CHAPITRE 10 : LA FONCTION LOGARITHME NEPERIEN

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1 L fonction logrithme népérien Cours CHAPITRE : LA FONCTION LOGARITHME NEPERIEN. Définition de l fonction logrithme népérien L fonction logrithme népérien, notée ln, est définie sur ],+ [, prend l vleur en =, est continue sur ],+ [ et dmet pour dérivée l fonction. Propriétés lgébriques.. Reltion fonctionnelle Théorème ] [ ] [, +, b, + lnb= ln+ lnb Démonstrtion Soit un réel strictement positif. Soit l fonction L fonction Donc, ϕ définie sur ] [,+ pr ϕ ( ) = ln( ). ϕ est dérivble sur ],+ [ comme composée de deu fonctions. ],+ [ : ϕ '( ) =. = Gérrd Hirsch Mths54

2 L fonction logrithme népérien Cours ϕ est donc une primitive de ; elle diffère donc de ln d une constnte. Il eiste donc un réel C tel que,,+ : ϕ ( ) = ln + C. Or, ln =, donc C =ϕ () = ln. ] [ En revennt à l définition de ϕ : ],+ [ et,+, ln( ) = ln + ln ] [ D où le résultt en remplçnt pr b... Logrithme d un quotient Propriété ], + [ ln = ln Démonstrtion Elle se déduit de l reltion précédente : clculons ], + [ ln ln ln(. ) ln + = = = Propriété ], + [, b ], + [ ln = ln lnb b Démonstrtion Elle se déduit des deu reltions précédentes : clculons ], + [, b ], + [ ln = ln(. ) = ln + ln = ln ln b b b b Gérrd Hirsch Mths54

3 L fonction logrithme népérien Cours.3. Logrithme d un produit de nombres réels strictement positifs Propriété ] [ n, +, n ln = nln.4. Logrithme d une rcine crrée Propriété ], + [ ln = ln 3. Résolution d équtions et d inéqutions Théorème ] [ ] [, +, b, + ln = lnb = b ] [ ] [, +, b, + ln < lnb < b Eemple Résoudre dns R l éqution : ln(3+ ) = ln( 4) Les vleurs cherchées doivent vérifier 3 + > 4> Les solutions doivent pprtenir à D = ] 4, + [ Les logrithmes de deu réels positifs sont égu, si et seulement si ces réels sont égu. Gérrd Hirsch Mths54 3

4 L fonction logrithme népérien Cours Ainsi : si ] 4, + [, 5 ln(3+ ) = ln( 4) 3+ = 4 = L éqution n dmet ps de solution dns R puisque ] 4, + [ 5 Eemple Résoudre dns R. l éqution ln( 5) = ln + ln b. l inéqution : ln( 5) ln + ln. Les vleurs cherchées doivent vérifier > 5 > Les solutions doivent pprtenir à D = 5, + Les logrithmes de deu réels positifs sont égu, si et seulement si ces réels sont égu. Si 5, +, ln( 5) = ln + ln ln( 5) = ln(4 ) 4 5 = L éqution du second degré dmet et 5 pour rcines. Seule l rcine 5 est solution puisque 5, + L ensemble des solutions de l éqution ln( 5) ln ln = + est S = { 5 } b. On résout l inéqution dns D = 5, + L inéqution ln( 5) ln + ln est équivlente à ou 5< 4 4 5< L ensemble des solutions est donc formé des réels ],5[ qui sont dns D. L ensemble des solutions de l inéqution ln( 5) ln ln < + est S = 5,5 Gérrd Hirsch Mths54 4

5 L fonction logrithme népérien Cours 4. Etude de l fonction logrithme 4.. Sens de vrition de l fonction logrithme népérien sur ],+ [ L fonction ln est définie sur ],+ [ L fonction ln est continue sur ],+ [ L fonction ln est dérivble sur ],+ [ Pour tout ], + [, (ln )' = Théorème L fonction ln est strictement croissnte sur ],+ [ 4.. Limite de l fonction logrithme népérien en et en + lim ln =+ + n n R, ln( ) = n ln, et puisqueln >, lors lim ( n ln ) =+. n + L fonction ln n est donc ps mjorée. Etnt croissnte, elle dmet + pour limite en +. Conséquence lim ln = > Gérrd Hirsch Mths54 5

6 L fonction logrithme népérien Cours Démonstrtion En utilisnt le théorème sur l limite d une fonction composée, on : lim =+ et lim ln =+ lim ln =+ + > > Puisque ln = ln lors lim ln = > L e des ordonnées est donc symptote verticle à l courbe représenttive de l fonction ln Tbleu de vrition : Conséquence Il eiste un nombre et un seul noté e tel que ln e = Une vleur pprochée de e est e ~.788 Gérrd Hirsch Mths54 6

7 L fonction logrithme népérien Cours 4.4. Représenttion grphique y=- y= e e Remrque Soit (C) l courbe représenttive de l fonction ln dns un repère ( O, i, j ) L tngente à l courbe u point d bscisse = est l droite d éqution y = L tngente à l courbe u point d bscisse psse pr le point O) = e est l droite d éqution y = (cette droite e 5. Autres limites ln( + ) lim = que l on peut ussi écrire ln lim = Démonstrtion Le nombre dérivé de ln en est. Mis ce nombre dérivé est ussi : D où l limite cherchée. ln( + ) ln lim = Gérrd Hirsch Mths54 7

8 L fonction logrithme népérien Cours ln lim = + Démonstrtion Pr eemple en étudint l fonction uiliire ϕ: ln, +, ln< on montre que [ [ ln, +, < = et donc [ [ ln, +, < lim < lim + + soit [ [ Puisque lim = lors + ln lim = + lim ln = > Démonstrtion ln ], + [, ln = On pplique le théorème sur l limite d une fonction composée : ln lim ln = lim = > > cr ln lim =+ et lim = + > Gérrd Hirsch Mths54 8