pssnt pr F et orthogonle à (D). ( ) est un xe de symétrie de l prbole. L intersection de ( ) et de (P) est notée S : S est le sommet de l prbole. C est le milieu du segment [F, K], où K est le point d intersection de ( ) et de (D). Commentire. Une prbole est donc un objet très précis, régi pr des contrintes géométriques très strictes, et une courbe qui l llure d une prbole (comme pr exemple, les grphes des fonctions x x 4 ou x ch(x)) n est ps forcément une prbole. On doit lors donner un sens précis à un bus de lngge usuel : qund on prle de brnche prbolique pour un grphe de fonction, on ne dit ps qu une prtie de son grphe est un morceu de prbole, mis que cette même prtie l llure d un morceu de prbole. 3. Eqution réduite d une prbole H p/ (D) K S M F p/ ( ) L trdition veut que l on étudie l prbole qund celle-ci est «plcée horizontlement et tournée vers l droite». Cette description ne correspond donc ps à ce à quoi on est hbitué u lycée vec l éqution y = x + bx + c. On pose p = FK. p s ppelle le prmètre de l prbole. C est ce prmètre qui donne à l prbole s forme plus ou moins évsée. On choisit un repère orthonormé (S, i, j ), d origine S le sommet de l prbole, d xe des bscisses l xe focl ( ), tel que le point F pour coordonnées (p/, 0). Dns ce repère, l bscisse de F est strictement positive et le point K pour coordonnées ( p/, 0). Soient M(x, y) un point du pln et H( p/, y) son projeté orthogonl sur (D). M (P) MF = MH (x p ) + y = (x + p ) y = px. Dns le repère ci-dessus, l prbole pour éqution y = px (éqution réduite de l prbole). L églité y = px équivut à y = px ou y = px. L prbole est donc ici pensée comme l réunion des grphes des fonctions x px et x px. On doit noter que l bscisse p du foyer est le qurt du coefficient p de x. Inversement, l courbe d éqution y = px, p > 0 donné, est une prbole et on lit dns l éqution l vleur du prmètre p et donc l distnce FK et finlement les coordonnées de F et de K. Cette éqution été fournie dns un repère précis, et on doit svoir dpter notre lecture si notre repère n est ps celui envisgé ci-dessus. Considérons pr exemple, l éqution y = x. Si on remplce x pr X et y pr Y, c est-à-dire si on chnge l orienttion de l xe des bscisses, l prbole d éqution y = x dns le repère initil, mintennt pour éqution Y = X. En référence u cours ci-dessus, on lit les éléments de l prbole : son prmètre vut et dns le nouveu repère, son foyer pour coordonnées (/, 0) et s directrice pour éqution X =, ou encore dns l ncien repère, F pour coordonnées ( /, 0) et (D) pour éqution x = /. De même, si dns l éqution x = y, on remplce x pr Y et y pr X, ce qui c Jen-Louis Rouget, 007. Tous droits réservés. 3 http ://

4 correspond à un échnge des xes de coordonnées, l éqution s écrit Y = X. Dns ce cs, l xe focl est (OX) = (Oy), le foyer est sur (Oy) et donc une bscisse nulle dns le repère initil... Dns l prtique, il n est ps nécessire d effectuer explicitement ces chngements de repère et vous pouvez donc oublier les remrques ci-dessus. On dpte simplement notre lecture de l éqution pr l lecture d un dessin, en ynt conscience que le foyer est sur l xe focl et toujours à l intérieur de l prbole et l directrice est à l extérieur. On résumé dns un tbleu les situtions usuelles. Eqution y = kx, k > 0 (prbole de direction (Ox) tournée vers les x > 0). Sommet S(0, 0), xe focl (Ox) p = k, foyer F(k/, 0), directrice (D) : x = k. Eqution y = kx, k < 0 (prbole de direction (Ox) tournée vers les x < 0). Sommet S(0, 0), xe focl (Ox), p = k, foyer F(k/, 0), directrice (D) : x = k. Eqution x = ky, k > 0 (prbole de direction (Oy) tournée vers les y > 0). Sommet S(0, 0), xe focl (Oy), p = k, foyer F(0, k/), directrice (D) : y = k. Eqution x = ky, k < 0 (prbole de direction (Oy) tournée vers les y < 0). Sommet S(0, 0), xe focl (Oy), p = k, foyer F(0, k/), directrice (D) : y = k. Eqution (y y 0 ) = k(x x 0 ), k > 0. Sommet S(x 0, y 0 ), xe focl ( ) : y = y 0, p = k, foyer F(x 0 + k/, y 0 ), directrice (D) : x = x 0 k. Exercice. Le pln est rpporté à un repère orthonormé. Eqution de l prbole (P ) de foyer F(, ) et de directrice (D) : x = 3 et de l prbole (P ) de foyer F(0, 0) et de directrice (D) : y = x +. Solution. ) Soit M(x, y) P. M(x, y) (P ) MF = (d(m, (D)) (x ) + (y ) = (x + 3) y 4y 8x 4 = 0. ) Soit M(x, y) P. M(x, y) (P ) MF = (d(m, (D)) x + y = ( x y + ) x + xy + y x + y = 0. Exercice. Le pln est rpporté à un repère orthonormé. Nture et éléments crctéristiques de l courbe d éqution : ) y = x, ) y = x, 3) y = x, 4) y = x, 5) y = x + 3x +, 6) y + 6y + 4x 3 = 0. Solution. Toutes ces courbes sont des prboles. ) Sommet O, xe focl (0x), prmètre p =, foyer F(/, 0) et directrice (D) : x = /. ) Sommet O, xe focl (0x), prmètre p = /, foyer F( /4, 0) et directrice (D) : x = /4. 3) Sommet O, xe focl (0y), prmètre p = /, foyer F(0, /4) et directrice (D) : y = /4. 4) Sommet O, xe focl (0y), prmètre p =, foyer F(0, /) et directrice (D) : y = /. 5) y = x + 3x + (x + 3 ) = (y + ). Prbole de sommet S( 3/, /4), d xe focl ( ) : x = 3/, de 4 prmètre p = /, de foyer F = S + (0, p/) = ( 3/, 0) et de directrice (D) : y = y S p/ = /. 6) y + 6y + 4x 3 = 0 (y + 3) + 4x = 0 (y + 3) = 4(x 3). Prbole de sommet S(3, 3), d xe focl ( ) : y = 3, de prmètre p =, de foyer F = S (p/, 0) = (, 3) et de directrice (D) : x = x S + p/ = 4. c Jen-Louis Rouget, 007. Tous droits réservés. 4 http ://

