I-1 - Mouvement rectiligne:

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1 I-1 - Mouvemen reciligne: x(m) Exercice 1 : Un mobile M décri un mouvemen reciligne suivn un xe (x ox). L figure cidessus monre son digrmme des espces. 1 )- Décrire quliivemen le mouvemen du mobile sur l xe x ox. )- Représener quliivemen le digrmme des viesses V() : On donne V ( ) =1m/s. 3 )- Quelles son les différenes phses du mouvemen? Préciser leur nure. 4 )- A prir du digrmme des espces déerminer l disnce prcourue enre les insns =s e =6s. A quoi correspond cee disnce sur le grphe V()? 5 )- Clculer l viesse moyenne enre =s e =4s de deux mnières différenes. Conclusion? Exercice : Le grphe suivn représene le digrmme des espces d un mobile se déplçn sur une rjecoire reciligne. v(m/s) 1- Trcer, quliivemen le digrmme des espces en foncion du emps

2 - Trcer le grphe de l ccélérion en foncion du emps. 3- Donner l nure du mouvemen dns les différenes phses. Jusifier. 4- Quelle es l disnce prcourue pr le mobile enre e 7 s 5- Représener les veceurs viesses e ccélérions ux insns = 3 e 6 s. Exercice 3 : Une voiure A es rrêée à un feu rouge.le feu devien ver e A démrre u même momen, une deuxième voiure B l dépsse, rouln à viesse consne. Leurs courbes de viesse en foncion du emps son représenées sur l même figure ci-dessous. 1 )- Combien de emps l voiure A --elle mis pour voir l même viesse que l voiure B? )- A ce momen, à quelle disnce en vn de l voiure A se rouve l voiure B? 3 )- Quelle es l voiure qui es en êe e de combien près.1h? 4 )- A quel insn l voiure A rrpe - elle l voiure B? Exercice 4 : Le digrmme des viesses d un mobile nimé d un mouvemen reciligne es donné pr l figure ci-dessous. On donne à =s, x=m. v(m/s) )- Trcer le digrmme des ccélérions dns l inervlle de emps s, 1s. Echelle: 1cm.5m/s² ; 1cm 1s - -

3 v (m/s) L.M.D-ST )- Trcer le digrmme des espces du mobile enre les insns =s e =1s. Echelle: 1cm 1m; 1cm 1s 3 )- Evluer l disnce prcourue pr le mobile enre les insns =s e =1s. 4 )- Décrire le mouvemen du mobile dns l inervlle de emps s, 1s. 5 )- Représener sur l rjecoire, les veceurs posiions, viesse e ccélérion à l insn =8s Echelle : 1cm 1m ; 1cm 1m/s ; 1cm 1m/s². Exercice 5 : Soi un mobile se déplçn suivn un xe x'ox. Son digrmme des viesses es donné ci-dessous. A l insn = s, le mobile se rouve à x = m Représener le digrmme des ccélérions. - Préciser les différenes phses du mouvemen. Jusifier. 3- Déerminer l disnce prcourue enre les insns = s e =9s. 4- Donner les posiions du mobile ux insns =6s e =9s. 5- Représener les veceurs viesses e ccélérions à ces mêmes insns. 1cm 4 m/s e 1cm m/s Exercice 6: On donne sur l figure ci-dessous le digrmme des ccélérions d un mobile nimé d un mouvemen reciligne. (m/s ) (s) - 3 -

4 1 )- Trcer le grphe V() enre = e =3s. Préciser les phses du mouvemen. On donne V()=15m/s. )- Trcer, sur l rjecoire, les veceurs posiions, viesse e ccélérions ux insns 1 =5(s) e =15s schn qu à =s, x=m. Echelle : 4cm 5m ; cm 5m/s ; 1cm 1m/s². Exercice 7 : Une voiure A es rrêée sur une roue horizonle reciligne à une disnce d 1 =3 m d un feu rouge. Lorsque le feu psse u ver, à l insn =, l voiure démrre vec une ccélérion consne 1 =3 m /s. Au même momen un mord M rouln à une viesse consne v =54 km/h se rouve à une disnce d =4 m de l voiure. L voiure e le mord considérés comme des poins mériels son repérée à l insn à l ide de leurs veceurs posiions respecifs OA x i 1 O M x i. On choisir comme origine O des bscisses l posiion du feu ricolore. e j i 1 Déerminer les équions horires x 1 () e x () de l voiure e du mord respecivemen. Déerminer les insns des dépssemens insi que les posiions de l voiure e du mord à ces insns. 3 Si le mord rouli à l viesse v =36 km/h pourri-il rrper l voiure? Clculer, dns ce cs, l insn pour lequel l disnce qui sépre le mord de l voiure es minimle. - b- En déduire cee disnce

