Aide-mémoire de trigonométrie

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1 Aide-mémoire de trigonométrie. Vleurs prticulières x 0 (rd) 0 sin x 0 cos x tn x 0 /6 (rd) 0 /4 (rd) cotn x 45 / (rd) 60 / (rd) Formules des ngles ssociés Formules des ngles égux cos ( k + x) = cos x sin ( k + x) = sin x tn ( k + x) = tn x cotn ( k + x) = cotn x cos( k 60 + x) = cos x sin ( k 60 + x) = sin x tn ( k 60 + x) = tn x cotn ( k 60 + x) = cotn x Formules des ngles opposés cos( x) = cos x sin ( x) = sin x tn ( x) = tn x cotn ( x) = cotn x cos( x) = cos x sin ( x) = sin x tn ( x) = tn x cotn ( x) = cotn x Formules des ngles supplémentires cos ( x) = cos x sin ( x) = sin x tn ( x) = tn x cotn ( x) = cotn x cos(80 x) = cos x sin (80 x) = sin x tn (80 x) = tn x cotn (80 x) = cotn x Aide-mémoire de trigonométrie - S. Jonlet -

2 Formules des ngles nti-supplémentires cos ( + x) = cos x sin ( + x) = sin x tn ( + x) = tn x cotn ( + x) = cotn x cos (80 + x) = cos x sin (80 + x) = sin x tn (80 + x) = tn x cotn (80 + x) = cotn x Formules des ngles complémentires cos ( x) = sin x sin ( x) = cos x tn ( x) = cotn x cotn ( x) = tn x Formules des ngles nti-complémentires cos ( + x) = sin x sin ( + x) = cos x tn ( + x) = cotn x cotn ( + x) = tn x cos (90 x) = sin x sin (90 x) = cos x tn (90 x) = cotn x cotn (90 x) = tn x cos (90 + x) = sin x sin (90 + x) = cos x tn (90 + x) = cotn x cotn (90 + x) = tn x. Formules x + x = (reltion fondmentle) + tn x = x + k cos x cos sin tn x sin x cos x sin x = tn x si x + k + cotn x = x k cotn x cos x sin x = cotn x si x k tn x = cotn x séc x = cos x coséc x = sin x Aide-mémoire de trigonométrie - S. Jonlet -

3 4. Formules d ddition cos ( b) = cos cos b + sin sin b cos ( + b) = cos cosb sin sin b sin ( + b) = sin cosb + cos sin b sin ( b) = sin cos b cos sin b tn + tn b tn ( + b) = C.E. : tn tn b tn tn b tn ( b) = C.E. : + tn tn b + b + k, b + k, + k, b + k, b + k + k 5. Formules de dupliction sin = sin cos = cos cos -sin tn tn = C.E. : - tn + k, k Formules de Crnot + cos cos = + cos = cos cos sin = cos = sin Aide-mémoire de trigonométrie - S. Jonlet -

4 7. Formules en tn sin = cos = tn + tn tn + tn C.E. : + k C.E. : + k tn = tn tn C.E. : + k et + k 8. Formules de Simpson Trnsformtions de sommes en produits p + q p q sin p + sin q = sin cos p q p + q sin p sin q = sin cos p + q p q cos p + cos q = cos cos p + q p q cos p cos q = sin sin sin ( p + q) tn p + tn q = C.E. : cos p cos q sin ( p q) tn p tn q = C.E. : cos p cos q p + k et q + k p + k et q + k Trnsformtions de produits en sommes sin cosb = ( sin ( + b) + sin ( b) ) cos cosb = cos( + b) + cos ( b) sin sin b = cos + b cos b ( ) Aide-mémoire de trigonométrie - S. Jonlet - 4

5 9. Equtions trigonométriques 9.. Equtions élémentires en sinus Si x et sont des mesures d ngles en rdins, on sin x = sin x = + k ou x = + k k Z Si x et sont des mesures d ngles en degrés, on sin x = sin x = + k.60 ou x = 80 + k.60 k Z 9.. Equtions élémentires en cosinus Si x et sont des mesures d ngles en rdins, on cos x = cos x = + k ou x = + k k Z Si x et sont des mesures d ngles en degrés, on cos x = cos x = + k.60 ou x = + k.60 k Z 9.. Equtions élémentires en tngente Si x et sont des mesures d ngles en rdins, on tn x = tn x = + k k Z. Si x et sont des mesures d ngles en degrés, on tn x = tn x = + k.80 k Z Equtions se rmennt à une éqution élémentire L règle du produit nul, les formules des ngles ssociés, les formules d ddition, les formules de dupliction, les formules de Crnot, les formules de Simpson, permettent, dns certins cs, de trnsformer une éqution en une (des) éqution(s) élémentire(s). Une éqution du deuxième degré en sin x, cos x ou tn x, se rmène à des équtions élémentires près voir posé respectivement y = sin x, y = cos x ou y = tn x et près voir résolu l éqution en y. Aide-mémoire de trigonométrie - S. Jonlet - 5