5 Commentire. En ), puisque l on doit voir x = y 0, l prbole est tournée vers les x < 0. Le foyer donc une bscisse strictement négtive. En 3) et 4), les équtions doivent être écrites vec le { crré isolé en premier membre (x = y et x = x xo + X = y). En 6), on doit prendre grde u fit qu un chngement d origine s écrit. En conséquence, l éqution y = y O + Y ne doit ps être écrite sous l forme (y + 3) = 4x +, mis sous l forme (y + 3) = 4(x 3)( Y = 4X ). Sinon, pour bien voir, construisez chcune des prboles précédentes vnt de répondre. 3.3 Prmétristion de l prbole Soit (P) une prbole. Il existe un repère dns lequel (P) dmet pour éqution crtésienne y = px. L prbole est lors l ensemble des ( t, t), t R. On choisi y comme prmètre. On peut églement choisir x mis c est plus mldroit p cr pprissent des cs de figure superflus et des inutiles. Une prmétristion de l prbole d éqution y = px : { x = t p y = t, t R. Il existe un utre repère dns lequel l prbole dmet pour éqution x = py et une utre prmétristion est { x = t y = t p, t R. 3.4 Tngente en un point de l prbole Soit (P) l prbole de foyer F et de { directrice (D). Soit p le prmètre de (P). Il existe un repère dns lequel (P) x = dmet pour représenttion prmétrique t p, t R. y = t Soient y 0 un réel puis x 0 = y 0 dm p. Le vecteur dérivé en y 0 est dt (y 0) = ( y 0, ). Ce vecteur est non nul et donc, (P) dmet p une tngente (T 0 ) en M(y 0 ). De plus, M(x, y) (T 0 ) x x 0 y 0 /p y y 0 = 0 (x x 0) y 0 p (y y 0) = 0 y 0 (y y 0 ) = p(x x 0 ) y 0 y = p(x x 0 ) + y 0 y 0 y = p(x x 0 ) + px 0 y 0 y = p(x + x 0 ). L tngente à l prbole (P) d éqution y = px en le point M 0 (x 0, y 0 ) dmet pour éqution crtésienne : y 0 y = p(x + x 0 ). On verr en fin de ce chpitre (voir pge ) que cette éqution s obtient à prtir d une règle très générle ppelée règle de dédoublement des termes. 3.5 Construction de l prbole pr points et tngentes Démontrons mintennt une propriété remrquble de l tngente à (P) en M 0, ux conséquences prtiques vriées. Théorème. Soit (P) une prbole de foyer F et de directrice (D). Soient M 0 un point de (P) et H 0 le projeté orthogonl de M 0 sur (D). L tngente (T 0 ) en M 0 à (P) est l méditrice du segment [F, H 0 ], et donc ussi l bissectrice de l ngle FM 0 H 0. Démonstrtion. On note p le prmètre de (P). On choisit un repère orthonormé dns lequel (P) dmet pour éqution y = px. D près le prgrphe précédent, (T 0 ) dmet pour éqution dns ce repère : y 0 y = p(x + x 0 ). Soient lors (d) l méditrice du segment [F, H 0 ] et I le milieu du segment [F, H 0 ]. On F(p/, 0), H 0 ( p/, y 0 ) et donc I(0, y 0 /). Ainsi, M(x, y) (d) IM. H 0 F = 0 p(x 0) y 0 (y y 0 ) = 0 y 0y = px + y 0 = p(x + x 0). (d) et (T 0 ) sont donc effectivement une seule et même droite. Mintennt, puisque M 0 F = M 0 H 0, le tringle (FM 0 H 0 ) est isocèle en M 0 et l méditrice du segment [F, H] est églement l bissectrice de l ngle FM 0 H 0. c Jen-Louis Rouget, 007. Tous droits réservés. 5 http ://

6 On peut lors fournir une construction de l prbole pr points et tngentes, (D) à prtir de s directrice (D) et de son foyer F. Donnez vous donc une droite (D) et un point F non sur (D). Construisez ( ) et donc le point K. Plcez le sommet S de l prbole, qui est le milieu de [FK]. Donnez vous ensuite un point H sur l directrice (D). Trcez (en trit léger) l F perpendiculire à (D) pssnt pr H (le point M de (P) dont le projeté orthogonl I est H est sur cette droite). Trcez ussi (en trit léger) l méditrice du segment M [F, H]. Le point M est à l intersection de ces deux droites, et de plus, l tngente H en M à (P) est l méditrice qui servi à construire M. En recommençnt vec sept ou huit utres points H, vous voyez surgir votre prbole vec ses tngentes. Une conséquence prtique de ce résultt est l suivnte : un ryon incident (sonore ou lumineux) rrive prllèle à l xe de l prbole. Il tpe sur l prbole en un point M puis se réfléchit. On sit que l ngle incident (c est-à-dire plus précisément, l ngle que fit le ryon vec l tngente à l prbole) est égl à l ngle réfléchi. Ce ryon prt donc u foyer. Inversement, un ryon issu du foyer et qui se réfléchit sur l prbole, reprt prllèlement à l xe de l prbole. Nous utilisons surtout cette propriété géométrique en dimension 3. On fit tourner une prbole utour de son xe et on obtient un prboloïde de révolution, encore ppelé busivement prbole dns l vie cournte. Si les ryons du soleil viennent tper sur le prboloïde pourvu d un revêtement réfléchissnt, ceux-ci vont se reconcentrer u foyer et une feuille de ppier plcée en ce point s enflmmer. C est d illeurs là l origine du mot foyer. Le four solire d Odeillo (dns les Pyrénées) utilise ce principe (les dimensions du miroir prbolique sont environ 00m de lrge pour 0m de hut). Les prboles F M qui nous permettent de recevoir les émissions de télévision églement, mis il n est lors plus question d enflmmer quoi que ce soit. Les phres prboliques des voitures utilisent cette proriété en sens inverse : l mpoule est plcée u foyer du prboloïde et le phre éclire donc droit devnt lui (heureusement). 4 L ellipse (0 < e < ) et l hyperbole (e > ) 4. Nottions et clculs communs à l ellipse et à l hyperbole On revient à l fin du prgrphe. Qund e ]0, [ ], + [, l intersection de l conique (Γ) et de son xe focl ( ) est constituée de deux points distincts. Les points A = br(f(), K(e)) et A = br(f(), K( e)). On note lors O le milieu de [A, A ] (on donc OA = OA). On pose = OA et c = OF. 4.. Position reltive des points O, A, F et K. { A = br(f(), K(e)) A = br(f(), K( e)) { AF + eak = 0 A F e A K = 0 { OF = e OA (➀ + ➁) e OK = OA (➀ ➁) { OF + eok = (e + ) OA OF e OK = ( e) OA = (e ) OA OF = e OA OK = OA. e Une conséquence de ces clculs est que OF = eoa et OK = eoa. Ainsi, OF = e c OA et c = e ou ussi e =, OK = OA et OK = e e = c. On peut noter que, puisque e, on c. 4.. Eqution réduite de l ellipse et de l hyperbole. On choisit un repère orthonormé (O, i, j ), d origine O et d xe des bscisses (Ox) tel que A it pour coordonnées (, 0). Le point F lors pour coordonnées (c, 0) et l directrice (D) pour éqution x =. Le clcul qui suit est commun c à l ellipse et l hyperbole. c Jen-Louis Rouget, 007. Tous droits réservés. 6 http ://