5 I - Mouvemen curviligne: Exercice 8: Soi un mobile M se déplçn sur un pln (xoy). On donne ci-dessous les grphes des composnes de l viesse V x () e V y (). A = s, x=y=m V x (m/s) V y (m/s) )- Représener l rjecoire décrivn le mouvemen du mobile M enre =s e =s. Echelle : 1cm.5m. )- Quelle es l disnce prcourue enre =s e =1s? 3 )- Représener, les grphes des ccélérions x () e y (). Préciser vos échelles. 4 )- Représener, sur l rjecoire, les veceurs viesses e ccélérions à =5s e =s. Echelle: 1cm 1m/s, 1cm.1m/s². Exercice 9 : I)- Soi un mobile, A, se déplçn sur un xe ox suivn l loi horire : X A () =R Cos( +) ; R=.5m Le mouvemen es sinusoïdl d mpliude R, de pulsion e de phse =( + ). On suppose qu à =s, X A =R e qu à = (/) s, l viesse es V A = -(/) m/s. 1 )- Clculer, l phse à l origine des emps e, l pulsion. En déduire l période T= / e l fréquence f =1/T. Expliquer brièvemen à quoi corresponden T e f. )- Eblir une relion enre x A () e l ccélérion A (). 3 )- Représener quliivemen sur une période T les grphes x A (), v A () e A () y II)- Soi un deuxième mobile M, srein à se déplcer sur une rjecoire circulire de cenre O e de ryon R (Voir figure ci-conre). S viesse ngulire es =d/d. On suppose qu à =s, = rd. 1 )- Ecrire, dns le repère (o,x,y),les coordonnées de M, x M () e y M (). Préciser l nure du mouvemen. )- Commen, à prir du mouvemen de M, peu-on définir le mouvemen de A? M x - 5 -

6 3 )-Représener, à =.75s, les veceurs posiion OM, viesse ccélérion M. Echelle: 1cm.1 m ; 1cm (/4) m/s e 1cm ²/ =5m/s² v M e Exercice 1 : Dns le repère orhonormé R(O, i, j ) les équions prmériques du mouvemen d un poin mobile M son : x = A cos e y = A sin vec A = 1 cm e = 1 rd/s - Donner les composnes de l viesse v. Que peux - - on dire de v? b- Donner les composnes du veceur ccélérion. Que peux on dire de? c- Clculer le produi v.. Que peux - on en conclure? d- Clculer e représener les veceurs v e à = / s. Préciser l échelle choisie. Exercice 11 : Une comèe se déplce dns le sysème solire. S posiion pour expression : OM ( 1) i j Où O es l'origine du repère (le soleil) e représene le emps exprimé en secondes. On suppose que l comèe rese dns le pln (x O y) (z=). 1. Déerminez les composnes du veceur viesse v e du veceur ccélérion.. En prn de l'expression de l'ccélérion normle en foncion du ryon de courbure, démonrez l relion : 3 v v En déduire le ryon de courbure de l rjecoire en foncion de. 3. Déerminez les composnes de l'ccélérion ngenielle. 4. En déduire les composnes de l'ccélérion normle n. Vérifiez que : v / n. Exercice 1: Un poin P se déplce dns un pln Oxy, ses coordonnées à l insn son données pr : x ( ) 1 y ( ) vec = 1 m/s e = 1 s. On demnde : ) de rouver l équion crésienne de l rjecoire, de représener l courbe correspondne enre e 4 s; b) de clculer les composnes crésiennes de v e insi que leurs normes ; c) de clculer les composnes inrinsèques de ( e n ) ; d) de déerminer les crcérisiques du mouvemen d près le bleu des vriions de v e ; e) de clculer le ryon de courbure lorsque =3 s

