Equations d'état, travail et chaleur

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Irène Lajoie
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1 Equtions d'étt, trvil et chleur Exercice On donne R 8, SI. ) Quelle est l'éqution d'étt de n moles d'un gz prfit dns l'étt,,? En déduire l'unité de R. ) Clculer numériquement l vleur du volume molire d'un gz prfit à une pression de br et une tempérture de 0 C. On donne br 0 5. ) L'éqution d'étt d'un gz prfit est :. On en déduit que R et que n pr suite, R est en J. mol. K ( le produit est homogène à une énergie ). ) D'près l formule précédente : R 8, ,4.0 m.mol,4 L.mol Exercice On note v le volume mssique en m.kg - d'un gz prfit de msse molire M. ) Montrer que l'éqution d'étt de ce gz peut s'écrire v r. réciser l'expression de r et son unité. ) On donne : M(O) 6 g.mol - ; R 8, SI ; br 0 5. Clculer l vleur de r pour le dioxygène. ) En déduire le volume mssique du dioxygène à 00 K et br. ) L'éqution d'étt du gz est : v, n désignnt le nombre de moles de gz m contenu dns une msse m kg. Nous vons donc n M M, d'où : R v r R r unité: J.kg. K M M 8, ) r. 0 r 60J.kg. K ) D'près v r, on tire : v 0,77 m. kg Remrque En thermodynmique, il fut fire ttention à ne ps se fire piéger dns les pplictions numériques. Les pressions doivent être en, les volumes en m, et les msses en kg. Les données dns les énoncés sont souvent dns des unités différentes.

On en déduit que R et que n pr suite, R est en J. mol. K ( le produit est homogène à une énergie ). ) D'près l formule précédente : R 8,. 7 000,4.0 m.mol,4 L.

2 - 8 - Exercices Exercice Le grphe suivnt montre l courbe du produit d'une mole d'un gz réel à l tempérture 00 K en fonction du logrithme déciml de l pression exprimée en br. A log ) Dns quel domine le gz peut-il être considéré comme prfit? roposez un encdrement pour les vleurs de l pression. ) En déduire l vleur numérique de A. ) r définition, un gz prfit est un gz réel pris à bsse pression cr le volume des molécules insi que leurs interctions deviennent négligebles. L'éqution d'étt d'une mole d'un gz prfit étnt R, le produit est indépendnt de l pression à tempérture constnte. L courbe montre que ceci est vri jusqu'à Log 0, 5soit br. Le gz réel peut donc être considéré comme prfit pour 0 < < br ) A très fible pression, le gz est prfit et donc R A d'où : A R,49 kj Exercice 4 Un gz obéit à l'éqution du gz prfit. A prtir d'un étt d'équilibre du gz, l pression ugmente de % et l tempérture de %. Déterminer l vrition reltive du volume. L'éqution du gz est. En prennt l différentielle de cette expression, on obtient : d + d d En divisnt chque membre pr le produit, il vient : d + d d d d + d

) r définition, un gz prfit est un gz réel pris à bsse pression cr le volume des molécules insi que leurs interctions deviennent négligebles.

3 hermodynmique D'où : d d d % % % L vrition reltivedu volumeest donc de% Remrque Les différentielles logrithmiques sont prticulièrement intéressntes lorsque l'on veut b c mnipuler une expression du type, où, et sont trois vribles. Si l'on cherche à relier des petites vritions d, d où d utour d'un point,,, il suffit de prendre le logrithme de l'expression et de différentier. On obtient insi : b c d b d c d b c b c ln( ) ln ln + ln ln +. d d Ainsi, dns l'exercice, on pouvit psser directement de à + d. d d De même, si l'on trouve une éqution du type + b 0, on peut imméditement ffirmer que les vribles et sont reliées pr une reltion du type b K où K est une constnte. Exercice 5 Un gz obéit à l'éqution de n der Wls qui s'écrit pour une mole : ( + )( b) R et b : constntes positives ) Dns le système interntionl, quelles sont les unités de et b? ) Ecrire l'éqution de n der Wls dns le cs de n moles. ) our que l formule soit homogène, il fut que soit homogène à et b à d'où : : J.m b : m ) Soient ' et ' les grndeurs pour une mole. Si l'on ccole n systèmes de une mole, on obtient un système à n moles de grndeurs n' ( est une vrible extensive) et ' ( est une vrible intensive). L reltion pour une mole étnt ( ' + )( ' b) R, on obtient pour le système à n moles : ' ( + )(( ) b) R n n soit : ( n + )( nb) n L'éqution de n der Wls pour n moles est donc : ( + )( nb)

On obtient insi : b c d b d c d b c b c ln( ) ln ln + ln ln +. d d Ainsi, dns l'exercice, on pouvit psser directement de à + d.

4 - 0 - Exercices Exercice 6 On considère un système thermodynmique d'éqution d'étt F(,, ) 0. ) Montrer que. ) En clculnt toutes les dérivées prtielles, vérifier l formule dns le cs de n moles d'un gz prfit et d'un gz de n der Wls. ) Si l fonction d'étt est du type F(,, ) 0, nous vons dns les étts,, et +d, +d, +d : D'où : F(,, ) 0 F(+d, +d, +d)0 F( + d, + d, + d) - F(,, ) p d + d + d 0 On en tire les reltions suivntes : A tempérture constnte d 0 : A pression constnte d 0 : A volume constnt d 0 : d d d d d d En multiplint membre à membre les trois reltions, on obtient l reltion demndée : ) ) Dns le cs d'un gz prfit, nous vons d'où : d + d d. On en tire les reltions suivntes en prennt successivement d 0, d 0 et d 0 : On peut vérifier que. b) Dns le cs d'un gz de n der Wls, les clculs sont plus lourds. A prtir de l'éqution ( n + )( nb), on obtient en différentint : ( n n nb)d + + ( nb) d d