7 M(x, y) (Γ) FM = e (d(m, (D)) (x c) + y = c (x c ) (puisque e = c ) x cx + c + y = c x cx + c x + y = c x + y c = (près division pr le réel non nul c ) Ainsi, dns le repère ci-dessus, (Γ) dmet pour éqution x + y c =. On doit noter que le point O est centre de symétrie de (Γ). En effet, M(x, y) (Γ) x + y c = ( x) + ( y) c = s O(M) (Γ). Pour cette rison, l ellipse et l hyperbole sont ppelées coniques à centre. De même, nous svons déjà que l xe focl de (Γ) (qui est ici l xe des bscisses) est un xe de symétrie, ce que l on redécouvre dns l équivlence (x, y) (Γ) (x, y) (Γ). Mis l xe des ordonnées de notre repère est églement xe de symétrie de (Γ) (cr (x, y) (Γ) ( x, y) (Γ)). Ce deuxième xe de symétrie ( ) est l xe non focl de l conique (Γ). Pr symétrie soit pr rpport à O, soit pr rpport à ( ), on peut lors définir F le symétrique du foyer F, (D ) l symétrique de l directrice (D) et K le point d intersection de (D ) et de ( ). Il est clir pr symétrie que l conique de foyer F, de directrice (D) et d excentricité e est ussi l conique de foyer F, de directrice (D ) et d excentricité e. Ainsi, une ellipse ou une hyperbole ont deux foyers et deux directrices llnt pr pires (et ussi deux xes et un centre). 4. L ellipse Définition.Une ellipse est une conique d excentricité e ]0, [. Dns ce cs, OF = eoa < OA et OK = OA > OA. Les points O, F, e A et K sont donc disposés comme le montre l figure ci-contre. Les formules OF = eoa et OK = OA signifient lors pour l ellipse e que, à prtir du point O, le foyer F est e fois plus près ( ) O F A (D) K ( ) que le point A et le point K est e fois plus loin que le point A. C est dns le cs de l ellipse que le mot excentricité prend tout son sens : si OA = (c est-à-dire si OA est l unité de longueur) lors e = c est l écrtement du foyer pr rpport u centre, ce centre étnt lui-même pensé comme centre d un cercle (de centre O et de ryon OA) qui s est petit à petit plti u fur et à mesure que le foyer, initilement en O, s écrtit de O pour se diriger vers le point fixe A. Le cercle, qui n est ps ppru dns l description des coniques pr foyer, directrice et excentricité, peut d illeurs être pensé conventionnellement comme une ellipse d excentricité 0 et de directrice à l infini. Pr exemple, dns le cs limite e = 0 qui fournit c = 0, l éqution de (Γ) obtenue dns le prgrphe précédent s écrit : x + y =. Eqution réduite d une ellipse. Puisque 0 < e <, on c <. Pr suite, c > 0 et on peut poser b = c ce qui s écrit encore = b + c (on verr plus loin l interpréttion géométrique du nombre b et de l églité de Pythgore = b + c ). Dns le repère défini u prgrphe précédent, l ellipse dmet pour éqution : c Jen-Louis Rouget, 007. Tous droits réservés. 7 http ://

8 x + y = (éqution réduite d une ellipse) b Etude de l éqution réduite et construction de l ellipse. Tout d bord, si M(x, y) est un point de l ellipse, x = y vec églité si et seulement si y = 0. Pr suite, b l bscisse x de M vérifie x ou encore x vec églités effectivement obtenues pour les points A(, 0) et A (, 0). De même, b y b vec églités effectivement obtenues pour les points B(0, b) et B (0, b). Les points A, A, B et B sont les qutre sommets de l ellipse. A et A sont sur l xe focl et B et B sont sur l xe non focl. Ici, on OB = OB = b = c < = OA = OA. Pour cette rison, le segment [A, A ] est ppelé le grnd xe de l ellipse et le segment [B, B ], le petit xe de l ellipse. Pr bus de lngge, l expression grnd xe désigne prfois l xe focl ou ussi l longueur AA. On prle pr exemple de l ellipse de demi-grnd xe et de demi-petit xe b. Pour (x, y) R, l églité x + y b = équivut à y = b x ou y = b x. L ellipse est donc l réunion des grphes des fonctions f : x b x et f = f. L étude de f est simple et le grphe est isé à construire. L églité de Pythgore = b + c fournit une construction du foyer qund on les sommets A et B. Nous résumons mintennt le cours sur l ellipse. L étude de l tngente en un point de l ellipse ser tritée plus loin. ( ) (D ) B (D) K A F b O c ( ) F A K = OA = OA, b = OB = OB, c = OF = OF. = b + c, > b et > c. Axe focl (Ox) et xe non focl (Oy). Eqution réduite x + y b =. e = c, OF = OF = eoa, Foyers F(c, 0) et F ( c, 0). B OK = OK = e = c, Directrices (D) : x = c et (D ) : x = c. Dns le cours qui vient de défiler, voir choisi pour xe focl l xe (Ox) eu pour conséquence de trcer l ellipse «à l horizontle» ce qui est équivlent à l inéglité > b. Si on doit fire fce à une éqution du type x + y b = vec b >, l démrche consiste à priori à se rmener à l sitution précédente pr un chngement de repère : on pose x = Y et y = X, ce qui correspond à un échnge des xes de coordonnées, de sorte que le plus grnd des deux nombres ou b, à svoir b est mintennt «sous X» dns l éqution X b + Y =... Mis comme pour l prbole, il n est ps besoin de fire ce chngement de repère, et on dpte nos formules pr simple lecture d un dessin. K (D) ( ) A B F c O b A = OA = OA, b = OB = OB, c = OF = OF. b = + c, b > c et b > Axe focl (Oy) et xe non focl (Ox). Eqution réduite x + y b =. e = c b, OF = OF = eob, Foyers F(0, c) et F (0, c). F B (D ) OK = OK = b e = b c, Directrices (D) : y = b c et (D ) : y = b c. K ( ) c Jen-Louis Rouget, 007. Tous droits réservés. 8 http ://

