17 Trigonométrie dans le triangle quelconque

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Raphaël Trudeau
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1 17 Trigonométrie dns le tringle quelconque 17.1 Théorème du cosinus Dns tout tringle, le crré d un côté est égl à l somme des crrés des deux utres, diminuée du double produit de ces côtés pr le cosinus de l ngle qu ils comprennent : 2 = b 2 +c 2 2bc cos(α) b 2 = 2 +c 2 2c cos(β) c 2 = 2 +b 2 2b cos(γ) Démontrer le théorème du cosinus à l ide des exercices ) et ). α c b β γ 17.2 Théorème de l ire L ire d un tringle est égle u demi-produit de deux de ses côtés pr le sinus de l ngle qu ils comprennent : = 1 b sin(γ) = 1 c sin(β) = 1 bc sin(α) Démontrer le théorème de l ire grâce à l exercice Théorème du sinus Dns tout tringle, les côtés sont proportionnels ux sinus des ngles opposés : sin(α) = b sin(β) = c sin(γ) Déduire le théorème du sinus du théorème de l ire. Remrques concernnt l utilistion des théorèmes du cosinus et du sinus Si α est un ngle d un tringle, l connissnce de cos(α) permet de déterminer sns mbiguïté l ngle α : il n y qu un ngle de mesure comprise entre 0 et 180 (0 rd et π rd) tel que cos(α) = x, si 1 x 1. En revnche, l connissnce de sin(α) ne permet ps de déterminer α de mnière unique, puisque deux ngles supplémentires ont même sinus : sin(α) = sin(π α). Il fudr donc être prudent lors de l utilistion du théorème du sinus, en envisgent toutes les solutions. n pourr ensuite éliminer les vleurs indésirbles en vérifint que l condition α+β +γ = 180 est stisfite ou en utilisnt le fit que dns un tringle, u plus grnd ngle est opposé le plus grnd côté. Le théorème du cosinus convient bien à l résolution des tringles définis pr leurs trois côtés, ou pr deux côtés et l ngle qu ils comprennent. Dns les utres cs, on ur recours u théorème du sinus. Trigonométrie : trigonométrie dns le tringle quelconque 17.1

2bc cos(α) b 2 = 2 +c 2 2c cos(β) c 2 = 2 +b 2 2b cos(γ) Démontrer le théorème du cosinus à l ide des exercices 12.2 2) et 12.3 3). α c b β γ 17.

2 17.4 Schnt que est un tringle quelconque, compléter le tbleu ci-dessous (les ngles sont mesurés en degrés) : b c α β γ Dns l figure ci-contre, clculer l longueur des segments,d,d et ,5 D Sur l digonle d un rectngle D, on considère un point tel que = ω = 57. Schnt que = 36 et que = 24, clculer l longueur du côté. D ω 17.7 D un qudriltère convexe D, on donne l ngle en : 110, insi que les longueurs des qutre côtés : = 3, = D = 6, D = 5. lculer l ire et les ngles du qudriltère Un tringle est donné pr = 10, b = 4 et c = 52. lculer sns mchine l longueur de l médine du tringle issue de, et montrer qu elle est perpendiculire à. Trigonométrie : trigonométrie dns le tringle quelconque 17.2

Schnt que = 36 et que = 24, clculer l longueur du côté. D ω 17.7 D un qudriltère convexe D, on donne l ngle en : 110, insi que les longueurs des qutre côtés : = 3, = D = 6, D = 5.

3 17.9 Un tringle est donné pr = 28,4, b = 36,9 et γ = 54,9. lculer les longueurs des bissectrices de ce tringle Pour déterminer l ltitude du sommet d une montgne, on fit le choix, dns un pln verticl contennt, de deux points et distnts de 200 m. n mesure les ngles = 110, Â = 50, insi que l ngle δ = 40 entre et l horizontle. Quelle est l ltitude de si celle de, extrémité inférieure de l bse, est de 800 m? Une tour de 50 m de huteur est située sur le flnc d une colline. Si, depuis le pied de l tour, on descend de 220 m le long de l colline, on voit l tour sous un ngle verticl de 12,5. lculer l ngle d inclinison de l colline pr rpport à un pln horizontl D un point, un pilote prcourt 125 km dns l direction N 38 jusqu u point. Là, il tourne dns l intention de revenir vers. En fit, en rison d une erreur, il prcourt 125 km dns l direction SE 51. ombien de kilomètres lui reste-t-il à prcourir et dns quelle direction pour rejoindre? 38 N S E Réponses 17.4 b c α β γ ,4 57,1 78,5 14, ,7 53,4 91,6 17, ,8 126,6 18,4 5, ,4 26,0 100, ,56 5,9 9, , ,0 73,7 53,1 53,1 9,8 29,2 24,0 126,9 12 5,5 4 5, ,6 66,4 10 4,8 6,4 7, ,1 4,5 4 41,5 78, = 63,8 D = 25,4 D = 56,5 = 88, = 15, = 23,66 β = 101,3 γ = 67,3 δ = 81,4 Trigonométrie : trigonométrie dns le tringle quelconque 17.3

n mesure les ngles = 110, Â = 50, insi que l ngle δ = 40 entre et l horizontle. Quelle est l ltitude de si celle de, extrémité inférieure de l bse, est de 800 m? 17.

4 17.8 Longueur de l médine issue de : b = 30,7 b b = 23,3 b c = 28, m , ,3 km dns l direction S 45,5. Trigonométrie : trigonométrie dns le tringle quelconque 17.4

11 5,3 17.12 28,3 km dns l direction S 45,5.

5 17.13 Démontrer le théorème du cosinus en ppliqunt le théorème de Pythgore u tringle H. Plus précisément, exprimer les longueurs des côtés H et H en fonction de, b et de l ngle γ et montrer l formule c 2 = 2 +b 2 2b cos(γ). α c b β H γ Exprimer, dns l figure de l exercice précédent, l longueur de H en fonction de et de l ngle γ. En déduire le théorème de l ire Soit un tringle. n désigne respectivement pretr α le centre et le ryon du cercle circonscrit u tringle. 1) Montrer que sin(α) = 2r. r 2) En déduire le théorème du sinus. H lculer le côté et les ngles inconnus d un tringle, connissnt = 5, c = 7, et schnt de plus que l longueur de l bissectrice issue de est égle à 4, n donne les longueurs des côtés d un qudriltère convexe D inscriptible dns un cercle : = 8, = 7, D = 4, D = 5. lculer les longueurs de ses digonles, ses ngles, insi que le dimètre de son cercle circonscrit D un trpèze D, on connît les bses = 5 cm et D = 11 cm, l huteur 6 cm insi que l ngle entre les côtés D et : 48. lculer les côtés et les ngles inconnus du trpèze. Réponses b = 7,79 α = 39,06 β = 79,04 γ = 61, = 7,74 D = 8,65 α = 79,8 β = 61,7 γ = 100,12 δ = 118,3 dimètre du cercle circonscrit : 8, = 6,04 D = 8,02 = 96,4 = 131,6 = 48,4 D = 83,6 Trigonométrie : trigonométrie dns le tringle quelconque 17.5

14 Exprimer, dns l figure de l exercice précédent, l longueur de H en fonction de et de l ngle γ. En déduire le théorème de l ire. 17.15 Soit un tringle.

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