7 Exercice 13 : Un mobile se déplce sur une rjecoire circulire de cenre O e de ryon R=11/ m. Son ccélérion ngenielle es donnée sur l figure ci-dessous. A = s, le mobile se rouve en M d bscisse curviligne S =m e s viesse es V =4.5m/s. 1 )- Représener les veceurs viesses e ccélérions ux insns 1 =1s e =s correspondn respecivemen ux posiions M 1 e M. Echelle : 1cm R/4 m, 1cm 1m/s e 1cm.5m/s². )- Déerminer l insn où l pricule rebrousse chemin. En déduire son bscisse curviligne à ce insn. y M 1 (m/s²).3 1 (s) M M x -.3 Exercice 14: Une pricule décrivn une rjecoire curviligne dns le pln (ox, oy) es repérée, en coordonnées polires pr les équions : r () r e e () (r e son des consnes posiives) 1- Donner l expression du veceur viesse de cee pricule. V, u es consn. Quelle es s vleur? - Monrer que l ngle 3- Donner l expression du veceur ccélérion. 4- Monrer que l ngle enre le veceur ccélérion e l normle u consn. Donner s vleur (On se servir de l quesion ). 5- Clculer le ryon de courbure de l rjecoire. Exercice 15: Le mouvemen curviligne d un mobile es décri pr les équions prmériques suivnes : r() = /, N es () = ²/4, ( en secondes, r en mères e en rdins). 1 )- Représener, à = 1s, dns le repère (xoy), le veceur posiion OM. Echelle : 1cm.1m

8 )- Clculer les composnes rdiles V r e rnsversle V du veceur viesse e représener ce veceur dns le repère (xoy) à =1s. Echelle: 1cm.5m/s. 3 )- ) Déerminer l expression de V à un insn. b) Clculer, le module de l composne ngenielle du veceur ccélérion à =1(s). Schn que les composnes de l ccélérion son : r =-1.3m/s² e =.36m/s², déduire le ryon de courbure à ce insn. Exercice 16 : Un mobile M es repéré pr ses coordonnées polires r() e () don les vriions en foncion du emps son données pr les grphes ci-dessous : r(m) (rd) 5 / / )- Trcer l rjecoire du mobile. )- Représener les veceurs viesses e ccélérion ux insns = 1s e =4s. Echelle: cm 1m/s ; 1cm.1m/s². 3 )- Quelles son les différenes phses du mouvemen e quelle es l nure de chcune d elle enre =s e =6s. Jusifier Exercice 17: L rjecoire d un mobile es consiuée d un segmen reciligne fisn un ngle = /4 rd e d un rc de cercle de ryon R = m (figure 1). Les vriions des viesses rdile ( dr ) e ngulire ( d ), en coordonnées polires, son données pr d d les figures e 3. On supposer qu à = 1s le mobile se rouve à r = 1.5 m e = /4 rd., Y (m) 1,5 1, Figure 1,5 x (m),,5 1 1,5-8 -

9 Figure Figure 3,5, dr/d (m/s) 4,5 4, 3,5 d/d (rd/s) 1,5 1, 4 3,,5, 1,5,5 1,,,,5 1, 1,5,,5 3,,5, (s),,5 1, 1,5,,5 3, 1- Trouver les vleurs de r e à l insn =.5 s - Clculer le veceur viesse à l insn =.5 s 3- Clculer le veceur ccélérion à =.5 s. d r d dr d d On donne : r, r r e = 1 d d d d d 4- En déduire les composnes inrinsèques n e de l ccélérion à l insn =.5 s