9 Exercice 3. Le pln est rpporté à un repère orthonormé. Nture et éléments crctéristiques des courbes d équtions : ) x 5 + y 9 =, ) x 6 + y 5 =, 3) x + y =, 4) x + x + y + 4y = 0. Solution. ) Ellipse de centre O. = 5 > 3 = b. Donc, xe focl (Ox) et xe non focl (Oy). Sommets A(5, 0), A ( 5, 0), B(0, 3) et B (0, 3). c = b = 4 et donc, foyers F(4, 0) et F ( 4, 0). Excentricité e = c = 4 5. x K = c = 5 4 et donc, directrices (D) : x = 5 4 et (D ) : x = 5 4. ) Ellipse de centre O. = 4 < 5 = b. Donc, xe focl (Oy) et xe non focl (Ox). Sommets A(4, 0), A ( 4, 0), B(0, 5) et B (0, 5). c = b = 3 et donc, foyers F(0, 3) et F (0, 3). Excentricité e = c b = 3 5. y K = b c = 5 3 et donc, directrices (D) : y = 5 3 et (D ) : x = ) x + y = x + y ( ) =. Ellipse de centre O. = < = b. Donc, xe focl (Oy) et xe non focl (Ox). Sommets A(, 0), A (, 0), B(0, ) et B (0, ). c = b = et donc, foyers F(0, ) et F (0, ). Excentricité e = c b =. y K = b c = et donc, directrices (D) : y = et (D ) : y =. 4) x + x + y + 4y = 0 (x + ) + (y + ) = 9 (x + 4 ) (y + ) (3/) + (3/ ) =. Ellipse de centre Ω(, ). = 3 > 3 = b. Donc, xe focl (Ωx) et xe non focl (Ωy). Sommets A = Ω+(, 0) = (, ), A = Ω (, 0) = (, ), B = Ω+(0, b) = (, + 3 ) et B (, 3 ). c = b = 3 et donc, foyers F = Ω + (c, 0) = ( + 3, ) et F = Ω (c, 0) = ( 3, ). Excentricité e = c =. x K = x Ω + e = +3 et x K = x Ω e = 3 et donc, directrices (D) : x = +3 et (D ) : x = 3. Imge d un cercle pr une ffinité orthogonle b m t m M b Le point cournt M( cos(t), b sin(t)) de l ellipse E ci-contre est à l fois l imge du point m ( cos(t), sin(t)) pr l ffinité orthogonle d xe (Ox) et de rpport b et l imge du point m (b cos(t), b sin(t)) pr l ffinité orthogonle d xe (Oy) et de rpport. Le point M est donc à l intersection de l perpendiculire à (Ox) pssnt pr m et de l perpendiculire à (Oy) pssnt pr m. b Ceci fournit une construction du point M à prtir des points d ngle polire t du petit cercle et du grnd cercle de l ellipse. De mnière générle, l imge du grnd cercle ci-contre pr l ffinité d xe (Ox) et de rpport b est l ellipse E. c Jen-Louis Rouget, 007. Tous droits réservés. 9 http ://

10 Appliquons ce résultt à l détermintion de l projection orthogonle d un cercle de l espce sur un pln. (C ) est un cercle de l espce de dimesion 3, de centre O et de ryon (P) R > 0. (P) est le pln de ce cercle. On veut projeter orthogonlement (C) sur un pln (P ), sécnt à (P) en une droite (D) et non perpendiculire à (C ) (P). On note α l ngle entre (P) et (P ) (α ]0, π [). i On se donne un repère orthonormé R = (O, i, j ) de (P) où de plus i dirige (D). Le repère orthonormé (O, i, j ) de (P) se projette sur α (P ) en un repère orthogonl (O, i, j ) où j = cos(α). Si on pose (D) (E ) i i (P ) R = (O, i, j ) où i = i et j = j, lors R est un cos(α) repère orthonormé de (P ). Comme les vecteurs i et j se projettent respectivement en i = i et j = cos(α) j, un point M = O + x i + y j de (P) se projette en le point M = O + x i + y j = O + x i + ycos(α) j de (P ). En prticulier, le point cournt M(t) = O + R(cos(t) i + sin(t) j ) de (C ) est projeté en le point O + R cos(t) i + R cos(α)sin(t) j de (P ). Le sous-ensemble de (P ) cherché est donc l imge du cercle de centre O et de ryon R pr l ffinité orthogonle de rpport cos(α) et d xe (O, i ) : on sit qu il s git d une ellipse. En tennt compte des cs limites où (P ) est prllèle à (P) et dns ce cs, le projeté de C est un cercle de même ryon, et où (P ) est perpendiculire à (P) et dns ce cs, le projeté de C est un segment ou encore une ellipse de «demi-petit xe nul», on peut énoncer : Théorème. Le projeté orthogonl d un cercle sur un pln est une ellipse. 4.3 L hyperbole Définition 3.Une hyperbole est une conique d excentricité e ], + [. Dns ce cs, OF = eoa > OA et OK = OA < OA. C est donc le contrire de l ellipse et les points O, F, A et K sont e mintennt disposés comme le montre l figure ci-dessous. Les formules OF = eoa et OK = OA signifient pour l hyperbole e que, à prtir du point O, que le point A et le foyer F est e fois plus loin ( )(D) O A K F ( ) le point K est e fois plus près que le point A. Eqution réduite d une hyperbole. Puisque e >, on c >. Pr suite, c > 0 et on peut poser b = c ce qui s écrit encore c = + b ou ussi c = b. Dns le repère défini u prgrphe précédent, l hyperbole dmet pour éqution : x y = (éqution réduite d une hyperbole) b Etude de l éqution réduite et construction de l hyperbole. Tout d bord, si M(x, y) est un point de l hyperbole, x = y 0 vec églité si et seulement si y = 0. Pr suite, b l bscisse x de M vérifie x ou encore (x ou x ) vec églités effectivement obtenues pour les points A(, 0) et A (, 0). L courbe à construire ne possède donc ucun point d bscisse dns ], [. /noindent A et A sont sur l xe focl : ce sont les sommets de l hyperbole. Pour (x, y) R, l églité x y b = équivut à y = b x ou y = b x. L hyperbole est donc l réunion des grphes des fonctions f : x b x et f = f. c Jen-Louis Rouget, 007. Tous droits réservés. 0 http ://

11 L étude de f est simple. Il nous fut nénmoins l détiller en +. Pour x [, + [, f (x) b x = b ( x b x) = x + x. Cette dernière expression tend vers 0 qund x tend vers + et donc, l droite d éqution y = b x est symptote à l courbe. Pr symétrie, il en est de même de l droite d éqution y = b x. On doit noter que les deux symptotes à l hyperbole d éqution x y = sont obtenues mécniquement en remplçnt pr 0 : b x ( y x b = 0 y ) ( x ) b + y = 0 (y = b) b x ou y = b x). L églité de Pythgore c = + b fournit une construction du foyer qund on dispose de l hyperbole et de l une de ses symptotes. est l bscisse de A. b est l ordonnée du point de l droite d éqution y = b x d bscisse. c qui est l hypothénuse d un tringle rectngle de côtés et b, peut donc être lu sur l symptote, puis «rbttu» u comps sur l xe (Ox) comme le montre le dessin qui suit. Nous résumons mintennt le cours sur l hyperbole. L étude de l tngente en un point de l hyperbole ser tritée plus loin. = OA = OA, c = OF = OF c = + b, c > et c > b. (D ) (D) Axe focl (Ox) et xe non focl (Oy). Sommets A(, 0) et A (, 0). F c b Eqution réduite x K K y b = A O A F ( ) e = c, OF = OF = eoa. Foyers F(c, 0) et F ( c, 0). ( ) y = (b/)x y = (b/)x OK = OK = e = c, Directrices (D) : x = c et (D ) : x = c. Asymptotes d équtions y = b x et y = b x. Contrirement à l ellipse, dns l sitution de référence exposée ci-dessus, on peut voir > b, = b ou < b. «Fire psser l hyperbole à l verticle», c est-à-dire prendre l xe (Oy) pour xe focl, ne consiste plus en un échnge des rôles de et b mis en un chngement de signe. C est l éqution : x y = ou encore x b + y =, qui correspond à b un échnge de coordonnées et donc à un échnge d xes. Comme d hbitude, on n effectue ps explicitement le chngement de repère x = Y et y = X, mis on dpte nos formules pr simple lecture d un dessin. ( ) B b O B F F K K ( ) c (D) (D ) y = (b/)x y = (b/)x b = OB = OB, c = OF = OF c = + b, c > et c > b Axe focl (Oy) et xe non focl (Ox). Sommets B(0, b) et B (0, b). Eqution réduite x + y b = e = c b, OF = OF = eob. Foyers F(0, c) et F (0, c). OK = OK = b e = b c, Directrices (D) : y = b c et (D ) : y = b c. Asymptotes d équtions y = b x et y = b x. c Jen-Louis Rouget, 007. Tous droits réservés. http ://

