1. Rappels sur la loi binomiale

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1 . Rppels sr l loi inomile On ppelle épree de Bernolli tote expérience létoire ne présentnt qe dex isses possiles (contrires l ne de l tre). On ppelle schém de Bernolli tote répétition d éprees de Bernolli identiqes et indépendntes. Exemple : Lncer n dé ec por isses contrires «otenir n 6» et «ne ps otenir n 6» est ne épree de Bernolli. Lncer notre dé 0 fois est n schém de Bernolli (on répète l épree de Bernolli). Remrqe : Les dex isses contrires d ne épree de Bernolli se note en générl S (por «sccès«) et S. L proilité qe S soit rélisé est noté en générl p (l proilité de S est lors ( p)). Étnt donné ne épree de Bernolli où l proilité d otenir n sccès S est p et le schém de Bernolli consistnt à répéter n fois de mnière indépendnte cette épree. Si note X l rile létoire qi à chqe isse possile d schém de Bernolli ssocie le nomre de fois où est ppr n sccès S, l loi de proilité de X est ppelée loi inomile de prmètres n et p et est notée B(n,p). Proilité d otenir k sccès : p(x = k) = ( n k) p k ( p) n k (k entier tel qe : 0 k n) Proilité de n otenir qe des sccès : p(x = n) = p n Proilité de n otenir cn sccès : p(x = 0) = ( p) n Proilité d otenir moins n sccès : p(cn sccès) Espérnce de X : E(X) = np Clcl des coefficients ( n k) : TI : n MATH PROB 3: Cominison k ; CASIO : OPT PROB n ncr k Exemple : On lnce 36 fois de site ne pièce et on note X le nomre de «pile» otens. X sit l loi inomile de prmètres n = et p = dont l représenttion grphiqe est : p(x = k) 0, 2 0, 0, 08 0, 06 0, 04 0, 02 0 k ) L proilité d otenir exctement 0 fois «pile» est égle à. ) L proilité de n otenir qe des «pile» est égle à. c) L espérnce de X (nomre moyen de «pile» qe l on pet espérer otenir en répétnt n grnd nomre de fois l expérience létoire) est égl à. 2. Loi niforme ) Exemple introdctif On considère l expérience létoire consistnt à choisir n réel hsrd (noté X) dns l interlle [ ; 5] (on dmet qe tos les réels sont niformément réprtis) et le rectngle ci-dessos de hter Intitiement, on pet estimer qe : TES Proilités (dexième prtie)

2 p ( X 5) =, ce qi correspond à l ire de l zone hchrée : p ( X 3) =, ce qi correspond à l ire de l zone hchrée : p (4 X 5) =, ce qi correspond à l ire de l zone hchrée : Pr contre, comme il y ne infinité de réels dns l interlle [ ; 5], on est «oligé» de considérer qe : p (X = 2) = et p (X = 4) =. On dit qe X sit. ) Cs générl On dit q ne rile létoire X sit l loi niforme sr [ ; ] lorsqe por tot interlle I, incls dns [ ; ], l proilité de l éénement «X pprtient à I» est égle à l ire d rectngle de se I et de hter. I On pet considérer qe p (X I) = dx. («ire sos l core») x I L fonction f définie sr [ ; ] pr f(x) = est ppelée fonction de densité de l loi niforme sr [ ; ]. Si ne rile létoire X sit l loi niforme sr [ ; ] lors por tos réels et incls dns [ ; ], on : p ( X ) = p (X ) = p ( X ) = TES Proilités (dexième prtie) 2

3 p (X ) = p ( X ) = p (X = ) = 0 (on les mêmes résltts ec des inéglités strictes) Si ne rile létoire X sit l loi niforme sr [ ; ] lors l espérnce de X est égle à + 2. Remrqe : les clcltrices et diers logiciels fornissent ne fonction «rndom()» (o «ALEA()») qi permet d otenir n nomre psedo-létoire compris entre 0 et. Por simler le tirge hsrd d n réel dns [ ; ], on pet tiliser + () rndom(). Exemple : Une rile létoire X sit l loi niforme sr [0 ; 5].. Préciser et représenter ci-dessos l fonction de densité de cette loi. 0,8 0,6 0,4 0, Clcler les proilités sintes : ) p ( X 3) =. ) p (X 3) =. c) p (X 4) =. d) p (X o X 4) =. 3. Loi normle ) Cs générl On dit q ne rile létoire X sit l loi normle d espérnce µ et d écrt-type σ lorsqe por tot interlle I l proilité de l éénement «X pprtient à I» est égle à l ire sos l core sr I de l fonction f définie pr f(x) = σ 2π e f(x) ( x µ σ ) 2 (f est ppelée fonction de densité de l loi normle). I L loi normle d espérnce µ et d écrt-type σ est notée N (µ; σ 2 ). Remrqe : L ire totle sos l core est égle à et l core est symétriqe pr rpport à l espérnce µ. On donc l sittion sinte : Aire= µ p (X µ) = p (X µ) = TES Proilités (dexième prtie) 3