) Si l fonction d'étt est du type F(,, ) 0, nous vons dns les étts,, et +d, +d, +d : D'où : F(,, ) 0 F(+d, +d, +d)0 F( + d, + d, + d) - F(,, ) p d + d + d 0 On en tire les reltions suivntes : A

5 hermodynmique - - D'où les reltions : nb n nb) ( n + n nb) ( n + nb Là ussi, on vérifie que. Remrques ) L'éqution d'étt F(,, ) 0 d'un gz prfit est tout simplement - 0. ) Il est très importnt de comprendre l significtion physique d'une dérivée prtielle du type K. Elle trduit simplement le fit que si l'on fit une petite trnsformtion à volume constnt, l vrition d de l tempérture ser reliée à l vrition d de l pression pr l reltion d d K soit : d K d. ) L démonstrtion de l reltion montre que l'on pour toutes les vribles, et correspondnt à,, : et. Exercice 7 ) Clculer les coefficients thermoélstiques, β, χ d'un gz prfit. ) Quelle doit être l nture de l'éqution d'étt d'un gz pour que β? ) r définition : β χ L'éqution du gz prfit donnnt d + d d, on obtient : β χ

Elle trduit simplement le fit que si l'on fit une petite trnsformtion à volume constnt, l vrition d de l tempérture ser reliée à l vrition d de l pression pr l reltion d d K soit : d K d.

6 - - Exercices ) pour voir β il fut que. Cette éqution ne peut ps être simplifiée cr une dérivée est à pression constnte et l'utre à volume constnt. our simplifier l'éqution, il fut se servir des résultts de l'exercice précédent et trnsformer les deux dérivées prtielles en une seule. L reltion donne. A prtir de l reltion, on obtient :. Nous urons donc β lorsque l'éqution d'étt du gz ser telle que : Cette éqution signifie qu'à tempérture constnte, les vritions de volume d et de pression d sont reliées pr : d d Soit : d d + 0 cst. Ainsi, à tempérture constnte, l'éqution d'étt doit être cst ce qui signifie que l constnte est une fonction f() de l tempérture. our que β, l'éqution générle d'étt d'un gz doit donc être du type : f () Exercice 8 L'éqution d'étt d'un fluide peut s'écrire : ln ( ) ( ) k o o o ) Clculer le coefficient de dilttion isobre de ce fluide. ) Que représente le coefficient k? ) Nous vons ln. L'éqution d'étt donne imméditement : ) De l même mnière χ ln k. d'où : k χ

Nous urons donc β lorsque l'éqution d'étt du gz ser telle que : Cette éqution signifie qu'à tempérture constnte, les vritions de volume d et de pression d sont reliées pr : d d Soit : d d + 0 cst.

7 hermodynmique - - Exercice 9 On donne : χ mercure 8. 0 m. N br 0 5 On compresse litre de mercure liquide de br à 000 br de mnière isotherme. Clculer le volume finl. Commenter le résultt. r définition χ. On en déduit que lors de l compression isotherme : χ d d χd d f χ( D'où : ln χ (f i ) f i ) f i e AN) f 996 cm i Le mercure est donc prtiquement incompressible. Ceci n'est ps surprennt cr l grnde mjorité des liquides et des solides cette propriété. Exercice 0 Un morceu de métl est pris à 0 C sous une pression de br. Déterminer l pression qu'il fut exercer sur ce morceu de métl pour que son volume reste constnt lorsque s tempérture psse à 0 C. On donne 5 50 χ 70. K et.. L trnsformtion étnt isochore, il nous fudrit le coefficient thermoélstique β où u moins l dérivée prtielle. Les coefficients et χ fisnt intervenir les utre dérivées, on peut en sortir en les combinnt. et χ χ χ On en tire dns une trnsformtion à volume constnt : D'où : d d d d Δ Δ χ χ χ f i + (f i ) AN)f 75 br χ Remrque On urit pu ussi utiliser l reltion générle βχ pour trouver l reltion β. χ

Ceci n'est ps surprennt cr l grnde mjorité des liquides et des solides cette propriété. Exercice 0 Un morceu de métl est pris à 0 C sous une pression de br.

8 - 4 - Exercices Exercice ) Clculer le trvil qu'il fut fournir pour compresser réversiblement mole de gz prfit de mnière isotherme de l'étt à l'étt. AN) 00 K R 8, SI 0 L 0 L ) On fit décrire réversiblement le cycle ABCDA à l mole de gz précédente. Ce cycle est composé de deux trnsformtions isochores de volumes et et de deux isothermes de tempértures et. C D B A Exprimer le trvil totl W reçu pr le gz en fonction des prmètres. ) L trnsformtion étnt réversible, nous vons δw -d. L'éqution d'étt du gz étnt R, on en déduit : δw R d W R ln AN) W,7 kj ) -- rnsformtion AB : d'près l formule précédente : W R ln -- rnsformtion BC : le volume étnt constnt, le trvil est nul : W 0 -- rnsformtion CD : W R ln R ln -- rnsformtion DA : W 4 0 D'où u totl : W Wi R( ) ln Remrques ) Bien que l'exercice soit élémentire, il fut noter que l formule fondmentle du trvil est δw ext d et ps δw d. Ici, le fit que les trnsformtions soient réversibles, donc lentes, impose que ext d'où l'utilistion de l seconde formule.

Ce cycle est composé de deux trnsformtions isochores de volumes et et de deux isothermes de tempértures et. C D B A Exprimer le trvil totl W reçu pr le gz en fonction des prmètres.

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