12 Exercice 4. Le pln est rpporté à un repère orthonormé. Nture et éléments crctéristiques des courbes d équtions ) x 6 y x =, ) 9 6 y 9 =, 3). y = x. Solution. ) Hyperbole de centre O. Axe focl (Ox) et xe non focl (Oy). = 4 et b = 3. Sommets A(4, 0), A ( 4, 0). c = + b = 5 et donc, foyers F(5, 0) et F ( 5, 0). Excentricité e = c = 5 4. x K = c = 6 5 et donc, directrices (D) : x = 6 5 et (D ) : x = 6 5. Asymptotes y = 3 4 x et y = 3 4 x. ) Hyperbole de centre O. Axe focl (Oy) et xe non focl (Ox). = 4 et b = 3. Sommets B(0, 3), B (0, 3). c = + b = 5 et donc, foyers F(0, 5) et F (0, 5). Excentricité e = c b = 5 3. y K = b c = 9 5 et donc, directrices (D) : y = 9 5 et (D ) : y = 9 5. Asymptotes y = 3 4 x et y = 3 4 x. 3) On fit bien sûr tourner de π 4 x = cos( π 4 )X sin(π 4 )Y = X Y y = sin( π 4 )X + cos(π 4 )Y = X + Y le repère initil. Les formules de chngement de repère s écrivent :, ou ussi X = x + y Y = x + y, où (x, y) désignent les coordonnées d un point M dns le repère initil R et (X, Y) désignent les coordonnées du même point M dns le repère R = (0, i, j ) tel que i = cos( π 4 ) i + sin( π 4 ) j et j = sin( π 4 ) i + cos( π 4 ) j. M(x, y) H xy = X Y X + Y = X ( ) Y ( ) =. On en déduit les éléments métriques de H. = b = puis c = + b = et enfin, e = c =. On en déduit mintennt les éléments crctéristiques de H dns R. Centre O. Axe focl (OX) d éqution Y = 0 et xe non focl (OY) d éqution X = 0. Sommets A(, 0) R et A (, 0) R. Foyers F(, 0) R et F (, 0) R. Directrices (D) : X = c = et (D ) : X =. Asymptotes Y = X et Y = X. On en déduit enfin les éléments crctéristiques de H dns R. Centre O. Axe focl ( ) : y = x et xe non focl ( ) : y = x. Sommets A( 0, + 0 ) R ou encore A(, ), puis A (, ). Foyers F(, ) et F (, ). Directrices (D) : x + y = ou encore y = x + et (D ) : y = x. Asymptotes d équtions respectives x = 0 et y = 0. Commentire. En 3), pour retrouver les coordonnées des différents points dns le repère initil, il fllit voir les nciennes coordonnées x et y en fonction des nouvelles X et Y. Inversement, pour écrire les équtions des différentes droites dns le repère initil, il fllit voir les nouvelles coordonnées en fonction des nciennes. Définition 4. Une hyperbole est équiltère si et seulement si ses symptotes sont perpendiculires. Théorème 3. L excentricité de l hyperbole équiltère vut. Démonstrtion. Soit H une hyperbole équiltère. Il existe un repère orthonormé dns lequel H dmet pour éqution x y b =. Dns ce repère, les symptotes de H ont pour équtions respectives y = b x et y = b x. Ces symptotes sont perpendiculires si et seulement si le produit de leurs coefficients directeurs vut, ce qui fournit b ( b ) = ou encore = b. Dns ce cs, c = + b = =, puis e = c =. c Jen-Louis Rouget, 007. Tous droits réservés. http ://

13 4.4 Prmétristion de l ellipse et de l hyperbole L ellipse. Soit E une ellipse. Il existe un repère orthonormé dns lequel E dmet pour éqution crtésienne x + y b =. Un point M de coordonnées (x, y) est sur l ellipse si et seulement si il existe un réel t tel que x = cos(t) et en même temps y = sin(t). L ellipse est donc l ensemble des ( cos(t), b sin(t)) où t décrit R. Une prmétristion de l ellipse de centre O b et de demi-xes et b est { x = cos(t) y = b sin(t). Plus générlement, une prmétristion de l ellipse de centre Ω(x 0, y 0 ) et de demi-xes et b est { x = x0 + cos(t) y = y 0 + b sin(t). En posnt u = tn( t ), t ] π, π [, on obtient une prmétristion rtionnelle de l ellipse de centre O et de demi-xes et b privée du point A (, 0) : x = u + u y = b u + u, u R. L hyperbole. Puisque pour tout réel t, ch (t) sh (t) = et que d utre prt, l fonction t sh(t) est une bijection de R sur R, une prmétristion de l brnche d hyperbole d éqution x y =, x 0, est b { x = ch(t) y = b sh(t). 4.5 Définition bifocle de l ellipse et de l hyperbole Avec les nottions des prgrphes précédents, H M H Théorème 4. Tout point M de l ellipse vérifie MF + MF =. Démonstrtion. Soit M un point de l ellipse (E ). Alors, c F O F c MF + MF = emh + emh = e(mh + MH ) = ehh = ekk = e e =. Théorème 5 (Définition bifocle de l ellipse). L ellipse est l ensemble des points M tels que MF + MF =. Démonstrtion. On sit déjà que l ellipse (E ) est contenue dns l ensemble (Γ) = {M P/ MF + MF = }. Soit M(x, y) P. MF + MF = p (x c) + y + p (x + c) + y = (x c) + y + (x + c) + y + p (x c) + y p (x + c) + y = 4 p (x c) + y p (x + c) + y = x y c ((x c) + y )((x + c) + y ) = ( x y c ) et x y c 0 ((x + y + c ) cx)((x + y + c ) + cx) = ((x + y + c ) ) et x y c 0 et donc c Jen-Louis Rouget, 007. Tous droits réservés. 3 http ://