6 9.5. Equtions homogènes Définition Une éqution est homogène en sin x et cos x si tous les termes sont de même degré pr rpport à sin x et cos x. Pr exemple, sin x + cos x = 0 est une éqution homogène en sin x et cos x, cos x sin x cos x 0 = est une éqution homogène en sin x et cos x, sin x cos x Méthode de résolution = n est ps une éqution homogène en sin x et cos x. Effectuer, si possible, une mise en évidence et ppliquer l règle du produit nul. Un des fcteurs est une éqution homogène. Diviser les deux membres de l éqution homogène pr cos m x où m est le degré commun pr rpport à sin x et cos x de chque terme. Résoudre l éqution en tn x obtenue Equtions du type + = Soit une éqution du type cos x + bsin x = c vec, b R 0 et c R. Méthode de résolution Si =0 Il s git d une éqution homogène en sin x et cos x. Si 0 Si nécessire, diviser les deux membres pr (resp. pr b ) de sorte que le coefficient de sin x ou de cos x soit égl à. b Poser = tnϕ (resp. = tnϕ ) et remplcer b b (resp. sinϕ ) pr b cosϕ. Réduire u même dénominteur et résoudre à l ide des formules d ddition et des formules des ngles ssociés. Aide-mémoire de trigonométrie - S. Jonlet - 6

7 0. Tringle rectngle α = et β + γ = = b + c ( Pythgore) Pour les ngles igus d un tringle rectngle, c est-à-dire les ngles β ou γ, on coté ˆ opposé à β sin β = hypothénuse coté ˆ djcent à β cos β = hypothénuse coté ˆ opposé à β tn β = coté ˆ djcent à β coté ˆ djcent à β cotn β = coté ˆ opposé à β Ces églités sont générlement mémorisées selon l expression «SOH CAH TOA CAO». Aide-mémoire de trigonométrie - S. Jonlet - 7

8 . Tringle quelconque α + β + γ = Reltions ux sinus Reltions ux cosinus Théorème d Al Kshi = b = c sinα sin β sinγ = b cosγ + c cos β b = c cosα + cosγ c = cos β + b cosα = b + c bc b = c + c c = + b b cosα cos β cosγ Aire d un tringle S = Bse Huteur Aire d un tringle en fonction de deux côtés et d un ngle L ire d un tringle est égle u demi-produit de deux côtés pr le sinus de l ngle qu ils forment. Soit ABC un tringle quelconque, on bsin γ c sin β bc sin α S = = = Aire en fonction des côtés et du ryon du cercle circonscrit R b c S = 4 R Remrque Le centre du cercle circonscrit à un tringle est le point d intersection des méditrices du tringle. Aide-mémoire de trigonométrie - S. Jonlet - 8

9 Aire en fonction du périmètre et du ryon du cercle inscrit r S = p r où p désigne le demi-périmètre : p = + b + c. Remrque Le centre du cercle inscrit à un tringle est le point d intersection des bissectrices des ngles du tringle. Aire en fonction des côtés (Formule de HÉRON d ALEXANDRIE) S = p( p )( p b)( p c) où p désigne le demi-périmètre. Aire en fonction des ngles et d un côté sin β sin γ b sin α sin γ c sin α sinβ S = = = sin α sinβ sin γ Aide-mémoire de trigonométrie - S. Jonlet - 9

10 Aide-mémoire de trigonométrie.... Vleurs prticulières.... Formules des ngles ssociés.... Formules Formules d ddition Formules de dupliction Formules de Crnot Formules en / Formules de Simpson Equtions trigonométriques Equtions élémentires en sinus Equtions élémentires en cosinus Equtions élémentires en tngente Equtions se rmennt à une éqution élémentire Equtions homogènes Equtions du type cos + sin = Tringle rectngle Tringle quelconque... 8 Aide-mémoire de trigonométrie - S. Jonlet - 0