10 I-3 Mouvemen relif: Exercice 18 : Les coordonnées d une pricule mobile dns le référeniel R muni du repère (O, i, j, k ) son données en foncion du emps pr : 4 4 1; ; 3. x y z Dns un deuxième référeniel (R ) muni du repère (O ', i ', j', k ') k k ',son données en foncion du emps pr : 4 x ' ; y ' 5; z ' 3 7 vec, i i ', j j' e 1) Exprimer l viesse de M dns le (R) en foncion de s viesse dns (R ). ) Exprimer l ccélérion de M dns le (R) en foncion de son ccélérion dns (R ). 3) Définir l nure du mouvemen d enrînemen de (R) pr rppor à (R ). Exercice 19 : Soien deux mobiles A e B qui se déplcen dns un pln horizonl sur les droies D 1 e D respecivemen (figure 1). A l insn = s, les mobiles pssen pr l origine O, les vriions de viesse en foncion du emps son données pr le digrmme de l figure. O B A (D 1 ) (D ) x y Figure 1 v(m/s) 4 6 Figure Donner, pr rppor à O, l posiion des mobiles à = 4s ; - Eblir les équions horires du mouvemen de chque mobile pr rppor à O. 3- Déerminer e consruire l viesse de B pr rppor à A, v B/A, e l ccélérion de B pr rppor à A, B/A à l insn = 4s. Echelle 1 cm pour 1 m/s e 1cm pour m/s 4- Eblir l équion de l rjecoire de A dns le repère lié à B (Bx, By ). (Remrque Bx rese oujours prllèle à D ) v B v A - 1 -

11 Exercice : Une pricule A se déplce dns un pln (ox, oy). Les composnes crésiennes de s viesse son représenées sur l figure ci- dessous. 5 V x (m/s ) V y (m/s ) 1 (s) 1 (s) Schn qu à l insn = x() = 4 m e y() = 1m. Clculer les composnes des veceurs posiions, viesses e ccélérions ux insns = 5 s e = 1 s. - Une deuxième pricule B se déplce dns le même pln vec v i 4 j. - Clculer les composnes du veceur viesse de A pr rppor à B ' ' ( v v i v j ). A / B x y b- Représener les grphes des composnes de cee viesses [ v ' ( ) e v ' ( ) ] en foncion du emps x y B Exercice 1: Un ngeur N e un piéon P fon un ller reour sur une disnce L prllèlemen à l xe des x. Ils pren en même emps, à = s, de l même bscisse, x = m.on suppose que O i pendn ou le rje, en module, l V c viesse de N pr rppor à l eu es égle à l viesse de P pr rppor u sol. V N/eu =V P/sol, V C, l viesse du L courn es dirigée vers les x posiifs e V C V N/eu. 1 )- Lequel, du piéon ou du ngeur, v, le premier eindre le poin O? Jusifier vore réponse. )- Représener le grphe de l viesse de N pr rppor à P,V N/P enre =s e =3s. On donne V N/eu =V P/sol =1m/s, V C =.5m/s e L=15m. Préciser vore échelle. Déduire du grphe les insns où ils son côe à côe. x

12 Exercice : Dns un cours d eu, rois bigneurs R, S e T commençn à nger à = s vers un bllon B. A = s, les coordonnées de R, S, T e B son respecivemen (X R = -m, Y R =m), (X s =1m, Y S =m),(x T =m, Y T =-3m) e (X B =4m, Y B =).L viesse du courn mesurée pr rppor u sol es V C =.4 i m/s. On suppose que les veceurs viesse de R, S e T son consns u cours du emps e que V R/eu =V S/eu=V T/eu= 1m/s. 1 )- Lequel des ngeurs v eindre, y le premier le bllon? Jusifier vore réponse. Clculer son emps. )- Représener l rjecoire de T V c pr rppor à un observeur (lié à un i repère xoy dns l eu). A = s, (xoy) coïncide vec (x o y lié u sol). Clculer l R O B S disnce prcourue pr T dns chcun des deux repères. T 3 )- Représener les veceurs viesses de T pr rppor à l eu V T/eu e pr O' rppor u sol V T/sol. Echelle : 1cm.m/s. En déduire V T/sol. Rerouver ce dernier résul pr une deuxième méhode. x x Exercice 3: Un chien doi rverser un fleuve lrge de 5m pour rejoindre son mîre sur l ure rive (voir figure).a l insn =s, le chien se rouve u poin O. L viesse du courn es V E/S =3km/h, dns le sens indiqué pr l flèche de l figure. Le chien nge perpendiculiremen ux rives à l viesse V C/E = 4km/h, relivemen à l eu (V chien/eu ). 1 )- Dessiner u poin O les veceurs viesses : V E/S : viesse du courn pr rppor u sol V C/E : viesse du chien pr rppor à l eu V C/S : viesse du chien pr rppor u sol A l échelle 1cm km/h )- Quelles son dns le repère (xoy), les coordonnées du poin B où le chien ein l ure rive