14 MF + MF = 4c x = 4 (x + y + c ) et x y c 0 ( c )x + y = ( c ) et x y c 0 x + y c = et x y c 0 x + y b = et x + y + b x + y b =, ce qui montre l inclusion de (Γ) dns (E ) et chève l démonstrtion. Nénmoins, on peut se convincre directement de l équivlence : ( x + y x = ) (I) ( b + y b = et x + y + b ) (II). (II) (I) est clir. Réciproquement, si (I) est vérifiée, on vu que x et y b, et on donc bien x + y + b. Ce résultt fournit l construction du jrdinier. On veut plnter un prterre de fleurs de forme elliptique et d bord le dessiner u sol. On plnte deux pieux, distnts l un de l utre de c, puis on ttche à chcun des deux pieux une corde de longueuer > c. A l ide d un troisième bâton, on tend l corde et on déplce ce bâton, l corde restnt tendue. Dns son déplcement, ce bâton dessine sur le sol une ellipse de foyers les deux pieux et de grnd xe. Si on trouve l ellipse trop pltie, on rpproche les deux pieux (ce qui rpproche e = c de 0) et si on l trouve trop ronde, on les écrte (ce qui rpproche e de ). On montre de mnière nlogue le résultt suivnt concernnt l hyperbole. Théorème 6 (définition bifocle de l hyperbole). L hyperbole est l ensemble des points M tels que MF MF =. Plus précisément, l brnche de l hyperbole qui est plus proche de F que de F est l ensemble des points M tels que MF MF =, et l ensemble des points M tels que MF MF = est l utre brnche. 4.6 Tngente en un point d une ellipse ou d une hyperbole Il existe un repère orthonormé dns lequel l ellipse (E ) dmet pour éqution crtésienne x + y = et donc ussi b { x = cos(t) pour représenttion prmétrique y = b sin(t). Soit M 0(x 0, y 0 ) un point de E, puis soit t 0 l unique réel de ] π, π] tel que x 0 = cos(t 0 ) et y 0 = b sin(t 0 ). Le vecteur dérivé en t 0 est dm dt (t 0) = ( sin(t 0 ), b cos(t 0 )) = ( b y 0, b x 0). Puisque les fonctions sinus et cosinus ne s nnulent ps simultnément, ce vecteur n est jmis nul et l ellipse dmet une tngente (T 0 ) en M 0. De plus, pour M(x, y) point donné du pln, Ainsi, x x 0 M(x, y) (T 0 ) b y 0 b y y 0 x 0 = 0 b x 0(x x 0 ) + b y 0(y y 0 ) = 0 x 0 (x x 0) + y 0 b (y y 0) = 0 (près division pr b) x 0x + y 0y b = x 0 + y 0 b x 0x + y 0y b =. c Jen-Louis Rouget, 007. Tous droits réservés. 4 http ://

15 Théorème 7. L tngente à l ellipse d éqution x + y b = en le point M 0(x 0, y 0 ) dmet pour éqution crtésienne : xx 0 + yy 0 b =. De nouveu, cette tngente peut être obtenue à prtir de l règle très générle, dite règle de dédoublement des termes exposée pge. ( Théorème 8. L tngente à l ellipse en M 0 est bissectrice extérieure de l ngle de vecteur M 0 F, M 0 F ). Démonstrtion. Nous pouvons comme pour l prbole déterminer une éqution crtésienne de cette bissectrice intérieure pour constter que l on retrouve l éqution précédente. Nous llons nénmoins nous y prendre utrement en utilisnt l définition bifocle de l ellipse (théorème 5, pge 3). On choisit une prmétristion dérivble t M(t), t R, de l ellipse (pr exemple, x = cos(t) et y = b sin(t)). On sit que pour tout réel t, on FM(t) + F M(t) =. D près l théorème 3, pge 0 du chpitre «Courbes prmétrées ère prtie» et puisque FM(t) et F M(t) ne sont jmis nuls, en dérivnt cette fonction constnte, on obtient pour tout réel t : ou encore dm FM(t). FM(t) dt (t) + dm F M(t). (t) = 0, F M(t) dt «FM(t) + F dm M(t). (t) = 0. FM(t) F M(t) dt dm Comme dt (t) dirige l tngente en M(t), que FM(t) + F M(t) dirige l bissectrice intérieure de l ngle FM(t) F M(t) FM(t), F M(t), on montré que l tngente est l perpendiculire en M(t) à l bissectrice intérieure de l ngle FM(t), F M(t) ou encore, est l bissectrice extérieure de ce même ngle. Commentire. Ainsi, si un ryon sonore ou lumineux prt de l un des foyers et tpe sur l ellipse, il se réfléchit vers l utre foyer. On montre de même le résultt suivnt concernnt l hyperbole. Théorème 9. ➊ L tngente à l hyperbole d éqution x y b = en le point M 0 (x 0, y 0 ) dmet pour éqution crtésienne xx 0 yy 0 b =. ( ➋ L tngente en M 0 est bissectrice intérieure de l ngle de vecteur M 0 F, M 0 F ). 5 Les coniques en polires (Γ) est l conique de foyer F, de directrice (D) et d excentricité e ]0, + [. On se plce cette fois-ci dns un repère orthonormé direct d origine le foyer F, d xe des bscisses l xe focl ( ) de (Γ), tel que le point K it une bscisse strictement positive. Si M est un point du pln, on note [r, θ] un couple de coordonnées polires de M. On note d l distnce du foyer F à l directrice (D) puis on pose p=ed (p s ppelle le prmètre de l conique). Dns le repère considéré, r = FM, x K = d et x M = r cos(θ). Pr suite, M (Γ) FM = e d(m, (D)) r = e r cos(θ) d r = e(r cos(θ) d) ou r = e(r cos(θ) d) r = ed ecos(θ) ou r = ed + ecos(θ) r = p ecos(θ) ou r = p + ecos(θ). p (Γ) est donc l réunion des courbes (Γ ) et (Γ ) d équtions polires respectives r = + ecos(θ) = f (θ) et p r = ecos(θ) = f (θ). On note M (θ) (resp. M (θ)) le point de coordonnées polires [f (θ), θ] (resp. [f (θ), θ]). M (θ) (resp. M (θ)) est le point cournt de (Γ ) (resp. (Γ )). On note lors que c Jen-Louis Rouget, 007. Tous droits réservés. 5 http ://