4 Si ne rile létoire X sit l loi normle d espérnce µ et d écrt-type σ lors por tos réels α et β, on : p ( X ) = TI : DISTR (2nd+VARS) ; normlcdf (,,µ,σ) CASIO : Men STAT ; DIST ; NORM ; NCD ec Lower : ; Upper : ; σ : σ ; µ : µ p (X ) = TI : normlcdf ( 0 99,,µ,σ) CASIO : NCD ec Lower : 0 99 ; Upper : ; σ : σ ; µ : µ p (X ) = TI : normlcdf (,0 99,µ,σ) CASIO : NCD ec Lower : ; Upper : 0 99 ; σ : σ ; µ : µ Vlers remrqles : p (µ σ < X < µ + σ) = 0,68 p (µ 2σ < X < µ + 2σ) = 0,95 p (µ 3σ < X < µ + 3σ) = 0,997 Exemple : (por tester s clcltrice) Si X sit l loi normle d espérnce µ = 58 et d écrt-type σ = 6, on doit oir : p (52 X 64) 0, ; p (X 55) 0, ; p (X 62) 2493 Exemple 2: Le dimètre X des rres métlliqes sortnt d n telier sit l loi normle d espérnce 2 mm (le dimètre ttend) et d écrt-type 0,08 mm. Un client refse d cheter des tes dont le dimètre ne serit ps compris entre,9 mm et 2,2 mm. On cherche à déterminer le porcentge de tes cceptés pr le client. p (,9 X 2,2) =, donc % des tes sont cceptés pr le client. Exemple 3: L fonction de densité de l loi normle d espérnce µ = 8 et d écrt-type σ = 3 est représentée ci-dessos : Donner, sns tiliser l clcltrice, p (X < 8). p (X < 8) =. 2. Représenter grphiqement l proilité de l éénement p (X 20) et clcler s ler. p (X 20) =. 3. En dédire l proilité de l éénement p (X > 20). p (X > 20) =. Exemple 4: Une rile létoire sint ne loi normle est telle qe p (X < 2) = 0,067 et p (X < 3) = 9. On pet en dédire qe p (X > 2) = et p (2 < X < 3) =. TES Proilités (dexième prtie) 4

5 ) Cs prticlier : l loi normle centrée rédite On dit q ne rile létoire X sit l loi normle centrée rédite si elle sit l loi normle d espérnce µ = 0 et d écrt-type σ =. L fonction de densité f est lors définie pr f(x) = e x2. 2π L loi normle centrée rédite est notée N (0; ). On lors p (,96 < X <,96) = 0,95 : 0, 4 0, 3 0, 2 0, Dire qe l rile létoire X sit l loi normle d espérnce µ et d écrt-type σ éqit à dire qe l rile létoire Y = X µ sit l loi normle centrée rédite. σ 4. Échntillonnge ) Interlle de flcttion à 95% Étnt donné ne popltion dns lqelle l proportion conne d n certin crctère est p. Si on prélèe, ec remise, des échntillons de tille n dns cette popltion lors l proilité qe l proportion f d crctère sein de ces échntillons pprtienne à l interlle : [ ] p( p) p( p) p,96 ; p +,96 n n se rpproche de 95% qnd n deient grnd. Cet interlle est ppelé interlle de flcttion symptotiqe à 95% ssocié à l proportion p. ) Prise de décision à prtir d n interlle de flcttion Étnt donné ne popltion dns lqelle on sppose qe l proportion d n certin crctère est p. Si on prélèe, ec remise, n échntillon de tille n dns cette popltion et si l fréqence réelle oserée f d crctère dns cet échntillon est comprise dns l interlle de flcttion lors on dit q on ccepte seil de 95% l hypothèse qe l proportion réelle d crctère dns l popltion est ien p (dns le cs contrire, on dit q on rejette l hypothèse). Exemple : Un cndidt pense qe 52% des électers li sont forles. On prélèe ec remise n échntillon de 500 électers : 47% des électers interrogés de cet échntillon se déclrent forle cndidt en qestion. ) L interlle de flcttion de l échntillon ssocié à l proportion de 52% est : ) Donc on pet l hypothèse d cndidt selon lqelle 52% des électers li sont forles. c) Estimtion pr n interlle de confince On cherche à connitre ne estimtion de l proportion p inconne d n certin crctère sein d ne popltion. Por cel, on prélèe ec remise n échntillon de tille n sein de l popltion et on note f l proportion oserée d crctère sein de l échntillon. Il y lors 95% de chnce (dns certines conditions) qe l proportion p d crctère sein de l popltion totle soit comprise dns l interlle : [ f ; f + ] n n Cet interlle est ppelé interlle de confince à 95% ssocié à l proportion f. Exemple : Un sondge rélisé sr n échntillon de 000 personnes ttrie à n cndidt n score de 8%. L interlle de confince à 95% ssocié à cette proportion oserée de 8% dns l échntillon est : TES Proilités (dexième prtie) 5