13 3 )- En rélié, à l insn =s, l homme se me en mrche pour rejoindre le poin B vec une viesse V H = 6 km/h. Dessiner l rjecoire du chien dns le repère (x o y ) lié à l homme. y y x O x EAU x O SOL Exercice 4: Un ngeur, pri de A, se déplce à l viesse consne V pr rppor à l'eu d'une rivière de lrgeur d don les eux son nimées d'un courn de viesse consne v (v<v). v A d A 1 A d ) Le ngeur effecue les rjes ller e reour : AA 1 A en un emps 1 e AA A en un emps. Exprimer le rppor / 1 en foncion de v/v. Schn que = 1 =7 min, déerminer l direcion de l viesse V du ngeur qui se déplce obliquemen pour eindre A 1 e le emps qu'uri mis le ngeur pour prcourir l'ller reour sur un lc. b) Le ngeur quie le bord A u momen où il se rouve à l disnce D de l'vn d'un beu à moeur, de lrgeur l, qui se déplce à l viesse consne u pr rppor à l'eu, en suivn le bord de l rivière dns le sens de A vers A. Déerminer l direcion e l grndeur de l viesse minimle (pr rppor u sol) du ngeur pour ne ps êre ein pr le beu. Applicion numérique : l= m ; D=98 m ; u=19,8 km/h ; v=1,8 km/h

14 Corrigé ype de quelques exercices Exercice 7 : 1- Pour l voiure : Pour l moo : - Il y dépssemen si 1 3 x ( ) d 3, 1 1 x ( ) v d x ( ) x ( ) s e x 1. m En résolvn cee équions on : s e x ' 1.65 m 3- Si v 36 km / h 1 m / s x '( ) 1 4, il y dépssemen si : x 1 ( ) x '( ) ce qui revien à résoudre l équion : qui n ps de soluion cr es négif donc ils ne von ps se renconrer. 4- Déerminion de l disnce minimle : 3 - x x x 1 1, es minimle si s dérivée es nulle : 1 1 x ' 3 1 s 3 b- x 4.33 m min Exercice 11 : x( ) 1 v ( ) 1 ( ) x x 1- OM v y ( ) / v ( ) ( ) 1 y y D où : v 1 e 1 m / s - Composne : dv d 1 3- Composne N : N 1 1 v 4- ryon de courbure : (1 ) n 3 /

15 Exercice 14: 1- Clcul du veceur viesse : - L ngle dr d r r r r r v v u v u u r u e u u d d V, u s écri : v r g 1 4 v 3- Veceur ccélérion : r u u e u r r u : 4- Clcul de l ngle, N es poré pr 3, comme V u T V, 4 5- Clcul du ryon de courbure : A prir de l quesion 1 on dédui que A prir de l quesion 3 on dédui que u e à l quesion on vu que V, u donc u, u v r T e r N N O = donc 4 donc :, u N 4 r sin e e cos e e comme T 4 4 N v v r e N v M v v r u N Exercice 17: dr dr d d 1- r ( ) d ire sous e ( ) d ire sous d d d d on : donc à =.5 s r(.5 s) = m e (.5 s) = 5 16 =.98 rd dr d - Viesse : v (.5 s) m/s v (.5 s) r r 1.57 m/s d d e v(.5s) = v =1.57 m/s

16 3- Accélérion : r d r d r d d - =-1.5 m/s 8 dr d r d d d d = 3.14m/s 4- Composnes inrinsèques de l ccélérion : = = 3.14 m/s e N =- r = 1.5 m/s