16 p M (θ + π) = [ + ecos(θ + π), θ + π] = [ p ecos(θ), θ + π] = [ p ecos(θ), θ] = M (θ). Ainsi, puisque M (θ) = M (θ + π), tout point de (Γ ) est un point de (Γ ). De même, puisque M (θ) = M (θ π), tout point de (Γ ) est un point de (Γ ). L courbe (Γ ) et l courbe (Γ ) sont donc une seule et même courbe à svoir l courbe (Γ). Théorème 0. Soit (Γ) l conique de foyer F, de directrice (D) et d excentricité e. Soient d l distnce de F à (D), puis p = ed le prmètre de l conique (Γ). Dns un repère orthonormé direct d origine le foyer F, d xe des bscisses p l xe focl ( ) de (Γ), tel que le point K it une bscisse strictement positive, (Γ) pour éqution polire r = + ecos(θ). Exercice 5. Après voir déterminé leurs éléments crctéristiques, construire les courbes d équtions polires respectives ) r = + cosθ, ) r = + cos(θ), 3) r = + cos(θ). Solution. / ) r = + /cos(θ). Ellipse dont un des foyers est O et d xe focl (Ox), d excentricité e =. Les sommets du grnd xe sont les intersections de l courbe vec (Ox), à svoir A = M(0) = [ 3, 0] = ( 3, 0) et A = M(π) = [, π] = (, 0). Le centre de E est le milieu de [A, A ], Ω( 3, 0). Le deuxième foyer est F = Ω F = ( 3, 0). Ensuite, = AA = 3 et c = FF = 3. Donc, b = c =. Les sommets du petit xe sont B = Ω + (0, b) = ( 3 3, 3 ) et B ( 3, 3 ). Enfin, ΩK = ΩK = e = 4 3 et les directrices sont (D) : x = x Ω = et (D ) : x = 5 3. ) r =. Prbole de foyer O et d xe focl (Ox). Le sommet S de P est l intersection vec (Ox), à svoir + cos(θ) M(0) = [, 0] = (, 0). Qund θ tend vers π, r tend vers + et l prbole est tournée vers les x < 0. K = S F = (, 0) et donc directrice (D) : x =. 3) r =. Hyperbole dont l un des foyers est O, d xe focl (Ox) et d excentricité e =. Les sommets sont + cos(θ) les intersections de l courbe vec (Ox), à svoir A = M(0) = [ 3, 0] = ( 3, 0) et A = M(π) = [, π] = (, 0). Le centre de H est le milieu de [A, A ], Ω( 3, 0). Le deuxième foyer est F = Ω F = ( 4 3, 0). Ensuite, = AA = 3 et c = FF = 3. Donc, b = c = 3. ΩK = ΩK = e = 6 et les directrices sont (D) : x = x Ω + 6 = 5 6 et (D ) : x =. Les symptotes sont les droites pssnt pr Ω et de coefficient directeur ± tn(π 3 ) = ± 3 (brnches c Jen-Louis Rouget, 007. Tous droits réservés. 6 http ://

17 infinies obtenues pour cos(θ) = ) ou ussi ±b = ± 3. Ce sont les droites d équtions (y 3 ) = ± 3x. Exercice 6. Construire les courbes d équtions polires respectives ) r = + sin(θ), ) r = cos(θ) 3) r = + cos(θ) + sin(θ). Solution. ) Notons (Γ ) l courbe d éqution polire r = + sin(θ) = f (θ). Pour θ / π +πz, + sin(θ) = + cos(θ π ). Soit lors (Γ ) l courbe d éqution polire r = + cos(θ) = f (θ). Pour θ / π + πz, M (θ + π ) = [f (θ + π ), θ + π ] = [f (θ), θ + π ] = r O,π/(M (θ)). Donc, (Γ ) est l imge de (Γ ) dns le qurt de tour direct de centre O. (Γ ) est une prbole (construite plus hut) et il en est de même de (Γ ). ) Notons (Γ ) l courbe d éqution polire r = r = + cos(θ) = f (θ). Pour θ R, cos(θ) = f (θ) et (Γ ) l courbe d éqution polire M (θ + π) = [f (θ + π), θ + π] = [f (θ), θ + π] = s O (M (θ)). Donc, (Γ ) est l imge de (Γ ) dns l symétrie centrle de centre O. (Γ ) est une ellipse (construite plus hut) et il en est de même de (Γ ). 3) Notons (Γ ) l courbe d éqution polire r = + cos(θ) + sin(θ) = / + cos(θ π 4 ) = f (θ) et (Γ ) l courbe d éqution polire r = / + cos(θ) = f (θ). Pour θ R, c Jen-Louis Rouget, 007. Tous droits réservés. 7 http ://

18 M (θ + π 4 ) = [f (θ + π 4 ), θ + π 4 ] = [f (θ), θ + π 4 ] = rot O,π/4(M (θ)). Donc, (Γ ) est l imge de (Γ ) dns l rottion de centre O et d ngle π 4. (Γ ) est une ellipse et il en est de même de (Γ ). Exercice 7. Déterminer l imge du cercle unité pr l fonction f : z Solution. Pour z C, z + z + = 0 z = j ou z = j. z + z +. Posons donc D = U \ {j, j } (où U désigne l ensemble des nombres complexes de module ). D est l ensemble des e iθ où θ décrit = R \ (± π 3 Ainsi, pour θ, f(e iθ ) = + πz). Pour θ, f(e iθ ) = (e iθ ) + e iθ + = e iθ + e iθ + e iθ = + cos(θ) eiθ. + cos(θ) eiθ, ou encore le point M(θ) d ffixe f(e iθ ) vérifie OM(θ) = u θ. + cos(θ) M(θ) est le point de coordonnées polires [, θ]. L ensemble cherché est l ensemble des points de coordonnées + cos(θ) polires [ + cos(θ), θ], où θ décrit : c est l hyperbole d éqution polire r = construite plus hut. + cos(θ) 6 Les courbes du second degré Le pln est rpporté à un repère orthonormé direct R = (O, i, j ). On v étudier l ensemble (Γ) d éqution : x + bxy + cy + dx + ey + f = 0 (E), où, b, c, d, e et f sont six réels tels que (, b, c) (0, 0, 0). Commentire. Les nombres, b,..., ne sont ps uniquement définis, cr si on multiplie les deux membres de (E) pr un réel non nul et distinct de, on obtient une utre éqution de (Γ). On ne peut même ps dire que, b,..., sont uniquement définis à une constnte multiplictive près puisque x + y + = 0, x + y + = 0, x + 4x + y + 30 = 0 ou x + xy + y + = 0 sont qutre équtions de l ensemble vide, sns ucun rpport de proportionnlité entre les coefficients. Nous connissons déjà des exemples de telles équtions : x + y = 0 (cercle) ou plus générlement x + y b = 0 (ellipse), x y b = 0, xy = 0 (hyperboles), x y = 0 (prbole), x y = 0 (réunion des droites d équtions respectives y = x et y = x)... c Jen-Louis Rouget, 007. Tous droits réservés. 8 http ://

19 Théorème. Dns tout repère (orthonormé direct ou ps), (Γ) une éqution de ce type. Démonstrtion. { x = αx Si R + βy + γ est un utre repère, on sit que les formules de chngement de repère sont du type y = α x + β y + γ vec αβ α β 0. Dns R, (Γ) dmet pour éqution (αx + βy + γ) +... = 0 qui est du type x + b x y +... = 0 où = α + bαα + cα,...mintennt, on ne peut voir (, b, c ) = (0, 0, 0) cr, pr le chngement de repère inverse, on obtiendrit lors = b = c = 0 ce qui n est ps. Réduction de l éqution (E) pr chngement(s) de repère(s). Le but de tous les clculs qui vont suivre jusqu u tbleu récpitultif pge, est double : ➀ trouver tous les types de courbes ynt une éqution du type (E) et les clsser ; ➁ dégger un pln d étude d une courbe du second degré pour pouvoir construire une telle courbe dont on explicitement une éqution. Nous llons mintennt chercher un repère orthonormé direct R dns lequel le terme x y est ffecté d un coefficient égl à 0. Le problème est imméditement résolu si b = 0. Dns ce qui suit, on suppose donc b 0. On se donne un réel θ puis R = (O, i, j ) où i = cos(θ) i + sin(θ) j et j = sin(θ) i + cosθ j (le repère R se déduit du repère R pr rottion de centre O et d ngle θ). Les formules de chngement de repère s écrivent { x = cos(θ)x sin(θ)y y = sin(θ)x + cos(θ)y où (x, y) (resp. (x, y )) sont les coordonnées d un point M donné dns R (resp. R ). Il est clir que le coefficient de x y est issu des termes de degré deux uniquement. Or, pour tout couple de réels (x, y), x + bxy + cy = (cos(θ)x sin(θ)y ) + b(cos(θ)x sin(θ)y )(sin(θ)x + cos(θ)y ) + c(sin(θ)x + cos(θ)y ) = x + b x y + c y ( ) où on posé = cos (θ) + b cos(θ)sin(θ) + csin (θ), b = ( + c)cos(θ)sin(θ) + b(cos (θ) sin (θ) et c = sin (θ) b cos(θ)sin(θ) + ccos (θ). Lemme. On c b = c b Démonstrtion. c b = [ + c + ( c cos(θ) + b sin(θ))][ + c [ c sin(θ) + b cos(θ)] + c c = (b sin(θ) + + c c = = + c c ( c cos(θ) + b sin(θ))] cos(θ)) (b cos(θ) c sin(θ)) (cos (θ) + sin (θ)) b (sin (θ) + cos (θ)) b = c b. Définition 5 (Discriminnt d une courbe du second degré). Le discriminnt de l courbe d éqution x +bxy+ cy + dx + ey + f = 0 dns le repère R est le nombre = c b. Théorème. Le signe de (< 0, = 0 ou > 0) ne dépend ps de R. Commentire. Le lemme précédent montre déjà que ce nombre ne chnge ps si on effectue un chngement de bse orthonormée sns utre modifiction. Si on multiplie tous les coefficients de l éqution initile pr un réel λ non nul, il est clir que est multiplié pr λ > 0. Dns ce cs, l vleur de chnge mis ps son signe. Il est clir qu un chngement d origine n ffecte ps les termes de degré, et donc n ffecte ps. On peut montrer que qund (Γ) n est ps vide, le signe de est indépendnt de quelque repère que ce soit, mis ne dépend que de l courbe (Γ). Cette constttion nous permettr de clsser plus loin les coniques en trois genres. c Jen-Louis Rouget, 007. Tous droits réservés. 9 http ://

20 «Le signe du discriminnt de l ensemble vide» peut qunt à lui prendre plusieurs vleurs (mlheureusement), comme on le verr plus loin. Revenons à l églité ( ) en cherchnt à nnuler le coefficient b. Le coefficient b de x y vut ( + c)cos(θ)sin(θ) + b(cos (θ) sin (θ)) = (c )sin(θ) + b cos(θ). Puisque b 0, b = (c ) + 4b (cos(θ 0 )cos(θ) + sin(θ 0 )sin(θ)) = (c ) + 4b cos(θ θ 0 ), où θ 0 est un réel tel que cos(θ 0 ) = de x y est nul. b (c ) + 4b et sin(θ c 0) = (c ) + 4b. En prennt θ = θ 0 + π, le coefficient 4 Un cs prticulier importnt pour l prtique est le cs = c (les coefficients de x et de y sont les mêmes). Dns ce cs, on peut prendre θ 0 = 0 et donc θ = π 4. Théorème 3. Soit (Γ) l ensemble d éqution x + bxy + cy + dx + ey + f = 0, (, b, c) (0, 0, 0) dns le repère orthonormé direct (O, i, j ). Il existe un repère orthonormé direct (O, i, j ) (de même origine) dns lequel (Γ) une éqution de l forme x + b y + c x + d y + e = 0, vec 0 ou b 0. Cherchons mintennt à fire disprître le plus possible de termes de degré pr un nouveu chngement de repère. Le discriminnt de l courbe vut mintennt = b 0 = b. x = c Cs ➊ : Si = b 0, le chngement d origine + X y = d nous mène à une nouvelle éqution du type b + Y X + b Y = K où K est un réel, dns lquelle on ne trouve plus de termes de degré. Cs ➋ : Sinon, on { b = 0. Quite à commencer pr un échnge de x et y, on peut supposer que = 0 et b 0. le x = X chngement d origine y = d b + Y nous mène lors à une nouvelle éqution du type Y = KX + L où K et L sont des réels. Etude du cs ➊. (Γ) pour éqution X + b Y = K, K R. X Si K 0, l éqution s écrit /K + Y b /K =. (Γ) est lors l ensemble vide si /K < 0 et b /K < 0, une hyperbole si ( /K)(b /K) < 0 et une ellipse (éventuellement un cercle) si /K > 0 et b /K > 0. Si K = 0, l éqution s écrit X + b Y = 0. Cet ensemble est un point si b > 0 (le point X = 0 et Y = 0). Si b < 0, X + b Y = 0 Y ( b ) X = 0 (Y b X)(Y + b X) = 0. Cet ensemble est une réunion de deux droites sécntes. Etude du cs ➋. (Γ) pour éqution Y = KX + L, (K, L) R. Si K 0, l éqution s écrit encore Y = K(X + L ), et on reconnit l éqution d une prbole de sommet ( L/K, 0). K Si K = 0, l éqution s écrit Y = L. (Γ) est donc soit vide si L < 0, soit l droite d éqution Y = 0 si L = 0, soit l réunion des deux droites strictement prllèles d équtions respectives Y = L et Y = L si L > 0. Théorème 4 (les différentes courbes du second degré). L courbe d éqution x +bxy+cy +dx+ey+f = 0, (, b, c) (0, 0, 0) peut être : une ellipse (voire un cercle, voire un point), une prbole, une hyperbole, une réunion de deux droites (sécntes, strictement prllèles ou confondues) ou l ensemble vide. Dns l étude précédente, nous vons clssé ces différents cs. Le cs = 0 étit le cs ➋. Le cs ➊ étit qunt à lui le cs 0 pouvnt se subdiviser en les deux sous-cs > 0 ce qui équivut à et b non nuls et de même signe et < 0, ce qui équivut à et b non nuls et de signes contrires. En distingunt ces deux sous-cs dns l discussion fite plus hut, on peut énoncer l définition et les tbleux ci-dessous. Définition 6 (genre d une conique). Une conique de discriminnt strictement positif est une conique du genre ellipse. Une conique de discriminnt nul est une conique du genre prbole. Une conique de discriminnt strictement négtif est une conique du genre hyperbole. c Jen-Louis Rouget, 007. Tous droits réservés. 0 http ://